【公开课】整数指数幂-第1课时负整数指数幂++课件2025-2026学年+人教版八年级数学上册

1.探索负整数指数幂的意义，掌握整数指数幂的运算性质.2.能熟练运用整数指数幂的运算性质进行计算.随着我们认识的数的范围不断扩大，数的运算也在不断推广.例如，加法运算从非负整数范围推广到非负有理数范围，再到有理数范围.同样地，对于幂的运算an，是否也可以从正整数指数幂推广到更大的范围呢？下面，我们从追溯幂的符号的演变开始.溯源

幂的符号的演变经历了漫长的时间，a²，a³，a⁴的一些表示如图所示.△，K，△

△γγγ3世纪丢番图Aq，Acu，Aqq韦达(Vietè，1540—1603)16世纪哈利奥特(Harriot，1560—1621)aa，aaa，aaaaa2，a3，a4笛卡尔1637年an这种幂的符号不仅简明、利于运算，而且有助于幂的运算的推广.17世纪回顾

已经学习过的幂的运算有哪些？(1)am·an=am+n(m，n是正整数)；(2)(am)n=amn(m，n是正整数)；(3)(ab)n=anbn(n是正整数)；(4)am÷an=am一n(a≠0，m，n是正整数，m>n)；(5)()n=(n是正整数)；(6)当a≠0时，a⁰=1.

以上出现的幂，指数均为正整数或0，那幂的指数可以

是负整数吗？1676年，牛顿(Newton，1643—1727)提出了一个设想：“因为数学家将aa，aaa，aaaa，…写成a²，a³，a⁴，…，所以我将

，

，

，…写成a－¹，a－²，a－³，···.”

你认为牛顿的这个设想合理吗?思考

如果am中的m可以是负整数，那么负整数指数幂am表示什么?由分式的约分可知，当a≠0时，.①如果把正整数指数幂的运算性质(a≠0，m，n是正整数，m>n)中的条件m>n去掉，则有.②由①②两式，我们想到如果规定(a≠0)，就能使

这条性质也适用于像

这样的情形.归纳总结一般地，当n是正整数时，这就是说，a－n

(a≠0)是an的倒数.引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数.为使上述运算性质适用范围更广，同时也可以更简便地表示分式，数学中规定：引入负整数指数和0指数后，正整数指数幂的运算性质“am·an=am+n(m，n是正整数)”能否推广到m、n是任意整数的情形?思考归纳总结一般地，am·an=am+n这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然适用.探究尝试用负整数指数幂或0指数幂对于其他四个正整数指数幂的运算性质进行尝试，看看这些性质在整数指数幂范围内是否还适用.(am)n=amn(m，n是正整数)；(ab)n=anbn(n是正整数)；am÷an=am一n(a≠0，m，n是正整数，m>n)；()n=(n是正整数)；(am)n=amn(m，n是正整数)(am)n=amn这条性质对于n是任意整数的情形仍然适用.(ab)n=anbn(n是正整数)(ab)n=anbn这条性质对于n是任意整数的情形仍然适用.am÷an=am-n(a≠0，m，n是正整数，m>n)am÷an=am一n这条性质对于n是任意整数的情形仍然适用.()n=(n是正整数)()n=这条性质对于n是任意整数的情形仍然适用.(am)n=amn(m，n是正整数)；(ab)n=anbn(n是正整数)；am÷an=am一n(a≠0，m，n是正整数，m＞n)；()n=(n是正整数)；事实上，随着指数的范围由正整数推广到全体整数，这些运算性质也推广到整数指数幂.归纳总结例

计算：(1)a－2÷a5；(2)；(3)(a－1b2)3；

(4)解：(1)a－2÷a5=a－2－5=a－7=；(3)(a－1b2)3=a－3b6=；；变式

计算：(1)；(2).解：原式

；解：原式

.探究

同底数幂的乘法与除法的关系：

根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时，特别地，

，

所以

，即商的乘方

可以转化为积的乘方.因此同底数幂的除法

可以转化为同底数幂的乘法.归纳总结am·an=am+n(m，n是整数)；(am)n=amn(m，n是整数)；(ab)n=anbn(n是整数)；整数指数幂的运算性质可以归结为：1.(2024宁夏)下列运算正确的是()BA.

B.C.D.2.根据数值转换机的示意图，输出的值为_____．解：原式

；3.计算：(1)(2024广东)；解：原式

(2)(2024山西).3.计算：解：原式

.(3)

.4.先化简，再求值：

，其中.解：原式

当x=4时，原式=4.负整数指数幂运算性质负整数指数幂a－n

(a≠0)是an