【课件】线段的垂直平分线-第1课时线段的垂直平分线的性质与判定+课件2025-2026学年+人教版八年级数学上册

1.理解并掌握线段垂直平分线的性质和判定定理.2.能运用线段垂直平分线的性质和判定解决问题.3.理解互逆命题、互逆定理的概念.线段的垂直平分线的定义是什么？

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线.线段的垂直平分线的性质是什么？如何判定呢？

如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在

l上，

分别比较点P1，P2，P3，...与点A

的距离和这些点与点B

的距离，你有什么发现？探究P1A=P1B，P2A=P2B，P3A=P3B，...点击文字跳转原文件

如果把线段AB沿直线

l

对折，线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段P3A与P3B……都是重合的，因此它们也分别相等.由此猜想线段的垂直平分线有以下性质:

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.试着证明这个猜想.如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在直线

l

上.求证：PA=PB.证明：当点P与点C不重合时，∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB.又AC=BC，CP=CP∴△PCA≌△PCB(SAS).∴PA=PB.

当点P与点C重合时，显然成立.归纳总结线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.符号语言:如图，直线

l⊥AB

，AC=CB，(或者说l

是AB

的垂直平分线)∴PA=PB.

把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗?即如果

PA=PB，那么点

P是否在线段

AB的垂直平分线上呢?思考1猜想：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.试着证明这个猜想.证明：过点P作直线l，使得l⊥AB，垂足为O.∵l⊥AB，∴∠POA=∠POB=90°.在Rt△PAO和Rt△PBO中，PA=PB，PO=PO，∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）.

∴AO=BO.又l⊥AB，∴直线l是线段

AB的垂直平分线，∴点P在线段AB的垂直平分线上.ABPlO如图，PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上.归纳总结通过证明可以得到：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.符号语言：如图，∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上.ABPlO

从线段垂直平分线的性质和判定两个结论可以看出：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；

反过来，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

所以线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合.归纳总结例1如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点

E，DF⊥AC于点

F，试说明

AD与

EF的关系.解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD＝90°.又∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF(AAS).∴AE＝AF，DE＝DF.∴A、D均在线段

EF的垂直平分线上，即直线

AD垂直平分线段

EF.ABCDEF思考2

分析关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系?题设结论命题1命题2这两个命题的题设、结论正好相反.点在线段的垂直平分线上该点到这条线段两个端点的距离相等点到线段两个端点的距离相等该点在这条线段的垂直平分线上归纳总结

题设、结论正好相反的两个命题叫作互逆命题.

如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.

一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立.

例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题都是成立的；而命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立.归纳总结

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理.

例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理，“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆定理.

其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.试着举出几组互逆定理.例2写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立.(1)如果两个角相等，那么这两个角的补角相等.(2)等边三角形是锐角三角形.(3)如果两个实数的积是正数，那么它们都是正数.解：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等.成立.解：锐角三角形是等边三角形.不成立.解：如果两个数都是正数，那么它们的积也是正数.成立.1.某地政府为改善偏远山区信号差的问题，准备新建信号塔.如图，计划在三个村子A，B，C附近建一座信号塔，若要使信号塔到三个村子的直线距离相等，则该信号塔应建在(

)A.△ABC三边高线的交点处B.△ABC三边中线的交点处C.△ABC三内角平分线的交点处D.△ABC三边垂直平分线的交点处D2.下列四个命题：①若a＝b，则|a|＝|b|；②平行于同一条直线的两条直线平行；③全等三角形的对应角相等；④两个锐角之和是直角.其中逆命题是真命题的是(

)A.①②③④B.①③④C.②④D.④C3.(2023青海)如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是________．134.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l1交AB于点M，交BC于点D，AC的垂直平分线l2交AC于点N，交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为10.请你解答下列问题：(1)求BC的长；解：∵l1垂直平分AB，∴DB＝DA，同理EA＝EC，∴BC＝BD＋DE＋EC＝DA＋DE＋EA＝10；(2)试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由．解：点O在边BC的垂直平分线上．理由如下：如图，连接AO，BO，CO，∵l1与l2是AB，AC