2024-2025学年西藏昌都某中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

2024.2025学年西藏昌都第一高级中学高二（下）期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.若集合4={%|%=4左一3,上£N},fi={x|（x+3）（x-7）<0},若An8=C,则集合C中的元素有（）

个.

A.1B.2C.3D.4

2.复数z满足z（5+12i）=13i,则3的虚部为（）

3.已知随机变量X〜N（242）,且p（X>3）=0.2,则P（1VXW3）=（）

A.0.8B.0.6C.0.4D.0.3

4.某班有4B,C,D,E五名同学要排成一排进行拍照，其中B同学不站在两端，C,。两名同学相邻，

则不同的排列方式种数为（）

A.12B.24C.36D.48

5.若Q+Jn展开式的二项式系数之和为6%则展开式的常数项为（）

A.20B.90C.40D.120

6.从1,2,3,4,5,6中任取2个不同的数，事件A=”取到的2个数之和为偶数”，事件8="取到两个

数均为奇数”,则P（B|4）=（）

1121

A8B4C5D2

7.某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概

率为|，则由此估计甲获得冠军的概率为（）

A24r1620

A3BD9C27Dn-27

8.小李家打算去张家界或长沙旅游，去张家界与长沙的概率分别为0.6,0.4,在张家界去徒步爬山的概

率为0.5,在长沙去徒步爬山的概率为0.6,则小李一家旅游时去徒步爬山的概率为（）

A.0.54B.0.56C.0.58D.0.6

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知（G+E）n（n€N,）的展开式中存在常数项，则下列结论正确的是（）

A.ri的最小值为10B.当n取最小值时，展开式的二项式系数的和为32

C.当n=10时，展开式中的常数项为45D.当n=10时，展开式中没有小项

10.下列关于随机变量X的说法正确的是()

A.若X服从正态分布N(l,2),则O(2X+2)=4

B.X服从两点分布，且P(X=1)=0.4,设V=2X-1,那么尸(Y=-1)=0.6

C.若X服从超几何分布月(4,2,10),则期望E(X)=I

D.若X服从二项分布8(4,；),则P[X=3)=白

OOX

11.卜・列的叙述正确的有()

A.关于一元线性回归，若相关系数厂=-0.98,则y与工的相关程度很强

B.关于一元线性回归，若决定系数”越大，模型的拟合效果越差

C.关于独立性检验，随机变量小的值越大，认为“两个分类变量有关系”的把握性越大

D.关于独立性检验，若小的观测值满足K2V6.635,依据小概率值a=0.01的独立性检验，认为“两个分

类变量无关”(参考数据:P(K2>6.635)=0.01)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(二-的展开式中，若二项式系数最大的项仅是第4项，则展开式中”的系数

为______.

13.现有6根小棒，其长度分别为1,2,3,4,5,6,从这6根小棒中随机抽出3根，则抽出的3根小棒首尾

链接(不能折断小棒)，能构成三角形的概率是.

14.在某次学校的游园活动中，高二(6)班设计了这样一个游戏：在一个纸箱里放进了5个红球和5个白球，

这些球除了颜色不同外完全相同，一次性从中摸出5个球，摸到4个或4个以上红球即为中奖，则中奖的概

率是_____.(精确到0.001)

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

某学校随机抽取部分新生调杳其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图

),其中，上学所需时间的范围是[0,100],样本数据分组为[0,20),[20,40),[40,60),160,80),

[80,100].

(I)求直方图中工的值；

(H)如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以

申请住宿；

(IH)从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X,求X的分布列和

数学期望.(以直方图中新生.上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概

16.(本小题15分)

工信部发布的《“十四五”促进中小企业发展规划》中明确提出建立“百十万千”的中小企业梯度培育体

系，引导中小企业走向“专精特新”“小巨人”“隐形冠军”的发展方向，“专精特新”是指具备专业

化、精细化、特色化、新颖化优势的中小企业.如表是某地2017—2021年新增企业数量的有关数据:

年份(年)20172018201920202021

年份代码Q)12345

新增企业数量(y)817292442

(1)求x和y的相关系数r(精确到0.Q1),并推断％和y的线性相关程度(若|r|N0.75,则线性相关程度很强;

若0.30<|r|<0.75,则线性相关程度一般)；

(2)请根据表中所给的数据，求;lly关于％的经验回归方程，并预测2025年此地新增企业的数量.

£；Li(Xf-x)(y,-y)

参考公式:相关系数r=经验回归方程y=a+bx,其中

J弟心「亍)2卜隔8厂分2

b_£之1区一%）（?［，）

2a=y-bx.

^）（xr-x）

参考数据：/1635«40.4.

17.(本小题15分)

为了普及环保知识增强环保意识，某校从理工类专业甲班抽取6。人，从文史类乙班抽取50人参加环保知识

测试

(1)根据题H条件完成下面2x2列联表，并据此判断你是否有99%的把握认为环保知识与专业有关

答案解析

1.【答案】C

【解析】解:由题意得,A={x\x=4k-3,kEN}={-34,5,9,13,17,B={x\-3<x<7)f

故ACB={-3,1,5},即ACB中共有3个元素.

故选：C.

由己知先求出集合A,B,然后结合集合的文集运算即可求解.

本题主要考查了集合交集运算，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解:复数z满足z(5+12i)=13t,

得13*12，)=65，+156=U工

则z=XX(3i,故z的虚部为-X

故选：D.

根据复数的乘除运算化简得出复数z=!|+白，再应用共扼复数定义得出虚部.

本题主要考查复数的基本运算，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：因为X〜N(2,02),

所以由正态分布图象的对称性可知，P(X<1)=P(X>3)=0.2,

所以P(1<X<3)=1-P(X<1)-P(X>3)=0.6.

故选：B.

根据正态分布曲线的对称性性质可得.

本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题.

4.【答案】B

【解析1解：已知有A,B,C,D,E五名同学要排成一排进行拍照，其中8同学不站在两端，C,/)两名

同学相邻，

则C，。两名同学相邻，所以有国种，

又因为B同学不站在两端，所以有心种，其他同学(CD看作一个整体)进行排列有属种，

所以不同的排列方式种数为底用房=24.

故选:B.

将C，。捆绑，先排B同学，再将其余同学(CD看作一个整体)全排列.

本题考查排列组合相关知识，属于中档题.

5.【答案】A

【解析】解：若(％+：)”展开式的二项式系数之和为64,

则2n=64,解得九=6,

故二项式(X+的展开式通项了日］=以\6-丁(3==C；%6-2r,r=Q,1,2,6.

令6-2r=0,即r=3时，T4=C1x0=20,

即展开式的常数项为20.

故选:A.

先由二项式系数和求出n,再由展开式公式写出二项式的展开式通项，然后得到结果.

本题考查二项式系数的性质及展开式的通项公式的应用，考查运算能力，属于中档题.

6.【答案】D

【解析】解：根据题意，设事件4=''取到的2个数之和为偶数”，

若取到的2个数之和为偶数，则取到的2个数都是偶数或都是奇数，则P(4)=岑

事件48,即取到两个数均为奇数：则P(4B)=粉得.

1

-

51

-

-p(-2--

-2

p(5

故

选D.

分别写出P(4)和PG48),再利用条件概率公式计算即可.

本题考查条件概率的计算，注意条件概率的计算公式，属于基础题.

7.【答案】D

【解析】解：甲获得冠军分以下二类：

28

=-

第一类：甲2：1获胜的概率为：P2=C11-1■一3

27

第二类：甲2：0获胜的概率为：居=(|)2=小

所以甲获胜的概率为P=：+得=需

VL/Z/

故选：D.

按照以卜两种情形，利用独立事件同时发生用乘法，结合二项分布概率公式进行计算即可.

本题考查相互独立事件概率乘法公式，属于基础题.

8.【答案】A

【解析1解：记小李一家去张家界为事件4去长沙为事件8,去徒步爬山为事件C,

去张家界与长沙的概率分别为0.6,0.4,在张家界去徒步爬山的概率为0.5,在长沙去徒步爬山的概率为

0.6,

则P(4)=0.6、P⑻=0.4、P(C|A)=0.5、P(C|B)=0.6,

所以尸(C)=P(C\A)P(A)4-P(C\B)P(B)=0.5x0.6+0.4x0.6=0.54,

即小李一家旅游时去徒步爬山的概率为0.54.

故选:A.

记小李一家去张家界为事件4去长沙为事件B,去徒步爬山为事件C,根据全概率公式计算可得.

本题主要考查全概率公式，属于基础题.

9.【答案】BCD

,_1n-5r

【解析】解：囚为(G+f)n展开式的通项不+i=C>%-L(r=0,l,2,3,4.......n),

由题知九=5r,

对干选项A,因为〃=5r,所以n的最小值为5,故选项4错误，

对于选项氏由选项4知当九取最小值时，n=5,所以二项式系数的和为2$二32,故选项B正确，

对于选项C,当九=10时，r=2,所以常数项为C；o=45,故选项。正确，

对于选项。，令竽=2,得r不符合题意，所以当n=10时，展开式中没有/项，故选项。

正确.

故选:BCD.

根据条件得到展开式的通项，进而得到几=5r,再对各个选项逐一分析判断，即可求解.

本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数的运算，主要考查学生的运算能力，属于基础题.

10.【答案】BCD

【解析】解：X服从正态分布N(l,2),

则。(X)=2,

故D(2X+2)=4D(X)=8,故A错误；

X服从两点分布，且P(X=l)=0.4,

则P(X=0)=1-P(X=1)=0.6,

Y=2X-1,

则P(y=-l)=P(X=0)=0.6,故8正确：

X服从超几何分布”(4,2,10),

则E(X)=4x0=\故C正确；

X服从二项分布B(4、)，

则P(X=3)二盘(界x(l-｝二4，故。正确.

故选：BCD.

结合正态分布、两点分布、超几何分布，二项分布的性质，即可求解.

本题主要考查概率的求解，属于基础题.

11.【答案】ACD

【解析】解：对于4相关系数r的绝对值越接近1，变量间的线性相关程度越强，

所以若相关系数r=-0.98,则y与％的相关程度很强，故A正确；

对FB,关千一元线性回归，若决定系数/?2越大，模型的拟合效果越好，故8错误：

对于。，关于独立性检验，随机变量K2的值越大，认为“两个分类变量有关系”的把握性越大，故C正

确；

对于D,关于独立性检验，若K2的观测值满足K2v6.635,WP(/<2>6.635)=0.01

依据小概率值a=0.01的独立性检验，认为“两个分类变量无关”，故。正确.

故选：ACD.

根据相关系数和决定系数的性质可判断力以根据独立性检验的性质可判断C。.

本题主要考查了相关系数的性质，考查了独立性检验的应用，属于基础题.

12.【答案】-160

【解析】解：•••二项式系数最大的项仅是第4项，

•••n=6,

则展开式的通项公式为几+l=以［二)6-气一3k=Ckx18-3k(_2)kx-k=或炉8-4气一2)匕

由18-4k=6得4k=12,得k=3,

即展开式中一的系数为盘(一2尸=-160.

故答案为：-160.

根据条件求出n=6,然后求出通项公式，令》的次数为6,然后进行计算即可.

本题主要考查二项式定理的应用，利用二项式系数的最大项求出〃=6,利用通项公式进行求解是解决本

题的关键，是基础题.

13.【答案】看

【解析】解：现有6根小棒，其长度分别为1,2,3,4,5,6,从这6根小棒中随机抽出3根,

基本事件总数九=Cl=20,

其中抽出的3根小棒首尾链接(不能折断小棒)，能构成三角形包含的基本事件有：

(2,3,4),(2,4,5),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6),共7个，

则抽出的3根小棒首尾链接(不能折断小棒)，能构成三角形的概率是P=品.

故答案为：

基本事件总数九=够=20,利用列举法求出其中抽出的3根小棒首尾链接(不能折断小棒)，能构成三角形

包含的基本事件有7个，由此能求出抽出的3根小棒首尾链接(不能折断小棒)，能构成三角形的概率.

本题考查占典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

14.【答案】0.103

【解析】解：•.•总的基本事件为从10个球中取出5个共婚=252种，

摸到4个或5个红球共C?•废+旗=26种，

••.中奖的概率为：言。0.103

故答案为:0.103

由题意可得总的基本事件共出。=252种，摸到4个或5个红球共仁,Cg+C曰=26种方法，由概率公式可

得.

本题考查古典概型及其概率公式，属基础题.

15.【答案】解：(I)由直方图可得：20xx+0.025x20+0.0065x20+0.003x2x20=1.

所以％=0.0125.

(II)新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003X2x20=0.12,

因为600x0.12=72,

所以600名新生中有72名学生可以申请住宿.

(III)X的可能取值为0,1,2,3,4.

由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为

4

P(>=°)=(》=装，

P(>=1)=心也》=系

/^=2)=盘弓)2$2=急，

P(X=3)=C招)3(}=得,

P(X=旬=(》=表.

所以X的分布列为:

X01234

8127271

P3

2566412864256

FX=0xA_+lx-+2x-+3xA+4x-=l.(nEEX=4x-=l)

所以X的数学期望为1.

【解析】(/)由题意，可由直方图中各个小矩形的面积和为1求出工值.

(〃)再求出小矩形的面积即上学所需时间不少于1小时组人数在样本中的频率，再乘以样本容量即可得到此

组的人数即可.

(III)求出随机变量X可.取得值，利用占典概型概率公式求出随机变量取各值时的概率，列出分布列，利用

随机变最的期望公式求出期望.

本题考查频率分布直方图，考查离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的期望等，解题的关键是理

解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，考查了识图的能力.

16.【答案】rX0.93：线性相关程度很强.

y=1.54-7.5x；69.

【解析】(1)1=l+2+；+4+5=3,,=8+17+29+24+42=24,

5

W(苣-1)(%-y)=(-2)X(-16)+(-1)x(-7)+0x5+1x04-2x18=75

i=l

E?=1(左一x)2=4+1+0+1+4=10,

5

W(%-y)2=(-16)2+(-7产+52+0+182=654

i=i

E^i(x-x)(yy)75_75

可得相关系数r=tr«0.93>0.75,

/%(阳一分21虎心厂中)2V10x654—2/1^5

.•・变量x和y的线性相关程度很强.

(2)由⑴知，Sf=1(xt--x)(yt-y)=75,于=式修-工7=10,

.•"=迪等吗页=7.5,

第1(&-幻

样本中心点(x,y)在回归方程上，则a=y-bx=1.5,

•••y=7.5%+1.5：

预测2025年，即当％=9时，由经验回归方程可得y=69,

估计2025年此地新增企业的数量约为69家.

(1)根据表中数据计算出平均值，代入相关系数计算公式可得结论；

(2)计算出b=7.5,由样本中心点G5)在回归方程上可得Q=1.5,求出回归方程为y=1.5+7.5%,将/=

9代入回归方程可预测2025年的新增企业的数量.

本题考查相关系数、回归方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

17.【答案】解(1)2x2列联表如'

优秀非优秀总计

甲班402060

乙班203050

总计6050110

110x(40x30-20x20)2

K2=«7.8>6.635»

60x50x60x50

所以有99%的把握认为环保知识与专业有关(4分)

(2)不妨设3名同学为小王，小张，小李且小王为优秀，记事件M,N,R分别表示小王，小张，小李通过预

选，则P(M)=；,P(/V)=P(/?)=1(5分)

随机变量X的取值为0,1,2,3(6分)

所以P(X=0)=P(MNR)=""9=余

4D。V

...——...1721211214

P(X=1)=P(MNR+MNR+MNR)=++=

P(X=2)=P(MNR+MNR+MHR)=|X|X|+|X|X1+|X|X|=^-,

P(X=3)=P(MNR)=ixlxl=-l(10分)

ZOolo

所以随机变量x的分布列为:

X(123

p\2451

)91818

E(X)=0x/1x1+2x■+3X焉=((12分)

【解析】(1)由题设条件作出列联表，根据列联表中的数据，得到K?=吟黑慈鬻7.8>6.635.

OUX3UXOUXOU

由此得到有99%的把握认为环保知识测试与专业有关.

(2)由题设知X的可能取值为0,1,2,3,分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX.

本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合知识的合理

运用.

18.【答案】y=x；

单调递增区间为(一11一》，单调递减区间为(1一；,+8)；

证明见解析.

【解析】解：(1)已知函数f(x)=ln(l+ox)-%,

当a=2时，/(%)=ln(l+2x)—x,

则/'(”)=急一1'即/(°)=1'八°)=°,

故当Q=2时，曲线y=/(%)在(0/(0))处的切线方程为y=x.

(2)由/(%)