【课件】角的平分线的性质（第1课时）课件2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

14.3.1角的平分线的性质

人教版（2024）八年级上册1.三角形全等的判定方法有哪些？2.什么是点到直线的距离？点到直线垂线段的长度3.什么是角的平分线SASASAAASSSSHL(直角三角形专用）

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的角平分线复习导入如图，是一个角平分仪，其中OA=OB，BC=AC.将点O放在角的顶点，OA和OB沿着角的两边放下，沿OC画一条射线，进而射线OC就是角平分线，你能说明它的道理吗?OBC(E)A其依据是SSS，证明两三角形全等，进而对应角相等.角平分仪的介绍

如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？ABO请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系.提示(1)已知什么？求作什么？(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢?(3)在平分角的仪器中，AC=BC，怎样在作图中体现这个过程呢？(4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？做一做探究1AI时刻ABMNCO已知:∠AOB.求作：∠AOB的平分线.仔细观察步骤

作角平分线是最基本的尺规作图，大家一定要掌握噢!作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N.（2）分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.（3）作射线OC.射线OC即为∠AOB的平分线.半径小于MN或等于MN，可以吗？尺规作图1.操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB

，点D,E为垂足，测量PD,PE的长.将三次数据填入下表：2.观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结果：__________

PDPE第一次第二次第三次

COBAPD=PEpDEOC是∠AOB的平分线，P是射线OC上的任意一点.猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.角平分线的性质探究2已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE.PAOBCDE证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠DOP=∠EOP，OP=OP，∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE.角的平分线上的点到角的两边的距离相等.验证猜想性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.九字小口决：（1）一平分；（2）两垂直；（3）得相等.定理的作用：

证明线段相等.符号语言：∵OP是∠AOB的平分线，∴PD=PE推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.PD⊥OA，

PE⊥OB，BADOPEC笔记时刻判一判：（1）∵如下左图，AD平分∠BAC（已知），

∴

=

，()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BDCD×BADC(2)∵如上右图，

DC⊥AC，DB⊥AB（已知）.

∴

=

，

()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BDCD×BADC缺少“垂直距离”这一条件缺少“角平分线”这一条件小试牛刀例1已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC.垂足分别为E，F.求证：EB=FC.ABCDEF证明：∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴

DE=DF，

∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE和

Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.角平分线的性质的应用例题精讲例2如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D,E，PD=4cm，则PE=______cm.BACPMDE4提示：存在两条垂线段——直接应用.利用角平分线的性质求线段的长度挑战提升ABCP如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，

AB=14.

则点P到AB的距离为_______.D4提示：存在一条垂线段——构造应用.迁移拓展（2024·江苏常州中考）如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则（）A．d1与d2一定相等 B．d1与d2一定不相等C．l1与l2一定相等 D．l1与l2一定不相等A直击中考角平分线尺规作图属于基本作图，必须熟练掌握作图方法性质定理一平分：一条角平分线；二垂直：点到角两边作垂直；得相等：两条垂线段相等辅助线添加过角平分线上一点向两边作垂线段为证明线段相等提供了又一途径谈谈收获1.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，下列结论中错误的是(

)A.PC＝PDB.OC＝OD

C.∠CPO＝∠DPOD.OC＝PCD2.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝