第15章 轴对称 单元测试2（解析版）

2/2第十五章轴对称·能力提升建议用时：120分钟，满分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．《国家宝藏》节目通过演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让馆藏文物一个个鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中不是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此求解即可．【详解】解：A、C、D选项中的图形都能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以都是轴对称图形．B选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．故选：B．2．在平面直角坐标系中，点和（

）A．关于直线对称 B．关于直线对称C．关于x轴对称 D．关于y轴对称【答案】C【分析】本题考查关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握坐标轴对称的点的坐标特征．根据关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行求解即可．【详解】解：点和的横坐标均为2，纵坐标分别为1和，互为相反数，根据关于轴对称的点的坐标特征（横坐标相等，纵坐标互为相反数），可知两点关于轴对称．故选：C．3．如图，在中，为边上的一点，，为边上一点，垂直平分，若，则的周长为（

）A．20 B．18 C．16 D．14【答案】D【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长，先由线段垂直平分线的性质得，结合，，故，即可作答．【详解】解：∵为线段的垂直平分线，∴，∵∴，∵，∴，则的周长为，故选：D4．如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（）A．直线、的交点不一定在上 B．是等腰三角形C．与面积相等 D．垂直平分，【答案】A【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握图形轴对称的性质是解题的关键．由轴对称的性质及等腰三角形的判定，即可逐步分析求解．【详解】解：与关于直线对称，线段和线段关于直线对称，直线和直线关于直线对称，直线和直线的交点一定在上，A选项错误，符合题意；与关于直线对称，点A与点为对应点，直线垂直平分，，是等腰三角形，B选项正确，不符合题意；与关于直线对称，，与面积相等，C选项正确，不符合题意；与关于直线对称，点A与点为对应点，点C与点为对应点，垂直平分，，D选项正确，不符合题意．故选：A．5．如图，点，分别是边，上的定点，点，分别是边，上的动点，记，，当最小时，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形外角的定义及性质、平角的定义，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，由轴对称的性质可得，，，，当、、、在同一直线上时，最小，为，表示出，，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，，由轴对称的性质可得：，，，，∴，∴当、、、在同一直线上时，最小，为，∵，，∴，，∵，，∴，故选：A．6．如图，已知在等腰直角三角形ABC中，，，点D是斜边上的一点，连接，与关于对称，连接并延长交的延长线于点O，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查轴对称的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，对称性得到，进而得到，设，求出的度数，再进行计算即可．【详解】解：∵与关于对称，∴，∵，∴，∴，设，则：，∴，∵；故选C．7．是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以D为顶点作一个角，使其两边分别交于点M，交于点N，连接，则的周长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质；主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键．将绕点逆时针旋转，得到相等的角和线段，得出，得出相等的线段，然后利用等量代换可求解．【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转，∵是等腰三角形，，∴与重合，，∴，∴，，，∵是边长为3的等边三角形，∴，，∴，，∴，∴，∴点在同一条直线上，∵，，∴，∴，即，∴，又，∴，∴，∴的周长为，故选：A．8．，两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂的位置正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了轴对称图形最短线段问题，根据轴对称的性质作图即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键．【详解】解：作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，可得，则，由两点之间线段最短，此时的值最小，即所用水管总长度最短，故选：．9．如图，在中，，垂足为D，，．E，F为边，上两点，点，关于直线对称，点为线段上一动点，则的最小值是（

）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【分析】本题主要考查了轴对称−最短路线问题、三角形面积的计算等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．连接，根据轴对称的性质可得，由垂线段最短可知，即的最小值为，结合三角形面积公式求出即可．【详解】解：如图：连接，∵点，关于直线对称，∴，∴，∵，．∴,∴的最小值为6，故选B．10．如图，为线段上一动点（不与，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（

）A．①③⑤ B．①②⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤【答案】C【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知；由得，加之，，得到，再根据推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知正确；根据中，可知③正确；根据可知，可知错误；由，得到，由，得到，故正确．熟记相关几何性质与判定，灵活运用是解决问题的关键．【详解】解：和是等边三角形，，，即，在和中，，，故正确；，，又，，即，又，，，又，可知为等边三角形，，，故正确；，，故③正确；，，，即，，，，则，故错误；，，，，故正确；故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．如图，在中，点D在边上，，是的垂直平分线．若，，则的长为．【答案】10【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，再证明，即可得到答案．本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角性质，等角对等边，熟练掌握性质是解题的关键．【详解】解：∵是的垂直平分线，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，故答案为：10．12．如图，在中，，．分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线分别交，于点F，G．以G为圆心，长为半径画弧，交于点H，连接，．则．【答案】【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及基本作图的应用，解题的关键是根据作图步骤得出线段和角的等量关系，结合三角形内角和定理进行角度计算．由作图可知是的垂直平分线，故以G为圆心、为半径画弧得从而利用等腰三角形性质得到角的等量关系，结合三角形内角和定理推出相关角的和为；根据及得出的度数，进而计算出的度数；最后利用三角形外角性质求出的度数．【详解】解：由题意得到：垂直平分，∴，又由作图知，∴，∴，，∵∴，∵，∴，∴，∴．故答案为：．13．如图，在中，平分，，若与互补，，则的长为．【答案】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，补角性质，等腰三角形的判定，延长交于点，可证，得到，，由补角性质可得，即得，得到，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】解：延长交于点，∵平分，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，故答案为：．14．如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是．【答案】【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．根据，可得，，根据三角形的外角性质可知，进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数．【详解】解：∵，∴，，∴，∴，∴，故答案为：．15．如图，在“问题解决策略：特殊化”课中，小茗同学拿了两块相同的含的三角尺，即等腰直角和等腰直角做了一个探究活动：将的直角顶点放在的斜边的中点处，设，此时重叠部分四边形的面积为．【答案】【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质．连接，证明，可得，从而得到重叠部分四边形的面积，即可求解．【详解】解：如图，连接，∵和均是等腰直角三角形，∴，，∵点M是斜边的中点，∴，，∴，，，∴，在和中，∵，，∴，∴，∴重叠部分四边形的面积．故答案为：16．如图，在中，，，点，分别是边，边上的动点，将沿直线翻折，点的对点恰好落在边上，若是等腰三角形，那么的度数为．【答案】或或．【分析】本题考查直角三角形中的折叠问题，等腰三角形性质，分类讨论．由，，得，分三种情况讨论：①当时，可得；进而求出．由即可求解，同理可求当时，③当时．【详解】解：∵，，∴，分三种情况讨论：①当时，∴，∴；由折叠可知：，∴，②当时，如图：∴，∴；由折叠可知：，∴，③当时，如图：∴，∴，∴；由折叠可知：，∴，综上所述，为或或．故答案为：或或．解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）17．如图，与关于直线对称，与的交点F在直线上．若．(1)求的长度；(2)求的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据与关于直线对称，确定对称点，从而确定对称线段，利用轴对称的性质即可解决问题；（2）根据与关于直线对称，确定对称角和对称三角形，利用轴对称的性质即可解决问题．【详解】（1）解：与关于直线对称，，，．（2）与关于直线对称，，，，．【点睛】本题考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．18．如图，已知的顶点都在图中方格的格点上．(1)画出关于轴对称的，并直接写出、、三点的坐标．(2)在轴上找一点使得最小，画出点所在的位置（保留作图痕迹，不写画法）．【答案】(1)图见解析，(2)图见解析【分析】本题考查了画轴对称图形、两点之间线段最短、轴对称的性质，熟练掌握轴对称图形的画法和轴对称的性质是解题关键．（1）先根据轴对称的性质画出点、、，再顺次连接即可得，然后据此写出、、三点的坐标即可得；（2）先作点关于轴的对称点，再连接，交轴于点，由此即可得．【详解】（1）解：如图，即为所求．则．（2）解：如图，点即为所求．．19．如图，已知点是内的一点，、分别是点关于、的对称点，连接与、分别相交于点、，已知．(1)求的周长；(2)连接、，若，求的度数．【答案】(1)10(2)【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键；（1）根据轴对称的性质可得，再结合三角形的周长公式可得答案；（2）根据轴对称的性质可得，再结合角的和差运算可得答案；【详解】（1）解：、分别是点关于、的对称点，且、分别在、上，，，又，．（2）解：连接，、分别是点关于、的对称点，，，又，，，又，．20．如图，在与中，，，，过点作，交于，交于，连结，交于．(1)判断的形状，并说明理由；(2)求证：平分；(3)若，求的长．【答案】(1)是等边三角形，理由见解析(2)见解析(3)．【分析】本题考查了平行线的性质，线段垂直平分线的逆定理，等边三角形的性质和判定等知识，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．（1）证明是等边三角形，可得，再由平行线的性质可得，则结论得证；（2）由题意可证是的垂直平分线，由是等边三角形，可得，可得平分；（3）由，是等边三角形，可得，可得的长．【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下：∵，∴是等边三角形．∴．∵，∴，∴，∴是等边三角形；（2）证明：∵，∴是的垂直平分线，即．∵，∴．∴平分；（3）解：∵，∴，∴，∴．∵是等边三角形，∴，∴．21．在中，垂直平分，分别交、于点、，垂直平分，分别交，于点M、N．(1)如图1，若，，则的度数；(2)如图1，若，求的度数；(3)如图2，若，求的度数．【答案】(1)44(2)36°(3)24°【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等）、三角形内角和定理，等边对等角．（1）根据三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的性质分别求出、，计算即可；（2）仿照（2）的方法计算；（3）仿照（1）的方法计算．【详解】（1）解：，，，垂直平分，，，同理可得：，；（2）解：，，，，；（3）解：，，．22．已知，如图，，点分别为垂足，，．(1)证明：；(2)试说明平分(3)延长相交于点，连结．证明：垂直平分线段．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，中垂线的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：（1）证明即可得证；（2）根据到角两边距离相等的点，在角的角平分线上，进行判断即可；（3）根据到线段两端点距离相等的点在线段的中垂线上，进行判断即可．【详解】（1）证明：，，又，；（2），平分；（3）证明：（），，，即，又，垂直平分线．23．已知：，，过点A作，垂足为D，过点B做，垂足为．(1)如图1，，，则______；(2)如图2，猜想，，的关系，并证明；(3)如图3，在中，，点D、E是边上两点，连接，以为腰作等腰直角，，作于点E，，若，，直接写出的面积．【答案】(1)4(2)，见解析(3)30【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定．（1）证明即可求解．（2）证明即可求解．（3）过点A作于点H，如图所示，证明，求出，再根据求解即可．【详解】（1）解：，垂足为D，，垂足为E，，，在中，，，，，在和中，，，，，，，，，故答案为：4；（2）解：，，的关系是：，证明如下：，垂足为D，，垂足为E，，，在中，，，，，在和中，，，，，，；（3）解：过点A作于点H，如图所示：在中，，，，，，于点H，于点E，，，是等腰直角三角形，且，，，，在和中，，，，，，，的面积为：．24．已知为等边三角形，，为上一点，，连接．(1)如图1，求证：；(2)如图2，延长交于点，在上取点，使，连接，，求证：；(3)如图3，已知，为射线上一点，连接，，，连接，若的面积为，