2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 复分析中的调和函数

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——复分析中的调和函数考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题3分，共15分。请将正确选项的字母填在题后的括号内）1.设实函数u(x,y)=x²-y²+2xy，则u(x,y)（）A.是调和函数B.不是调和函数C.无法判断是否为调和函数D.是常数函数2.函数v(x,y)=x²+y²-2xy是调和函数u(x,y)的共轭调和函数，则u(x,y)等于（）A.x²-y²-2xyB.x²+y²+2xyC.-x²+y²+2xyD.-x²-y²-2xy3.若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是复平面上的解析函数，则实部u(x,y)满足（）A.拉普拉斯方程∂²u/∂x²+∂²u/∂y²=1B.拉普拉斯方程∂²u/∂x²+∂²u/∂y²=0C.柯西-黎曼方程∂u/∂x=∂v/∂yD.∂u/∂x=∂u/∂y4.调和函数u(x,y)在其定义域内（）A.必有极值点B.不可能有极值点C.可能存在极值点，但只可能是常数函数D.极值点仅可能出现在边界上5.已知调和函数u(x,y)=e^xsiny，则其共轭调和函数v(x,y)满足∂v/∂x=-u的一个可能的表达式是（）A.e^xcosyB.-e^xcosyC.e^xsinyD.-e^xsiny二、填空题（每小题4分，共20分。请将答案填在题后的横线上）6.若函数u(x,y)=ln(1+x²+y²)是调和函数，则∂u/∂x在点(0,0)处的值为________。7.若f(z)=z²+1是解析函数，则其实部u(x,y)=________，其虚部v(x,y)=________。8.调和函数u(x,y)满足∂u/∂x=2x-y，且满足u(1,1)=2，则u(2,3)=________。9.已知u(x,y)=x³-3xy²是调和函数，则其共轭调和函数v(x,y)满足∂v/∂y=________。10.根据柯西-黎曼方程，若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)解析，且∂u/∂x=3x²+2y，则∂v/∂x=________。三、计算题（每小题10分，共30分）11.证明函数u(x,y)=y²-x²+2xy是调和函数。12.已知函数v(x,y)=y-x²是调和函数u(x,y)的共轭调和函数，且满足u(0,0)=0。求函数u(x,y)。13.设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是复平面上的解析函数，且满足u(x,y)=x²-y²-xy。求f(z)。四、证明题（共15分）14.证明：若u(x,y)和v(x,y)都是区域D内的调和函数，且在D内满足柯西-黎曼方程∂u/∂x=∂v/∂y和∂u/∂y=-∂v/∂x，则u和v在D内相互为共轭调和函数。---试卷答案一、选择题1.B2.C3.B4.C5.B二、填空题6.17.x²+y²,2y8.89.-2x²10.-2y三、计算题11.证明：计算∂²u/∂x²=-2+2y，计算∂²u/∂y²=2。因为∂²u/∂x²+∂²u/∂y²=(-2+2y)+2=0，所以u(x,y)是调和函数。12.解：计算∂u/∂y=-2y。对v求导∂v/∂x=-∂u/∂y=2y。积分∂v/∂x=2y，得v(x,y)=y²+h(y)。对v求导∂v/∂y=2y+h'(y)，由∂v/∂y=-∂u/∂x=-(-2x²-2y)=2x²+2y，得2y+h'(y)=2x²+2y，即h'(y)=2x²。积分h'(y)=2x²，得h(y)=2x²y+C。所以v(x,y)=y²+2x²y+C。利用边界条件u(0,0)=v(0,0)=0，得C=0。所以v(x,y)=y²+2x²y。再由∂u/∂x=∂v/∂y=2x²+2y，积分得u(x,y)=(2/3)x³+x²y+g(y)。由∂u/∂y=x²+g'(y)，且∂u/∂y=-∂v/∂x=-(2x²+2y)，得x²+g'(y)=-2x²-2y，即g'(y)=-2x²-2y-x²=-3x²-2y。积分g'(y)=-3x²-2y，得g(y)=-x³y-y²+C。利用边界条件u(0,0)=0，得C=0。所以u(x,y)=(2/3)x³+x²y-x³y-y²=(2/3-1)x³+x²y-y²=-1/3x³+x²y-y²。即u(x,y)=x²y-y²-(1/3)x³。13.解：计算∂u/∂x=2x-y，计算∂u/∂y=-1-2y。由柯西-黎曼方程∂u/∂x=∂v/∂y，得∂v/∂y=2x-y。积分∂v/∂y=2x-y，得v(x,y)=x²-xy+h(x)。由柯西-黎曼方程∂u/∂y=-∂v/∂x，得-∂v/∂x=-1-2y，即∂v/∂x=1+2y。对v(x,y)=x²-xy+h(x)求x偏导，得∂v/∂x=-y+h'(x)。令-y+h'(x)=1+2y，得h'(x)=1+3y。因为此式对x求导应为0，所以h'(x)应与y无关，即h'(x)=1。积分得h(x)=x+C。所以v(x,y)=x²-xy+x+C。利用f(z)=u(x,y)+iv(x,y)=(x²-y²-xy)+i(x²-xy+x+C)，得f(z)=x²-xy+i(x²-xy+x+C)。令z=x+iy，则x²-xy+x=(z+conj(z))/2-(conj(z)z)/2+(z)/2=(z+conj(z)-conj(z)z+z)/2=(2z-conj(z)z)/2=z-conj(z)/2。所以f(z)=z-conj(z)/2+i(x²-xy+x+C)。因为x²-xy+x是实部，所以i(x²-xy+x+C)应为纯虚部。这意味着x²-xy+x+C必须为0。由x²-xy+x=z-conj(z)/2，得C=-x²+xy-x=-(z-conj(z)/2)。所以f(z)=z-conj(z)/2+i(-(z-conj(z)/2))=z-conj(z)/2-i(z-conj(z)/2)=z-i(conj(z)/2)。所以f(z)=z-iconj(z)/2。简化为f(z)=z-(1/2)conj(z)。四、证明题14.证明：已知u和v都是调和函数，所以∂²u/∂x²+∂²u/∂y²=0且∂²v/∂x²+∂²v/∂y²=0。已知在D内u和v满足柯西-黎曼方程∂u/∂x=∂v/∂y和∂u/∂y=-∂v/∂x。对第一个柯西-黎曼方程∂u/∂x=∂v/∂y求x偏导，得∂²u/∂x²=∂²v/∂x∂y。对第二个柯西-黎曼方程∂u/∂y=-∂v/∂x求y偏导，得∂²u/∂y²=-∂²v/∂y∂x。由混合偏导数相等，得∂²v/∂x∂y=∂²v/∂y∂x。所以∂²u/∂x²=∂²v/∂y∂x=∂²v/∂x∂y=-∂²u/∂y²。两边相加，得(∂²u/∂x²+∂²u/∂y²)+(∂²v/∂x²+∂²v/∂y²)=0+0=0。由调和函数性质，第一项为0，所以第二项也为0，即∂²v/∂x²+∂²v/∂y²=0，v也是调和函数。现在证明v是u的共轭调和函数。对第二个柯西-黎曼方程∂u/∂y=-∂v/∂x求x偏导，得∂²u/∂x∂y=-∂²v/∂x²。对第一个柯西-黎