第1章 勾股定理 单元测试1（原卷版）

2/2第一章勾股定理（时间：120分，满分：120分）一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列各组数据中是勾股数的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，2．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（

）A． B． C． D．3．如图，学校有一块直角三角形菜地，，．为方便劳作，准备在菜地中间修建一条小路．测量发现，，，，则的长为（

）A．3m B．4m C．5m D．6m4．荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动，小亮想利用所学的勾股定理知识测算公园里一架秋千立柱的高度．如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度为0.4米，将踏板往前推送，使秋千绳索到达的位置，测得推送的水平距离为3米，此时秋千踏板离地面的垂直高度为1.4米，则立柱的高度为（

）A．3米 B．4米 C．米 D．米5．如图，在中，，，是中线，，，那么斜边的长为（

）A． B． C． D．6．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和13，则c的面积为（）A．6 B．7 C．8 D．97．如图1，，，，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图6中所有正方形的面积和为（

）A．200 B．175 C．150 D．1258．如图，一条小巷的左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为1.5米，梯子顶端到地面距离为2米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面距离为2.4米，则小巷的宽度为（

）

A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米9．一艘轮船以海里/时的速度从港口出发向东北方向航行，另一艘轮船以海里/时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口小时后，两船相距（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里10．如图，一长方体状包装盒的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着包装盒的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（

）A． B． C． D．二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．在中，，点是直线上一点，，，连接，则线段的长为．12．如图所示，有一张长方形纸片，，．现折叠该纸片使得边与对角线重合，折痕为，点落在处，求．13．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，则．14．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是52，每个直角三角形的长直角边与短直角边的比是，则小正方形的面积为．15．《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深尺．16．如图，在坡比（指坡面的垂直高度与水平宽度的比值）为的山坡种树，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为5m，那么相邻两棵树间的在坡面上的间距为m．17．如图，在港有甲、乙两艘淮船，若甲船沿北偏东的方向以每小时6海里的速度前进，乙船沿南偏东的方向以每小时8海里的速度前进，两小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．求岛与岛之间的距离为海里．18．每年的秋分日是中国农民丰收节，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型．如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短为．三．详解题（共8小题，总分66分）19．（6分）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．现有如图所示的“垂美”四边形，对角线相交于点O，若，求．20．（6分）我国古典数学著作中有一道计算秋千绳索长度的题目．翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，于），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（或）的长度．21．（6分）消防云梯主要用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．如图，已知云梯最多能伸长到，消防车高．某次任务中，消防车在A处将云梯伸长至最长，消防员从高的处救人后，消防车需到达B处使消防员从24m高的处救人，求消防车从A处向着火的楼房靠近的距离．22．（6分）“相约十四冬，魅力内蒙古”2024年2月17日至27日我国第十四届冬季运动会在内蒙古自治区举办，某校做冬运会宣传海报（），悬挂在体育馆的窗户上方（如图所示）．小明搬来一架梯子（米）靠在宣传海报（）的A处，底端落在地板E处，然后移动梯子使顶端落在宣传海报（）的B处，而底端E向外移动了1米到C处（米）．测量得米．求宣传海报（）的高度（结果保留根号）．23．（8分）如图，货轮M在航行过程中，发现灯塔A在它的北偏西30度方向，且与货轮M相距．同时，在它的北偏东60度方向又发现客轮B，且与货轮M相距，求此时灯塔A距客轮B的距离．24．（10分）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理．下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中．求证：．25．（10分）如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，现有公路，已知，，，．(1)通过计算说明公路是否与垂直；(2)市政府准备在景点B，C之间修一条互通大道（即线段），并在大道上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段），且．若修建互通大道的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道的总费用．26．（14分）【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则．(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，下面是利用图②推导勾股定理的过程，完成填空；解：梯形的面积可表示为：______，也可以表示为：______，，，__________________即；(2)【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现