2024-2025学年北京市海淀区某中学九年级（上）期中数学试卷

2024・2025学年北京市海淀区中关村中学九年级（上）期中数学试卷

一选择题（本题共24分，每小题2分）

I.（2分）一元二次方程2d-x+3=0一次项系数是（）

A.3B.2C.1D.-1

2.（2分）2024年巴黎奥运会项目图标设计，不仅注重刻画运动员运动状态，更注重项目本身的展示.下

列项目图标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

3.（2分）把二次函数,，=2?的图象向右平移3个单位，再向下平移1个单位，所得到的图象对应的二次

函数表达式是（）

A.y=2Cx+3）2+1B.y=2（x+3：2-1

C.y=2（x-3）2+lD.y=2（x-3）2-1

4.（2分）如图，在△ABC中，NAC8=90°,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△QEC,使点8的对应点

E恰好落在边AC上，点A的对应点为。，则下列结论不一定正确的是（）

ZD=Z/1C.CE=AED.ABIDE

5.（2分）如图，在。。中，弦AB,CQ相交于点尸，若NA=48°,/8=32°,则N4P。的大小为（）

80°C.40°D.16°

6.（2分）若关于x的一元二次方程（。+1）:+%+/7=0的一个根是k0,则。的值是（）

A.1B.-IC.I或-ID.0

7.（2分）如图，AB,AC是OO的两条弦，0。_1_人8于点。，OEJ_4c于点E,连结08,OC.若NDOE

=130°,则/8OC的度数为（）

B.100°C.105°D.130°

8.(2分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(-1,-1),B(0,2),C(3,2),D(5,-1),,v

是关于x的二次函数，抛物线y经过点A,B,C.抛物线"经过点B,C,D,抛物线户经过点A、B，

。，抛物线声经过点A,C,D,下列判断其中正确的是（)

①四条抛物线的开口方向均向下;

②当xVO时，四条抛物线表达式中的），均随x的增大而增大;

③抛物线VI的顶点在抛物线,V2顶点的上方:

④抛物线）4与y轴交点在点B的上方.

B

0x

A••D

A.①②③④B.①②④C.®@®D.①③④

二,填空题（共16分，每题2分）

9.（2分）请填写一个常数，使得关于x的方程7-2x+.二0有两个不相等的实数根.

10,（2分）在圆形展厅的边缘点A处安装了一台监视器，它的监控角度是63°,为了监控整个展厅，小

聪建议在圆形边缘上最少共安装台这样的监视器.

II.（2分）如图，学校计划在一块长50/〃，宽20,”的矩形空地内修建两块相同的矩形绿地，使得两块矩

形绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，若两个矩形绿地面积共520加2,那么人行通道的宽度是多

少米.设人行通道的宽度是x米，可列方程为

20力

50米

12.(2分)已知函数产-(x-2)2的图象上有4(一：，yj,3(1,)，2),C(5,>3)三点，则yi,)*

”的大小关系是(用“y”连接).

13.(2分)工人师傅对残破的圆形古画进行修复，将直角尺的三个顶点4,C,8落在圆上，测得AC=6皿,

8c=8c〃，则这幅圆形古画的半径是

14.(2分)如图所示的二次函数jual+bx+c(〃W0)的图象中，观察得出下面五条信息：①"c<0；②

2a-/?=0；③从-4ac<0；@4a-2/?+c>0；®a+b>m(am^-b)其中正确的是.

15.(2分)如图，在平面直角坐标系xO)，中，以(3,0)为圆心作OP,OP与x轴交于4、B,与y轴交

于点C(0,4),。为0P上不同于4、8的任意一点，连接04、QB,过尸点分别作PE_LQ4于凡PF

JL于尸.当。点在OP上顺时针从点A运动到点B的过程中，则PE2+PF2的值是

x…-2-I0I2

y3430-5

（l）求二次函数解析式；

（2）判断点P（4,-10）该函数的图象上（填“在”或“不在”）.

21.（4分）已知：如图，/XABC中，AB=AC,AB>BC.

求作：线段BQ,使得点。在线段AC上，且

作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；

②以点C为圆心，BC长为半径画弧，交04于点P（不与点B重合）：

③连接8尸交AC于点。.

线段就是所求作的线段.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接PC.

'：AB=AC,

・••点C在OA上.

•・•点尸在GM上，

・•・/CPB=\AB\C（填推理的依据）.

,:BC=PC,

：./CBD=.

:・/CBD=』NBAC

22.（6分）已知：二次函数），=・』+2X+3.

（1）将函数解析式化为y=a（x-/:）2+k的形式;

（2）补全表格，用描点法画出该函数的图象;

x-1023

y•••

（3）结合图象回答下列问题

①函数y>0时，x的取值范围；

②当-1VXV2时，），的取值范围；

③方程-帆=-3有实根，则m最大值是

23.（5分）如图，学校搭建一款拱门示意图，其中拱门最下端A8=2米，点C为A3的中点，点。为拱

门最高点，圆心0在线段CD上，CO=3米，求拱门所在圆的半径.

24.（6分）某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数>，=-7+4UI-3的图象和性质在行了探究，

探究过程如下，请补充完整：

（I）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如表：

x--3.7-3.3-2.0-1.00.00.72.03.03.7•••

y--1.89-0.771.00.0-3-（）.771.0m-1.89•••

其中〃?=.

（2）如图，在平面直角坐标系工。.\，中描出了以上表中各对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函

数的图象.

3

2■

1-

-4-3-2-1O1~~2""3""

-1

-2

-3

-4

（3）根据函数图象，回答下列问题：

①函数图象与x轴有个交点，则对应的方程-/+乙闻-3=0有个实数根；

②当-2WxV2时，则y的取值范围为；

③直线产心+A经过点（-2,1）,若关于x的方程-/+4|川-3=近+》有4个互不相等的实数根，则匕

的取值范围.

25.（6分）乒乓球作为中国的国球，是一项深受大众喜爱的体育运动，小聪和小明打球时发现乒乓球运动

路线近似看成抛物线的•部分.爱思考的他俩建立如图所示的平面直角坐标系，小聪第一次发球时，乒

乓球从抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度y（单位：。〃）与水平距离x（单位：。〃力

近似满足函数关系式（X-//）?+k（«<0）.

乒乓球的水平距离x与用直高度y的几组数据加下：

水平距离x/cni04080120160

鞋直距离ylem2035403520

上述数据，直接写出小聪第一次发球时乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系

2+k（«<0）

（2）小聪第一次发球后乒乓球第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，第二次他发球时，乒乓球的竖直高

度），（单位：cm）与水平距离x（单位：cm）近似满足函数关系式），=-0.005（X-70）2+36（〃V0）,

请你判断小聪笫二次发球时，兵乓球笫次落在球桌超出球案边缘（填“是"，“否

26.（6分）已知抛物线1y=帆1-2m2不（〃?>o）

（1）抛物线过点（1,-1）,则机=

（2）抛物线经过A（片，）“），B（m”）两点，若对于1VMV3,且x2=m+2都有求，〃的取

值范围.

27.（7分）如图，在△/仍。中，AB=BC,N"C=60°,点E在射线A〃上（不与点A,8重合），将线

段CE绕点E顺时针旋转120°得到线段ED,连接AD,取AD中点F,连接FE.

（1）如图1,若点E是AB中点时，点D,B,C恰好在一条直线上，用等式表示线段EF和BE的数量

关系，并证明；

（2）当点£在射线A8上时，（1）中的结论是否成立，在图2,图3中任选一种情况完成证明.

28.（7分）定义：在平面直角坐标系xO），中，对于OM内的一点P,若在OM外存在点P',使得MP'

=2MP,则称点尸为。M的“内半点

（1）当。。的半径为4时.

①在点Pi（百，V2）,P2（-2,0）,%（-1，通）中是OO的“内半点”的是;

②已知一次函数y=H-4亿若一次函数在第一象限的图象上的所有点都是。。的“内半点”，求女的取

值范围;

（2）已知点”（〃?，0）,8（0,-2）,C（2,-2）,OM的半径为6,若线段上存在OM的“内

半点”.直接写出〃?的取值范围.

y.

6

5-

4-

3■

2■

1-

-4-3-2-1O1234561

—1•

-2-

-3-

图1图2

2024・2025学年北京市海淀区中关村中学九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一,选择题（共8小题）

题号12345678

答案DBDCBABC

一,选择题（本题共24分，每小题2分）

I.（2分）一元二次方程Zr2-x+3=0一次项系数是（）

A.3B.2C.1D.-1

【分析】根据一元二次方程的一般形式解答即可.

【解答】解：一元二次方程2?・x+3=0一次项系数是・1,

故选：D.

【点评】本题考查的是一元二次方程的一般形式，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成

如下形式“/+法+c=0（〃W0）.这种形式叫一元二次方程的一般形式.其中a叫做二次项系数，力叫一

次项系数，c叫做常数项.

2.（2分）2024年巴黎奥运会项目图标设计，不仅注重刻画运动员运动状态，更注重项目本身的展示.下

列项目图标既是中心对称图形又是轴对.称图形的是（）

［分析］根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【解答】解：A.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；

C.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；

D.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查了中心对称国形和轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分

沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

3.（2分）把二次函数y=2?的图象向右平移3个单位，再向下平移1个单位，所得到的图象对应的二次

函数表达式是()

A.y=2(x+3)2+lB.y=2(x+3)2-1

C.y=2(x-3)2+lD.y=2(x-3)2-1

【分析】根据“左加右减”的平移法则即可得到答案.

【解答】解：把二次函数y=2P的图象向右平移3个单位，再向下平移1个单位，所得到的图象对应

的二次函数表达式是y=2(x-3)2-1,

故答案为：D.

【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握“左加右减”的平移法则.

4.(2分)如图，在△ABC中，NACB=90°,将△48。绕点C顺时针旋转得到△OEC,使点B的对应点

上恰好落在边AC上，点4的对应点为Q,则下列结论不一定正确的是()

ZD=ZAC.CE=AED.ABLDE

【分析】由旋转的性质可得回=C£ZA=ZD,由余角的性质可证即可求解.

【解答】解：如图，延长。£交43于”,

二•将△AAC绕点C顺时针旋转得到△£)£(7,

：.BC=CE,NA=N。,

VZA+ZB=90°,

AZB+ZD=90°,

：・/BHD=90°,

；・DEd_A8,

故选；C.

【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键.

5.(2分)如图，在。。中，弦AS8相交于点，若NA=48",/台=32",则NAPO的人小为()

A.100°B.80°C.40°D.16°

【分析1先利用同弧所对的圆周角相等，然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答.

【解答】解：・・・/5=32°,

，N8=NC=32°,

VZAPD是△ACP的一个外角，

・・・/APO=NA+NC=480+32°=80°,

故选：B.

【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键.

6.（2分）若关于x的一元二次方程（a+I）7+口/-1=。的一个根是尸0,则“的值是（）

A.1B,-1C.1或-1D.0

【分析】把戈=0代入方程求出小注意"IWO.

【解答】解：•・•关于x的一元二次方程（a+l）f+x+M-1=0的一个根是尸0,

/.（T-1=0,

，a=±1,

Ta+lWO,

:.a手~1>

:.a=1,

故选：A.

【点评】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程的定义，解题的关键是理解方程解的定义.

7.（2分）如图，AB,AC是O。的两条弦，ODLAB于点D,QELLAC于点E,连结。8,OC.若NDOE

=130°,则/8OC的度数为（）

A

E

C

A.95°B.100°C.105°D.130°

【分析】根据四边形的内角和等于360。计算可得NBAC=50°,再根据圆周角定理得到/8OC=2N

BAC,进而可以得到答案.

【解答】解：*：ODA.AB,OELAC,

：,ZADO=90°，ZAEO=90°,

VZD<?E=130°，

・・・N8AC=360°-90°-90°-130°=50°,

：.ZBOC=2ZBAC=\OOa,

故选：B.

【点评】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所

对的圆心角的一半.

8.(2分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点4(-1,-1),B(0,2),C(3,2),D(5,-1),.v

是关于x的二次函数，抛物线)，经过点4,B,C.抛物线”经过点&C,D,抛物线》经过点A、B,

D,抛物线声经过点人，C,D.下列判断其中正确的是()

①四条抛物线的开口方向均向下；

②当xVO时，四条抛物线表达式中的丁均随x的增大而增大：

③抛物线)，1的顶点在抛物线)2顶点的上方；

④抛物线加与)，轴交点在点B的上方.

y

B・c

~~0%

A•*D

A.①②③④B.①②④C.D.①③④

【分析】用待定系数法求出四条抛物线解析式，再根据二次函数性质逐项判断即可.

【解答】解：由抛物线产经过点A(-1,-1),B(0,2),C(3,2)可得.yi=-1?+*+2,

同理可得>2=—磊L+2”+2,)'3=—'广+号"+2'>'4=—+会+看

3333

•，田<0,<1),<1).<1),

・••四条抛物线的开口方向均向下，故①正确;

•・•四条抛物线表达式中二次项系数与一次项系数都异号，

,四条抛物线的对称轴都在），轴右侧，

・••当xVO时，四条抛物线表达式中的），均随工的增大而增大，故②正确；

•・$=-#+$+2=一弓（x-|）2+||,”=一磊/+帚+2二一磊2+瑞，

3593107

，抛物线）”的顶点（二，—）在抛物线），2顶点（二，---）的上方，故③正确；

216240

在）4=-割+.+:中,令X=0得尸卷

・•・抛物线），4与），轴交点（0,1）在点B（0,2）的下方，故④错误；

故选：C.

【点评】本题考查二次函数性质和待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是用待定系数法求出四条

抛物线解析式.

二,填空题（共16分，每题2分）

9.（2分）请填写一个常数，使得关于x的方程』・2什0（答案不唯•）=0有两个不相笔的实数根.

【分析】根据方程的系数结合根的判别式Ai?-4心＞0,即可得出关于c的不等式，解之即可求出c

的值.

【解答】解：。=1，b=-2.

2

•・•A=tr-4ac=（-2）-4X1XC＞0,

故答案为：0（答案不唯一）.

【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞（）时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.

10.（2分）在圆形展厅的边缘点A处安装了一台监视器，它的监控角度是63°,为了监控整个展厅，小

聪建议在圆形边缘上最少共安装3台这样的监视器.

【分析】连接08,0C,先利用圆周角定理可得：N8OC=I26。，然后进行计算即可解答.

【解答】解：如图：连接OB,0C,

：・/BOC=2/BAC=126°,

:360+126°-3,

••・为了监控整个展厅，小聪建议在圆形边缘上最少共安装3台这样的监视器，

故答案为：3.

【点评】本题考杳了圆周角定理，近似数和有效数字，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助

线是解题的关键.

II.(2分)如图，学校计划在一块长50〃?，宽20/〃的矩形空地内修建两块相同的矩形绿地，使得两块矩

形绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，若两个矩形绿地面积共520/n2,那么人行通道的宽度是多

少米.设人行通道的宽度是x米，可列方程为(50-3%)(20・2%)=520.

【分析】根据矩形空地的长、宽及人行通道的宽度，可得出两块矩形绿地可合成长为(50-3x)m,宽

为(20-2x)加，结合两个矩形绿地面积共520〃孔即可列出关于x的一元二次方程，此题得解.

【解答】解：•・•矩形空地长50〃?，宽20加，且人行通道的宽度是x米，

・•・两块矩形绿地可合成长为(50-3x)m,宽为(20-2r)阳.

根据题意得：(50・3x)(20-Zr)=520.

故答案为；(503x)(202.r)=520.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的

关键.

12.(2分)已知函数)，=-(x-2)2的图象上苞4(一，y)B(|,*),C(5,*)三点，则F，J2,

”的大小关系是V3Vy|Vv2(用“v”连接).

【分析】代入各点的横坐标，可求出yi,1y2,”的值，比较后，即可得出结论.

【解答】解：当时，y尸-(-1-2)2=-^；

当x=1时，户=-(1-2)2=-1；

当x=5时，产=-(5-2)2=-9.

•.・-9V-詈25V-1,

故答案为：y3<y\<y2.

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代入各点的横坐标，求出v，”，户的值是解题的

关键.

13.(2分)工人师傅对残破的圆形古画进行修复，将直角尺的三个顶点人，C,B落在圆上，测得AC=6c〃?，

BC=8cm,则这幅圆形古画的半径是5cm.

【分析】根据90度的圆周角所对的弦是直径可得：A8是圆的直径，然后在RtZL4BC中，利川勾股定

理可得A8=10a〃，即可解答.

【解答】解:VZACB=9O0,

••AB是圆的直径，

在RtAiABC中，AC=6cm,BC=Scm,

：.AB=yjAC2+BC2=V62+82=10(cm),

・••这幅圆形古画的半径是5c7”，

故答案为：5.

【点评】本题考查了勾股定理，圆周角定理，准确熟练地进行计算是解题的关键.

14.(2分)如图所示的二次函数尸/+法+c(oWO)的图象中，观察得出下面五条信息：①以V0；②

2a-Z?=0；③廿・4acV0；©4。-2力+c>0；@a+b>m(am+b)其中正确的是(j)@.

y

x=\

-yo|；i\i

I

【分析】依据题意，根据二次函数的图象与性质，再结合图象即可判断得解.

【解答】解：•・•对称轴为x=L

.b.

..广一而二1,

:・b=-2a.

/•2。+方=0,

由题意，Vo<0,

：.b>0.

又与)，轴交点在y轴正半轴上，

Ac>0.

・•・而cVO,故①正确，②错误.

如图所示，抛物线与x轴有两个交点，则序-4ac>0,故③错误;

，当三=-2时，y=4a-2b+c<0,故④错误.

:对称轴为x=l，且取得最大值，

.'・a+b+c>am2+bni+c.(/〃W1)

»,a+h>m(am+h)»故⑤正确.

综上所述，正确的结论有：①⑤.

故答案为：①⑤.

【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数丁=依2+法+c(.W0)的图象为抛物线,

当。＞0,抛物线开口向上；对称轴为直线x=—与；抛物线与），轴的交点坐标为（0,c）；当户-4ac

＞0,抛物线与x轴有两个交点；当后-4ac=o,抛物线与/轴有一个交点；当户-4.CV0,抛物线与

x轴没有交点.

15.（2分）如图，在平面直角坐标系xQv中，以（3,0）为圆心作OP,。。与x轴交于A、B,与），轴交

于点C（0,4）,。为OP上不同于4、3的任意一点，连接。4、QB,过。点分别作于£,PF

【分析】连接PC，由勾股定理得到尸不=P〃+OC2=25,由垂径定理推出8尸=尸。，判定四边形PEQ尸

是矩形，得至iJPE=FQ,因此由勾股定理得到P尸+8产=。82=/＞。2=25,即可求出。产+。产

=25.

【解答】解：连接PC，

OP的坐标是（3,0）,。的坐标是（0,4）,

・・・OP=3,0c=4,

：,PC2=PO2+OC2=25,

\,PFA.BQ,

:,BF=FQ,

TAB是圆的直径，

••・NQ=90°,

•・・PEJ_AQ,

・•・四边形P£QF是矩形，

:.PE=FQ,

:・PE=BF,

*：。尸+8产=PB2=PC2=25,

：,PF1+PE2=25.

故答案为：25.

【点评】本题考查坐标与图形的性质，勾股定理，垂径定理，矩形的判定和性质，圆周角定理，关键是

由垂径定理得到BF=FQ,由勾股定理得到PF1+BF2=PC2.

16.（2分）如图，抛物线），=f-4与x轴交于A,8两点，点P是以抛物线的顶点C为圆心，2为半径的

圆上的动点，点Q是线段P4的中点，连接。。则线段。。的最大值是_遍+1_.

【分析】连接4P，AC,设4C的延长线交0。于£先求出点八（-2,0）,点A（2,0）,点C（0,

-4）,由此的OQ是△A8P的中位线，则OQ=1/2AP,因此当4P为最大时，PQ为最大，根据点与圆

的位置关系可知AE为最大，然后再求出AE的长即可得出OQ的最大值.

【解答】解：连接AP,AC,设AC的延长线交OC于E,如图所示：

对于抛物线y=，-4,当x=0时，y=-4,当y=0时，x=-2,或x=2,

・・・点从（-2,0）,点3（2,0）,点。（0,-4）,

.\OA=OB=2,(?C=4,

•・•点。是BP的中点，

，0Q是AABP的中位线，

・・・0。=加，

・••当AP为最大时，PQ为最大，

根据点与圆的位置关系可知：点4到OC上各点的距离中，AE为最大，

・•・当点P与点E重合时，0Q为最大，最大值为，石，

在RlZXQAC中，由勾股定理得：AC=702+0C2=2后

;。。的半径为2,

：.AE=AC+CE=2V5+2,

：.-AE=y/s+l,

2

・・・0Q的最大值为遮+1.

故答案为：V5+1.

【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，抛物线与坐标轴轴的交点，三角形中位线定理，理解点与

圆的位置关系，准确地求出抛物线于坐标轴的交点坐标，熟练掌握三角形的中位线定理是解决问题的关

键.

三.解答题（共68分，第17题6分，18题・20题，每题5分，第21题4分，22题6分，23题5分，第

2426题，每题6分，第27・28题，每题7分）

17.（6分）解方程：

（I）x2-3x=0：

（2）A-2+6A-2=0.

【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程即可；

（2）用配方法解一元二次方程即可.

【解答】解：（1）x2-3x=0,

x（x-3）=0,

4=0或K-3=0,

xi=0,4=3；

（2）.r+6x-2=0,

x~+6x=2>

；r+6x+9=2+9,

(x+3)2=11,

x+3=±Vll,

x\=-3+g,短=-3-VIT.

【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法：配方法、因式分解法是解题的关键.

18.(5分)已知关于上的一元二次方程(m+\)x+2m-2=0.

(1)求证：无论〃?取何值，方程总有两个实数根；

(2)如果此方程有一个根小于1,求〃?的取值范围.

【分析】(1)根据根的判别式求出△的值，再进行判断即可；

(2)解方程得到加=-m+1,X2=-2,根据方程只有一个根小于I,得到不等式，解不等式即可得到

结论.

【解答】(1)证明：，.,〃=I,b=-(m+1),c=2m-2,

.*.△=[-(/〃+1)]2-4(2in-2)=m2+2in+\-8/??+8=m2-6/〃+9=(m-3)2,

•・•无论机为何值，总有(〃L3)22,

・••无论〃?为何值，方程总有两个实数根；

(2)解：原方程可化为(x+2)(x+〃?-1)=0

解得：xi=-m+1,x2=-2,

•・•方程有一个根小于1,且-2V1,

-m+1I,

二•mWO.

【点评】本题考查了一元二次方程版+c=()(〃KO)的根的判别式△=〃2-4ac：当△>(),方程有

两个不相等的实数根；当△=(),方程有两个相等的实数根；当AVO,方程没有实数根.

19.(5分)如图，在平面直角坐标系％Oy中，△A8C的点坐标分别是A(1,1),B(2,3),C(4,2),

(1)以点A为旋转中心，将△ABC顺时针转动90°,得到△AiBiCi,画出△AIBICI,则NC48i=

45。；

(2)画出△A8C关于点O(0,0)的中心对称图形AA282c2；

(3)若△A8C上有一点P(w〃)，则282c2上对应点P2的坐标(-/〃，-〃).

【分析】（1）根据旋转的性质作图即可；利用勾股定理以及勾股定理的逆定理可得/A8iC=90。，AB\

=CB\,进而可得NC/Wi=45°.

（2）根据中心对称的性质作图即可.

（3）根据中心对称的性质可得答案.

【解答】解：⑴如图，Z\A出C1即为所求.

由勾股定理得，AC=V32+I2=V10,AB\=V22+l2=\/5,CB\=V22+l2=V5,

・,・他2+。8]2=4。2,48I=5,

・・・NA加C=90°,

•••△C人4为等腰直角三角形，

：,ZCAB\=45°.

故答案为：45°.

（2）如图，△A2及Q即为所求.

（3）由题意得，点P2的坐标为（-〃?，

故答案为：（-"1，-n）.

【点评】本题考查作图-旋转变换、点的坐标、中心对称、勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三

角形，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰更角三角形的判定

与性质是解答本题的关键.

20,（5分）己知二次函数的函数值），与自变量x的部分对应值如表，

x…-2-1012…

y3430-5

（1）求二次函数解析式；

（2）判断点P（4,-10）不在该函数的图象上（填“在”或“不在”）.

【分析】（1）在表中取三组对应值代入y=ad+版+c得到方程组，然后解方程组即可；

（2）利用（I）中的解析式计算自变量为4所对应的函数值，若计算出的函数值不等于-10,则可判断

点夕不在（1）中的抛物线上.

【解答】解：（1）设抛物线解析式为旷=苏+公+。，

a-d+c=4

c=3,

!a+b+c=0

（a=-1

解得卜=一2,

（c=3

，抛物线解析式为y=・f・21-+3：

（2）•・•当x=4时，y=-x2-2v+3=-16-8+3=-21声-10,

:（4,-10）不在该函数的图象上.

故答案为：不在.

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据

题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.也考查了二次函数的性质和二次函

数图象上点的坐标特征.

21.（4分）已知：如图，△ABC中，AB=AC,AB>BC.

求作：线段8Q,使得点。在线段AC上，且NCBQ=3NB4C.

作法：①以点A为圆心，长为半径画圆；

②以点C为圆心，长为半径画弧，交04于点P（不与点8重合）；

③连接BP交AC于点D.

线段8。就是所求作的线段.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）：

（2）完成下面的证明.

证明：连接PC

*：AB=AC,

，点C在OA上.

•・•点P在OA上，

.・.ZCPB=^ZBAC（圆周角定理）（填推理的依据）.

,:BC=PC,

：,/CBD=NCPB.

；./CBD=/BAC

【分析】（1）利用几何语言画出对应的几何图形；

（2）先根据圆周角定理得到/CPB=LBAC,再利用等腰三角形的性质得到NCBD=NCPB,从而得

1

到NCBD=*NBAC.

【解答】解：（1）如图，8。为所作；

（2）证明：连接PC,如图,

\,AB=AC,

・••点。在OA上.

•・•点/在。A上,

：.ZCPB=^ZBAC（圆周角定理）,

■:BC=PC,

；./CBD=ZCPB,

：.ZCBD=^ZBAC,

故答案为：圆周角定理：NCPB.

【点评】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几

何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本

性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了圆周角定理.

22.（6分）己知：二次函数），=-』+2x+3.

（1）将函数解析式化为），=〃（x-/z）2+攵的形式；

（2）补全表格，用描点法画出该函数的图象；

x-10123

y••••••

03430

（3）结合图象回答下列问题

①函数），＞0时，x的取值范围-l〈xV3；

②当-1VXV2时，y的取值范围0＜、忘4；

③方程--〃?=-3有实根，则m最大值是4.

【分析】（1）利用配方法把一般式配成顶点式；

（2）分别计算自变量为・1、0、1、2、3时对应的函数值，然后利用描点法画出函数图象：

（3）①写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即司k

②分别确定自变最为-1和2对应的值，然后根据x=l时函数有最大值求解；

③利用抛物线产-了+2计3与直线），=〃?有交点时，方程方程・机=-3有实根，从而得到，后

4.

【解答】解：（1）），=-7+2A外3=-（x-1）2+4；

（2）当x=-I时，y=-f+2x+3=O；

当x=0时，y=-r2+2x+3=3：

当x=1时，y=-X2+2X+3=4；

当x=2时，尸-7+2x+3=3；

当x=3时，y=-/+2x+3=0：

故答案为：0,3,4,3,0；

如图，

（3）①当）＞0,x的取值范围为-1VXV3；

故答案为；1VXV3；

②当x=-1时，y=0；

当x=2时，y=3,

当x=1时，y有最大值4,

当・1VXV2时，），的取值范围为0V）W4；

故答案为：0V）W4；

③力程-『+2x-〃?=-3变形为力程-『+2X+3=〃?,

当抛物线)，=-，+2x+3与直线y=m有交点时，方程方程-?+2x-m=-3有实根，

而抛物线的顶点的纵坐标为4.

所以机W4,

即〃?的最大值为4.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数juaf+氐+c(a,b,c是常数，〃W0)与x

轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性质.

23.(5分)如图，学校搭建一款拱门示意图，其中拱门最下端AB=2米，点C为的中点，点。为拱

门最高点，圆心0在线段C。上，CQ=3米，求拱门所在圆的半径.

【分析】连接。4,由垂径定理得CO_LA8,设拱门所在圆的半径为x米，则。4=0D=x米，OC=CD

-0D=(3-x)米，然后在RtZXOAC中，由勾股定理列出方程，解方程即可.

【解答】解：如图，连接04,

•••CO过圆心，C为A8的中点，AB=2米，

ACD1AB,AC=BC=^AB=\

设拱门所在圆的半径为x米，则。4=0。=1米，OC=CD-OD=(3-x)米,

在中，由勾股定理得：AC2+OC2=OA2,

即12+(3・x)2=/，

解得：戈=热

答：拱门所在圆的半径为I米.

【点评】本题主要考查了勾股定理的应用以及垂径定理的应用等知识，熟练掌握垂径定理，根据勾股定

理列出方程是解题的关键.

24.（6分）某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数y=-/+4H-3的图象和性质让行了探究,

探究过程如下，请补充完整:

（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与），的几组对应数值如表:

X…-3.7-3.3-2.0-1.00.00.72.03.03.7

y…-1.89-0.771.00.0-3-0.771.0m-1.89

其中tn-0

（2）如图，在平面直角坐标系中描寓了以上表中各对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函

数的图象.

3

2■

1-

■11i

-4-3-2-10234x

-1■

-2

—3,

-4

（3）根据函数图象，回答下列问题：

①函数图象与工轴有4个交点，则对应的方程-/+4用-3=0有4个实数根；

②当・20V2时，则y的取值范围为-3Wv〈l；

③直线尸质经过点（-2,1）,若关于x的方程-/+纲-3=依"有4个互不相等的实数根，贝山?

的取值范围・3Vb4-1.

【分析】（1）当x=3时，＞'=・』+4国・3=・9+4X3・3=0=加，即可求解；

（2）根据表格数据描点连线绘制函数图象即可；

（3）①观察函数图象即可求解；

②观察函数图象即可求解；

③从函数图象看若关于x的方程-7+4M-3=丘+人有4个互不相等的实数根，则直线处于"?、〃之间

的位置，进而求解.

【解答】解：（1）当x=3时，y=-?+4|.\|-3=-9+4X3-3=0=m,

故答案为：0；

(2)根据表格数据描点连线绘制函数图象如下:

(3)①从函数图象看，函数图象与x轴有4个交点，即对应的方程-/+4川-3=0有4个实数根；

②当-2Wx<2时，从困数图象看，)，的取值范围为-3W)WI；

③从函数图象看若关于x的方程・f+4凶・3=h+〃有4个互不相等的实数根，则直线处于〃?、〃之间

的位置,

对于直线〃：2直线〃?过点(-2,1)、(-1,0),

则函数〃?表达式为：y=k(x+1),

将(2,-1)代入上式得：-1=k,

则直线m的表达式为：y=-(x+1)>

则/?=-1,

对于直线〃?：直线过点（2,-1）、（0,-3）,

则力=-3,

故人的取值范围为-3V〃V-1.

故答案为：①4,4：②-1；③-3V力V-I.

【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，函数图象点的坐标的特征，函数

图象与坐标轴的交点，借助函数的图象利用数形结合的方法解答是解题的关键.

25.（6分）乒乓球作为中国的国球，是一项深受大众喜爱的体育运动，小聪和小明打球时发现乒乓球运动

路线近似看成抛物线的一部分.爱思考的他俩建立如图所示的平面直角坐标系，小聪第一次发球时，乒

乓球从抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度.V（单位：与水平距离x（单位：cm）

近似满足函数关系式y=a（x-力）2+k（«<0）.

乒乓球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下:

水平距离x/rm04080120160

竖直距离y/cm2035403520

（1）根据

上述数据，直接写出小聪第一次发球时乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系

2+k（«<0）

（2）小聪第一次发球后乒乓球第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，第二次他发球时，乒乓球的竖直高

度），（单位：cm）与水平距离x（单位：cm）近似满足函数关系式），=-0.005（x-70）2+36（〃<0）,

请你判断小聪第二次发球时，乒乓球第一次落在球桌不超出球桌边缘（填“是"，“否”）