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文档简介
专题6.1数列的概念与简单表示法(举一反三讲义)
【全国通用】
【题型1由an与Sn的关系求通项或项】...............................................................................................................4
【题型2累加法求通项公式】.................................................................................................................................5
【题型3累乘法求通项公式】.................................................................................................................................7
【题型4构造法求通项公式】.................................................................................................................................9
【题型5数列的周期性】.......................................................................................................................................11
【题型6数列的单调性】.......................................................................................................................................12
【题型7数列的最大(小)项】...........................................................................................................................14
【题型8数列中的规律问题】...............................................................................................................................17
【题型9递推数列问题】.......................................................................................................................................20
1、数列的概念与简单表示法
考点要求真题统计考情分析
数列是高考的热点内容,属于高考
(1)了解数列的概念和几种
的必考内容.从近几年的高考情况来看,
简单的表示方法(列表、图
2023年北京卷:第10题,4高考中对数列的概念的考查相对较少,
象、通项公式)
分考查题型以选择题、填空题为主,难度
(2)了解数列是自变量为正
不大,重点是考查数列的单调性、周期
整数的一类特殊函数
性与最值等内容.
知识点1数列的概念与基本知识
1.数列的定义
一般地,把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项,数列的第一个位
置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2表示
第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中第1项也叫做首项.
.数列的分类
⋯2⋯
分类标准名称含义举例
按项的个数有穷数列项数有限的数列1,2,3,…,n
无穷数列项数无限的数列1,0,1,0,1,0,…
从第2项起,每一项都大于它的前一
递增数列3,4,5,6,…,n+2
项的数列
从第2项起,每一项都小于它的前一
递减数列-1,-2,-3,…,-n
按项的变化趋势项的数列
常数列各项相等的数列0,0,0,0,…
从第2项起,有些项大于它的前一
摆动数列1,-2,3,-4,…
项,有些项小于它的前一项的数列
3.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数
列的通项公式.
4.数列的递推公式
(1)递推公式的概念
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子就叫做这个数列的递推
公式.
(2)对数列递推公式的理解
①与“不一定所有数列都有通项公式”一样,并不是所有的数列都有递推公式.
②递推公式是给出数列的一种方法.事实上,递推公式和通项公式一样,都是关于项的序号n的恒等式.如果
用符合要求的正整数依次去替换n,就可以求出数列的各项.
③用递推公式求出一个数列,必须给出:
基础——数列{an}的第1项(或前几项);
递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an-1()(或前几项)间的关系,并且这个关系可以用等
式来表示.
5.数列表示方法及其比较
优点缺点
一些数列用通项公式表示比较
通项公式法便于求出数列中任意指定的一项,
困难
利于对数列性质进行研究
内容具体、方法简单,给定项的序确切表示一个无穷数列或项数
列表法
号,易得相应项比较多的有穷数列时比较困难
能直观形象地表示出随着序号的变数列项数较多时用图象表示比
图象法
化,相应项的变化趋势较困难
可以揭示数列的一些性质,如前后不容易了解数列的全貌,计算也
递推公式法
几项之间的关系不方便
6.数列的前n项和
数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作,即.
如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个
数列的前n项和公式.
=.
知识点2数列的通项公式的求解策略
1.由an与Sn的关系求通项:
(1)已知Sn求an的常用方法是利用=转化为关于an的关系式,再求通项公式.
(2)Sn与an关系问题的求解思路
方向1:利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式,再求解.
方向2:利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an,an-1的关系式,再求解.
2.由数列的递推关系求通项公式:
(1)累加法:形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和,特别注意能消去多少项,保留多少项.
(2)累乘法:形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式,可用累乘法,也可用
代入求出通项.
(3)构造法:
①形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式,构成新的等比数列,求出通项公式,求变
量x是关键.
②形如(A,B,C为常数)的数列,可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.
知识点3数列的性质有关问题的解题策略
1.数列周期性问题的解题策略:
解决数列周期性问题,根据给出的关系式求出数列的若干项,通过观察归纳出数列的周期,进而求出有关
项的值或前n项和.
2.求数列最大项与最小项的常用方法
(1)函数法:利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性,直接确定最大(小)项,否则,利用
作差法.
(2)利用确定最大项,利用确定最小项.
【方法技巧与总结】
1.若数列{an}的前n项和为Sn,通项公式为an,则.
2.在数列{an}中,若an最大,则;若an最小,则.
【题型1由an与Sn的关系求通项或项】
【例1】(2025·北京丰台·二模)已知数列的前项和为,且满足,则()
A.B.0��C.1���D�.12=0,��+1+2��=��5=
【答案】B−1
【解题思路】根据题设与的递推关系式推导出,再根据求出,逐项求出
即可.��+1����+��+1=1�1=0�2=1�5
【解答过程】由题意,,则当时,有,
两式相减可得2��=−��+1+�,�即≥22��.−1=−��+�−1
当时,2��−��−1,=因��为−��+1+1,�所�以+��+1=,1
所以�=12�1=−�2+1�1=�1=0�.2=1
故选:�3B=.1−�2=0,�4=1−�3=1,�5=1−�4=0
【变式1-1】(2025·浙江宁波·三模)已知数列中,,记为的前项和,,则
的值为()���2=1�����2��=����2025
A.2023B.2024C.2025D.2026
【答案】B
【解题思路】根据题意,利用与的关系,推得,结合累乘法,即可求得的值,得到答案.
���−1
���−12025
【解答过程】数列中,满足��,当�时=,�可−2得,�
����−1�−1
两式相减,可得�2�=��,即�≥32�=,(�所−以1)�,
���−1
2��=���−(�−1)��−1(�−2)��=(�−1)��−1��−1=�−2
又由,则.
�3�4�2025232024
�2=1�2025=�2×�2×�3×⋯×�2024=1×1×2×⋯×2023=2024
故选:B.
【变式1-2】(2025·贵州遵义·二模)已知数列的前项和,则()
2
A.16B.17C�.�18���=�+D.�−191�1+�9=
【答案】D
【解题思路】根据给定条件,利用求出,即可计算即得.
【解答过程】依题意,�,�=��−��−1,�≥2�9,
22
�1=�1=1�9=�9−�8=(9+9−1)−(8+8−1)=18
所以.
故选:�1D+.�9=19
【变式1-3】(2024·福建漳州·一模)已知各项均不为0的数列的前项和为,若,则
�8
�����3��=��+1�7=
()
A.B.C.D.
1111
−2−323
【答案】A
【解题思路】根据与之间的关系分析可得,令即可得结果.
【解答过程】因为����,则2��+1=,−���=7
两式相减可得:3��=��+1,3即��+1=��+1+1,
令,可得3��+1=�,�+1−��2��+1=−��
87
且�=7,所以2�=−.�
�81
��≠0�7=−2
故选:A.
【题型2累加法求通项公式】
【例2】(2025高三·全国·专题练习)已知数列满足,,则()
11
���1=3��+1=��+�−�+1��=
A.B.C.D.
1111
4+�4−�2+�2−�
【答案】B
【解题思路】根据题意利用递推关系式由累加法计算可求得.
1
��=4−�
【解答过程】因为,所以,
1111
��+1=��+�−�+1��+1−��=�−�+1
所以当时,,,…,,
11111
�≥2�2−�1=1−2�3−�2=2−3��−��−1=�−1−�(�≥2)
累加可得,
111111
��−�1=�2−�1+�3−�2+⋯+��−��−1=1−2+2−3+⋯+�−1−�=1−�(�≥2)
因为,所以,当时,,满足上式,
11
�1=3��=1−�+3=4−�(�≥2)�=1�1=3
所以,
1
��=4−�
故选:B.
【变式2-1】(24-25高二上·山东枣庄·阶段练习)已知数列满足,,则()
1
���1=3��+1=��+��+1��=
A.B.C.D.
1111
4+�4−�2+�2−�
【答案】B
【解题思路】由,利用累加法可求通项公式.
11
��+1−��=�−�+1��
【解答过程】由题意可得,
111
��+1−��=��+1=�−�+1
所以,,…,,
111111
2132��−1
上式累�加−可�得=1−2�−�=2−3�−�=�−1−�
�12132��−1
�−�=�−�+�,−�+⋯⋯+�−�
1111111
=1−2+2−3+⋯⋯+�−1−�=1−�
又,所以.
1
�1=3��=4−�
故选:B.
【变式2-2】(2025·天津和平·三模)定义新运算:,已知数列满足,
��*
=��−�����∈��1=−14
,则()��
��+11
=10��10=
2��A.2239B.225C.211D.261
【答案】C
【解题思路】根据题可得,即可利用累加法求解通项得解.
�+1�
【解答过程】由�−可�得=5�,
��+11
=10�2��+1−2��=10�⇒��+1−��=5�
故2��2
��−1�−1�−221
累加�可−得�=5�−1,�−�=5�−2,⋯,�−�=5×1,,
1+�−1�−15��−1
��=5�−1+5�−2+⋯+5×1+�1=52−14=2−14
故,
5×10×9
�10=2−14=211
故选:C.
【变式2-3】(24-25高二上·江苏连云港·期中)如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法
商功》中,后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有个球,第二层有个球,第三层有个球,,设各⋅
层球数构成一个数列,则.()136⋅⋅⋅
���21=
A.B.C.D.
【答案】D58225210231
【解题思路】根据累加法求解出的通项公式,由此可求的值.
【解答过程】由题意可知��,�21
所以��−��−1=��≥2,
所以��−1−��−2=�−1,��−2−��−3=�−2,⋅⋅⋅,�2−�1=2,
��−1�−1�−221
所以�−�+�−,�所以+⋅⋅⋅+�−�=�+�−1,+⋅⋅⋅+2
2
�+2�−1�+�−2��+1
�1�
当�−时�,=2符合�的情=况,2+1=2
1
所以�=1�,=所1以�≥2,
��+122×21
�2212
故选:�D=.�==231
【题型3累乘法求通项公式】
【例3】(24-25高二下·广东深圳·阶段练习)在数列中,,,,则数列
�−1
�1��−1�
的通项公式为()��=1�=���≥2,�∈N�
A.B.C.D.
1212
2�−1��+1��+1
【答案】C
【解题思路】根据所给数列递推式,利用累乘法(迭代法)即可求得数列通项.
【解答过程】因,,则
�−1
��=���−1�≥2,�∈N
��−132
�����1
�=�−1⋅�−2⋯2⋅1⋅�
����,
12�−2�−11
=1×2×3×⋯×�−1×�=�
当时,符合题意,故数列的通项公式为.
1
�=1����=�
故选:C.
【变式3-1】(24-25高二下·河南南阳·阶段练习)已知数列的项满足,而,则()
�
����+1=�+2���1=1��=
A.B.C.D.
2211
2�
�+1��+12−12�−1
【答案】B
【解题思路】依题意可得,利用累乘法计算可得.
��+1�
��=�+2
【解答过程】因为,所以,
���+1�
��+1=�+2����=�+2
则,,,,,,
�21�32�43�54���−1
�1=3�2=4�3=5�4=6⋯⋯��−1=�+1
累乘可得,
�2�3�4�5��1234�−1
�1×�2×�3×�4×⋯×��−1=3×4×5×6×⋯×�+1
所以,又,所以,
��1×22
�1=��+1�1=1��=��+1
经检验时也成立,
2
�=1��=��+1
所以.
2
��=��+1
故选:B.
【变式3-2】(24-25高二上·重庆九龙坡·期末)已知,,则数列的通项公式是
()�1=2��=���+1−������=
A.nB.C.2nD.
�+1�
�
【答案】C�+1
【解题思路】根据题意可得,再利用累乘法计算可得;
��+1�+1
�
【解答过程】解:由�=�,得,
��+1���+1
即,�=��−��+1�=��
��+1�+1
��=�
则,,,…,,
�����−1�−1��−2�−2�22
��−1=�−1��−2=�−2��−3=�−3�1=1
由累乘法可得,因为,所以,
��
�1=��1=2��=2�
故选:C.
【变式3-3】(24-25高二上·河南鹤壁·阶段练习)设数列的前n项和为,且为常数列,
则()�����1=1,��+���
�
�A=.B.C.D.
1225−2�
�−1
3�(�+1)(�+1)(�+2)3
【答案】B
【解题思路】由条件可得,然后可得,然后用累乘法求出答案即可.
��+1�
���+1�+1���+2
【解答过程】因为数列�+��是=常�数列+,(所�+以1)�=,
�����+1�+1
因为,�所+以��,�即+��=�,+(�+1)�
��+1�
��+1=��+1−�����=(�+2)��+1��=�+2
所以当时,
����−1��−2�3�2�−1�−2�−3212
�≥2��=��−1⋅��−2⋅��−3⋯⋅�2⋅�1⋅�1=�+1⋅�⋅�−1…⋅4×3×1=�(�+1)
时也满足上式,所以.
2
�=1��=�(�+1)
故选:B.
【题型4构造法求通项公式】
【例4】(2024·广东茂名·一模)已知为正项数列的前项的乘积,且,则()
2�+1
A.16B.32��C.64���D.12�81=2,��=���5=
【答案】B
【解题思路】利用给定的递推公式,结合对数运算变形,再构造常数列求出通项即可得解.
【解答过程】由,得,于是,则,
2�+2
2�+22��+1��+1�
2�+12�+1�+1
��=����+1=��+1��+1=��=����+1=��
两边取对数得,因此,数列是常数列,
lg��+1lg��lg��
�lg��+1=(�+1)lg���+1=�{�}
则,即,所以,.
1
lg��lg���
�=1=lg2lg��=�lg2=lg2��=2�5=32
故选:B.
【变式4-1】(2025高二·全国·专题练习)已知数列满足,且,则的通项公式为
2
��+1�1�
()��=3�+4�=1�
A.B.
2�−12�+2
��=12−3��=3
C.D.
2�−12�−1
��
【答案】�C=12−11×3�=8+3
【解题思路】给两边同时加一个数,构造成等比数列,然后利用等比数列的通项公式求解
2
��+1=3��+4���
的通项公式即可.
【解答过程】设,即,
221
��+1+�=3��+���+1=3��−3�
所以,解得,
1
−3�=4�=−12
所以,
2
��+1−12=3��−12
所以是首项为,公比为的等比数列,
2
��−12�1−12=−113
所以,
2�−1
��−12=−11×3
所以.
2�−1
�
故选:�C=.12−11×3
【变式4-2】(24-25高二上·陕西西安·期中)已知数列满足,,,则()
��∗
���1=1��+1=4��+1(�∈�)��=
A.B.C.D.
112�−11
��=���=2�−1��=4�−3��=4�−3
【答案】D
【解题思路】取倒数法求通项,将变形可得数列为等差数列,计算即可得.
��1
��+1=4��+1��
【解答过程】,即,
��14��+11
��+1=4��+1��+1=��=4+��
可得,又,
11
��+1−��=4�1=1
即有数列是首项为1,公差为4的等差数列,
1
��
可得,
1
��=1+4�−1=4�−3
即.
1
��=4�−3
故选:D.
【变式4-3】(24-25高二下·山西晋中·阶段练习)若数列的首项,且满足,则数列
的通项公式为()���1=1��+1=2��+1
��A.B.
��−1
C.��=2−1D.��=2−1
�+1�
【答案】�A�=2−1��=2−2
【解题思路】利用构造法可得数列是以为首项,以为公比的等比数列,根据等比数列的
通项公式可得结果.��+1�1+1=22
【解答过程】∵,
��+1=2��+1
∴,即,
��+1+1
�+1��
∴数�列+1=2是�以+1�+为1首=项2,以为公比的等比数列,
∴��+1�1+1,=22
�−1�
∴��+1=2×.2=2
�
故选��:=A2.−1
【题型5数列的周期性】
【例5】(2025·河南·模拟预测)已知数列满足,,且对任意
,,则�(�1)=−1�2=−8
∗
��+1�+1�2025
�∈�A.��+2�B.=�+��=C.D.
35
−8−122
【答案】D
【解题思路】首先令求出m的值,再求出数列的周期,结合周期即可求得,则答案可求.
【解答过程】令�可=得1,�2025
代入数据得:�=1�1�2+2�2=�1+�,解得,
所以−1×−8+2×−8=−1+�,�=−7
��+1�+1�+1��
令��,解+得2�=,�令�+,2解得=�−7,令,解得,,
5
�=2�3=2�=3�4=−1�=4�5=−8⋯
可得数列的周期为3,则,
5
���2025=�3×675=�3=2
故选:D.
【变式5-1】(2025·天津南开·二模)若数列满足,且则
��+1−��,��+1≥��,
���1=2,�2=1��+2=��
的前2025项的和为()��−��+1,��+1<��,
A.1350B.1352C.2025D.2026
【答案】B
【解题思路】由数列的递推公式可得数列可以看作以为一个周期的数列,然后代入计算,即可
得到结果.���2,�3,�4
【解答过程】由题意可得,
因为,所以�3=�1−�2,=1
因为�3=�2,所以�4=�3−�2=0,
因为�4<�3,所以�5=�3−�4=1,
�5>�4�6=�5−�4=1
因为,所以,,
所以数�6列=�5从第二�项7=起�是6−以�15,=10,0⋯为周期的数列,
则��.
故选�20:25B=.�1+674�2+�3+�4+�2024+�2025=2+674×2+1+1=1352
【变式5-2】(2025·湖南·模拟预测)在数列中,,且,则()
1+��
���1=3��+1=1−���2025=
A.3B.-2C.D.
11
−32
【答案】A
【解题思路】由递推关系求前几项的值,判断出数列是以4为周期的数列,利用周期性求出.
�2025
【解答过程】数列中,,且,��
1+��
���1=3��+1=1−��
则,,,,,,
11
�1=3�2=−2�3=−3�4=2�5=3⋯
所以,即数列是以4为周期的数列,
所以��+4=����,
故选:�20A2.5=�4×506+1=�1=3
【变式5-3】(2025·湖北·二模)若数列满足,,则该数列的前2025项的乘积
1+��∗
�1�+11−��
是()��=2�=�∈N
A.B.
C.2−2D.−11
【答案】C
【解题思路】求出该数列的周期和一周期内的乘积即可得到答案.
【解答过程】因为数列满足,,所以,
1+��∗1+�11+2
���1=2��+1=1−���∈N�2=1−�1=1−2=−3
同理可得,所以数列{an}的周期为4,即,
11
345�+4�
且�=−2,�,=而3,�=2,…,�=�
所以�1该⋅�数2⋅列�3的⋅前�42=0125项的2乘02积5=是506×4+1.
506
故选:C.�1⋅�2⋅�3⋅�4⋅…⋅�2025=1×�1=2
【题型6数列的单调性】
【例6】(2025·天津·二模)已知是一个无穷数列,“”是“为递增数列”的()
���2>�1��
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解题思路】根据递增数列的概念及充分、必要条件的定义判断即可.
【解答过程】递增数列是指一个数列从第二项起,每一项都大于它的前一项,即.
∗
若是摆动数列,可能有,但是不是递增数列,则仅不能推�出�+1>为��递�增∈数N列,但
为递��增数列可以推出�.2>�1���2>�1����
所以“”是“�为2>递�增1数列”的必要不充分条件.
故选:�B2.>�1��
【变式6-1】(2024·贵州·模拟预测)已知数列满足,则“数列是递增数列”的充要
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