形如函数y=1.x(x^2-1)的图像示意画法步骤及其性质解读B3

函数y=eq\f(2,x(13x2-54))的图像示意图主要内容：介绍分数函数y=eq\f(2,x(13x2-54))的定义域、值域、单调性、凸凹性、极限等主要函数性质，并通过导数知识求解计算函数的单调区间和凸凹区间，综合函数性质画出该函数图像的示意图。函数定义域：因为y=eq\f(2,x(13x2-54))，所以分母不为0，观察分母函数特征，可知自变量x不为0，且13x2-54≠0，即x2≠eq\f(54,13)，则x1≠-eq\r(eq\f(54,13))≈-2.04，x2≠eq\r(eq\f(54,13))≈2.04。所以函数的定义域为(-∞，-2.04)，(-2.04，0)，(0，2.04)，(2.04，+∞)。由于函数的分子为1，所有该函数y≠0，故函数的值域为(-∞，0),(0，+∞）。函数的单调性：由y=eq\f(2,x(13x2-54))，对x求导得：eq\f(dy,dx)=-2*eq\f((13x2-54)+x*26x,[x(13x2-54)]2)=-2*eq\f(39x2-54,[x(13x2-54)]2),令eq\f(dy,dx)=0,则39x2-54=0，此时有：x3=-eq\r(\f(18,13))≈-1.18，x4=eq\r(\f(18,13))≈1.18。所以函数的单调性及单调区间为：(1)当x∈(-∞，-2.04)，(-2.04，-1.18]，[1.18，2.04)，(2.04，+∞)时，eq\f(dy,dx)>0,函数为增函数。(2)当x∈(-1.18，0)，(0，1.18）时，eq\f(dy,dx)<0,函数为减函数。函数的凸凹性：由eq\f(dy,dx)=-2*eq\f(39x2-54,[x(13x2-54)]2)，再次对x求导得，eq\f(d2y,dx2)=-2*eq\f(78x[x(13x2-54)]2-2(39x2-54)[x(13x2-54)](13x2-54+26x2),[x(13x2-54)]4)=-2*eq\f(78x2(13x2-54)-2(39x2-54)(39x2-54),[x(13x2-54)]3)=2*eq\f(2[39x2(13x2-54)-(39x2-54)2],[x(13x2-54)]3)=2*eq\f(12(169x4-351x2+486),[x(13x2-54)]3),对于g(x)=169x4-351x2+486看做x2的二次函数，判别式=3512-4*169*486<0,即分子为正数，所以eq\f(d2y,dx2)的符号取决于分母。(1)当x∈(-2.04，0)，(0，2.04)时，eq\f(d2y,dx2)>0，函数y为凹函数；(2)当x∈(-∞，-2.04)，(2.04，+∞)时，eq\f(d2y,dx2)<0,此时函数y为凸函数。函数的极限:lim(x→-∞)eq\f(2,x(13x2-54))=0，lim(x→0-)eq\f(2,x(13x2-54))=-∞，lim(x→0+)eq\f(2,x(13x2-54))=+∞，lim(x→+∞)eq\f(2,x(13x2-54))=0，lim(x→-2.04-)eq\f(2,x(13x2-54))=-∞，lim(x→-2.04+)eq\f(2,x(13x2-54))=+∞，lim(x→2.04-)eq\f(2,x(13x2-54))=-∞，lim(x→2.04+)eq\f(2,x(13x2-54))=+∞，函数的奇偶性因为f(x)=eq\f(2,x(13x2-54)),所以f(-x)=eq\f(2,(-x)[13(-x)2-54])，即：f(-x)=-eq\f(2,x(13x2-54))=-f(x).所以函数为奇函数，关于原点对称。函数五点图表x-7.14-6.12-5.10-4.08-3.0613x2-54608.7432.9284.1162.467.7y0-0.001-0.001-0.003-0.010x-1.63-1.41-1.18-0.59-0.4713x2-54-19.5-28.2-35.9-49.5-51.1y0.060.050.050.070.08x0.470.941.181.411.6313x2-54-51.13-42.51-35.90-28.15-19.46y-0.08-0.05-0.05-0.05-0.06x3.064.085.106.127.1413x2-5467.7162.4284.1432.9608.7y0.0100.0030.0010.0010函数的示意图f(x)=eq\f(2,x(13x2-54))y(-0.47,0.08)(-1.63,0.06)(-1.18,0.05)(3.06,0.010)（-7.14