2025届高考数学试卷专项练习15立体几何与空间向量含解析

立体几何与空间向量

五、解答题

54.（2024•山东淄博市•高三一模）已知在三棱柱ABC—A18c中，AB=BC=BB1=4,ZXBC=120°,

侧棱与底面垂直，点M，N分别是棱CG，4片的中点.

（1）求三棱柱ABC-4用G外接球的表面积;

（2）设平面43C截三棱柱A8C-44G的外接球面所得小圆的圆心为。，求直线。片与平面8MN所成

角的正弦值.

7

【答案】（1）80〃：（2）

8

【解析】

（1）建立空间直角坐标系，设出外接球球心坐标，利用球心到球面的距离等于半径列方程组，解方程组求

得圆心坐标，由此求得外接球的半径，进而计算出外接球的表面积.

（2）利用更线。用的方向向量和平面助W的法向量，求得线面角的正弦值.

【详解】

（1）据已知条件，取AC的中点”，以C4所在的直线为％轴，以8H所在的直线为）'轴，以过点〃且

和平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示:

由已知口J得A(2百,0,0),5(0,-2,0),C(-2>/3,0,0),4(3，。，4),G(-26,0,4),F,(0,-2,4),

设球心G的坐标为（。力1），则GA=GC=G旦，且。=2

(〃-2可++4=(a+2国+6+4

所以

(。-2可+/+4=a2+优+27+4

解得：«=0,b=2,所以G(0,2,2),

所以厂二^02+（2+2）24-（2-4）2=2J5，

所以外接球的表面枳5=4乃/=乃（24=80乃.

(2)由(1)可知：所以8C=卜26,2,0),CC,=(0,0,4),

innr1imrULU,uunuuu*ULUimnr

因为CM=—CG,所以8W=8C+GW=8C+—CG=(—26,2,2),

2

limamnruuu-mnriirntr._.

同理BN=BBi+BN=BB]+-B,A=(G,1,4),

设平面BMN的法向量/H=（x,y,z），

m-BM=0

则＜

m-BN=0

-x/3x+y+z=0「

即<y—,取X=y/^,则Z=—2，丁=5,

\J3x+y+4z=0

所以禽=(6,5,—2),

由（1）可知，截面圆的圆心。在的延长线上，旦“0=2

UUU

所以=（0,-4,4）,

设直线0片与平面BMN所成的角大小为6，

ITUUII|

.c”O叫20+87

所以sin0=口%=—（=-T==-,

〃“网何取8

7

所以直线。鸟与平面BMN所成角的正弦值为£.

O

55.（2024•全国高三专题练习（理））在边长为2的菱形ABCO中，的。=60。，点正是边4B的中点（如

图I）,将乙ADE沿折起到△4。七的位置，连接4民4。，得到四棱锥4—5COE（如图2）

图1图2

(1)证明：平面4BE_L平面BCOE；

(2)若4E_L8E,连接CE,求直线CE与平面A。。所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析，(2)叵.

14

【解析】

(1)连接图1中的证明然后证明OE_L平面ABE即可：

(2)证明AE~L平面8CDE,然后以E为原点建立如图空间直角坐标系，然后利用向量求解即可.

【详解】

(1)连接图1中的3£).

因为四边形A8CO为菱形，且/必。=60。

所以△A8O为等边三角形，所以/无J_AB

所以在图2中有。EJ_8£,OE_L4£,因为8EcAE=E

所以OE_L平面49E,因为OEu3c所以平面ABE_L平面3CDE

(2)因为平面A/EJ_平面BC7)E,平面4田七。平面3CDE=8E，A1E上BE,A.E^A.BE

所以4卢，平面区CDE

以E为原点建立如图空间宜角坐标系

所以A（0,0,1）,C（2,6,0）,。（0,后。）,石（（）,0,0）

所以40=（（）,6,-l），4C=（2,6,—l）,EC=（2,g,0）

n-AiD=>/3y-z=0

设平面ACD的法向量为〃=（x,y,z）,则・

n-AC=2x+5/3^-z=0

令y=l,则〃=（0」,G）,所以8$88）=）|^二系=粤

所以直线CE与平面AC。所成角的正弦值答

56.（2024•河南高三月考（理））如图，在直三棱柱ABC-A4G中，底面ABC是等边三角形，〃是AC

的中点.

（1）证明：AB1〃平面BG。.

（2）若AA=2人吕，求二面角4-AC-G的余弦值

4M

【答案】(1)证明见解析：(2)〜二.

19

【解析】

(1)BC、=E,连接DE，由三角形的中位线可得QE//4与，进而可得4B//平面8Go.

(2)故以〃为原点，分别以DC,。尸的方向为x,y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

D-xyz.平面A与C的法向昂为〃=(x,y,z),平面ACC；的个法向量为m=(1,0,0),进而可得结果.

【详解】

(1)记用。。8，［=£,连接。E.

由直棱柱的性质可知四边形8CGM是矩形，则£为4c的中点.

因为〃是AC的中点，所以QE//A4.

因为Aq0平面8G力,。七u平面8G。，所以ABJ/平面BQD.

(2)因为底面ABC是等边三角形，〃是4C的中点，所以8O_L4C,

由直棱柱的性质可知平面A3C_L平面ACGA,则.平面ACGA.

取AC的中点E连接则。8,。。,。尸两两垂直，故以〃为原点，分别以。8,尸的方向为彳，

y,z轴的正方向，建立如图所示的空间宜角坐标系。一Q2.

设,48=2，则40,-1,0),。(0,1,0),男(6,0,4),从而AC=(0,2,0),4B1=(6,l,4).

设平面的法向量为〃=），,z）,

n-AC=2y=0,

则＜令x=4,得〃=（4,0,-百）.

n•AB1=Gx+y+4z=0,

平面ACG的一个法向量为〃?=（1,0,0）,

mn_4_4\/19

则cox。几〃〉=

设二面角8]-AC-C]为。，由图可知。为锐角，则cos。=|cos〈/〃,〃〉|=.

57.（2024•湖南衡阳市•高三一模）如图，直四棱柱ABC。一,底面ABCO是边长为2的菱形,

2兀

M=2,N4DC=T，点E在平面4G。上，且BE1平面AG。.

（1）求班:的长；

（2）若尸为4A的中点，求班与平面尸G8所成角的正弦值.

【答案】（1）述；（2）国.

55

【解析】

（1）建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离的向量公式求解;

（2）利用向策法求线面角的正弦即可.

【详解】

如图建立空间直角坐标系，

则D(0,0,0),8(百,1,0),C(0,2,0),A(疯T,0)A(点-1,2),C,(0,2,2)〃(0,0,2),尸(G,T,1).

（1）设平面AGD的法向量为切=（x,y,z>

成二(022)，R=(G,T2)，

m-DA,-02y+2z=0

则＜n,取y=iz=-1，x=5/3，

jn-DC】=0Vr3x-y+2z=0

:.m可为(、瓦L-l)

同叫_4_46

DL----------——f=------.

m石5

（2）由（1）知平面4GD的法阿最为加=（6,1,一1）,且〃2〃3E,

设平面尸。园的法向量为n=（x,y,z）,

用=(-6,3,1),译=(0,2,-1)，

/7

nFC}=0一百2—y-z=00—z=2一考c

nFC1=0

12005.

58.（2024•全国高三专题练习）如图，在五面体48coM中，四边形A8E尸为正方形，平面48所_1_平

面CD正，CD//EF,DiEF,EF=2CD=2.

（1）若。尸=2,求二面角4一。£一尸的正弦值；

（2）若平面Ab_L平面BCE,求。尸的长.

【答案】（1）逝；（2）1.

3

【解析】

/Uiruuruni

（1）依据题中条件，先证明0fA£五£两两垂直，再以｛FAFE,尸。｝为正交基底，建立空间直角坐标

系尸一心2,分别求出平面ACE和平面CE尸的一个法向量，计算向量夹角余弦值，进而可求比正弦值；

（2）设OF=，（f>。），用，分别表示出两平面Ab和BCE的一个法向量，由面面垂直，得到法向量垂

直，列出等量关系，求出/,即可得出结果.

【详解】

（1）因为平面43上尸_1_平面。£）庄，平面43石尸7平面。力匹七=£：/，£>FAEF,DEu'Y面CDFE,

所以平面/WE"，

所以。F_L4/，DF工FE，

/UiruuruiK

又四边形A5所为正方形，则AF_LE/，所以，以［必,在1，/。）为正交基底，建立如图所示空间直角坐

标系/一盯z.

则—0,0,0),4(2,0,0),矶020),C(0,l,2),

则£4=(2,—2,0)，EC=(0,-1,2)»

设平面ACE的•个法向量为机二",y,z>

UUUUUUtl

则in±EA'm_LEC»

m-EA=02x-2j=0

所以《即

m-EC=()-y+2z=0

不妨取z=1,则1=y=2,所以旭=(2,2,1)；

IH.BI

又EA=(2,0,0),在=(0,2,0),FC=(0,1,2)

uuuiuuuuim

所以E4/E=0，FAFC=0»

所以EALFE，FAIFC又FEcFC=F,户Eu平面CE77，/Cu平面CEF,

所以F4=(2,0,0)为平面CE尸的一个法向量,

ni'FA2

所以cos<〃7,FA>=

\m\­\FA\3

所以二面角A—C£—厂的正弦值为

(2)设。/=，。>()),则C(0,l"),

mu_mu

所以£8=(2,0,0),EC=(0,-1,/).FA=(2,0,0),FC=(0,l,r)»

设平面BCE的一个法向量为〃=(4"c),则〃_LE8，〃_LEC，

n-EB=()2a=0

所以即《

n-EC=0-b+ct=0

不妨令仃=1,则/?=f,所以〃=(0,f.l).

设平面ACF的一个法向量为s=(p,q、r),

1Uli1UIB15-M=02P=0

则由s_L尸A，s1FC得<_,即V

s-FC=0q+rt=0

不妨取〃=1,则4=T,得s=(0,T,l),

因为平面-L平面BCE,

所以〃.s=0,即一J+1=o,得，=1,

即DF=」.

59.（2024•全国高三专题练习）如图1,四边形A8CO为直角梯形，AD//BC,AD-LAB^44=2百,

N3CO=60.E为线段CO上的点，且CE=C3=3.将「8CE沿8E折起，得到四棱锥G-A8E。（如

图2）,使得GA=GB.

（1）求证：平面AC?，平面A8G；

（2）求二面角G—。七―A的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）巫；

3

【解析】

（1）在图1中过点。作。尸_L5c交BC于点尸，在图2中取G为A8的中点，连接GE和GG，可得

GG1AB,C,G1GE,即可得到QG1平面ABED,即可得到C。_LAD,再由4）JLA8,则ADA.

平面A8G，从而得证：

（2）连接GD交AE于尸，过点G作GQ〃AE交座于点0,建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出

二面角的余弦值；

【详解】

解：（1）在图1中过点。作。F_L8C交8。于点尸，在图2中取G为A3的中点，连接GE和GG，则

DF=AB=2囱，因为CE=C8=3且/3CO=60，所以二BCE为等边三角形，所以E8=3,在二CDF

中，CF=2DF=2,CD=2CF=A

3

因为CE=3,所以OE=1，BF=AD=1，在图2中GA=C0=3,所以△AC；8为等腰三角形，所以

GC,1AB,在AA3E中，ZABE=30°_a^=273«BE=3,AE=6所以所以

EG=gAB=Jj,所以4GEq§aGBG，所以C。上GE,又GE[AB=G,AB,GEu平面ABED，

所以GG_L平面AB矶），ADu平面ABED，所以GG_LA。，又AO_LAB，ABCCfi=G,

A民GGu平面A8G，所以4)JL平面ABG，ADu平面力G。，所以平面AG。，平面ABG；

(2)连接G。交AE1于P，过点G作GQ〃4E交的于点。，由11)知CIG，平面43石。，所以GG_LPG

且CQJ.QG,因为AE_LBE，所以PG_LQG,如图建立空间直角坐标系，所以£((),(),振卜

E,A,0（020）,所以CQ=（0,2,—卡），C,A="，之一网

mC}D-2y-\[6z=0

CE=设平面CQE的法向量为m=(x,y,z)，所以，

t5-矶〃tC\E=x+三y—瓜z=金

令y=3,则〃7=(6,3,而)，取面AQE的法向量〃二(0,0,1)，

m»n_\fb_6

所以cosvm，">=丽=]>,(0)+32+(#)2=7,由图可知二面角为锐二面角，故其余弦值为

B

图1

G

60.（2024•全国高三专题练习）在如图所示的圆柱QO?中，为圆Q的直径，C，。是A3的两个三

等分点，E4，FC,GB都是圆柱QU的母线.

（1）求证：FOJ/平面ADE;

（2）若BC=FC=2,求二面角B-4尸一。的余弦值.

【答案】（1）证明见解析：（2）叵.

7

【解析】

（1）连接OC，。。，易证C«"A。，E4〃尸C,依据面面平行的判定定理可得平面FCOJ/平面ADE，

再依据面面平行的定义即可证得尸Q〃平面ADE；

（2）因为直线C4，CB，C尸两两垂直，所以以C为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面A6尸，平

面AC尸的一个法向量，依据二面角的向量坐标公式即可求此

【详解】

（1）连接QC,0.D,因为C,。是半圆A5的两个三等分点，

所以ZAO,D=ZDO.C=ZCO、B=60。，乂O.A=O.B=O.C=O.D,

所以AA。。，△CO。，△BO。均为等边三角形，

所以«A=AO=OC=OC，炉以四边形AQC。是平行四边形，所以COJ/A。,

又因为«A=AQ=OC=OC，。。|0平面4。£：,ADu平面ADE，

所以C«//平面4力石.因为石4，FC都是圆柱，。2的母线，所以E4//R7,

乂因为尸。a平面AOE，出匚平面人。£，

所以“7/平面AO£.

又CO】，尸Cu平面FCO},CO、cFC=C,

所以平面be。//平面ADE，又bQu平面PC。，所以尸0//平面4OE.

（2）连接AC,因为/C是圆柱。02的母线，所以“，圆柱。02的底面，

因为A3为圆。1的直径，所以4CB=90。，

所以直线C4,CB，C/两两垂直，以。为原点建立空间直角坐标系如图：

因为BC=bC=2,所以C（0,0,0）,A（2V3,0,0）,8（0,2,0）,F（0,0,2）,

45=12e,2,0）,AR=（-2行,0,2）,

ULI

由题知平面Ab的一个法向量为C3=（0,2,0）,

设平面ABF的一个法向量为n=(%,y,z),则：

[n-AB=-2\[?>x+2y=0l--(rr\

l»令x=l,y—\/3,z=5/3.W=(1,5/3»>/3).

\n^AF=-2xl3x+2z=0'7

CBn26V2T

所以cos(C8,〃)=

kravr〒.由图可知‘二面角八，一c的平面角为锐角’所以二面角

3-A夕一。的余弦值为亘

7

61.（2024•广东貂关市•高三一模）如图，在四棱锥P—A8CD中，底面A5CD为正方形，R4JL平面

CDP,已知幺=3,PD=4.

（1）若后为P。中点，求证：PB〃平面ACE；

（2）求直线与平面A8CQ所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）金叵.

85

【解析】

（1）连接8力交AC于点M，连接ME，利用中位线的性质可得出利用线面平行的判定定理

可证得结论成立；

（2）过尸作尸H_LAD，垂足为“，连接BH，证明出PH_L平面A5CO,可得比直线相与平面ABC。

所成角为NP3H，计算出P”、PB,可求得sinNPBH,即为所求.

【详解】

（1）证明：连接8。交AC「点M，连接

因为四边形A3CO为正方形，所以用为中点，

又E为DP中点,所以ME//PB.

因为MEu平面ACE，依二平面ACE,所以依〃平面ACE；

（2）如图，过尸作PH_LA。，垂足为“，连接

因为四边形ABC。为正方形，所以CD_LAQ.

因为，PA_L平面COP,COu平面COP,所以，CO_LA/<

因为，AD^AP=A,A。、APu平面所以，CO1平面AOP.

因为，CQu平面48cO,所以平面面ABCO.

因为，平面24。7平面ABC。=AO,PH工AD，PHu平面PAD，

所以，平面ABC。，则氏;为斜线在平面ABC。内的射影.

所以，ZPBH为直线PB与平面ABCO所成的角.

在RtVPA力中，AD=y]PA2+PD2=5»

,APPD12

布ADPH=APPD，得/7/二-------=—.

AD5

因为AB〃C。，所以A3_L平面ADP，在R/ePAB中，有PB=dPA1+•

所以sin/PM="=盛.

PB85

所以直线依与平面ABC。所成角的正弦值为曲L

85

62.（2024•河北张家口市•高三一模）如图，四边形A4C'。是止方形，Q4_L平面A8CD,尸A//EB,且

PA=AB=3.

（1）求证：C£7/平面P4O；

（2）若BE=LPA,求直线P£＞与平面PCE所成角的正弦值.

3

【答案】（1）证明见解析；（2）旦

7

【解析】

（1）先由线面平行判定定理证明3C//平面PA。，面PAD，再由面面平行判定定理证明平面

EBC//平面PA。，最终由面面平行的性质得出CE//平面以。；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面先即可.

【详解】

（1）证明：因为四边形ABCO是正方形，所以8C//AD.

又ADu平面PAD,BC（Z平面PAD

所以8C//平面

因为RV/E3,同理，可证上3〃平面力。

又BC1EB=B,所以平面EBC//平面A4O

又因为CEu平面£BC,所以CE//平面BAZ）.

解：分别以A。,AB,AP为工，)'，2轴建立如下图所示的空间直角坐标系.

因为帖=A8=3,所以=1PA=l,则P((),(),3),0(3,(),0),C(3,3,0),七(0,3』)

3

则PD=(3,0,-3),PC=(3,3,-3),PE=(0,3,-2)

设平面PCE的法向量为，n=(x,v,z)

Z

X=­

力…+3-=0得3

则由“

ni-PE-3y-2z=02z

>?=T

令z=3,得平面PCE的一个法向量为机二(1,2,3)

二也

PDm(3,0,-3)-(1,2,3)

设直线PO与平面PCE所成角为。，则sin6=

PD\m\372x714

所以直线物与平面pCE所成角的正弦值为且.

7

63.（2024•全国高三专题练习）如图，四棱锥P-ABCO中，四边形A3co是等腰梯形,

AB"CD,PD_LAD,2PD=2AD=2CD=AB=PB.

（1）证明：平面Q4O_L平面48C。：

（2）过PO的平面交AB于点E,若平面POE1把四棱锥P-ABCD分成体积相等的两部分,求平面PAD与

平面PCE所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）叵

4

【解析】

(1)取AB的中点M，连结。用、力B,证明四边形BCDW为平行四边形，得到0M=8。，在APBD

中证明PQ_LB7)，由PD_LA。可得答案.

(2)以分别为x轴,y轴，z轴建立空间直角坐标系，设2/)=1，由

"SADCxP。=QS梯形0cBE*PD,得SADE=S梯形乂踮，设梯形ABCD的injh,AE=x，则

Ii3

-^=-x(2-.r+l)/?,解得x=5,求出平面24。和平面PCE的法向量，由数量积公式可得答案.

【详解】

(1)如图，取43的中点M,连结。加，。3,

CO」A8,

2

:.CD=MB,

•CD//MB，

二•四边形BCDM为平行四边形，

DM=BC,

..四边形ABC。是等腰梯形，AB//CD,

：.DM=BC=AD,

又AO=CO」AB=AM，

2

.•△AMD为等边三角形,

ZDAM=ZDMA=60，

丁•在等腰，M3。中，ZMBD=30，

•.在△ADB中，NAO3=9(T，

不妨设2PD=2AD=2CD=AB=PB=2,

则BD=6

在△PB。中，BD=C，PD=1,PB=2,

PEP+Blf=PB'，

:.PDtBD，

又PO_LAD,ADu平面ABCD,BDu平面ABCD,ADcBD=D,

.,.PD_L平面ABC。，

又PDu平面FA。，

平面Q4O_L平面ABCD.

（2）PD±AD.PD±BD,AD±BDt

.•.以分别为x轴，J轴，z轴建立空间直角坐标系，如图:

设产。=1，

平面尸。七把四棱锥P—A8CZ）分成体积相等的两部分，

三棱锥P-AD石的体积等于四棱锥「一8c。七，

,•]S.ADCxPD=-S梯形xPD,

••“ADE一。梯形DC8£

设梯形ABCD的高为儿AK-X

则;=，X（2—x+1）/?,

3

解得工=不，

2

（12八\（}万

则0（0,0,0）,A（1,0,0）,8（0,60）,P（0,0,1）,E:，拳。，。一右半0

（1G八D「n3G八

PDANZ=—,-1,PE=，

I22）I44）

•・・）'轴_1_平面以力，

二平面94。的•个法向量为〃=（0,1,0）

设平面PCE的一个法向量为〃?=（x,y,z）,

in-PE=0

——x+——y-z=0

22-

+乎y—z=O

取了=-疯则y=3,z=26

/.tn=f—\/3,3,2\/3j,

二平面PAD与平面PC£所成锐二面角的余弦值为

64.(2024•山东高三专题练习)如图，三棱锥P—ABC中，侧棱PA_L底面ABC,。点在以AB为直径的

圆上.

(1)若勿=AC,且E为PC的中点，证明：依;

(2)若尸4=AC=3C,求二面角C—8P—A的大小.

【答案】(1)证明见解析：(2)60.

【解析】

几何法

(1)先证明4c_LHff24C，进而得3C_LAE,再证明人后上面;^。即可得答案;

（2）过点E作斯_1_尸3分尸8.二点尸，故为：面角C—第一A的平面角，再结合几何关系求解即

可.

坐标法

（1）在平面46c内过A作垂直AC的直线为x轴，AC4P所在的直线为丁轴，z轴建立空间直角坐标

系，设故证AE.尸8=0即可：

（2）由（1）利用坐标法求法向量，进而利用法向量求解即可.

【详解】

几何法：

（1）证明：易知当PA=4CE为PC的中点时，AELPC;

且由C点在以A8为宜径的圆上，可得AC_L9C,

另外，尸A_L底面A8C,且3Cu面A3C

则PA1BC,

而HAu面PAC,ACu面PAC,PAcAC=A,

可知8。_1_面幺。，

囚为AEu面PACy

所以3CJ_AE,

乂PCu面PBC,8CU而PBC,

PCcBC=C,

可知AE_Ll^P8C,

又PBu平面PBC,

故AE_L依.

（2）如图1,过点£作EF1PB交PB于点、F,

B

由AE1PB,EF±PB可知ZAFE为二面角C—BP—A的平面角,

若设P4=〃,则可求得===

326

4.什士丁网左门/allAF~4-EF~—AE~1

由1n余弦定理知cosZAFE=-----------------=—

2AFEF2

则二面角C-BP-A的大小为60

注:若利用(1)中4£_1面「8。所得

即RTaAEF中AF=—ayAE=—a

32

也可求得sinNA在'=@

2

空间向量法：

由BCJLAC,BC1PA,知8c_1面PAC,

在平面ABC内过A作垂直4c的直线为％轴，AC,A尸所在的直线为y轴，z轴;

即以A为坐标原点，建立.如图2的空间直角坐标系,

B

可设P4=a,

（1）若设BC=。,则4（0,0,0）,80,。,0）,。（0,〃,0）,尸（0,0,。）,

因此E0,—,—

I22)

其中A£=（0费费,PB=(b,a,—a),

故4£P3=0；

故AE_L心.

（2）当PA=AC,E为PC的中点时，AE±PC,则由（1）知4七_1面P8C,

故可取面PBC的一个法向量为AE=0,5,5

IZZ

当以=AC=3C=a时，AP=(0,0M),A8=(aM,01

若设面的法向量为〃=（x,y,z）,

4."=(),az=0,,、

则｛一，即公+,=。「可取〃=（1'°）

/石AEu1

则cos{AE,〃片一^^―彳

,AEu，

由图可知二面角C—8。一A为锐角,

所以二面角C-8P-A的大小为60

65.（2024•辽宁沈阳市•高三一模）如左图，平面四边形4BCE,点。在边CE上，CD=DE,且A3CQ

是边长为2的正方形.沿着直线AD将AAZ组折起，使平面平面A8CO（如右图），已知分别

是棱E4,EC的中点，G是棱8C上一点.

（1）求证:平面ObGJ_平面ABE;

（2）若直线GH与平面A8CD所成的角的正切值为也时，求锐二面角尸一。G-”的余弦值.

2

【答案】（1）证明见解析；（2）旦.

6

【解析】

（1）由平面平面ABCO,证得A8_LQF，再由7）E=DA,得到。/J.AE,进而证得。尸，平

面ABE,即可证得平面。回G_L立面ABE：

（2）取C7）中点M，连结MG,证得平面ABCO,得到NHGM即是直线G”与平面ABC。做成

的角，依据题意，求得GA7=&,GC'=1,以。为原点，七所在直线分别为x釉、>'釉、z釉建

立空间直角坐标系，分别求得平面的和OS的一个法向量为%,巧,结合向量的夹角公式，即可求解.

【详解】

（1）因为平面4）E_L平面A3CQ，ABYAD,且A8co=AO

所以ABJ_平面AOE，又由DFu平面AOE,所以A3J.OF，

因为其中产为AE的中点，所以£>FJLA£,

所以_L平面/WE,又因为DWu平面。PG，所以平面力向G_L平面ABE.

⑵取。。中点M，连结用G可得MH//DERMH=-DE=\

2

因为平面A0EJL平面ABC。，且。£_LA。，可得OE_L平面ABCO,

所以MHJL平面ABCD,所以N”GM即是直线GH与平面A3CO做成的角,

则以几NHGM=—=变，可得GM=应,GC=1,

GM2

以D为空间坐标原点，所在直线分别为工轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则

F（l,0,l）,//（0,l,l）,G（l,2,0）,

可得DG=(1,2,0),0/=(1,0/),。”=(0,1,1)

DG.%=0\a+2b=0

设平面/的法向量为c）,可得•即4

DFH,=0m+c=o

不妨令。=—2,可得“二（—2,1,2）,

DG-/?->=0x+2y=0

设平面DGH的法向量为4=（其y,z），可得，

DH&=0y+z=0

不妨令工二一2,可得〃2=（-2,

/•、勺•小瓜

贝"㈤一丽F3F

又由二面角/一DG—H为锐二百角，二面角F-DG-H的余弦值为逅.

6

为

66.（2024•全国高三专题练习（理））如图，平面力式见_平面4%AD//BQBOLAB,AB=B（=2AE=2iF

段上一点，且祝L平面力出

D

(1)证明：力£J_平面8四；

(2)若平面断与平面侬所成锐二面角为60°,求力〃

【答案】(1)见解析；(2)叵

3

【解析】

(1)由平面平面/I班'证明8cL面ABE,得至ljBCVAE,由环J_平面ACE,得到BFVAE,从而证明AE

_L平面8窕

(2)过月作垂直力及以Av为x轴正方向，以A5为y轴正方向，以A£)为z轴正方向，建立直角坐标

系，用向量法计算可得.

【详解】

(1)二•平面4%7)_L.平面＞1座；45为平面/及⑦和平面力应'的交线，BC.LAB,

；・8C上面A8E,：.BCA.AE.

又BEL平面4竞,：JiFLAH.

又BCCBF=B,.•・力氏L平面BCE.

如图示，过力作取垂直/应以怂为x轴正方向，以4B为y轴正方向，以40为z轴正方向，建立空间直

角坐标系，则A((),(),0),巩(),2,0),石等,;,()，C((),2,2),O((),()，M，

・•.CE=~,^,2,CD=(0,-2,w-2)

m-CE=0-^-x+-y+2z=()

，即《

设加=(x,)，,z)为平面侬的•个法向量，则・

niCD=0

Oxx-2y+(/n-2)z=0

不妨耳乂/2,则m=

明显平面ABE的一个法向量n=BC=((),(),2)

4

=cos60

25/3

+(m-2)2+4x2

7

解得：咛叵.

3

故，仞长为巫.

3

67.(2024•全国高三专题练习(理))如图所示多面体A8CDE/中，平面ADEJ_平面43CD,CF_L平

面43CD,4ADE是正三角形，四边形A8CD是菱形，A3=2，CF=BN84O=1.

(1)求证：EF〃平面ABCD；

(2)求二面角E—Ab一C的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)叵.

8

【解析】

(1)要证明线面平行，需线证明信线线平行，过点E作EO_LM＞交AD「点。，连接OC,可证明四边

形EOCF是平行四边形，即可证明线面平行；(2)以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，分

别求两个平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值，再求正弦值.

【详解】

证明：(1)过点上作EO_LA。交AO于点。，连接OB,OC,BD

•・•平面ADE_L平面ABCD

平面ADE1平面ABCD=AD

EOu,PEADE

・•・EO_L平面ABCD

又・•.A。石是正三角形，AD=2

所以EO=J?

・・・b_L平面A3CO,CF=>/3

CF//OE,CF=OE

・•・四边形OCFE为平行四边形

・•・OC//EF

又「OCu平面A3CO.Ma平面ABC。

•••EF〃平面ABC。

(2)因为四边形ABC。是菱形，A8=2，ZBAD=~,OBLAD

3

故，以0为坐标原点，分别以04，OB,0E的方向为x轴，轴，z轴的正方向,

建立如图所示的空间直角坐标系.

・•・4(1,0,0),B(0,73,0),味2,后0),0(-1,0,0),即,0,@,《-2,6,6).

AAE=（-1,0,73）,EF=（-2,^,0）,08=（1,瓜0）

设平面AEF的一个法向量为n=（xy,z）

〃•AE=0一x+VJz=0），=2

由＜<得〈，令x=8，得

〃•EF=0-2x+=0z=1

・・・。=（62,1）

•・•CF1平面ABCDCF±BD

在菱形ABCD中，8。_LAC又WClAC=C・•.BO_L平面ACF

:.DB是平面4。厂的一个法向量

设二面角七一AF-C的大小为e

即\|DBn173+2^13G

则COS。=COS（小04）=THUD-F=­―7=——1=—

11\力画x|巾275x28

/.sin0=71-cos20=.

8

68.（2024•全国高三专题练习）如图，在四楂锥S—ABC。中，SA=SB=SC=SD=\3,ACLCD,

（1）求证：平面SAO_L平面ABC。；

（2）求二面角A-S3—O的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）画

170

【解析】

(1)取4D的中点0.连接SO,OC,可得SO_LAD,利用直角三角形的性质可得OC=O力，即可证

明2soe二二SOD,进而“J得SO_LOC,利用线面垂直的判定定理可证SOJ.平面A8CO,利用面面垂直

的判定定理即可求证；

(2)先证明/("SOAv/ddSOB，OA=OB=OC=OD,可得AO为四边形A3CO外接圆的直径，进

而可得50和40的长，以区为原点，所在的直线为乂)，轴，过点8与SO平行的直线为z轴建立

空间直角坐标系，求出平面AGS的个法向量和平面S6。的个法向量，利用空间向呈夹角的坐标运算即

可求解.

【详解】

取AO的中点。，连接SO.0C,

因为S4=S力.所以SOJ_4。，

因为AC_LCD,。为A。的中点，

所以OC=LAD=OO,

2

因为SO=SO,SC=SD,

所以二SOC=_SOD,

所以NSOC=NSOO=90，

所以SO_LOC，

因为OCAOD=O,OCu平面ABC。，OOu平面A8CO,

所以SO_L平面ABC。，

因为SOu平面SAO，

所以平面SAD1平面ABCD；

(2)由(1)知：SOJL平面ABC。，所以SO_LBO,在R心SQ4和R/aSOB中，由

SO=SO,SA=SB可得RrSOA三RidSOB,所以Q4=OB,OA=OB=OC=OD,

所以A民CO在以。为圆心的圆上，

由ACJ.C力可得AO为四边形ABCD外接圆的直径，

AD=yj62+S2=10»40=5，SO=V132-52=12»

以B为原点，所在的直线为x,y轴，过点89SO平行的直线为z轴建立空间直角坐标系，则

4(0,60),3(0,0,0),力(8,0,0),0(4,3,0),5(4,3,12).BA=(0,6,0),=(8,0,0),

8s=(4,3.12),

设平面ABS的•个法向量〃7=（M，X，zJ,

in-BA=6y=0

则《令玉=3,可得Z]=-1,y=0,

m•BS=4x,+3y+12Z]=0

所以〃2=(3,0,—1),

设平面的一个法向量为〃=（工2，%，22），

n-BS=4x,+3)、+12z,=0,八

则<*~，令必=4，则Z2=-l，々=°，

〃BD=8x、=0

所以〃二(0,4,—1),

m-n1Vno

所以8s即〃片丽二7^二而‘

因为二面角