河南省豫西北教研联盟2025-2026学年高三上学期第一次质量检测数学试卷（含答案）

豫西北教研联盟2025—2026学年

高三第一次质量检测试题

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1.已知集合A={0,1,2},B={xly=√1-x²|,则A∩B=

A.{0}B.1}C.|0,1}D.{0,1,2}

2.已知i为虚数单位，若z+2z=6+i,则z=

A.2+iB.2-iC.1+2iD.1-2i

3.设,则a,b,c的大小关系为

A.a<c<bB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b

的图象向左平个单位长度后得到的图象关于

坐标原点对称，则w的值可以是

A.4B.5C.10D.16

5.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+3)=-f(x-1),且f(x-1)是奇函数，则下列结

论错误的是

A.f(-1)=0B.f(0)=f(2)C.f(-4)=f(4)D.f(11)=-1

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6.已知两点P(-2a,0),Q(b,ab)(a>0,b>0),圆C:(x-a)²+(y-b)²=r²(r>0)

经过原点，且圆心在直线x+2y-2=0上，当直线PQ的斜率最大时，r的值为

ABCD

7.已知,则cos2α=

B.CD

8.已知球0是正三棱锥P-ABC的外接球，AB=√3,PA=√5,过点E作球0

的截面，若截面面积,则直线OE与该截面所成的角为

ABCD

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知函数f(x)=a⁸+a⁻*(a>0且a≠1),则

A.f(x)是奇函数

B.f(2x)=[f(x)]²-2

C.f(x)的值域是[2,+∞]

D.f(x)在(-∞,0)上单调递减

10.正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2,E,F,M分别是棱AD,A₁B₁,BB,的中点，则

A.EF//BC₁

B.EF⊥A₁C₁

C.EF//平面BB₁D₁D

D.点E到平面FC₁M的距离

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11.已知抛物线C:y²=2px(p>0)的焦点为F,0为坐标原点，动点P在C上，若点M(2,√3)

满足IMFI=210FI,则

A.C的准线方程为x=-1

B.△PMF周长的最小值为5

C.直线MF的倾斜角

D.四边形OPMF不可能是平行四边形

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量a=(5,2),b=(-1,3),则向量a在向量b上的投影向量的坐标为

13.设双曲线的右焦点为F,过F作C的一条渐近线的垂线，

垂足为H,线段FH交C于点P,若FP=2PH,则C的离心率为·

14.已知函数f(x)=(1-x)e*,当关于x的方程2[f(x)]²-4af(x)+1=0的不同实数根

的个数最多时，实数a的取值范围是

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asinC=√3ccosA.

(1)求A;

(2)点D在边BC上，AD平分∠BAC,若a=4,,求△ABC的周长.

16.(15分)

已知公差不为0的等差数列{aa}的前n项和为S。,S₄=16,且a₂,as,a₁₆依次成等比

数列.

(1)求{an}的通项公式；

(2)对于任意n∈N*,λ·2”≥Sₙ,求实数λ的取值范围.

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17.(15分)

如图，菱形ABCD中，∠ABC=120°,EA1平面

ABCD,EA//FD,EA=AD=2FD=2.

(1)求证：FC//平面EAB;

(2)求二面角A-FC-E的正弦值；

(3)在线段EC上是否存在点M,使得直线EB与

平面BDM所成角的正弦值?若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

18.(17分)

已知椭圆C(a>b>0)的左、右焦点分别为F₁,F₂,A,B分别为C的左、

右顶点，点D(xo,y₀)是C上异于A,B的点，直线DA与直线DB的斜率之积为

△DF₁F₂的周长为6.

(1)求C的方程；

(2)求过D与C相切的直线方程；

(3)设直线l的方程为x=4,过l上任一点P作C的切线，切点分别为M,N,当四边形

AMBN的面积最大时，求∠AMB的正切值.

19.(17分)

已知函数f(x)=x²-x³,g(x)=x²+ax,a∈R.

(1)若函数g(x)的零点是函数f(x)的极值点，求a;

(2)0为坐标原点，P,Q在函数f(x)的图象上，在y轴上是否存在点R,使得四边形

POQR为矩形?若存在，求出R的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)定义：若一个四边形的顶点均在某函数的图象上，则称该四边形为函数的内接四边

形.设h(x)=g(x)-f(x),若函数h(x)有唯一内接正方形，求该正方形的面积.

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高三第一次质量检测试题

数学参考答案及评分意见

一、选择题

1—4:CBAB5—8:DCDC

二、多选题

9.BCD10.BC11.ABD

三、填空题

13.√5

四、解答题

15.(1)因为asinC=√3ccosA,

由正弦定理得sinAsinC=√3sinCcosA,……2分

又sinC>0,所以tanA=√3,……4分

由于0<A<π,则……5分

(2)因为S△ABc=S△ABD+S△ADC,

……7分

……8分

由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=(b+c)²-3bc,……9分

所以3(b+c)²-2√6(b+c)-48=0,……11分

解得b+c=2√6,或(舍去),……12分

所以a+b+c=4+2√6,即△ABC的周长为4+2√6.……13分

16.(1)设等差数列{a|的公差为d,

由已知可得(a₁+4d)²=(a₁+d)(a₁+13d),……2分

因为d≠0,解得d=2a₁,……3分

又S₄=4a₁+6d=16a₁=16,……4分

得a₁=1,d=2,……5分

高三数学答案第1页(共6页)(2025.10)

所以an=2n-1.……6分

(2)由(1)可知a=2n-1,则Sₙ=n²,……7分

由λ·2”≥S,可得……8分

……10分

当1≤n≤2时，bₙ+1-bₙ>0,

当n≥3时，bₙ+1-b,<0,……12分

则数列{b|的最大项为……13分

故

即实数λ的取值范围为……15分

17.(1)∵EA//FD,EAC平面EAB,FD女平面EAB,

∴FD//平面EAB,……2分

同理CD//平面EAB,又FD∩CD=D,

∴平面FCD//平面EAB,……4分

∵FCC平面FCD,

∴FC//平面EAB.……5分

(2)如图，取AB中点N,连接DN,则DN⊥DC,以D为原点，分别以DC,DN,DF所

在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz,……6分

A(-1,√3,0),F(0,0,1),C(2,0,0),E(-1,√3,2),

∴FC=(2,0,-1),AC=(3,-√3,0),

设平面AFC的法向量为m=(x₁,y₁,z₁),

取x₁=1,则y₁=√3,z₁=2,

∴m=(1,√3,2),……7分

又FE=(-1,√3,1),

设平面EFC的法向量为n=(x₂,y₂,z₂),

高三数学答案第2页(共6页)(2025.10)

∴

取x₂=√3,则y₂=-1,z₂=2√3,

∴n=(√3,-1,2√3).……8分

……9分

设二面角A-FC-E的平面角为θ,

∴……10分

(3)设EM=λEC=入(3,-√3,-2),则0≤λ≤1.……11分

DM=DE+EM=(3λ-1,√3-√3λ,2-2λ),DB=(1,√3,0),

设平面BDM的法向量为p=(x₃,y₃,z₃),

取y₃=λ-1,则x₃=√3(1-λ),z₃=√3-2√3λ,

∴p=(√3(1-λ),λ-1,√3-2√3λ),……12分

又EB=(2,0,-2),

……13分

即32λ²+20λ-7=0,

解得,或(舍去),……14分

……15分

18.(1)由题意知A(-a,0),B(a,0),

……1分

,则……2分

,故a=2c,……3分

高三数学答案第3页(共6页)(2025.10)

又IDF₁I+IDF₂I+lF₁F₂I=6,

即2a+2c=6,

所以c=1,a=2,b²=3,……4分

故椭圆C的方程……5分

(2)设切线的方程为y-y。=k(x-x₀),……6分

整理得(3+4k²)x²+8k(y。-kx₀)x+4(y。-kx₀)²-12=0,……7分

由△=0,得(x₀²-4)k²-2x₀yk+y²-3=0,

因为D(x₀,y%)在椭圆C上，所以3x。²+4y²=12,

……8分

所以过D与C相切的直线方程为

即3x₀x+4yoy-12=0.……9分

(3)设P(4,t),M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),

由(2)可知，切线PM的方程为3x₁x+4y₁y-12=0,

切线PN的方程为3x₂x+4y₂y-12=0,……10分

所以12x₁+4y₁t-12=0,12x₂+4y₂t-12=0,

故直线MN的方程为3x+ty-3=0.……11分

整理得(t²+12)y²-6ty-27=0,

……12分

又A(-2,0),B(2,0),

……13分

……14分

高三数学答案第4页(共6页)(2025.10)

所以t=0时，四边形AMBN的面积最大，最大面积为6.……15分

此时直线MN的方程为x=1,与AB交于椭圆右焦点F₂,

则I

……16分

……17分

19.(1)由g(x)=0,得x=0,或x=-a,……1分

f'(x)=2x-3x²,令f'(x)=0,得x=0,或……2分

列表如下：

x(-∞,0)0

f'(x)一0+0一

f(x)单调递减0单调递增单调递减

所以函数f(x)的极值点为(……4分

由题意a=0,或……5分

(2)假设y轴上存在点R,使得POQR为矩形，则PQ的中点在y轴上，……6分

设P(x₀,x₀²-x。³)(x₀≠0),则Q(-x₀,x。²+xo³),……7分

因为OP·Q=0,

所!,即x。⁴-x。