2026年高考数学一轮复习专题6.1 数列的概念与简单表示法(举一反三讲义)(全国)(解析版)_第1页
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文档简介

专题6.1数列的概念与简单表示法(举一反三讲义)

【全国通用】

【题型1由an与Sn的关系求通项或项】...............................................................................................................4

【题型2累加法求通项公式】.................................................................................................................................5

【题型3累乘法求通项公式】.................................................................................................................................7

【题型4构造法求通项公式】.................................................................................................................................9

【题型5数列的周期性】.......................................................................................................................................11

【题型6数列的单调性】.......................................................................................................................................12

【题型7数列的最大(小)项】...........................................................................................................................14

【题型8数列中的规律问题】...............................................................................................................................17

【题型9递推数列问题】.......................................................................................................................................20

1、数列的概念与简单表示法

考点要求真题统计考情分析

数列是高考的热点内容,属于高考

(1)了解数列的概念和几种

的必考内容.从近几年的高考情况来看,

简单的表示方法(列表、图

2023年北京卷:第10题,4高考中对数列的概念的考查相对较少,

象、通项公式)

分考查题型以选择题、填空题为主,难度

(2)了解数列是自变量为正

不大,重点是考查数列的单调性、周期

整数的一类特殊函数

性与最值等内容.

知识点1数列的概念与基本知识

1.数列的定义

一般地,把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项,数列的第一个位

置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2表示

第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中第1项也叫做首项.

.数列的分类

⋯2⋯

分类标准名称含义举例

按项的个数有穷数列项数有限的数列1,2,3,…,n

无穷数列项数无限的数列1,0,1,0,1,0,…

从第2项起,每一项都大于它的前一

递增数列3,4,5,6,…,n+2

项的数列

从第2项起,每一项都小于它的前一

递减数列-1,-2,-3,…,-n

按项的变化趋势项的数列

常数列各项相等的数列0,0,0,0,…

从第2项起,有些项大于它的前一

摆动数列1,-2,3,-4,…

项,有些项小于它的前一项的数列

3.数列的通项公式

如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数

列的通项公式.

4.数列的递推公式

(1)递推公式的概念

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子就叫做这个数列的递推

公式.

(2)对数列递推公式的理解

①与“不一定所有数列都有通项公式”一样,并不是所有的数列都有递推公式.

②递推公式是给出数列的一种方法.事实上,递推公式和通项公式一样,都是关于项的序号n的恒等式.如果

用符合要求的正整数依次去替换n,就可以求出数列的各项.

③用递推公式求出一个数列,必须给出:

基础——数列{an}的第1项(或前几项);

递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an-1()(或前几项)间的关系,并且这个关系可以用等

式来表示.

5.数列表示方法及其比较

优点缺点

一些数列用通项公式表示比较

通项公式法便于求出数列中任意指定的一项,

困难

利于对数列性质进行研究

内容具体、方法简单,给定项的序确切表示一个无穷数列或项数

列表法

号,易得相应项比较多的有穷数列时比较困难

能直观形象地表示出随着序号的变数列项数较多时用图象表示比

图象法

化,相应项的变化趋势较困难

可以揭示数列的一些性质,如前后不容易了解数列的全貌,计算也

递推公式法

几项之间的关系不方便

6.数列的前n项和

数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作,即.

如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个

数列的前n项和公式.

=.

知识点2数列的通项公式的求解策略

1.由an与Sn的关系求通项:

(1)已知Sn求an的常用方法是利用=转化为关于an的关系式,再求通项公式.

(2)Sn与an关系问题的求解思路

方向1:利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式,再求解.

方向2:利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an,an-1的关系式,再求解.

2.由数列的递推关系求通项公式:

(1)累加法:形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和,特别注意能消去多少项,保留多少项.

(2)累乘法:形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式,可用累乘法,也可用

代入求出通项.

(3)构造法:

①形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式,构成新的等比数列,求出通项公式,求变

量x是关键.

②形如(A,B,C为常数)的数列,可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.

知识点3数列的性质有关问题的解题策略

1.数列周期性问题的解题策略:

解决数列周期性问题,根据给出的关系式求出数列的若干项,通过观察归纳出数列的周期,进而求出有关

项的值或前n项和.

2.求数列最大项与最小项的常用方法

(1)函数法:利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性,直接确定最大(小)项,否则,利用

作差法.

(2)利用确定最大项,利用确定最小项.

【方法技巧与总结】

1.若数列{an}的前n项和为Sn,通项公式为an,则.

2.在数列{an}中,若an最大,则;若an最小,则.

【题型1由an与Sn的关系求通项或项】

【例1】(2025·北京丰台·二模)已知数列的前项和为,且满足,则()

A.B.0��C.1���D�.12=0,��+1+2��=��5=

【答案】B−1

【解题思路】根据题设与的递推关系式推导出,再根据求出,逐项求出

即可.��+1����+��+1=1�1=0�2=1�5

【解答过程】由题意,,则当时,有,

两式相减可得2��=−��+1+�,�即≥22��.−1=−��+�−1

当时,2��−��−1,=因��为−��+1+1,�所�以+��+1=,1

所以�=12�1=−�2+1�1=�1=0�.2=1

故选:�3B=.1−�2=0,�4=1−�3=1,�5=1−�4=0

【变式1-1】(2025·浙江宁波·三模)已知数列中,,记为的前项和,,则

的值为()���2=1�����2��=����2025

A.2023B.2024C.2025D.2026

【答案】B

【解题思路】根据题意,利用与的关系,推得,结合累乘法,即可求得的值,得到答案.

���−1

���−12025

【解答过程】数列中,满足��,当�时=,�可−2得,�

����−1�−1

两式相减,可得�2�=��,即�≥32�=,(�所−以1)�,

���−1

2��=���−(�−1)��−1(�−2)��=(�−1)��−1��−1=�−2

又由,则.

�3�4�2025232024

�2=1�2025=�2×�2×�3×⋯×�2024=1×1×2×⋯×2023=2024

故选:B.

【变式1-2】(2025·贵州遵义·二模)已知数列的前项和,则()

2

A.16B.17C�.�18���=�+D.�−191�1+�9=

【答案】D

【解题思路】根据给定条件,利用求出,即可计算即得.

【解答过程】依题意,�,�=��−��−1,�≥2�9,

22

�1=�1=1�9=�9−�8=(9+9−1)−(8+8−1)=18

所以.

故选:�1D+.�9=19

【变式1-3】(2024·福建漳州·一模)已知各项均不为0的数列的前项和为,若,则

�8

�����3��=��+1�7=

()

A.B.C.D.

1111

−2−323

【答案】A

【解题思路】根据与之间的关系分析可得,令即可得结果.

【解答过程】因为����,则2��+1=,−���=7

两式相减可得:3��=��+1,3即��+1=��+1+1,

令,可得3��+1=�,�+1−��2��+1=−��

87

且�=7,所以2�=−.�

�81

��≠0�7=−2

故选:A.

【题型2累加法求通项公式】

【例2】(2025高三·全国·专题练习)已知数列满足,,则()

11

���1=3��+1=��+�−�+1��=

A.B.C.D.

1111

4+�4−�2+�2−�

【答案】B

【解题思路】根据题意利用递推关系式由累加法计算可求得.

1

��=4−�

【解答过程】因为,所以,

1111

��+1=��+�−�+1��+1−��=�−�+1

所以当时,,,…,,

11111

�≥2�2−�1=1−2�3−�2=2−3��−��−1=�−1−�(�≥2)

累加可得,

111111

��−�1=�2−�1+�3−�2+⋯+��−��−1=1−2+2−3+⋯+�−1−�=1−�(�≥2)

因为,所以,当时,,满足上式,

11

�1=3��=1−�+3=4−�(�≥2)�=1�1=3

所以,

1

��=4−�

故选:B.

【变式2-1】(24-25高二上·山东枣庄·阶段练习)已知数列满足,,则()

1

���1=3��+1=��+��+1��=

A.B.C.D.

1111

4+�4−�2+�2−�

【答案】B

【解题思路】由,利用累加法可求通项公式.

11

��+1−��=�−�+1��

【解答过程】由题意可得,

111

��+1−��=��+1=�−�+1

所以,,…,,

111111

2132��−1

上式累�加−可�得=1−2�−�=2−3�−�=�−1−�

�12132��−1

�−�=�−�+�,−�+⋯⋯+�−�

1111111

=1−2+2−3+⋯⋯+�−1−�=1−�

又,所以.

1

�1=3��=4−�

故选:B.

【变式2-2】(2025·天津和平·三模)定义新运算:,已知数列满足,

��*

=��−�����∈��1=−14

,则()��

��+11

=10��10=

2��A.2239B.225C.211D.261

【答案】C

【解题思路】根据题可得,即可利用累加法求解通项得解.

�+1�

【解答过程】由�−可�得=5�,

��+11

=10�2��+1−2��=10�⇒��+1−��=5�

故2��2

��−1�−1�−221

累加�可−得�=5�−1,�−�=5�−2,⋯,�−�=5×1,,

1+�−1�−15��−1

��=5�−1+5�−2+⋯+5×1+�1=52−14=2−14

故,

5×10×9

�10=2−14=211

故选:C.

【变式2-3】(24-25高二上·江苏连云港·期中)如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法

商功》中,后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有个球,第二层有个球,第三层有个球,,设各⋅

层球数构成一个数列,则.()136⋅⋅⋅

���21=

A.B.C.D.

【答案】D58225210231

【解题思路】根据累加法求解出的通项公式,由此可求的值.

【解答过程】由题意可知��,�21

所以��−��−1=��≥2,

所以��−1−��−2=�−1,��−2−��−3=�−2,⋅⋅⋅,�2−�1=2,

��−1�−1�−221

所以�−�+�−,�所以+⋅⋅⋅+�−�=�+�−1,+⋅⋅⋅+2

2

�+2�−1�+�−2��+1

�1�

当�−时�,=2符合�的情=况,2+1=2

1

所以�=1�,=所1以�≥2,

��+122×21

�2212

故选:�D=.�==231

【题型3累乘法求通项公式】

【例3】(24-25高二下·广东深圳·阶段练习)在数列中,,,,则数列

�−1

�1��−1�

的通项公式为()��=1�=���≥2,�∈N�

A.B.C.D.

1212

2�−1��+1��+1

【答案】C

【解题思路】根据所给数列递推式,利用累乘法(迭代法)即可求得数列通项.

【解答过程】因,,则

�−1

��=���−1�≥2,�∈N

��−132

�����1

�=�−1⋅�−2⋯2⋅1⋅�

����,

12�−2�−11

=1×2×3×⋯×�−1×�=�

当时,符合题意,故数列的通项公式为.

1

�=1����=�

故选:C.

【变式3-1】(24-25高二下·河南南阳·阶段练习)已知数列的项满足,而,则()

����+1=�+2���1=1��=

A.B.C.D.

2211

2�

�+1��+12−12�−1

【答案】B

【解题思路】依题意可得,利用累乘法计算可得.

��+1�

��=�+2

【解答过程】因为,所以,

���+1�

��+1=�+2����=�+2

则,,,,,,

�21�32�43�54���−1

�1=3�2=4�3=5�4=6⋯⋯��−1=�+1

累乘可得,

�2�3�4�5��1234�−1

�1×�2×�3×�4×⋯×��−1=3×4×5×6×⋯×�+1

所以,又,所以,

��1×22

�1=��+1�1=1��=��+1

经检验时也成立,

2

�=1��=��+1

所以.

2

��=��+1

故选:B.

【变式3-2】(24-25高二上·重庆九龙坡·期末)已知,,则数列的通项公式是

()�1=2��=���+1−������=

A.nB.C.2nD.

�+1�

【答案】C�+1

【解题思路】根据题意可得,再利用累乘法计算可得;

��+1�+1

【解答过程】解:由�=�,得,

��+1���+1

即,�=��−��+1�=��

��+1�+1

��=�

则,,,…,,

�����−1�−1��−2�−2�22

��−1=�−1��−2=�−2��−3=�−3�1=1

由累乘法可得,因为,所以,

��

�1=��1=2��=2�

故选:C.

【变式3-3】(24-25高二上·河南鹤壁·阶段练习)设数列的前n项和为,且为常数列,

则()�����1=1,��+���

�A=.B.C.D.

1225−2�

�−1

3�(�+1)(�+1)(�+2)3

【答案】B

【解题思路】由条件可得,然后可得,然后用累乘法求出答案即可.

��+1�

���+1�+1���+2

【解答过程】因为数列�+��是=常�数列+,(所�+以1)�=,

�����+1�+1

因为,�所+以��,�即+��=�,+(�+1)�

��+1�

��+1=��+1−�����=(�+2)��+1��=�+2

所以当时,

����−1��−2�3�2�−1�−2�−3212

�≥2��=��−1⋅��−2⋅��−3⋯⋅�2⋅�1⋅�1=�+1⋅�⋅�−1…⋅4×3×1=�(�+1)

时也满足上式,所以.

2

�=1��=�(�+1)

故选:B.

【题型4构造法求通项公式】

【例4】(2024·广东茂名·一模)已知为正项数列的前项的乘积,且,则()

2�+1

A.16B.32��C.64���D.12�81=2,��=���5=

【答案】B

【解题思路】利用给定的递推公式,结合对数运算变形,再构造常数列求出通项即可得解.

【解答过程】由,得,于是,则,

2�+2

2�+22��+1��+1�

2�+12�+1�+1

��=����+1=��+1��+1=��=����+1=��

两边取对数得,因此,数列是常数列,

lg��+1lg��lg��

�lg��+1=(�+1)lg���+1=�{�}

则,即,所以,.

1

lg��lg���

�=1=lg2lg��=�lg2=lg2��=2�5=32

故选:B.

【变式4-1】(2025高二·全国·专题练习)已知数列满足,且,则的通项公式为

2

��+1�1�

()��=3�+4�=1�

A.B.

2�−12�+2

��=12−3��=3

C.D.

2�−12�−1

��

【答案】�C=12−11×3�=8+3

【解题思路】给两边同时加一个数,构造成等比数列,然后利用等比数列的通项公式求解

2

��+1=3��+4���

的通项公式即可.

【解答过程】设,即,

221

��+1+�=3��+���+1=3��−3�

所以,解得,

1

−3�=4�=−12

所以,

2

��+1−12=3��−12

所以是首项为,公比为的等比数列,

2

��−12�1−12=−113

所以,

2�−1

��−12=−11×3

所以.

2�−1

故选:�C=.12−11×3

【变式4-2】(24-25高二上·陕西西安·期中)已知数列满足,,,则()

��∗

���1=1��+1=4��+1(�∈�)��=

A.B.C.D.

112�−11

��=���=2�−1��=4�−3��=4�−3

【答案】D

【解题思路】取倒数法求通项,将变形可得数列为等差数列,计算即可得.

��1

��+1=4��+1��

【解答过程】,即,

��14��+11

��+1=4��+1��+1=��=4+��

可得,又,

11

��+1−��=4�1=1

即有数列是首项为1,公差为4的等差数列,

1

��

可得,

1

��=1+4�−1=4�−3

即.

1

��=4�−3

故选:D.

【变式4-3】(24-25高二下·山西晋中·阶段练习)若数列的首项,且满足,则数列

的通项公式为()���1=1��+1=2��+1

��A.B.

��−1

C.��=2−1D.��=2−1

�+1�

【答案】�A�=2−1��=2−2

【解题思路】利用构造法可得数列是以为首项,以为公比的等比数列,根据等比数列的

通项公式可得结果.��+1�1+1=22

【解答过程】∵,

��+1=2��+1

∴,即,

��+1+1

�+1��

∴数�列+1=2是�以+1�+为1首=项2,以为公比的等比数列,

∴��+1�1+1,=22

�−1�

∴��+1=2×.2=2

故选��:=A2.−1

【题型5数列的周期性】

【例5】(2025·河南·模拟预测)已知数列满足,,且对任意

,,则�(�1)=−1�2=−8

��+1�+1�2025

�∈�A.��+2�B.=�+��=C.D.

35

−8−122

【答案】D

【解题思路】首先令求出m的值,再求出数列的周期,结合周期即可求得,则答案可求.

【解答过程】令�可=得1,�2025

代入数据得:�=1�1�2+2�2=�1+�,解得,

所以−1×−8+2×−8=−1+�,�=−7

��+1�+1�+1��

令��,解+得2�=,�令�+,2解得=�−7,令,解得,,

5

�=2�3=2�=3�4=−1�=4�5=−8⋯

可得数列的周期为3,则,

5

���2025=�3×675=�3=2

故选:D.

【变式5-1】(2025·天津南开·二模)若数列满足,且则

��+1−��,��+1≥��,

���1=2,�2=1��+2=��

的前2025项的和为()��−��+1,��+1<��,

A.1350B.1352C.2025D.2026

【答案】B

【解题思路】由数列的递推公式可得数列可以看作以为一个周期的数列,然后代入计算,即可

得到结果.���2,�3,�4

【解答过程】由题意可得,

因为,所以�3=�1−�2,=1

因为�3=�2,所以�4=�3−�2=0,

因为�4<�3,所以�5=�3−�4=1,

�5>�4�6=�5−�4=1

因为,所以,,

所以数�6列=�5从第二�项7=起�是6−以�15,=10,0⋯为周期的数列,

则��.

故选�20:25B=.�1+674�2+�3+�4+�2024+�2025=2+674×2+1+1=1352

【变式5-2】(2025·湖南·模拟预测)在数列中,,且,则()

1+��

���1=3��+1=1−���2025=

A.3B.-2C.D.

11

−32

【答案】A

【解题思路】由递推关系求前几项的值,判断出数列是以4为周期的数列,利用周期性求出.

�2025

【解答过程】数列中,,且,��

1+��

���1=3��+1=1−��

则,,,,,,

11

�1=3�2=−2�3=−3�4=2�5=3⋯

所以,即数列是以4为周期的数列,

所以��+4=����,

故选:�20A2.5=�4×506+1=�1=3

【变式5-3】(2025·湖北·二模)若数列满足,,则该数列的前2025项的乘积

1+��∗

�1�+11−��

是()��=2�=�∈N

A.B.

C.2−2D.−11

【答案】C

【解题思路】求出该数列的周期和一周期内的乘积即可得到答案.

【解答过程】因为数列满足,,所以,

1+��∗1+�11+2

���1=2��+1=1−���∈N�2=1−�1=1−2=−3

同理可得,所以数列{an}的周期为4,即,

11

345�+4�

且�=−2,�,=而3,�=2,…,�=�

所以�1该⋅�数2⋅列�3的⋅前�42=0125项的2乘02积5=是506×4+1.

506

故选:C.�1⋅�2⋅�3⋅�4⋅…⋅�2025=1×�1=2

【题型6数列的单调性】

【例6】(2025·天津·二模)已知是一个无穷数列,“”是“为递增数列”的()

���2>�1��

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解题思路】根据递增数列的概念及充分、必要条件的定义判断即可.

【解答过程】递增数列是指一个数列从第二项起,每一项都大于它的前一项,即.

若是摆动数列,可能有,但是不是递增数列,则仅不能推�出�+1>为��递�增∈数N列,但

为递��增数列可以推出�.2>�1���2>�1����

所以“”是“�为2>递�增1数列”的必要不充分条件.

故选:�B2.>�1��

【变式6-1】(2024·贵州·模拟预测)已知数列满足,则“数列是递增数列”的充要

�+�−1

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