第06讲完全平方公式(原卷版+解析)

第06讲完全平方公式思维导图核心考点聚焦1.运用完全平方公式进行运算2.利用完全平方公式进行简便运算3.通过对完全平方公式变形求值4.求完全平方式中的字母系数5.完全平方公式在几何图形中的应用一、完全平方公式完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍.即完全平方和公式：(a+b)²=a²+2ab+b²；完全平方差公式：(a-b)²=a²-2ab+b²．（1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍．（2）公式的变化：①a²+b²=(a+b)²-2ab；②a²+b²=(a-b)²+2ab；③(a+b)²=(a-b)²+4ab；④(a-b)²=(a+b)²-4ab；⑤(a+b)²-(a-b)²=4ab．二、平方差和完全平方差区别平方差公式:(a+b)(a-b)=a²-b²；完全平方差公式：(a-b)²=a²-2ab+b²；平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍．1.熟记完全平方和与完全平方差公式，并能区别开.2.能利用完全平方公式进行简便运算，能解决与完全平方公式有关的几何图形的应用问题.3.完全平方公式变式求值，巧变形.考点剖析考点一、运用完全平方公式进行运算例题1．运用完全平方公式计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．【变式训练】1．计算：．【解析】．2．计算：．【解析】．考点二、利用完全平方公式进行简便运算例题2．用简便方法计算：．【解析】原式．【变式训练】1．用简便方法计算：．【解析】原式．考点三、通过对完全平方公式变形求值例题3．已知，.(1)求的值；(2)求的值.【解析】（1）原式，将，代入得原式=11-2×1=9．（2）由（1）得：，原式，将，代入得原式=9-2×1=7．【变式训练】1．已知，，求下列代数式的值．(1)；(2)．【解析】（1）因为，所以，所以，因为，所以；（2），，，．2．阅读下列解答过程：已知，且满足，求的值．，，即．．请通过阅读以上内容，解答下列问题：已知，且满足，求的值．【解析】因为，所以，整理得：，所以，所以．考点四、求完全平方式中的字母系数例题4．已知关于x的式子是某个多项式的完全平方，那么A是．【答案】、和【解析】①若为首尾两倍的平方.因为，所以，②若为首尾两倍的平方.因为是多项式的平方，所以；故答案为：、和．【变式训练】1．若是一个完全平方式，则．【答案】11或【解析】因为是一个完全平方式，所以，所以，解得或，故答案为：11或．2．若整式4x2+Q+1是完全平方式，请你写出满足条件的单项式Q是__________．【答案】4x，-4x，-1，-4x2，4x4．【解析】因为4x2+4x+1=（2x+1）2，4x2-4x+1=（2x-1）2，4x2-4x2+1=12，4x2+1-1=（2x）2，4x4+4x2+1=（2x2+1）2，所以满足的Q有4x，-4x，-4x2，-1，4x4．故答案为：4x，-4x，-1，-4x2，4x4．考点五、完全平方公式在几何图形中的应用例题5．现有长与宽分别为，的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：(1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于，的关系式（用，的代数式表示出来）：图1表示：；图2表示：；根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：(2)若，，则，．【解析】（1）图1中，由图可知，，由题意得，，即，故答案为：．图2中，由图可知，，，由题图可知，，即，故答案为：．（2），，，，所以．故答案为：16；12．【变式训练】1．我们将完全平方公式进行变形，可以得到一些新的等式，如：，，等等．请利用这些变形后的等式解决下列问题：（1）已知，，求的值；（2）若满足，求的值；（3）如图，四边形是梯形，，，，，连接，，若，则图中阴影部分的面积为__________．【解析】（1）因为，即，而，所以，所以；（2）设，则，因为，即，所以；（3）设，由于，即，所以，，故答案为：5．过关检测一、选择题1．下列计算不正确的是（

）A． B．C． D．2．已知，则的值为（

）A．28 B．40 C．26 D．253．小华在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为，则中间一项的系数是（

）A． B． C．或 D．4．若，，则的值是（）A．9 B．10 C．2 D．1

5．如图1是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积为（

）图1 图2A． B． C． D．二、填空题6．计算：．7．若，则．8．若，则n的值为．9．若是一个完全平方式，则k的值是．10．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为，宽为的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）观察图2的面积关系，写出正确的等式：；（2）两个正方形，按图3所示的方式摆放，边长分别为x，y．若，，则图中阴影部分面积和为．三、解答题11．先化简，再求值：，其中．12．运用乘法公式计算：(1)；(2)13．计算题：(1)；(2)．14．已知，求下列式子的值：(1)；(2)．15．阅读下列材料，完成后面的任务．完全平方公式的变形及其应用．我们知道，完全平方公式有：．在解题过程中，根据题意，若将公式进行变形，则可以达到快速求解的目的，其变形主要有下列几种情形：；．根据上述公式的变形，可以迅速地解决相关问题．例如：已知，，求的值．．任务：(1)已知，则__________．(2)已知，求的值．16．如图①，正方形是由两个长为a、宽为b的长方形和两个边长分别为a，b的正方形拼成的．(1)利用正方形面积的不同表示方法，直接写出，，之间的关系式，这个关系式是__________；(2)若m满足，请利用（1）中的数量关系，求的值；(3)若将正方形的边，分别与图①中的，重叠，如图②所示，已知，，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）．17．【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题：【直接应用】（1）若，，求的值．【类比应用】（2）若，则__________．【知识迁移】（3）如图，长方形的面积为，分别以，为边作正方形，正方形，已知，，则图中阴影部分的面积为__________．

第06讲完全平方公式思维导图核心考点聚焦1.运用完全平方公式进行运算2.利用完全平方公式进行简便运算3.通过对完全平方公式变形求值4.求完全平方式中的字母系数5.完全平方公式在几何图形中的应用一、完全平方公式完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍.即完全平方和公式：(a+b)²=a²+2ab+b²；完全平方差公式：(a-b)²=a²-2ab+b²．（1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍．（2）公式的变化：①a²+b²=(a+b)²-2ab；②a²+b²=(a-b)²+2ab；③(a+b)²=(a-b)²+4ab；④(a-b)²=(a+b)²-4ab；⑤(a+b)²-(a-b)²=4ab．二、平方差和完全平方差区别平方差公式:(a+b)(a-b)=a²-b²；完全平方差公式：(a-b)²=a²-2ab+b²；平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍．1.熟记完全平方和与完全平方差公式，并能区别开.2.能利用完全平方公式进行简便运算，能解决与完全平方公式有关的几何图形的应用问题.3.完全平方公式变式求值，巧变形.考点剖析考点一、运用完全平方公式进行运算例题1．运用完全平方公式计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．【变式训练】1．计算：．【解析】．2．计算：．【解析】．考点二、利用完全平方公式进行简便运算例题2．用简便方法计算：．【解析】原式．【变式训练】1．用简便方法计算：．【解析】原式．考点三、通过对完全平方公式变形求值例题3．已知，.(1)求的值；(2)求的值.【解析】（1）原式，将，代入得原式=11-2×1=9．（2）由（1）得：，原式，将，代入得原式=9-2×1=7．【变式训练】1．已知，，求下列代数式的值．(1)；(2)．【解析】（1）因为，所以，所以，因为，所以；（2），，，．2．阅读下列解答过程：已知，且满足，求的值．，，即．．请通过阅读以上内容，解答下列问题：已知，且满足，求的值．【解析】因为，所以，整理得：，所以，所以．考点四、求完全平方式中的字母系数例题4．已知关于x的式子是某个多项式的完全平方，那么A是．【答案】、和【解析】①若为首尾两倍的平方.因为，所以，②若为首尾两倍的平方.因为是多项式的平方，所以；故答案为：、和．【变式训练】1．若是一个完全平方式，则．【答案】11或【解析】因为是一个完全平方式，所以，所以，解得或，故答案为：11或．2．若整式4x2+Q+1是完全平方式，请你写出满足条件的单项式Q是__________．【答案】4x，-4x，-1，-4x2，4x4．【解析】因为4x2+4x+1=（2x+1）2，4x2-4x+1=（2x-1）2，4x2-4x2+1=12，4x2+1-1=（2x）2，4x4+4x2+1=（2x2+1）2，所以满足的Q有4x，-4x，-4x2，-1，4x4．故答案为：4x，-4x，-1，-4x2，4x4．考点五、完全平方公式在几何图形中的应用例题5．现有长与宽分别为，的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：(1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于，的关系式（用，的代数式表示出来）：图1表示：；图2表示：；根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：(2)若，，则，．【解析】（1）图1中，由图可知，，由题意得，，即，故答案为：．图2中，由图可知，，，由题图可知，，即，故答案为：．（2），，，，所以．故答案为：16；12．【变式训练】1．我们将完全平方公式进行变形，可以得到一些新的等式，如：，，等等．请利用这些变形后的等式解决下列问题：（1）已知，，求的值；（2）若满足，求的值；（3）如图，四边形是梯形，，，，，连接，，若，则图中阴影部分的面积为__________．【解析】（1）因为，即，而，所以，所以；（2）设，则，因为，即，所以；（3）设，由于，即，所以，，故答案为：5．过关检测一、选择题1．下列计算不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】A、，原式计算正确，故A不符合题意；B、，原式计算错误，故B符合题意；C、，原式计算正确，故C不符合题意；D、，原式计算正确，故D不符合题意；故选B．2．已知，则的值为（

）A．28 B．40 C．26 D．25【答案】B【解析】，，即，，，，故选B．3．小华在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为，则中间一项的系数是（

）A． B． C．或 D．【答案】C【解析】依题意，，则中间一项的系数是或，能使左右两边相等，即，或，故选C．4．若，，则的值是（）A．9 B．10 C．2 D．1

【答案】B【解析】．故选B．5．如图1是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积为（

）图1 图2A． B． C． D．【答案】C【解析】中间空的部分的面积＝大正方形的面积个小长方形的面积；故选C．二、填空题6．计算：．【答案】【解析】．故答案为：．7．若，则．【答案】【解析】因为，所以，故答案为：．8．若，则n的值为．【答案】【解析】因为，所以，所以，所以．故答案为：．9．若是一个完全平方式，则k的值是．【答案】13或【解析】，，或，故答案为：13或．10．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为，宽为的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）观察图2的面积关系，写出正确的等式：；（2）两个正方形，按图3所示的方式摆放，边长分别为x，y．若，，则图中阴影部分面积和为．【答案】；8【解析】（1）由图2知，大正方形的面积为，又可以表示为，所以，故答案为：；（2）由题知：，，则，则，所以，所以（负值舍去），图中阴影部分面积为：．故答案为：8．三、解答题11．先化简，再求值：，其中．【解析】，当时，原式．12．运用乘法公式计算：(1)；(2)【解析】（1）．（2）．13．计算题：(1)；(2)．【解析】（1）原式；（2）原式．14．已知，求下列式子的值：(1)；(2)．【解析】（1）因为，所以．（2）因为，所以．15．阅读下列材料，完成后面的任务．完全平方公式的变形及其应用．我们知道，完全平方公式有：．在解题过程中，根据题意，若将公式进行