《第十四章 实数》单元提升卷（解析版）

2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷第十四章实数·能力提升建议用时：120分钟，满分：120分一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．（24-25八年级上·河北张家口·期末）下列选项中的数，是无理数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了无理数的概念，解题的关键是掌握无理数的定义（无限不循环小数），并能区分有理数与无理数．明确有理数（整数、分数、有限小数、无限循环小数）和无理数（无限不循环小数）的区别；逐个分析选项：A是分数，B是有限小数，D化简后是整数，均为有理数；C是无限不循环小数，为无理数．【详解】解：根据无理数的定义（无限不循环小数），对各选项分析如下：选项A：是分数，属于有理数；选项B：是有限小数，属于有理数；选项C：是无限不循环小数，属于无理数；选项D：，是整数，属于有理数．故选：C．2．（2024·河北·模拟预测）实数，在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查数轴、绝对值的意义及实数的运算，熟练掌握数轴、绝对值的意义及实数的运算是解题的关键．由数轴可得，然后问题可求解．【详解】解：由数轴可得，∴，∴正确的是A选项；故选：A．3．（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．9的立方根是3 B．无限小数都是无理数C．是分数 D．实数与数轴上的点一一对应【答案】D【详解】本题考查了立方根的定义，实数与无理数的定义，实数与数轴，理解相关知识是解答关键．根据立方根的定义，实数与数轴及无理数的定义，实数与数轴分别判定即可求解．解：A．9的立方根为，故此项不符合题意；B．无限不循环小数是无理数，故此项不符合题意；C．是无理数，不是分数，故此项不符合题意；D．实数与数轴上的点一一对应，故此项符合题意．故选：D．4．（24-25八年级下·河北石家庄·开学考试）若在两个相邻整数之间，则这两个整数是（）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】C【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．利用夹逼法估算的大小，即可作答．【详解】解：，，在和之间，故选：C．5．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，是聪聪、亮亮和贝贝学习了实数之后的对话，请你根据他们三人的对话内容，求的值（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了实数的混合运算，平方根，算术平方根，绝对值，正确求出是解题的关键．先根据平方根，算术平方根的概念，绝对值，求出，，，再代入进行计算．【详解】解：∵实数a的平方根是它本身，∴，∵正实数b的算术平方根是它本身，∴，∵负实数c的绝对值是3，∴，∴，故选：A．6．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图是嘉淇的答卷，嘉淇的得分为（

）填空题（每小题2分）姓名：嘉淇1．的相反数为．2．的绝对值为．3．的绝对值为5．4．将0.03047精确到0.001的结果是0.03．5．若一个数的平方根与立方根相等，则这个数是0A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】本题考查了相反数，绝对值，平方根，立方根，近似数与精确度，解题的关键是掌握这几个定义．1、根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数判断即可；2、根据负数的绝对值等于它的相反数判断即可；3、根据立方根的定义判断即可；4、根据精确度判断即可；5、根据平方根、立方根的定义判断即可．【详解】解：1、的相反数为，正确；2、的绝对值为，正确；3、，则绝对值为5，正确；4、将0.03047精确到0.001的结果是0.030，错误；5、若一个数的平方根与立方根相等，则这个数是0，正确；所以正确的有4个，因为每小题2分，所以嘉淇的得分为8分，故选：D．7．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，正方形的面积为3，顶点在数轴上，且点表示的数为2，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，根据正方形面积计算公式可得，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可．【详解】解：∵正方形的面积为3，∴，∴，∵点表示的数为2，∴点表示的数为，故选：B．8．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）已知．若为整数且，则的值为（

）A．53 B．54 C．55 D．56【答案】B【分析】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．根据已知的平方数，确定的范围，进而求出整数．【详解】已知，，因为，所以，即。因此，满足的整数为54，故选：B．9．（2025·河北邯郸·三模）对于实数，，定义的含义：当时，；当时，．例如：．已知，，且和为两个连续整数，则（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】本题考查实数大小比较，无理数的估算，求得a和b的值是解题的关键．根据的定义确定a和b的范围，结合连续整数的条件求解．【详解】解：，．，为小于或等于3的整数．，．，为大于或等于4的整数．和为连续整数，且，，唯一满足条件的连续整数为，．，故选：A．10．（24-25八年级上·河北张家口·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，则点表示的实数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查实数与数轴，实数的运算，根据题意，得到表示的数为2，进而得到，得到表示的数为，进而得到表示的数为，得到，进行求出表示的数即可．【详解】解：由题意，得：，∵，∴表示的数为2，∴，∴表示的数为：，∵，∴表示的数为：，∴，∴表示的数为：；故选：D．11．（24-25八年级上·河北·期末）已知为实数，规定运算：，，，，，，按上述方法，当时，的值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了数字规律题，求一个数的立方根，当时，则，，，，，则有以三个数为一组，不断循环，从而有，然后代入求出立方根即可，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：当时，∴，，，，，∴以三个数为一组循环，∴，∴，∴，故选：．12．（24-25八年级上·河北邢台·期末）观察下列算式：，，，…，它具有一定的规律性，若把第个算式的结果记为，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，通过观察可知，据此可得，再把所求式子裂项相消即可得到答案．【详解】解：，，，……，以此类推可知，，∴，∴，∴，故选：D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13．（2025·河北·模拟预测）如图，在面积为12的矩形内有两个相邻的正方形，已知大正方形面积为8，则阴影部分的面积为．【答案】2【分析】本题主要考查算术平方根的应用，小正方形边长为b，求出大正方形的边长为，根据矩形的面积为12列方程求解即可．【详解】解：因为大正方形面积为8，所以，大正方形的边长为，设小正方形边长为b，根据题意得：解得小正方形的面积为2阴影部分面积为，故答案为：2．14．（24-25七年级下·河北张家口·期中）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为．【答案】256【分析】本题考查实数的运算、估计无理数的大小、实数大小的比较，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．从后往前推导，根据的定义，先确定最后一次操作结果为时前一次操作结果的最大值，再依次类推，求出第一次操作前的最大值．【详解】根据例题操作可知：要使最大，最后一次操作，这里p是第二次操作的结果．因为，根据定义可知，两边同时平方可得，所以p最大取．对于第二次操作，设第一次操作的结果为，此时，根据定义，两边同时平方得到，所以最大取16．对于第一次操作，设经过第一次操作后变为，此时，根据定义，两边同时平方可得，所以最大为256．验证：对256进行如下操作：∴如果只需进行3次操作后变为2的所有正整数中最大的数为：256；故答案为：256．15．（23-24七年级下·河北廊坊·期中）如图，一根橡皮筋在初始状态下的两个端点A，B分别对应数轴上的和1，固定点A，橡皮筋均匀伸缩．

（1）沿数轴正方向拉动点B，当点B到达数轴上“7”所对应的位置时，原来对应原点位置的点C在拉伸后对应的数为．（2）假如橡皮筋在初始状态下既能伸长，又能收缩，要使点C与“2”所在位置相距个单位长度，则需点B对应的数为．【答案】4或【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算：（1）根据数据上两点距离计算公式分别求出拉动前后、的长即可得到答案；（2）分伸长和缩短两种情况，仿照（1）讨论求解即可．【详解】解：（1）没有拉动时，，拉动后，∵橡皮筋均匀伸缩，∴拉动后，∴拉动后点C表示的数为，故答案为：4；（2）当伸长后，点C与“2”所在位置相距个单位长度时，则伸长后点C表示的数为，∴伸长后，∴伸长后，∴伸长后点B表示的数为；同理当缩短后，点C与“2”所在位置相距个单位长度时，点B表示的数为；综上所述，点B表示的数为或．故答案为：或．16．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）设，，且，则【答案】1【分析】此题主要考查了分式的加减，充分利用这个关系，对中的a、b都用c进行替换即可求解．【详解】解：∵，，∴，则，，均为正数，∴，，∵，∴，∴，∴，故答案为：1．三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（7分）（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）计算：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查实数的运算：（1）利用算术平方根及立方根的定义，有理数的乘方法则计算后再算加减即可；（2）利用立方根的定义，二次根式的运算法则，绝对值的性质计算后再算加减即可．【详解】（1）=-=-1.25+1.5-2+1+0.5；（2）=2=2=318．（8分）（24-25七年级下·河北廊坊·期中）求下列各式中x的值．(1)(2)【答案】(1)(2)或【分析】此题考查了平方根，以及立方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．（1）先移项，然后根据直接开立方法可以解答此方程；（2）方程两边同时除以，然后根据直接开平方法可以解答此方程．【详解】（1）解：∴解得：；（2）解：∴∴，解得：或19．（8分）（24-25八年级上·河北石家庄·期末）若，请从小刚和小明的对话中确定a，b的值，并对A进行化简求值．【答案】，，【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据对话可求得a，b的值，将原分式化简后代入数值计算即可．【详解】解：原式，由对话可得，，原式20．（8分）（24-25七年级下·河北廊坊·期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示．(1)化简：______．(2)先化简，再求值：，其中a是的一个平方根，b是的算术平方根．【答案】(1)(2)，1【分析】本题考查了算术平方根，平方根，数轴，熟练掌握算术平方根，平方根是解题的关键．（1）由数轴得：，再根据算术平方根的性质即可求解；（2）由图可知：，，进而可得，，再根据算术平方根的性质化简，再根据平方根及算术平方根的定义得，，进而可求解．【详解】（1）由数轴得：，，故答案为：；（2）由图可知，，，，．a是的一个平方根，b是的算术平方根，，，原式．21．（9分）（24-25八年级上·河北石家庄·期中）为庆祝建校30周年，石外开展了30周年手抄报展览活动，为制作出精美的校庆主题展览作品，要求：用一张面积为的正方形卡纸（如图），沿着边的方向裁出一张面积为的长方形，用于制作展览作品的背景．(1)正方形卡纸的边长是______；(2)嘉琪设计了一种方案：使长方形的长宽之比为，嘉琪能用这张卡纸裁出符合要求的长方形吗？若能，请你帮助嘉琪设计裁剪方案；若不能，请说明理由；(3)请你也设计一种符合上面裁剪要求的方案：长方形的长是______．宽是______．【答案】(1)20(2)不能，理由见解析(3)20；15（答案不唯一）【分析】（1）直接利用算术平方根的定义求出正方形纸片的边长，进而得出答案；（2）直接利用算术平方根的定义求出长方形纸片的长与宽，进而得出答案；（3）根据裁剪要求求解即可．此题主要考查了算术平方根的实际应用，正确开平方是解题关键．【详解】（1）解：正方形卡纸的边长是，故答案为：20；（2）解：不能，理由如下：长方形纸片的长宽之比为，设长方形纸片的长为，则宽为．，，，，又：，，长方形纸片的长为，又，即：，小华不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．（3）解：由（1）得出正方形的边长是∵裁出一张面积为的长方形，且，∴长方形的长是，宽是符合要求，故答案为：20，15（答案不唯一）．22．（9分）（24-25八年级上·河北张家口·期末）阅读下面的文字，解答问题：大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分是，小数部分为．(1)的整数部分是，小数部分是；(2)点表示的数为无理数，点在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是；（填序号即可），均为有理数；；；．(3)若，其中是整数，且，求的值．【答案】(1)，；(2)；(3)．【分析】（）仿照题意求解即可；（）设点表示的无理数为，再根据数轴可知，据此求出的值，然后逐一排除即可；（）仿照题意求解即可；本题主要考查了无理数的估算，实数的运算，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）解：∵，即，∴的整数部分是，小数部分是，故答案为：，；（2）解：设点表示的无理数为，再根据数轴可知，∴，，故，说法错误；∴，∵，∴，∴，故说法错误；由，，则，∵，∴，故说法正确；故选：；（3）解：∵，即，∴，即，∴，，∴．23．（11分）（24-25八年级上·河北唐山·期末）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，．(1)仿照以上方法计算：________；=________；(2)若，写出满足题意的正整数的值_________；(3)如果我们对连续求根整数，直到结果为1停止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．那么对400连续求根整数，多少次之后结果为1？请写出你的求解过程．(4)只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是_________．【答案】(1)2，6；(2)1，2，3(3)四次之后结果为1，详见解析(4)15，详见解析【分析】本题主要考查了无理数的估算的应用等知识点，（1）根据题意得，，，则，即可得；（2）根据，，，x为正整数，即可得；（3）根据题意得，第一次：；第二次：；第三次：，第四次：，即可得；（4）由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，即可得；解题的关键是理解题意，掌握无理数的估算．【详解】（1）∵，，，∴，∴，，故答案为：2，6；（2）∵，，，x为正整数，∴或或，故答案为：1，2，3；（3）∵第一次：，第二次：，第三次：，第四次：，∴第四次之后结果为1；（4）