2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 数学政治学与政治决策分析

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——数学政治学与政治决策分析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、设函数\(f(x)=\ln(1+x)-\frac{x}{1+x}\)。讨论\(f(x)\)在\(x=0\)处的连续性和可导性。若\(f(x)\)在\(x=0\)处可导，求\(f'(0)\)。二、已知函数\(g(x)=x^3-ax^2+bx\)在\(x=1\)处取得极值，且其图形在\((1,g(1))\)处的切线与直线\(y=4x-3\)平行。求常数\(a\)和\(b\)的值。三、设\(y=y(x)\)是微分方程\(xy'+y=x\lnx\)的解，且满足初始条件\(y(1)=1\)。(1)求\(y=y(x)\)的表达式。(2)讨论函数\(y(x)\)的单调性。四、在区间\([0,1]\)上，函数\(h(x)=x^2\ln(1+x)\)。(1)求\(h(x)\)的二阶导数\(h''(x)\)。(2)证明不等式\(\ln(1+x)\geq\frac{x}{1+x}\)在\([0,1]\)上成立。五、考虑二元函数\(u(x,y)=x^2+y^2+xy\)。(1)求\(u(x,y)\)在原点\((0,0)\)处的梯度\(\nablau(0,0)\)。(2)讨论是否存在常数\(\lambda\)，使得\(\nablau(x,y)=\lambda(x,y)\)对所有\((x,y)\neq(0,0)\)成立。六、设\(A\)是一个\(3\times3\)矩阵，其特征值为\(\lambda_1=1\),\(\lambda_2=2\),\(\lambda_3=3\)。矩阵\(B=A^2+A-2E\)，其中\(E\)是\(3\times3\)单位矩阵。(1)求\(B\)的特征值。(2)判断矩阵\(B\)是否可对角化，并说明理由。七、设\(\mathbf{v}_1=(1,0,1)^T\),\(\mathbf{v}_2=(0,1,1)^T\),\(\mathbf{v}_3=(1,1,0)^T\)是\(\mathbb{R}^3\)空间中的三个向量。(1)证明向量组\(\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}\)线性无关。(2)求向量\(\mathbf{b}=(1,2,3)^T\)在由\(\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}\)生成的线性空间中的线性组合表示。八、设随机变量\(X\)的概率密度函数为\(f(x)=\begin{cases}2x&0\leqx\leq1\\0&\text{otherwise}\end{cases}\)。(1)求\(X\)的期望\(\mathbb{E}(X)\)和方差\(\mathrm{Var}(X)\)。(2)设\(Y=1-X\)，求\(\mathbb{E}(XY)\)。九、某政治决策模型假设决策者\(A\)和\(B\)进行两轮博弈。第一轮，两人独立选择“合作”或“不合作”，payoffmatrix如下（A的payoff）：\[\begin{matrix}&B合作&B不合作\\A合作&(3,3)&(-1,5)\\A不合作&(5,-1)&(0,0)\\\end{matrix}\]第二轮的payoff在第一轮结果的基础上进行调整：若第一轮双方均合作，则第二轮payoffmatrix变为\(\begin{matrix}(4,4)&(-2,6)\\(6,-2)&(1,1)\end{matrix}\)；若第一轮一方不合作，另一方合作，则第二轮payoffmatrix变为\(\begin{matrix}(2,6)&(-3,7)\\(7,-3)&(0,0)\end{matrix}\)；若第一轮双方均不合作，则第二轮payoffmatrix保持不变。(1)分析此模型是否存在纯策略纳什均衡。(2)假设双方都是“理性且风险中性”的，且此博弈是无限重复进行的，试用“folktheorem”的思路讨论合作的可能性。十、考虑一个简单的政治决策问题：某项政策需要\(p\)票才能通过，决策者\(D_1,D_2,\ldots,D_n\)拥有投票权。每位决策者\(D_i\)的偏好由一个效用函数\(u_i(s)\)表示，其中\(s\)是通过政策的当前票数（\(s=0,1,\ldots,p\)）。假设\(u_i(s)\)是\(s\)的增函数。设\(D_1\)是“关键决策者”（即\(D_1\)总是在其他人都投“赞成票”时拥有决定权）。分析\(D_1\)的最优策略（即最大化其效用的投票行为）取决于什么因素？请结合博弈论中的相关概念（如序贯博弈、领导者-跟随者博弈）进行简要论述。试卷答案一、连续性：\(\lim_{x\to0}f(x)=\ln(1+0)-\frac{0}{1+0}=0=f(0)\)，故\(f(x)\)在\(x=0\)处连续。可导性：\(f'(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{1\cdot(1+x)-x\cdot1}{(1+x)^2}=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x)^2}=\frac{x}{(1+x)^2}\)。\(\lim_{x\to0}f'(x)=\lim_{x\to0}\frac{x}{(1+x)^2}=0\)。故\(f(x)\)在\(x=0\)处可导，且\(f'(0)=0\)。二、\(g'(x)=3x^2-2ax+b\)。由题意，\(g'(1)=0\)且\(g'(1)=4\)。\(g'(1)=3(1)^2-2a(1)+b=3-2a+b=0\)。(方程1)\(g'(1)=4\)。矛盾，因此\(a,b\)无法同时满足题设条件。题目可能存在错误或需重新审题。三、(1)原方程可化为\(y'+\frac{1}{x}y=\lnx\)。此为一阶线性微分方程。通解公式\(y=e^{-\intP(x)dx}\left(\intQ(x)e^{\intP(x)dx}dx+C\right)\)，其中\(P(x)=\frac{1}{x}\),\(Q(x)=\lnx\)。\(\intP(x)dx=\int\frac{1}{x}dx=\lnx\)。\(y=e^{-\lnx}(\int\lnxe^{\lnx}dx+C)=\frac{1}{x}(\intx\lnxdx+C)\)。令\(u=\lnx\),\(dv=xdx\)。则\(du=\frac{1}{x}dx\),\(v=\frac{x^2}{2}\)。\(\intx\lnxdx=\frac{x^2}{2}\lnx-\int\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}dx=\frac{x^2}{2}\lnx-\int\frac{x}{2}dx=\frac{x^2}{2}\lnx-\frac{x^2}{4}\)。\(y=\frac{1}{x}\left(\frac{x^2}{2}\lnx-\frac{x^2}{4}+C\right)=\frac{x}{2}\lnx-\frac{x}{4}+\frac{C}{x}\)。由\(y(1)=1\)，得\(1=\frac{1}{2}\ln1-\frac{1}{4}+C\cdot1\)。即\(1=-\frac{1}{4}+C\)。解得\(C=\frac{5}{4}\)。故\(y=\frac{x}{2}\lnx-\frac{x}{4}+\frac{5}{4x}\)。(2)\(y'(x)=\frac{1}{2}\lnx+\frac{x}{2}\cdot\frac{1}{x}-\frac{1}{4}-\frac{5}{4x^2}=\frac{1}{2}\lnx+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{5}{4x^2}=\frac{1}{2}\lnx+\frac{1}{4}-\frac{5}{4x^2}\)。分析\(y'(x)\)的符号：令\(h(x)=\frac{1}{2}\lnx+\frac{1}{4}-\frac{5}{4x^2}\)。求\(h(x)\)的导数\(h'(x)\)。\(h'(x)=\frac{1}{2x}+0+\frac{10}{4x^3}=\frac{1}{2x}+\frac{5}{2x^3}=\frac{x^2+5}{2x^3}\)。由于\(x>0\)，分母\(2x^3>0\)，分子\(x^2+5>0\)，故\(h'(x)>0\)对所有\(x>0\)成立。因此\(h(x)\)在\((0,+\infty)\)上单调递增。计算\(h(1)=\frac{1}{2}\ln1+\frac{1}{4}-\frac{5}{4\cdot1^2}=0+\frac{1}{4}-\frac{5}{4}=-1\)。计算\(h(2)=\frac{1}{2}\ln2+\frac{1}{4}-\frac{5}{4\cdot2^2}=\frac{1}{2}\ln2+\frac{1}{4}-\frac{5}{16}=\frac{1}{2}\ln2-\frac{1}{16}\)。\(\frac{1}{2}\ln2\approx0.3466\)，\(-\frac{1}{16}=-0.0625\)。\(h(2)\approx0.3466-0.0625=0.2841>0\)。由于\(h(x)\)在\((0,+\infty)\)上单调递增，且\(h(1)<0\),\(h(2)>0\)，根据零点存在性定理，存在唯一的\(x_0\in(1,2)\)使得\(h(x_0)=0\)。当\(0<x<x_0\)时，\(h(x)<0\)，即\(y'(x)<0\)，函数\(y(x)\)在\((0,x_0)\)上单调递减。当\(x_0<x<+\infty\)时，\(h(x)>0\)，即\(y'(x)>0\)，函数\(y(x)\)在\((x_0,+\infty)\)上单调递增。综上，函数\(y(x)\)在\((0,x_0)\)上单调递减，在\((x_0,+\infty)\)上单调递增。四、(1)\(h'(x)=2x\ln(1+x)+x^2\cdot\frac{1}{1+x}=2x\ln(1+x)+\frac{x^2}{1+x}\)。\(h''(x)=2\ln(1+x)+2x\cdot\frac{1}{1+x}+\left(\frac{2x(1+x)-x^2\cdot1}{(1+x)^2}\right)\)\(=2\ln(1+x)+\frac{2x}{1+x}+\frac{2x}{(1+x)^2}\)\(=2\ln(1+x)+\frac{2x(1+x)+2x}{(1+x)^2}\)\(=2\ln(1+x)+\frac{2x+2x^2+2x}{(1+x)^2}\)\(=2\ln(1+x)+\frac{2x^2+4x}{(1+x)^2}\)\(=2\ln(1+x)+\frac{2x(x+2)}{(1+x)^2}\)。(2)要证\(\ln(1+x)\geq\frac{x}{1+x}\)在\([0,1]\)上成立。令\(F(x)=\ln(1+x)-\frac{x}{1+x}\)。\(F'(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{1\cdot(1+x)-x\cdot1}{(1+x)^2}=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x)^2}=\frac{x}{(1+x)^2}\)。在\([0,1]\)上，\(x\geq0\)，\(1+x>0\)，故\(F'(x)\geq0\)。因此\(F(x)\)在\([0,1]\)上单调递增。计算\(F(0)=\ln(1+0)-\frac{0}{1+0}=0\)。由于\(F(x)\)在\([0,1]\)上单调递增，且\(F(0)=0\)，故对任意\(x\in[0,1]\)，有\(F(x)\geqF(0)=0\)。即\(\ln(1+x)-\frac{x}{1+x}\geq0\)，等价于\(\ln(1+x)\geq\frac{x}{1+x}\)在\([0,1]\)上成立。五、(1)\(\nablau(x,y)=\left(\frac{\partialu}{\partialx},\frac{\partialu}{\partialy}\right)=(2x+y,2y+x)\)。\(\nablau(0,0)=(2\cdot0+0,2\cdot0+0)=(0,0)\)。(2)假设存在常数\(\lambda\)，使得\(\nablau(x,y)=\lambda(x,y)\)。即\((2x+y,2y+x)=(\lambdax,\lambday)\)。比较分量得\(2x+y=\lambdax\)和\(2y+x=\lambday\)。令\(x=1,y=0\)，得\(2(1)+0=\lambda(1)\)，即\(\lambda=2\)。令\(x=0,y=1\)，得\(2(1)+0=\lambda(1)\)，即\(\lambda=2\)。令\(x=1,y=1\)，代入\(\lambda=2\)得\(2(1)+1=2(1)\)，即\(3=2\)，矛盾。因此不存在这样的常数\(\lambda\)。六、(1)\(B=A^2+A-2E\)。设\(\mathbf{v}\)是\(A\)的属于特征值\(\lambda\)的特征向量，即\(A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}\)。\(B\mathbf{v}=(A^2+A-2E)\mathbf{v}=A^2\mathbf{v}+A\mathbf{v}-2E\mathbf{v}=A(A\mathbf{v})+A\mathbf{v}-2\mathbf{v}\)\(=A(\lambda\mathbf{v})+\lambda\mathbf{v}-2\mathbf{v}=\lambdaA\mathbf{v}+\lambda\mathbf{v}-2\mathbf{v}=\lambda(\lambda\mathbf{v})+\lambda\mathbf{v}-2\mathbf{v}\)\(=\lambda^2\mathbf{v}+\lambda\mathbf{v}-2\mathbf{v}=(\lambda^2+\lambda-2)\mathbf{v}\)。所以\(\lambda^2+\lambda-2\)是\(B\)的一个特征值。将\(A\)的特征值\(\lambda_1=1,\lambda_2=2,\lambda_3=3\)分别代入：当\(\lambda=1\)时，特征值为\(1^2+1-2=0\)。当\(\lambda=2\)时，特征值为\(2^2+2-2=4\)。当\(\lambda=3\)时，特征值为\(3^2+3-2=8\)。故\(B\)的特征值为\(0,4,8\)。(2)矩阵\(B\)是一个\(3\times3\)矩阵，其特征值为\(0,4,8\)。这些特征值都是互不相同的。根据矩阵可对角化的充要条件，矩阵\(B\)有三个线性无关的特征向量。因此，矩阵\(B\)可对角化。七、(1)证明向量组\(\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}\)线性无关等价于齐次线性方程组\(c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+c_3\mathbf{v}_3=\mathbf{0}\)只有零解。即\(c_1(1,0,1)^T+c_2(0,1,1)^T+c_3(1,1,0)^T=(0,0,0)^T\)。得方程组\(\begin{cases}c_1+c_3=0\\c_2+c_3=0\\c_1+c_2=0\end{cases}\)。将系数矩阵化为行阶梯形：\(\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&0\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3-r_1}\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&1&-1\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3-r_2}\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&-2\end{pmatrix}\)。该行阶梯形矩阵有3个主元，对应3个主变量，无自由变量。故齐次线性方程组只有零解\(c_1=c_2=c_3=0\)。因此向量组\(\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}\)线性无关。(2)设\(\mathbf{b}=(1,2,3)^T\)在由\(\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}\)生成的线性空间中的线性组合为\(\mathbf{b}=c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+c_3\mathbf{v}_3\)。即\((1,2,3)^T=c_1(1,0,1)^T+c_2(0,1,1)^T+c_3(1,1,0)^T\)。得方程组\(\begin{cases}c_1+c_3=1\\c_2+c_3=2\\c_1+c_2=3\end{cases}\)。将系数矩阵与增广矩阵化为行简化阶梯形：增广矩阵\(\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&1&1\\0&1&1&2\\1&1&0&3\end{array}\right)\xrightarrow{r_3-r_1}\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&1&1\\0&1&1&2\\0&1&-1&2\end{array}\right)\xrightarrow{r_3-r_2}\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&1&1\\0&1&1&2\\0&0&-2&0\end{array}\right)\xrightarrow{-\frac{1}{2}r_3}\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&1&1\\0&1&1&2\\0&0&1&0\end{array}\right)\xrightarrow{r_2-r_3}\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&1&1\\0&1&0&2\\0&0&1&0\end{array}\right)\xrightarrow{r_1-r_3}\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&0&1\\0&1&0&2\\0&0&1&0\end{array}\right)\)。得解\(c_1=1\),\(c_2=2\),\(c_3=0\)。故\(\mathbf{b}=1\cdot\mathbf{v}_1+2\cdot\mathbf{v}_2+0\cdot\mathbf{v}_3=\mathbf{v}_1+2\mathbf{v}_2\)。八、(1)\(\mathbb{E}(X)=\int_0^1xf(x)dx=\int_0^1x\cdot2xdx=\int_0^12x^2dx=2\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1=2\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)。\(\mathbb{E}(X^2)=\int_0^1x^2f(x)dx=\int_0^1x^2\cdot2xdx=\int_0^12x^3dx=2\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^1=2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\)。\(\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}(X^2)-(\mathbb{E}(X))^2=\frac{1}{2}-\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{1}{2}-\frac{4}{9}=\frac{9}{18}-\frac{8}{18}=\frac{1}{18}\)。(2)\(Y=1-X\)。\(\mathbb{E}(XY)=\mathbb{E}((1-X)X)=\mathbb{E}(X-X^2)=\mathbb{E}(X)-\mathbb{E}(X^2)\)。由(1)知\(\mathbb{E}(X)=\frac{2}{3}\),\(\mathbb{E}(X^2)=\frac{1}{2}\)。\(\mathbb{E}(XY)=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{4}{6}-\frac{3}{6}=\frac{1}{6}\)。九、(1)分析纯策略纳什均衡需要找出所有可能的策略组合，并检查在每个组合下，双方是否有单方面改变策略而使自身收益增加的动机。可能策略组合（A,B）：1.(合作,合作)：payoff为(3,3)。若A改为不合作，payoff变为(5,-1)。A收益增加。若B改为不合作，payoff变为(-1,5)。B收益增加。因此(合作,合作)不是纯策略纳什均衡。2.(合作,不合作)：payoff为(-1,5)。若A改为不合作，payoff变为(0,0)。A收益增加。若B保持不合作，A没有动机改变。因此(合作,不合作)不是纯策略纳什均衡。3.(不合作,合作)：payoff为(5,-1)。若A保持不合作，B没有动机改变。若B改为不合作，payoff变为(0,0)。B收益增加。因此(不合作,合作)不是纯策略纳什均衡。4.(不合作,不合作)：payoff为(0,0)。若A改为合作，payoff变为(-1,5)。A收益减少。若B改为合作，payoff变为(5,-1)。B收益减少。因此(不合作,不合作)不是纯策略纳什均衡。综上，该博弈不存在纯策略纳什均衡。(2)由于不存在纯策略纳什均衡，且博弈是无限重复进行的，可以探讨混合策略纳什均衡。但题目要求分析合作的可能性，通常在这种背景下会考虑“folktheorem”。“folktheorem”表明，在无限重复博弈中，即使原始博弈（一次性博弈）没有纳什均衡，只要博弈方足够“合作”（即对未来的收益足够重视，贴现因子\(\delta\)足够接近1），并且存在一个对双方都有吸引力的“合作”策略组合（如(合作,合作)），那么通过承诺和威胁机制（如“触发策略”），博弈方可以维持合作。在本博弈中：*一次性博弈(合作,合作)的收益为(3,3)。这是A和B都能获得正收益的合作收益。*一次性博弈(不合作,不合作)的收益为(0,0)。这是“不合作”策略组合的收益。*如果双方都采取“触发策略”：开始时选择“合作”，只要对方一直合作，就继续合作；一旦对方背叛（选择“不合作”），则永远选择“不合作”（进行“报复”）。*计算合作策略的期望收益。设双方合作概率为\(p\)，不合作概率为\(1-p\)。设贴现因子为\(\delta\)(\(0<\delta\leq1\))。*A的期望收益：如果一直合作，收益为\(3+3\delta+3\delta^2+\ldots=\frac{3}{1-\delta}\)。*如果在某期对方合作，自己选择不合作，短期收益为5，但之后永远收益为0。期望收益为\(5+\delta\cdot0+\delta^2\cdot0+\ldots=5\)。*A总期望收益\(U_A=p\cdot\frac{3}{1-\delta}+(1-p)\cdot5\)。*类似地，B的总期望收益\(U_B=p\cdot\frac{3}{1-\delta}+(1-p)\cdot5\)。*为了使双方保持合作（即\(p>0\)），合作策略的期望收益必须大于不合作的期望收益（即永远不合作的收益）。*不合作的期望收益（无限期不合作）：\(0+0\delta+0\delta^2+\ldots=0\)。*因此，只要\(p>0\)，合作就有可能发生。*“folktheorem”保证了，只要双方足够重视未来（\(\delta\)足够大），并且合作是双方都偏好的（收益3>0），那么合作策略（\(p>0\)）是一个可能被维持的子博弈完美均衡。*因此，可以认为存在合作的可能性。十、此问题分析\(D_1\)的最优策略，需要结合博弈论中的序贯博弈和领导者-跟随者博弈（或称斯塔克尔伯格博弈）思想。*博弈结构：假设\(D_1\)是领导者，首先做出决策。\(D_2,D_3,\ldots,D_n\)是跟随者，在\(D_1\)做出决策后根据\(D_1\)的选择和自己的效用函数\(u_i(s)\)做出反应。*关键因素：1.效用函数\(u_i(s)\)的形式和性质：\(u_i(s)\)是\(s\)的增函数是必要条件，但通常还需要假设其连续性、凹凸性等。\(u_i(s)\)的具体形式决定了\(D_2,\ldots,D_n\)如何响应\(D_1\)的选择。2.票数要求\(p\)和决策者总数\(n\)：这决定了\(D_1\)需要多少票才能获胜，以及有多少跟随者可供选择或需要说服。3.跟随者的反应函数：给定\(D_1\)的选择（投赞成票或反对票），每个跟随者\(D_i\)会根据其效用函数\(u_i(s)\)来决定是否投票赞成。如果\(D_i\)投赞成票使\(s\)增加，否则不变。\(D_i\)会选择投票行为以最大化其自身效用\(u_i(s)\)。4.关键决策者地位：\(D_1\)的地位意味着，当其他所有决策者都投赞成票时，\(D_1\)的选择决定了最终结果（是否达到\(p\)票）。因此，\(D_1\)需要考虑其选择对最终票数\(s\)的影响，以及这个\(s\)如何通过\(u_i(s)\)影响所有决策者的效用。*策略分析思路：1.确定\(D_1\)的目标：\(D_1\)的“最优策略”通常是指使其自身效用函数\(u_1(s)\)最大化（或至少是满意）的策略。这里的\(s\)是\(D_1\)决策后，所有决策者（包括\(D_1\)自身）投赞成票的总数。2.分析跟随者的行为：\(D_1\)需要预测或确定\(D_2,\ldots,D_n\)在给定其决策（投赞成或反对）时的反应。这通常需要明确\(D_1\)的选择如何影响\(s\)，以及\(D_1\)如何影响\(D_i\)的\(u_i(s)\)。3.构建\(D_1\)的效用函数：\(D_1\)的总效用可能不仅取决于\(s\)，还可能取决于其决策成本、与其他决策者的关系、政治声誉等。但基本分析通常简化为最大化\(u_1(s)\)。4.求解最优策略：*简化模型：如果假设\(D_1\)的目标仅是最大化\(u_1(s)\)，且能明确\(D_1\)的选择如何影响\(s\)和\(D_1\)自身的\(u_1(s)\)，则可以使用优化理论或博弈论方法（如反向归纳法，如果跟随者反应复杂）来求解。*复杂性：实际情况可能更复杂。例如，\(D_1\)可能需要考虑选票成本（如说服某位跟随者投票需要付出资源），可能需要考虑联盟构建，可能需要考虑声誉或未来互动。这些因素都会影响\(D_1\)的最优策略。*结论：\(D_1\)的最优策略主要取决于：*其自身效用函数\(u_1(s)\)的具体形式和性质。*政治决策模型的具体设定：包括\(p\)、\(n\)、跟随者的反应规则、是否存在选票成本、时间贴现等。*博弈的背景设定：如选举模型、立法模型、资源分配模型等。在典型的简化模型中，如果假设\(D_1\)的目标是最大化其在特定票数\(s\)下的效用\(u_1(s)\)，并且已知\(D_1\)的选择如何影响\(s\)，且\(D_1\)了解所有决策者的效用函数\(u_i(s)\)。*\(D_1\)需要首先考虑不同策略（投赞成、投反对）可能导致的最终票数\(s\)。*然后计算在每种\(s\)下，基于\(D_1\)的策略，以及跟随者的反应，\(D_1\)的效用\(u_1(s)\)的预期值。*最后选择预期效用最大的策略。因此，\(D_1\)的最优策略取决于其目标函数（通常是最大化自身效用\(u_1(s)\)，可能涉及对\(s\)的控制能力、对\(u_i(s)\)的了解程度，以及数学模型的具体设定（如优化方法、概率论、微分方程、博弈论模型等）。---试卷答案一、\(f(x)=\ln(1+x)-\frac{x}{1+x}\)。连续性：\(\lim_{x\to0}f(x)=\ln(1+0)-\frac{0}{1+0}=0=f(0)\)，故\(f(x)\)在\(x=0\)处连续。可导性：\(f'(x)=\frac{d}{dx}[\ln(1+x)-\frac{x}{1+x}]=\frac{1}{1+x}-\frac{1\cdot(1+x)-x\cdot1}{(1+x)^2}=\frac{1}{1+x}-\fr