《导数和极值》课件

导数在研究函数中的应用(2)1.aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0复习:函数单调性与导数关系如果在某个区间内恒有,则为常数.设函数y=f(x)在某个区间内可导，f(x)增函数f(x)减函数2.yxOaby=f(x)x1f(x1)x2f(x2)x3f(x3)x4f(x4)在x1、x3处函数值f(x1)、f(x3)与x1、x3左右近旁各点处的函数值相比,有什么特点?观察图像：f(x2)、f(x4)比x2、x4左右近旁各点处的函数值相比呢?3.一、函数的极值定义设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对X0附近的所有点，都有f(x)<f(x0),

则f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)；如果对X0附近的所有点，都有f(x)>f(x0),

则f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)；◆函数的极大值与极小值统称为极值.(极值即峰谷处的值）使函数取得极值的点x0称为极值点4.yxOaby=f(x)x1f(x1)x2f(x2)x3f(x3)x4f(x4)在x1、x3处函数值f(x1)、f(x3)与x1、x3左右近旁各点处的函数值相比,有什么特点?观察图像：f(x2)、f(x4)比x2、x4左右近旁各点处的函数值相比呢?5.yxO探究：极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？结论:极值点处，如果有切线，切线水平的.即:

f(x)=0aby=f(x)x1

x2x3f(x1)=0

f(x2)=0

f(x3)=0

思考;若f(x0)=0，则x0是否为极值点？xyO分析y

x36.yxOaby=f(x)x1f(x1)x2f(x2)x3f(x3)x4f(x4)在x1、x3处函数值f(x1)、f(x3)与x1、x3左右近旁各点处的函数值相比,有什么特点?观察图像：f(x2)、f(x4)比x2、x4左右近旁各点处的函数值相比呢?7.进一步探究:极值点两侧函数图像单调性有何特点?极大值极小值即:极值点两侧单调性互异8.f

(x)<0yxOx1aby=f(x)极大值点两侧极小值点两侧f

(x)<0f

(x)>0f

(x)>0探究:极值点两侧导数正负符号有何规律?x2

xX<x2

x2X>x2

f

(x)

f(x)

xX<x1

x1X>x1

f

(x)

f(x)增f

(x)>0f

(x)=0f

(x)<0极大值减f

(x)<0f

(x)=0增减极小值f

(x)>0注意：（1）f

(x0)=0，x0不一定是极值点(2）只有f

(x0)=0且x0两侧单调性不同

，

x0才是极值点.(3)求极值点，可以先求f

(x0)=0的点，再列表判断单调性结论：极值点处，f

(x)=09.练习1下图是导函数的图象,试找出函数的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.abxyx1Ox2x3x4x5x610.因为

所以题1求函数的极值.解:令

解得

或当,即,或;当,即

.当x变化时,f(x)的变化情况如下表:x(–∞,

–2)–2(–2,2)2(2,+∞)00f(x)–++单调递增单调递减单调递增所以,当x=–2时,f(x)有极大值28/3;当x=2时,f(x)有极小值–4/3.11.求解函数极值的一般步骤：（1）确定函数的定义