专题06 全等三角形章末压轴满分题型（原卷版）

专题06全等三角形章末压轴满分题型目录压轴题型一、命题与证明的综合题型压轴题型二、全等三角形的判定与性质压轴题型三、全等三角形的动点问题压轴题型四、倍长中线模型压轴题型五、一线三等角模型压轴题型六、手拉手模型压轴题型七、旋转模型压轴题型八、垂线模型压轴题型九、全等三角形的综合问题压轴题型十、尺规作图压轴题型一、命题与证明的综合题型1．有五个足球队、、、、分入同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中名次在前的两个队出线，小组赛结束后，如果队的积分为9分，讨论：(1)队的战绩是几胜，几平，几负？(2)如果小组赛中有一个队的战绩为全胜，队能否出线？(3)如果小组赛中有一个队的积分为10，队能否出线？2．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．(1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式：______________________________；(2)如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程（注明理由）．已知：如图，，______．求证：______．3．张老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律．请你结合这些算式，解答下列问题：请观察以下算式：①；②；③；……(1)请你写出第④个符合上述规律的算式___________；(2)验证规律：设两个连续奇数为（其中为正整数），请验证它们的平方差是8的倍数；(3)拓展延伸：命题“两个连续偶数的平方差是8的倍数”是___________命题．（填“真”或“假”）4．若一个四位正整数满足千位上的数字比百位上的数字大2，十位上的数字比个位上的数字大2，千位上的数字与十位上的数字不相等且各个数位上的数字都不为零，则称为“双减数”．将“双减数”的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的差记为．例如：四位正整数，且，是“双减数”，此时．(1)判断“8631”是否是双减数？若是，请求出的值；若不是，请说明理由．(2)命题“对于任意双减数都能被11整除”是真命题还是假命题？说明你的理由．压轴题型二、全等三角形的判定与性质5．如图，在中，，，在外的中，，，连接，转动使的延长线与线段相交于点M，点M为中点，连接，下列几人的结论：甲同学说：为直角三角形且；乙同学说：的长是的长的2倍；丙同学说：与的面积相等．其中正确的是（

）A．甲的说法正确 B．乙的说法正确 C．丙的说法正确 D．三人的说法都正确6．已知如图，于点D，于点E，下列说法：①；②；③平分；④；⑤．其中一定正确的是（

）A．①③⑤ B．①③④ C．①②④ D．②③⑤7．在中，，，，点是边的中点，的角平分线交于点．作直线，在直线上有一点F，连结、，则的最大值是．8．如图，在四边形中，，点分别在边上，，，连接．(1)求证：平分；(2)若，求四边形的面积；(3)猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．压轴题型三、全等三角形的动点问题9．对于题目“如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动也随之结束）．在射线上取一点，在点M，N运动到某处时，存在与全等，求此时的值．”甲的结果是，乙的结果是1，丙的结果是，则下列说法正确的是（

）A．甲、乙两人的结果合起来才对B．乙、丙两人的结果合起来才对C．甲、丙两人的结果合起来才对D．甲、乙、丙三人的结果合起来才对10．如图，在中，，，点D为的中点．若点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点A运动，当以点B，点P，点D为顶点的三角形与全等时，点Q的运动速度是（

）A． B． C． D．或11．如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以3厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为时，能够使与全等．12．如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为．(1)如图①，当________时，的面积等于面积的一半；(2)如图②，在中，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度．压轴题型四、倍长中线模型13．已知ABC．(1)如图1，按如下要求用尺规作图：①作出ABC的中线CD；②延长CD至E，使DE＝CD，连接AE；（不要求写出作法，但要保留作图痕迹．）(2)在（1）中，直线AE与直线BC的关系是；(3)如图2，若∠ACB＝，CD是中线．试探究CD与AB之间的数量关系，并说明理由；(4)如图3，若∠ACB＝，AC＝BC，CD是ABC的中线，过点B作BE⊥AC于E，交CD于点F，连接DE．若CF＝4，则DE的长是．14．（1）基础应用：如图1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD利用旋转全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是；（2）推广应用：应用旋转全等的方式解决问题如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF；（3）综合应用：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝∠BAD，试问线段EF、BE、FD具有怎样的数量关系，并证明．15．阅读下列材料，完成相应任务．数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知中，是边上的中线．

求证：．智慧小组的证法如下：证明：如图2，延长至，使，

∵是边上的中线∴在和中∴（依据一）∴在中，（依据二）∴．任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：______________________________________________；依据2：______________________________________________．归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．任务二：如图3，，，则的取值范围是_____________；

任务三：如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由．

16．八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．【探究与发现】（1）如图1，是的中线，延长至点E，使，连接，写出图中一组全等三角形_______________；（2）如图2，是的中线，若，设，则x的取值范围是_________．【理解与应用】（3）如图3，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长．压轴题型五、一线三等角模型17．问题1：在数学课本中我们研究过这样一道题目：如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，AD⊥MN，垂足分别为E、D．图中哪条线段与AD相等？并说明理由．问题2：试问在这种情况下线段DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出来，不需要说明理由．问题3：当直线CE绕点C旋转到图2中直线MN的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由．18．（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由．19．如图，已知：在中，，，直线经过点，，．（1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，求证：；（2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：；（3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系：____________．20．如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（写上序号）压轴题型六、手拉手模型21．如图，在和中，，，直线交于点M，连接，下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．122．如图，已知：，，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个23．已知：如图在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④．结论正确的序号的有．24．综合实践在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则．【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形：______；【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点，求的大小．【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，；连接，，交于点，请判断和的关系，并说明理由．压轴题型七、旋转模型25．在练习课上，慧慧同学遇到了这样一道数学题：如图，把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝30°，以D为顶点作∠MDN，交边AC，BC于点M，N，∠MDN＝60°，连接MN．探究AM，MN，BN三条线段之间的数量关系．慧慧分析：可先利用旋转，把其中的两条线段“接起来”，再通过证明两三角形全等，从而探究出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系．慧慧编题：在编题演练环节，慧慧编题如下：如图（1），把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝45°，以D为顶点作∠MDN，交边AC，BC于点M，N，，连接MN．（1）先猜想AM，MN，BN三条线段之间的数量关系，再证明．（2）∠MDN绕点D旋转，当M，N分别在CA，BC的延长线上，完成图（2），其余条件不变，直接写出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系．请你解答：请对慧慧同学所编制的问题进行解答．26．（1）如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且．求证：；（2）如图，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．27．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：△ABE≌△CBF．（2）当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时，如图2，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．（3）当∠MBN绕点B旋转到图3这种情况下，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．28．（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小明同学的方法是将△ABE绕点A逆时针旋转120°到△ADG的位置，然后再证明△AFE≌△AFG，从而得出结论：________________．（2）探索延伸：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠BAD．上述结论是否仍然成立？请说明理由．（3）方法应用：如图3，E、F分别是正方形ABCD边BC、CD上的动点，连接AE、AF，并且始终保持∠EAF=45°，连接EF并延长与AD的延长线交于点G，说明AG=EG．（正方形四边相等，四个角均为90°）压轴题型八、垂线模型29．如图，在中，，，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，．(1)如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离；(2)如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：；(3)点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为_____．30．如图，在中，，．过点的射线交边于点，于点，于点，，．（1）求证：；（2）求的长．31．如图1，在长方形中，，，点在线段上以的速度由向终点运动，同时，点在线段上由点向终点运动，它们运动的时间为.【解决问题】若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，回答下面的问题：(1)；(2)此时与是否全等，请说明理由；(3)求证：；【变式探究】若点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，请直接写出相应的的值；若不存在，请说明理由.

32．已知，BF、CE交于点M，连接AM.（1）求证：.（2）求的度数.压轴题型九、全等三角形的综合问题33．（1）如图①，，射线在这个角的内部，点B、C分别在的边上，且，于点F，于点D．求证：；（2）如图②，点B、C分别在的边上，点E、F都在内部的射线上．已知，且．求证：；（3）如图③，在中，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为20，求与的面积之和．34．如图，在中，，高、相交于点，，且．(1)请说明的理由；(2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动设点的运动时间为秒，当的面积为时，求的值；(3)在（2）的条件下，点是直线上的一点，且当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求的值．35．如图，在中，平分交于点，平分交于点交于点，连接．(1)求的度数；(2)判断与的大小关系，并证明；(3)若，求的值．36．如图1，图2，点O是线段的中点，，．(1)如图1，若，求的长；(2)如图1，在（1）的条件下，若点D在射线上，点D在点C右侧，且是等边三角形，的延长线交直线于点P，求的长度；(3)如图2，在（1）的条件下，若点M在线段上，是等边三角形，求的度数．压轴题型十、尺规作图37．如图，已知，线段、、．(1)请用尺规按下列要求作图：（不要求写作法，但要保留作图痕迹）①求作：，使．②延长线段到，使，再反向延长线段到，使．(2)在（1）②问的条件下，如果，，，且点为的中点，求线段的长度．38．阅读与思考：等角线的奥秘【概念理解】在平面几何中，我们引入“等角线”的概念：如图1，若在中，射线、是内部的两条射线，且，则称射线与是的一对等角线．【问题探究】(1)基础应用如图2，已知在中，，射线、是的一对等角线，且，则．(2)性质拓展如图3，在中，、是