中学基本不等式的教学

1引言不等式是表示不等关系的一种数学形式，它是描述量与量之间的关系的有效数学模型.不等式不仅是现阶段中学生要求学习的重要内容，也对于前后内容的学习起到承上启下的重要作用。不等式在生活中有着非常广泛的运用，所以对不等式以及其性质的学习有着非常重要的实际意义，同时也是更进一步地学习解不等式和应用不等关系解决生活中的实际问题的依据。探究不等式可以让学生了解领会各部分知识间的内在联系，整体上掌握知识，并能够更好地发展学生辩证思维的能力。要想进一步领会不等式的性质及其应用，及研究其最值问题，此时基本不等式是不可或缺的。基本不等式在中学数学知识体系中起到了承上启下的作用，同时在实际生活中以及生产中有着非常广泛的应用，依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求，让学生领会并掌握基本不等式，而且能运用基本不等式解决一些简单的求值问题，及学会通过构造条件来使用基本不等式，让学生学会把数学中的转化、数形结合、建立数学模型等基本思想运用到解题过程中去，从而达到培养学生的探究能力，思维能力以及分析和解决问题的能力。2中学中的不等式2.1不等式定义1[1].，形如①.①，叫①.[1]）2.2不等式的性质.不等式的基本性质1[2]不变.，得，即，不等式的.，，，.不等式的基本性质2[2]的方向不变.不等式的基本性质3[2]改变.根据实数理论中实数的性质，还可以推得不等式以下主要性质：性质1（对逆性）.性质2（传递性）.性质3（加法单调律）.性质4（乘法单调律）..性质5（相加法则）.性质6（相减法则）.性质7（相乘法则）.性质8（倒数法则）..性质9（相除法则）.性质10（乘方法则）.性质11（开方法则）.性质12.性质13..2.3不等式的分类.定义3[1]，与；那么这个.[1]；[1].[1]；如果与[1].3中学中的基本不等式3.1基本不等式的概念，....，.3.2基本不等式的证明3.2.1代数证明3.2.1.1利用代数性质证明3.2.1.2换元法证明（1）平均值换元法令，（其中），则，所以.增量换元法不妨设，令，则，所以，其中.则，得3.2.1.3方程方法证明构造一个以，为根的一元二次方程，即，次方程有两个实根，故其判别式，即.3.2.1.4函数方法证明构造函数显然，，所以时，，单调递减；时，，单调递增.故时，取得最小值，即时，.所以构造函数不妨令，则.因为，所以是增函数，也是增函数，所以在上是增函数.所以，所以.（3）构造函数因为对恒成立.所以.1.4.3.6三角方法证明构造两点(如下图所示)，将它们写成参数形式，即（），则，所以.分析：利用代数方法证明基本不等式，能够使学生较容易联系到之前所学的，关于代数计算的性质，证明过程清晰明了，简洁易懂，引导学生从多方面思考对于基本不等式的证明，培养学生自主思考和探究问题的能力.3.2.2几何证明在中，，点D为AB的中点，CE为高，设AE=，EB=由射影定理，得中，点D为斜边AB的中点当且仅当CD与CE重合，即时等号成立.分析：几何证明运用了数形结合的数学基本思想，让基本不等式在几何三角形中体现，一方面培养学生应用数形结合的数学方法，另一方面拓展学生思考问题的空间，能使他们不仅能从代数方面理解基本不等式，还能运用到几何中去，理解得更透彻.3.3基本不等式的推广（1），则.（其中为正数，当且仅当时取等号）（2）设、、……都是正实数，则基本不等式可以推广为均值不等式：（当且仅当时取等号）用柯西法证明：时，，得.当时，.当时，.这样的步骤重复次之后将会得到，令，有，即.3.4中学基本不等式的应用3.4.1基本不等式在函数问题中的应用3.4.1.1函数求最值问题1.条件“一正，二定，三相等”函数式中的相关项，必须都是正数；当且仅当各项相等时，“=”才能取得.①是否正负问题例3.1求的最值.错解：因为，所以.正解：因为，所以，所以，，即，因为，所以，，，，等号成立.点评：本题是对于不等式和函数的综合考查，错解的原因在于学生对类似对勾函数的特征忘记的限制，只知道生搬硬套基本不等式.解题时应先从审题开始，要注意函数的定义域，最后通过“三相等”求出具体的值，并且满足定义域的限制.②是否定值问题例3.2，求函数的最大值.错解：因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以.正解：因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以.点评：本题错解出现了这个变化量，不满足“二定”的条件限制.解该题时通过配凑系数达到了消的目的，也可以鼓励学生一题多解，将两项相乘后使用二次函数来处理.例3.3设，求的最大值.错解：.正解：，.点评：本题错解中，并非定值，不满足“二定”的条件限制.本题也可以利用三角代换转化为三角函数求值，令.，上式在时取最大值.③是否取等问题例3.4已知实数满足，.求：的最小值.正解：令.则...注意：在多次应用基本不等式时，只有等号同时取到时，结果才“可等”，否则不能相等.例3.5.错解：.正解：，令，，所以.由于函数在上是增函数，所以时，，此时由,可得.点评：本题错解并没有做完，应继续分析等号是否成立，则可以得到，解之得，是不成立的.在该种情况下，应采取换元的方法，由对勾函数出发，继而解决问题.由此看来，教师在基本不等式的教学中应引导并训练学生严格遵循“一正、二定、三相等”这三点要求，使学生正确学会处理基本不等式的相关题目，提高做题能力.基本方法：积定和最小，和定积最大.即（1）如果积是定值,那么当时，和有最小值.（2）如果和是定值,那么当时，积有最大值.证明：因为都是正数，所以.积为定值时，有，.上式当时，取等号，因此，当时，和有最小值.和为定值时，有，.上式当时，取等号，因此，当时，积有最大值.例3.6求函数的最小值.解：利用“积定和最小”，，当且仅当，即时取等号.所以当时，函数有最小值，最小值是.注意：满足求函数最值的三个必需条件即可求.例3.7求函数.解：因为，所以.，当，即时，函数取得最小值，最小值为3.注意：“一正”函数中的相关项都要是正数，由得出>0满足条件，根据“积定和最小”解得函数最小值.3.4.1.2函数求值域问题.，.当且仅当时取“=”号.小结：本题中若没有的限制，仅有,那么应如下求解：当时，同上，当时，，，.当时，，.若本题加上时，也可用判别式求解，，.当时，得;当时，,，.但当时，如使用判别式求解，那就不仅仅是时得问题了，还应该考虑的限制条件.例3.9当时，求函数的值域.分析：本题需要通过分离常数构造出能用基本不等式的式子.因为,则,所以.当且仅当时，即时取“=”号.另一解.故函数值域为：.小结：对于形如，的求值域问题，若用判别式法，不仅计算量较大，而且特别容易忽视某些条件而出错，故可以通过变形构造基本不等式的形式来解题避免出错.3.4.2基本不等式在实际问题中的应用基本不等式的应用题题型广泛，以下以实际问题中求最值为例，介绍常用的基本不等式解题技巧.例3.10例3.10分析：首先根据题意列出水中杂质的质量分数与,的关系式，再转化为求解给定条件的多变元函数的最值问题，采用基本不等式解决.先建立流出的水中杂质的质量分数的函数表达式，然后求其最小值.设为流出的水中杂质的质量分数，则..依题意，即所求的值使值最小.得..当时，当，时，点评：该解法是将函数化为一个变量的函数，利用已知条件将多元化为一元，然后运用基本不等式求最值，这里运用了转化的数学基本思想.例3.11例3.11解析：依题意知，.因为当时，，则，得.从而.又因为.因此易知当时，有.当时，，当且仅当，即时，等号成立.又，因此当时，车流量最大.例3.12分析：如图所示，设球门的两立柱分别为、两点，边锋为，到所在直线的距离是变化的，可设为，即，而均为定值，要求最大值，可求的最大值，又，，，故可表示为的函数，然后根据基本不等式可求出的最大值，及达到最大值时的值.解：如图所示，设球门的两立柱分别为两点，边锋为，到球门所在直线的距离，，，，，，.显然，则，，且，，，当且仅当即时，等号成立.又，为增函数，当时，，从而的最大值为.所以边锋距球门所在直线距离为时，射门可命中球门的角度最大.例3.13解：如图所示，令，，则在中，.，.①又由余弦定理，，②当时取等号.由①②知..③③代入①得.当时，取得最小值.而时，为等腰三角形..注意：3.5中学基本不等式的教学3.5.1如何教3.5.1.1教学思路3.5.1.2教学目标3.5.1.3教学重难点3.5.1.4教学策略分析3.5.2如何学而且学生在学习基本不等式过程中也需要注意以下几点：注意1：由“非负数性质”知，即；注意2：在中用代换，代换,立即得到，即；注意3：在的两端分别加上其“右端”，即，即，所以；注意4：以长的线段为直径作圆，在直径上取点，使，.过点作垂直于直径的弦.连结，易证，那么,即.这个圆的半径为，显然，它大于或等于，即，注意5：应用不等式的性质，直接推导出基本不等式.要证：，只要证：，只要证：，只要证.显然上式是成立的，当且仅当时，上式中的等号成立.注意6：由数学中重要的对称思想，由处理3可想到在的两端分别加上其“左端”，则：.即.即.即.以上用对称思想作指导所进行的分析，在知识的系统中，沟通了三个不等式的联系，从而找到了，与三者之间的关系，即：与的关系为：；与的关系为：；与的关系为：.4结束语基本不等式是中学不等式知识体系的重要环节，在整个体系中起到了承上启下的作用。本设计依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求，对基本不等式的概念、性质等进行了阐述，以及从代数和几何两个方面对基本不等式进行了证明，拓展开阔数学思维。在中学的基本不等式的教学中，在学习了基本不等式