重难点07 函数的综合探究及应用（新函数问题、函数与几何结合问题、函数实际应用问题）（原卷版）

重难点07函数的综合探究及应用（新函数问题、函数与几何结合问题、函数实际应用问题）题型解读｜模型构建｜真题强化训练｜模拟通关试练了解和掌握新函数的图象和性质出题形式和考试方向；学会运用新函数的相关性质进行研究；了解和掌握含绝对值的新函数、分段函数及与函数结合的实际应用是本专题知识点的关键。新函数图象与性质的探究题型既考查学生对于函数图象与性质的理解，又考查学生对实际问题和几何图形的分析能力以及作图能力，新函数图象与性质的探究题大致可归纳为3种类型：(1)函数图象的变形；(2)实际情景中新函数图象与性质的探究；(3)与几何结合的新函数的图象与性质．本专题主要对新函数图象探究题型进行总结，对其解法进行归纳总结，所选题型为近几年期末考试中的常考题型。模型01新函数问题考｜向｜预｜测新函数问题该题型近年主要以解答题型出现，解决这类问题的关键是对初中阶段学习的一次函数、反比例函数、二次函数的定义图象和性质充分了解，然后结合几类函数的图形和性质特点进行演变分析。在所学函数的基础上构建新的函数形式，对对应变量的函数关系进行有关函数图象及性质的探究及运用。答｜题｜技｜巧1.观察新函数特点（表达式特点、图象特点），结合所学基本函数特征进行分析；2.确定函数图象（注意列表、描点、）；3.结合函数性质进行研究（对称性、增减性、最值）；4.对对应变量的函数关系进行有关函数图象及性质的探究及运用；1．（2023·广西）中考新考法：注重过程性学习，某数学小组在研究函数时，对函数的图象进行了探究，探究过程如下：…123……3461…

(1)①与的几组对应值如下表，请补全表格；②在上图平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的图象；(2)我们知道，函数的图象是由二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到的．类似地，请直接写出将的图象经过怎样的平移可以得到的图象；(3)若一次函数的图象与函数的图象交于两点，连接，求的面积．1．阅读下列材料，解答相应的问题：研究函数的图象一般要研究其形状、位置、图象特征（如对称性）．借助图象我们可以直观地得到函数的性质．例如，在研究正比例函数的图象时，通过列表、描点、连线等步骤，得到如下结论：①的图象是经过原点的一条直线；②的图象经过坐标系的第一、三象限．小文借鉴研究正比例函数的经验，对新函数的图象展开探究，过程如下．①根据函数表达式列表：…0123……0246…②在如图所示的坐标系中描点、连线，画出函数的图象．

(1)请你将小文列表、描点、连线的过程补充完整；(2)请从A，B两题中任选一题作答，我选择题．A．根据小文的探索过程，类比研究图象时得到的结论，写出函数图象的两个结论．B．小文类比探索函数图象的过程，借助下面的平面直角坐标系，进一步研究函数（为常数，且）的图象．他从特殊到一般选取，，，…等具体情况，通过列表、描点、连线等步骤，画出它们的图象，并归纳出函数图象的一般结论，请你帮他总结得到的结论．（写出任意两条即可）2．小明在积累了学习函数的经验之后，自主探究学习了一个新函数：．小明首先观察函数表达式，确定此函数的自变量的取值范围，之后列表求值，画出函数图象，研究函数的性质．请你协助小明完成下列问题：（1）自变量的取值范围；（2）列表求值．请你协助小明补全表格：············（3）请你画出函数的大致图象，并试着写出它的两条性质．性质：．

3．已知函数与函数定义新函数（1）若则新函数；（2）若新函数的解析式为则，；（3）设新函数顶点为．①当为何值时，有最大值，并求出最大值；②求与的函数解析式；（4）请你探究：函数与新函数分别经过定点，函数的顶点为，新函数上存在一点，使得以点为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出的值．4．在初三阶段，我们要研究一个新函数：二次函数，在此前，我们研究过一次函数和反比例函数，那么如何研究一个新函数呢？现在做如下探究：探究课题：探究函数的图象与性质．方法1：运用已学关于根式，分式的知识．（1）函数的自变量x的取值范围是；方法2：列表法借助图像性质．（2）下表是y与x的几组对应值．其中_____________x1234…y0m…如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；方法3：分析图像的增减性：．模型02函数与几何结合问题考｜向｜预｜测函数与几何结合问题主要是借助函数模型进行探究几何问题，对实际几何问题中抽象出对应变量的函数关系进行有关函数图象及性质的探究及运用。该题型在考试中主要以解答题的形式出现，具有一定的难度，除了考查学生对几何有关图形性质、定理知识外，对函数的图象与性质等也需要真正理解，充分体现了数学与实际生活的密切联系，属于中考的一种常考题型。答｜题｜技｜巧理解题意，找到实际情境的数学模型；从学过的基础函数入手，建立函数关系；利用函数的性质，从特殊到一般的探究学习；按照题意设计灵活运用所学知识逐次解决问题。1．（2023·湖南）【教材再现】：北师大版九年级上册数学教材第122页第21题：“怎样把一块三角形的木板加工成一个面积最大的正方形桌面？”某小组同学对此展开了思考．（1）若木板的形状是如图（甲）所示的直角三角形，，，根据“相似三角形对应的高的比等于相似比”可以求得此时正方形的边长是________．【问题解决】：若木板是面积仍然为的锐角三角形，按照如图（乙）所示的方式加工，记所得的正方形的面积为，如何求的最大值呢？某学习小组做了如下思考：设，，边上的高，则，，由得：，从而可以求得，若要内接正方形面积最大，即就是求的最大值，因为为定值，因此只需要分母最小即可．（2）小组同学借鉴研究函数的经验，令．探索函数的图象和性质：①下表列出了与的几组对应值，其中________．…1234……44…②在如图（丙）所示的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象；③结合表格观察函数图象，以下说法正确的是A．当时，随的增大而增大．B．该函数的图象可能与坐标轴相交．C．该函数图象关于直线对称．D．当该函数取最小值时，所对应的自变量的取值范围在之间．1．研究发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的．讲课开始时，学生的注意力激增，中间有一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数随时间变化的函数图象如图所示(越大表示学生注意力越集中)．当时，图象是抛物线的一部分；当和时，图象是线段．根据图象回答问题：(1)课堂上，学生注意力保持平稳状态的时间段是_______．(2)结合函数图象回答，一道几何综合题如果需要讲25分钟，老师最好在上课后大约第______分钟到第________分钟讲这道题，能使学生处于注意力比较集中的听课状态．2．有这样一个问题，如图1，在等边中，，为的中点，，分别是边，上的动点，且，若，试求的长．爱钻研的小峰同学发现，可以通过几何与函数相结合的方法来解决这个问题，下面是他的探究思路，请帮他补充完整．（1）注意到为等边三角形，且，可得，于是可证，进而可得，注意到为中点，，因此和满足的等量关系为______．（2）设，，则的取值范围是______．结合（1）中的关系求与的函数关系．（3）在平面直角坐标系中，根据已有的经验画出与的函数图象，请在图2中完成画图．（4）回到原问题，要使，即为，利用（3）中的图象，通过测量，可以得到原问题的近似解为______（精确到0.1）3．从特殊出发：如图1，在ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任意一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，求证：PD+PE=CF．小明的证明思路：如图2，连接AP，由ABP与ACP面积之和等于ABC的面积可以证得PD+PE=CF（不需写出证明过程）．变化一下：（1）如图3，当点P在BC的延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想PD、PE和CF的关系，并证明．从几何到函数：如图4，在平面直角坐标系中有两条直线l1、l2，分别是函数和的图像，l1、l2与x轴的交点分别为A、B．（2）两条直线恰好相交于y轴上的点C，点C的坐标是；（3）说明ABC是等腰三角形；（4）若l2上的一点M到l1的距离是1，运用上面的结论，求点M的坐标．4．如图．在等边中．为的中点分别是边上的动点．且．爱钻研的小峰同学发现，可以通过几何与函数相结合的方法根据以上条件来探究一些问题．探究过程：（1）用几何的方法，可得出和满足的等量关系为________，并说明理由；（2）设，则与之间的函数解析式为_______，自变量的取值范围为____；（3）在平面直角坐标系中，根据已有的经验画出与的函数图象，请在图2中完成画图．解决问题：（4）是否存在的值，使得?请利用中的函数图象进行说明．模型03函数实际应用问题考｜向｜预｜测函数实际应用问题通过对实际情景问题中抽象出对应变量的函数关系进行有关函数图象及性质的探究及运用．考查学生对几何有关图形性质、定理知识以及函数的图象等知识的综合掌握和运用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，属于中考的一种常考题型。答｜题｜技｜巧1.理解题意，找到实际情境的数学模型；2.从学过的基础函数入手，建立函数关系；3.利用函数的性质，从特殊到一般的探究学习；4.按照题意设计灵活运用所学知识逐次解决问题；例1．（2023·山东）【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度流水时间010203040水面高度（观察值）302928.12725.8任务1：分别计算表中每隔水面高度观察值的变化量．【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀任务2：利用时，；时，，求出h关于t的函数解析式；【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值与表中观察值偏差的平方和记为w；w越小，偏差就越小；任务3：（1）计算任务2得到的函数解析式的w值；（2）请确定经过的一次函数解析式的w值，使得w的值最小；【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案．1．《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究．研究小组每记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到如表：供水时间02468箭尺读数618304254(1)如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，描出以表格中数据为坐标的各点，并连线；(2)请根据（1）中的数据确定y与之间的函数表达式（写过程）；(3)应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是几点钟？2．【实验操作】在如图所示的串联电路中，用一固定电压为的电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度．已知电流与电阻，之间关系为，通过实验得出如下数据：

R/Ω…1234n6…I/A…5m…（1）填写：，；【探究观察】（2）根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，①在平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象；②观察图象，写出该函数的一条性质；

【拓展应用】（3）结合函数图象，直接写出不等式的解集．3．【综合与实践】小东在复习二次函数时，遇到这样一个问题：如图1，一个横截面为抛物线形的公路隧道，其底部宽，最大高度．车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘的范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于的空隙．你能否根据这些要求，建立适当的平面直角坐标系，应用已有的函数知识，确定通过隧道车辆的高度限制？如图2，小东以点为原点，地面所在的直线为轴建立平面直角坐标系，请你帮小东解决问题：(1)求出这条抛物线的函数解析式，并注明自变量的取值范围；(2)求出通过隧道车辆的高度限制应为多少？(3)老师说：隧道检修过程中，计划搭建一个由矩形的三条边组成的“支撑架”，使两点在抛物线上，两点在地面上，如图3所示．为了筹备材料，需求出这个“支撑架”三根木杆、的长度之和的最大值是多少，请你帮忙计算一下．4．小木同学在学习了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其研究过程如下：(1)绘制函数图象①列表：如表是与的几组对应值，其中______；…………②描点：根据表中的数值描点；③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，把图象补充完整．(2)探究函数性质请你结合函数图象，写出此函数的两条性质：①____________；②____________．(3)函数的应用请你结合函数图象，直接写出的解集：______．1．阅读下列材料，解答相应的问题：研究函数的图象一般要研究其形状、位置、图象特征（如对称性）．借助图象我们可以直观地得到函数的性质．例如，在研究正比例函数的图象时，通过列表、描点、连线等步骤，得到如下结论：①的图象是经过原点的一条直线；②的图象经过坐标系的第一、三象限．小文借鉴研究正比例函数的经验，对新函数的图象展开探究，过程如下．①根据函数表达式列表：②在如图所示的坐标系中描点、连线，画出函数的图象．(1)请你将小文列表、描点、连线的过程补充完整；(2)根据小文的探索过程，类比研究图象时得到的结论，写出函数|图象的一个结论．2．小吕在学习了反比例函数知识后，结合探究反比例函数图像与性质的方法，对新函数及其图像进行如下探究．(1)自变量x的取值范围是______，x与y的几组对应值如表：x…12345…y…10m…其中m＝______．（结果保留根号）(2)请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图像，并结合图像写出该函数的一条性质：______．(3)当时，x的取值范围为______．3．如图，在矩形中，，，点P是边上一点，连接，过点P作的垂线分别交，于点E，F．设的长度为，的长度为，的长度为．小东同学根据学习函数的经验对，随x的变化规律进行了探究．下面是小东同学的探究过程，请补充完整．x00m0

(1)根据几何知识，可得关于x的函数解析式为______．(2)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了的几组对应值．通过计算可知，表格中m的值约为______（结果精确到）．(3)在如图（2）所示的平面直角坐标系中，画出了与x之间的函数关系图象．请根据（2）中表格里的数据描点、连线，画出与x之间的函数关系图象．(4)结合函数图象解决问题：当时，______（结果精确到）．4．【阅读材料】建系法：通过构建平面直角坐标，借助点坐标、函数等方法把几何关系转化成代数关系．【初步运用】如图1，边长分别为6，4，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则直角梯形的面积为多少？解决这道题目方法很多，其中一种就是“建系法”，请补全以下解题思路．（直接写出答案）①如图2，以直线为x轴，以直线为y轴，以点B为原点建立直角坐标系．②由题意得，点，点，可求点F坐标为，点H坐标为．③由点A和点H的坐标求出直线的关系式为．④因为点M的横坐标为6，且点M在直线上，所以代入横坐标即可求出纵坐标．⑤同理求出点N坐标，从而得到线段和线段的长，从而求出直角梯形的面积为______．【迁移探究】如图3，长方形中，，，，，，点E是边上的一点，，交于点F．（1）请用“建系法”求四边形的面积．（要求：建立直角坐标系时，把长方形的边放在坐标轴上，并把长方形置于第一象限．）（2）在题（1）建立的直角坐标系基础下，点P是长方形边、边和边上的一个动点，沿着由的方向移动，点Q是点P在运动过程中关于x轴的对称点，请问在点P的运动过程中，是否存在某一时刻使得是一个等腰三角形，若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图4，在题（1）建立的直角坐标系下，沿着直线折叠得到，请求点的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，等腰的斜边在x轴上，直线经过点A，交y轴于点C，反比例函数的图象也经过点A，连接．

【基础应用】（1）求k的值；（2）求直线的函数表达式；【拓展应用】（3）若点P为x轴正半轴上一个动点，在点A的右侧的的图象上是否存在一点M，使得是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．6．小明同学学习二次函数后，对函数研究．进行了在经历列表、描点、连线步骤后得到如下的函数图象，请根据函数图象回答下列问题：(1)观察研究①方程的解为②关于x的方程有四个实数根时，a的取值范围是(2)综合应用：当函数的图象与直线也有三个交点时，求出b的值(3)延伸思考将函数的图象经过怎样的平移可得到函数图象？请写出平移过程，并直接写出当时，自变量x的取值范围1．【提出问题】如图1，在中，，，求的最小值．【分析问题】下面是小明、小红两位同学关于本题不同角度下的部分思维过程：小明：从代数角度看，设，表示出或者，利用函数知识小红：从几何角度看，延长到点，使得，则，连接【解决问题】求AC的最小值．(可参考小明与小红的思路)【深入探究】如图2，，，点从点出发沿线段向点匀速运动，同时点从点出发沿射线匀速运动，点的速度是点的两倍，连接，取的中点，连接，在、运动过程中，线段的最小值是．【拓展提升】如图3，，，点从点出发沿线段向点运动，同时点从点出发沿射线匀速运动，点的速度是点的两倍，当点到达点时，点停止运动，连接，点是线段上一点，且，连接，在、运动过程中，求线段的最小值．2．【阅读材料】建系法：通过构建平面直角坐标，借助点坐标、函数等方法，可以把几何关系转化成代数关系．【初步运用】（1）某年广东省数学中考卷的填空压轴题：如图1，边长分别为6，4，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则图中阴影部分（直角梯形）的面积为多少？解决这道题目方法很多，其中一种就是“建系法”，请补全以下解题思路．（直接写出答案）解题思路：①如图2，以直线为轴，以直线为轴，以点为原点建立直角坐标系．②由题意得，点坐标为，点坐标为，点坐标为________，点坐标为．③点和点的坐标求出直线的关系式为_________．④为点的横坐标为6，且点在直线上，所以代入横坐标即可求出纵坐标．⑤同理求出点坐标，从而得到线段和线段的长，从而求出阴影部分直角梯形的面积为_________．【迁移探究】（2）如图，长方形中，，，，，点是边上的一点，交于点．请用“建系法”求四边形的面积．（要求：建立直角坐标系时，把长方形的边放在坐标轴上，并把长方形置于第一象限．）（3）在题（2）建立的直角坐标系基础下，点是长方形边、边和边上的一个动点，沿着由→→→的方向移动，点是点在运动过程中关于轴的对称点．请问在点的运动过程中，是否存在某一时刻使得是一个等腰三角形，若存在，请直接写出此时点的坐标、若不存在，请说明理由．（4）在题（2）建立的直角坐标系基础下，把沿着直线折叠，点的对应点为点，请直接写出点的坐标．3．张明丽同学学习了反比例函数y＝－的图象和性质后，对新函数y＝－的图象和性质进行了探究，以下是她的探究过程：第一步：在平面直角坐标系中，作出函数y＝－的图象；第二步：通过列表、描点、连线，作出新函数y＝－的图象；①列表：x…－4－2－1013456…y…1236－6－3－2－…②描点：如图所示（1）请在图中帮助张明丽同学完成连线步骤；（2）观察函数图象，发现函数y＝－与函数y＝－的图象都是双曲线，并且形状也相同，只是位置发生了改变，由此可知，函数y＝－的图象可由函数y＝－的图象平移得到．请结合图象写出函数y＝－的两条性质（函数的增减性和对称性各一条）．4．小莉在学