2025年大学《数理基础科学》专业题库- 数学抽象代数在计算机编程中的应用

2025年大学《数理基础科学》专业题库——数学抽象代数在计算机编程中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题1.下列哪个集合对给定的运算不构成群？(A)实数集R对加法运算(B)非零实数集R\{0}对乘法运算(C)整数集Z对除法运算(D)n阶正整数倍数集{0,n,2n,...,(n-1)n}对加法运算，其中n为正整数2.设G是一个群，a,b∈G，若(ab)^2=a^2b^2，则下列结论一定成立的是？(A)G是交换群(B)a与b可交换(C)a或b是单位元(D)G是有限群3.下列哪个不是环R的单位元必须满足的性质？(A)对任意a∈R，有ur=a(B)对任意a∈R，有ru=a(C)存在r^(-1)∈R，使得rr^(-1)=1(D)对任意a∈R，有a+r=r+a4.下列哪个环是域？(A)整数集Z对加法和乘法运算(B)有理数集Q对加法和乘法运算(C)实数集R对加法和乘法运算(D)n阶整数环Z/nZ，其中n为正整数5.在有限群G中，下列哪个命题不成立？(A)每个元素的阶都是有限的(B)元素的阶整除群的阶(C)群的阶等于所有元素阶的和(D)存在元素a∈G，使得a的阶等于群的阶二、填空题1.设G是一个交换群，a∈G，则a的逆元记作________。2.环R中的加法单位元称为________，乘法单位元称为________。3.域D中的乘法逆元指的是对于非零元素a∈D，存在b∈D，使得________。4.循环群是指由一个生成元生成的群，记作________，其所有元素可以表示为________。5.在群G中，元素a的阶是指________，记作________。三、简答题1.简述群在数据结构中的应用，举例说明。2.解释环的特征，并举例说明特征为0的环和特征为p(p为素数)的环的区别。3.描述域在密码学中的作用，并举例说明一种基于域的密码算法。4.说明同态的概念，并举例说明群同态和环同态的区别。5.解释陪集的概念，并说明陪集在计算机科学中的应用。四、计算题1.设G={a,b,c,d}是一个群，运算表如下：|*|a|b|c|d||---|---|---|---|---||a|a|b|c|d||b|b|c|d|a||c|c|d|a|b||d|d|a|b|c|求：(1)G的单位元；(2)元素b和c的阶；(3)G的所有子群。2.设R=Z/6Z是整数模6的剩余类环，计算：(1)3+4和3*4；(2)3的加法逆元和乘法逆元（如果存在）。3.设R[x]是实数系数多项式环，考虑多项式f(x)=x^2-1和g(x)=x+1，计算f(x)+g(x)和f(x)*g(x)。五、应用题1.设计一个基于群的简单加密算法，要求说明群的选取、加密和解密过程。2.分析一个简单的数据结构（例如栈或队列）中的代数结构，并说明如何利用抽象代数的知识优化其性能。试卷答案一、选择题1.(C)解析：整数集Z对除法运算不满足封闭性和逆元性质，因此不构成群。2.(A)解析：若(ab)^2=a^2b^2对所有a,b∈G成立，则G必然是交换群。3.(D)解析：环的单位元满足加法和乘法单位元性质，即对任意a∈R，有ur=a和ru=a，故(A)和(B)正确；存在r^(-1)使得rr^(-1)=1是乘法逆元定义，故(C)正确；环的单位元在加法下称为零元，满足a+r=r+a，故(D)错误。4.(B)解析：有理数集Q在加法和乘法下封闭、结合，存在加法零元和乘法单位元，非零元素a的乘法逆元a^(-1)=1/a存在，因此Q是域。Z不是域因为有理数不是整数环的乘法逆元。R是域但不是“哪个”，Z/nZ当n为素数时是域，但题目问“哪个”，故选B。5.(C)解析：群G中元素的阶整除群的阶，但不一定等于所有元素阶的和。例如，循环群Z_6={0,1,2,3,4,5}，其阶为6，元素0的阶为1，其他元素的阶为6的因子：1,2,3,6。和为1+2+3+6+4+5=21≠6。二、填空题1.a^(-1)解析：群中元素a的逆元定义为满足a*a^(-1)=e和a^(-1)*a=e的元素e，通常记作a^(-1)。2.零元；单位元解析：在环R中，加法单位元是使得对任意a∈R有a+0=a的元素，称为零元；乘法单位元是使得对任意a∈R有a*1=a的元素，称为单位元。3.ab=ba=1解析：域D中的乘法逆元b对于非零元素a，满足a与b的乘积等于乘法单位元1。4.<g>,{g^k|k∈Z}解析：循环群是由生成元g生成的，记作<g>，其所有元素可以表示为生成元的整数次幂。5.a^n=e，其中n是最小的正整数；|a|解析：元素a的阶是指a的正整数次幂首次等于群单位元e时的次数，记作|a|。其中n是最小的正整数。三、简答题1.简述群在数据结构中的应用，举例说明。解析思路：群的理论可以用于分析数据结构的性质和设计算法。例如，栈和队列的某些操作可以看作群或半群的结构。哈希表可以通过使用群的操作来提高其性能或实现特定的功能。矩阵运算在图形学中广泛应用，矩阵乘法构成半群，可用于表示变换。编码理论中，群论用于构造纠错码。图论中的路径搜索也可以用群论的观点来理解。答：群在数据结构中的应用主要体现在：1）分析数据结构的代数性质，例如栈和队列的某些操作序列可以看作半群或群的生成集；2）利用群操作优化数据结构性能，例如哈希表设计；3）设计基于群的算法，例如利用对称性简化计算；4）构造具有特定代数结构的编码数据，如纠错码。2.解释环的特征，并举例说明特征为0的环和特征为p(p为素数)的环的区别。解析思路：环的特征是环中所有元素加起来的有限循环群的大小，或者说是n使得n*1=0的最小正整数。特征为0表示不存在这样的n，特征为p表示p*1=0。特征为p的环意味着整数环Z中的模p运算性质在整个环中成立。答：环R的特征是指满足n*1=0的最小正整数n，其中1是环的乘法单位元。如果不存在这样的n，则特征为0。例如，整数环Z的特征为0，因为不存在正整数n使得n*1=0。特征为p(p为素数)的环R满足p*1=0，且对于任意a,b∈R有(a+b)modp=(amodp+bmodp)modp和(a*b)modp=(amodp*bmodp)modp。区别在于特征为0的环没有这样的限制，而特征为p的环类似于Z/pZ，其加法和乘法都受到模p的约束。3.描述域在密码学中的作用，并举例说明一种基于域的密码算法。解析思路：域提供了加法和乘法运算的完整代数结构，使得复杂的数学运算（如有限字段上的运算）成为可能。许多密码算法，特别是公钥密码算法，依赖于有限域（Galois域）的优异代数性质，如加法群和乘法群的结构、有限射影几何等。答：域在密码学中作用重大，主要用于：1）构建密码算法的基础运算，如公钥密码算法RSA和ElGamal的模运算基于整数环，但安全性依赖于大整数分解的困难性，而更现代的算法如AES的某些环节和扩域密码算法则直接在有限域上进行计算；2）保证算法的运算封闭性和可逆性，确保加密和解密过程正确执行；3）利用域的特定结构（如乘法群是循环群）来设计具有特定数学难度的难题，以此保障密码系统的安全性。例如，RSA算法基于整数模p*q(p,q为大素数)的域，利用了模运算下的乘法逆元和分解难题。4.说明同态的概念，并举例说明群同态和环同态的区别。解析思路：同态是保持运算结构的映射。群同态关注的是群运算（乘法），环同态则同时关注加法和乘法。举例时需要给出两个结构，一个映射，并验证保持运算的性质。答：同态是一种保持代数结构运算的映射。设f:G->G'是群G到群G'的映射，如果对任意a,b∈G，有f(ab)=f(a)f(b)，则称f是群同态。设f:R->R'是环R到环R'的映射，如果对任意a,b∈R，有f(a+b)=f(a)+f(b)且f(ab)=f(a)f(b)，则称f是环同态。区别在于群同态只要求保持乘法结构（通过加法单位元关联），而环同态必须同时保持加法和乘法结构。例如，取G=(Z,+),G'=(Z_6,+)，定义f:Z->Z_6为f(x)=xmod6，则f是群同态，因为f(x+y)=(x+y)mod6=(xmod6+ymod6)mod6=f(x)+f(y)。如果R=(Z,+,*),R'=(Z_6,+,*),f(x)=xmod6，则f也是环同态，因为它同时保持加法f(x+y)=(x+y)mod6=f(x)+f(y)和乘法f(xy)=(xy)mod6=(xmod6*ymod6)mod6=f(x)f(y)。5.解释陪集的概念，并说明陪集在计算机科学中的应用。解析思路：陪集是基于群和其子群的概念，是划分群的另一种方式。利用左/右陪集可以进行分组、模式识别等。应用实例可以涉及数据分类、网络分析、算法设计等。答：给定群G和G的子群H，对于任意g∈G，gH={gh|h∈H}和Hg={hg|h∈H}分别称为g关于H的左陪集和右陪集。所有不同的左陪集（或右陪集）构成了G的一个划分。陪集在计算机科学中的应用包括：1）数据分类与聚类，将具有相似属性的数据点归入同一陪集；2）网络分析，将网络节点根据某种关系划分到不同的陪集；3）算法设计，利用陪集的性质优化搜索或遍历过程；4）模式识别，将输入空间根据某种变换不变性划分为陪集，简化模式匹配。四、计算题1.设G={a,b,c,d}是一个群，运算表如下：|*|a|b|c|d||---|---|---|---|---||a|a|b|c|d||b|b|c|d|a||c|c|d|a|b||d|d|a|b|c|求：(1)G的单位元；(2)元素b和c的阶；(3)G的所有子群。解：(1)观察运算表，a在第一行和第一列都等于自身，且与其他元素运算结果不同，故a是单位元。(2)元素b的阶：计算b^1,b^2,b^3,b^4...b^1=bb^2=a（运算表b行，a列）b^3=b^2*b=a*b=d（运算表a行，b列）b^4=b^3*b=d*b=c（运算表d行，b列）b^5=b^4*b=c*b=a（运算表c行，b列）因为b^5=a(单位元)，且b^1,b^2,b^3,b^4均不相同，所以b的阶为5。元素c的阶：计算c^1,c^2,c^3,c^4...c^1=cc^2=a（运算表c行，a列）c^3=c^2*c=a*c=b（运算表a行，c列）c^4=c^3*c=b*c=d（运算表b行，c列）c^5=c^4*c=d*c=a（运算表d行，c列）因为c^5=a(单位元)，且c^1,c^2,c^3,c^4均不相同，所以c的阶为5。(3)G的子群：1.{e}={a}，平凡子群。2.H1={a,b,c,d}=G，平凡子群。3.H2={a,b}：检查是否是子群：封闭性：a*b=b,b*a=b∈H2。a*b=b,b*a=b,a*c=a,b*c=c,c*a=c,c*b=d,d*a=d,d*b=a。检查所有乘积，H2对*封闭。单位元a∈H2。逆元：a*a=a,b*b=a∈H2。a的逆元是a，b的逆元是b。H2中元素互为逆元。故H2是子群。4.H3={a,c}：检查是否是子群：封闭性：a*c=c,c*a=c∈H3。单位元a∈H3。逆元：a*a=a,c*c=a∈H3。a的逆元是a，c的逆元是c。H3中元素互为逆元。故H3是子群。5.H4={a,d}：检查是否是子群：封闭性：a*d=d,d*a=d∈H4。单位元a∈H4。逆元：a*a=a,d*d=a∈H4。a的逆元是a，d的逆元是d。H4中元素互为逆元。故H4是子群。G的所有子群为{a},{a,b,c,d},{a,b},{a,c},{a,d}。2.设R=Z/6Z是整数模6的剩余类环，计算：(1)3+4和3*4；(2)3的加法逆元和乘法逆元（如果存在）。解：(1)在Z/6Z中，加法和乘法都是模6运算。3+4=7mod6=1。3*4=12mod6=0。(2)3的加法逆元：需要找到一个x使得3+x≡0mod6。即3+x=6k(k为整数)。x=6k-3。取k=1，x=3。3+3=6≡0mod6。所以3的加法逆元是3。3的乘法逆元：需要找到一个y使得3*y≡1mod6。尝试y=0到5：3*0=0,3*1=3,3*2=6≡0,3*3=9≡3,3*4=12≡0,3*5=15≡3。没有y使得3*y≡1mod6。所以3在Z/6Z中没有乘法逆元。3.设R[x]是实数系数多项式环，考虑多项式f(x)=x^2-1和g(x)=x+1，计算f(x)+g(x)和f(x)*g(x)。解：(1)f(x)+g(x)=(x^2-1)+(x+1)=x^2+x。(2)f(x)*g(x)=(x^2-1)*(x+1)=x^2*x+x^2*1-1*x-1*1=x^3+x^2-x-1。五、应用题1.设计一个基于群的简单加密算法，要求说明群的选取、加密和解密过程。解：选择群G=Z/26Z，运算为模26加法。元素集为字母表{A,B,...,Z}，对应数值{0,1,...,25}。群单位元e=0。每个字母的加法逆元是其自身（因为26是素数，模26加法中每个元素x对应的逆元是26-x≡xmod26）。加密和解密使用同一个密钥k∈Z/26Z。加密过程：将明文消息M由字母组成，M=m1m2...mn，其中mi∈{A,...,Z}。将每个字母mi对应数值ai∈Z/26Z。密文C=c1c2...cn，其中ci=(ai+k)mod26。输出密文C。解密过程：将密文C由字母组成，C=c1c2...cn，其中ci∈{A,...,Z}。将每个字母ci对应数值ai∈Z/26Z。明文M=m1m2...mn，其中mi=(ai-k)mod26。输出明文M。例如，k=3，明文M="HELLO"。H=7,E=4,L=11,L=11,O=14。加密：C1=(7+3)mod26=10(D),C2=(4+3)mod26=7(G),C3=(11+3)mod26=2(B),C4=(11+3)mod26=2(B),C5=(14+3)mod26=17(R)。密文C="DGBBR"。解密：M1=(10-3)mod26=7(H),M2=(7-3)mod26=4(E),M3=(2-3)mod26=23(X),M4=(2-3)mod26=23(X),M5=(17-3)mod26=14(O)。明文M="HEXXO"。*注意：这个例子中解密结果与原文不符，说明k=3不适合作为密钥。实际上，由于逆元是自身，解密应该是mi=(ai-k)mod26。正确的解密结果应为"HELLO"。*2.分析一个简单的数据结构（例如栈或队列）中的代数结构，并说明如何利用抽象代数的知识优化其性能。解：以栈(Stack)为例。栈是一种后进先出(LIFO)的数据结构，其基本操作包括压栈(Push)、弹栈(Pop)和查看栈顶(Peek)。栈的元素集合S和操作可以抽象为半群。代数结构分析：设Stack=(S,op)，其中S是栈的元素集合，op是一个二元运算。栈的操作可以看作是合并栈的操作。给定两个栈A和B，我们可以将B的元素压入A中，形成一个新的栈C。这个合并