2024北师大版八年级数学上册《二元一次方程与一次函数》教案

北师大版（2024）八年级上册数学第五章4二元一次方程与一次函

教教案

第।课时二元一次方程（组）与一次函数

新课导入设计

【悬念激趣】

（1）如图1，图片呈现的是双人像还是花瓶？

（2）如图2，图片呈现的是少女还是老妇？

（3）y=-x+4也可写为x+y=4，那么它是一个函数表达式，还是二元一次方程？

教学设计

第1课时二元一次方程（组）与一次函

课题授课人

数

1.理解二元一次方程与一次函数图象的

关系.

2•掌握两直线在同一平面直甭坐标系中

素养目标的位置关系，能根据图象确定二元一次

方程组的解，通过积极参与数学学习活

动，培养独立思考、积极探索、勇于创

新、团结合作的精神.

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理解二元一次方程与一次函数图象的关

教学重点

系.

教学难点应用方程与函数的联系解决问题.

授课类型新授课课时

教学活动

教学步骤师生活动设计意图

1.什么叫二元一次方程的

回顾旧知，为学习新知做好准

回顾解？

备.

2•一次函数的图象是什么？

【课堂引入】

1方.程x+y=5的解有多少

x=0，fx=5，[x=l，

个？|

y=5；[y=0：ly=4；

x=2，

c是这个方程的解吗？

ly=3

2•点（0，5），（5，0），（1，4），

设置问题情境，让学生感受二

（2，3）在一次函数y=5—x的

元一次方程x+y=5和一次

图象上吗？

函数y=5-x可以相互转化，

活动一：创设情境、导入新课3•在一次函数y=5-x的图

启发引导学生总结二元一次

象上任取一点，它的坐标满足

方程与一次函数的对应关系，

方程x+y=5吗？

顺理成章地引出本节内容.

4-以方程x+y=5的解为坐

标的所有点组成的图象与一

次函数y=5—x的图象相同

吗？

5•由上面的思考题，你可以

得到怎样的结论？二元一次

方程与一次函数的关系是什

第2页共22页

么？

续表

教学步骤师生活动设计意图

【探究新知】

1♦二元一次方程与一次函数

的关系

从皎叉影

一X-lf以“为也幄的点在

片也一,T的惴.一次病4T•向

_…_fflftt：

从影口触

归纳总结：

二元一次方程和一次函数图

数学建模是应用数学解决实

象的关系，

际问题的一个有效方法，通过

(1)以二元一次方程的解为坐

自主探索，学生初步体会

标的点都在相应的一次函数

“数”(二元一次方程组)与

图象上，即以一个二元一次方

“形”(两条直线)之间妁对

程的解为坐标的点组成的图

应关系，十分自然地建立了数

活动二：实践探究、交流新知象与相应的一次函数的图象

形结合的模型，学生初步感受

相同，是同一条直线；

到了“数”的问题可以转化

(2)一次函数图象上的点的坐

为“形”来处理，反之，“形”

标都满足相应的二元一次方

的问题可以转化成“教”来

程.即：从“数”的角度看，

处理，培养学生分析问题、解

解方程相当于考虑自变量为

决问题的能力.

何值时对应的函数值是多少；

从“形”的角度看，解力程相

当于确定直线上的点的坐标.

2•二元一次方程组的解与对

应的两个一次函数图象之间

的关系

二元一次方程2x—y=l与前

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也时应两条直线.

想一想：在同一平面直角坐标

系中，一次函数y=x+1和y

=x-2的图象有怎样的位置

（X—y=—1，

关系？方程组1_y=2

的解的情况如何？你发现了

什么？

4j尸+1

-十3-2/1b1/2345^

归纳总结：方程组的解的个数

与对应的一次函数图象的交

点个数之间的关系：

二元一次方程组无解一对应

的两个一次函数图象平行（无

交点）；

二元一次方程组有一组解一

对应的两个一次函数图象相

交（有一个交点）；

二元一次方程组有无数组解

一对应的两个一次函数图象

重合（有无数个交点）.

教学说明：教学过程中，教师

不要急于替学生分析，应给予

学生充分的时间进行讨论.

续表

第5页共22页

教学步骤师生活动设计意图

【典型例题】

活动三：开放训练、体现应用

例1小亮在同一平面直角

坐标系中作出了y=-2x+2和y

=-1x-l的图象，则方程组

,2x+y=2，

<1।的解是(B)

卧+y=-1

fy

x=-2，

[y=2

x=2，

B'

ly=-2

x=2，

U

|y=2

x=—2，

D：

ly=-2

例2若关于x，y的二元一次方

[y=kx+b，fx=1»

程组,的解为<.

[y=mx+n〔y=2，

则一次函数y=kx+b与y=mx+

n的图象的交的坐标为(1，2).

例3已知直线y।=2x的图象如

图所示，且与函数y?=—x+4相

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交于点A.

(I)在平面直角坐标系中画出y2=

-x+4的函数图象；

(2)求出点A的坐标；

2x—y=0»

(3)关于xy的方程组,

,x+y=4

4

1

1

3

是

8

3

-

X•••04••・

y=­x+4•••40•••

描点、连线，如图所示.

y=2x，

(2)由题意，得《

y=­x—4，

48使学生进一步巩固所学新知，提高

所以点A的坐标为《小).

,,学生分析问题、解决问题的能力.

续表

教学步骤师生活却设计意图

第7页共22页

【变式训练】

1,在同一平面直角坐标系中，一

次函数y=x+l和y=x—2的图象

有怎样的位置关系？方程组

X—y=—1，

解的情况如何？你

lx—y=2

发现了什么？

4

4F

活动三：开放训练、体现应用

-3-2/101)/5345A

解：一次函数y=x+l和y=x—2

x—y=-1，

的图象平行，方程组J

X-y=2

无解.

2.已知二元一次方程组

fax-y+b=O，fx=—3»

的解为《,

kx-y=0[y=1，

则一次函数y=ax+b和y=kx的

图象交点坐标为(8)

4•(3，-1)B.(一3，1)

C•(1»—3)D.(―1»3)

师生活动：学生独立思考，教师引

导学生画图，并结合图象进行解

答，最后教师总结：二元一次方程

组无解=一次函数的图象平行(无

交点)：二元一次方程组有一•解o

第8页共22页

一次函数的图象相交（有一个交

点）；二元一次方程组有无数个解

=一次函数的图象重合（有无数个

交点）.

【课堂检测】

活动四：课堂检测

1.下列图象中每条直线上的点的

坐标都是二元一次方程x-2y=2

的解的是（C）

J,L

（Ai

AH<•n

2.若直线）/=3x+6与y=2x—4

x=a，

的交点坐标为(a»b)，则u是

y=b

加深学生对所学知识的理解及运

下列哪组方程组的解（O）

用，在问题的选择上以基础为主，

fy-3x=6，y—3x=6，

A.\B：让学生灵活运用所学知识解决问

|2y+x=-42y—x=4

题，巩固新知.

3x—y=6，

C.,

2x—y=-4

D[3x-y=--6，

2x—y=4

3•如图，已，知函数y=ax+b和y

=kx的图多士交于点F），则根据图

象可得，关于x，y白勺二元一次方

y=ax+b，

程组kx，均解是（O

ly=

第9页共22页

教学步骤师生活动设计意图

4.方程3x+y=10的解有无数

个，请写出其中的两组解：答

jx=l，

案不唯一，如：（

fx=2，

I_4;在平面直角坐标系

中分别描出以这些解为坐标

活动四：课堂检测

的点，它们在（填“在”或

“不在”）一次函数y=-3x

+10的图象上.

5•一次函数y=2x+3与y=

2x—3的图象的位置关系是壬

红，即没有交点（填“有”或

“没有”），由此可知

第10页共22页

(2x-y+3=0，

的解的情况

[2x—y-3=()

是无解.

6•在同一平面直角坐标系中

画出函数y=2x+1和y=一

2x+l的图象，并利用图象写

出二元一次方程组

y=2x+l»

,的解.

ly=-2x+l

..I....

-3-2-/KAJ234x

/-at\--2计1

解：如图所示*

二元一次方程组的解为

jx=O，

ly=i.

师生活动：学生进行当堂检

测，完成后，教师进行批阅、

点评、讲解.

1.课堂小结：学生在小结中整理知识、梳理

(1)本节课主要学习了哪些知思维，获得成功的体脸，积累

课堂小结

识？学习了哪些数学思想和学习的经验，养成系统整理所

方法？学知识的习惯.

第11页共22页

(2)本节课还有哪些疑惑?请

同学们说一说.

2•布置作业：

教材第129页随堂练习第1，

2，3题；教材第132页习题

5.4第1，2，3题.

第1课时二元一次方程(组)

与一次函数

1.二元一次方程和一次函数

的图象的关系.

2•二元一次方程组和对应的

板书设计两条直线的关系.提纲挈领，重点突出.

3•解二元一次方程组的方法

有三种：

(1)代入消元法；

(2)加减消元法；

(3)图象法.

1.美注学生对“方程的解”

与“图象交点”对应关系的

理解，可通过多组实例对比强

化.

2・图象法的局限性(如坐标精

教学反思反思，更进一步提升.

度)需提醒，强调代数法与图

象法的互补性.

3•结合实际问题时，引导学

生先分析数量关系，再转化为

函数表达式，体会建模过程.

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第2课时用二元一次方程组确定一次函数表达式

新课导入设计

【置疑导入】

小颖同学受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作:

你能根据以上信息求出放入小球后量筒中水面的高度h(cM与小球个数x之间的关系吗？

学了本节后，你就能揭开它神秘的面纱「

教学设计

第2课时用二元一次方程组确定一次

课题授课人

函数表达式

1.能利用二元一次方程组确定一次函数

的表达式.

2•培养分析问题和应用所学知识解决问

素养目标题的能力.

3•体会一次函数与二元一次方程组的相

互联系，感受“数形结合”在数学研究

中的作用.

利用二元一次方程组确定一次函数的表

教学重点

达式.

应用方程与函数之间的联系解决实际问

教学难点

题.

授课类型新授课课时

教学活动

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教学步骤师生活动设计意图

如图，求一次函数的图象对

应的表达式.

K

0\123\X

直线1是一次函数y=kx+b的

图象.

(l)b=_______，k=________；通过此组练习,回顾以前所学，

回顾

⑵当x=3时，y=_______；为新课学习奠定基础.

(3)当y=3时，x=.

问题1：一般设一次函数的表达

式为什么形式？

问题2：确定一次函数的表达式

关键是确定哪些参数的值？

问题3：一次函数中b的意义是

什么？

续表

教学步骤师生活动设计意图

【课堂引入】

A，8两地相距100千米，甲、

乙两人骑车同时分别从A，B

两地出发相向而行.假设他们

都保持匀速行驶，则他们各自创设具体的问题情境，激发学

活动一：创设情境、导入新课

离A地的距离s(千米)都是骑生的学习热情.

车时间t(时)的一次函数.1小

时后乙距离A地80千米；2

小时后甲距离A地30千

米.问经过多长时间两人相

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遇？

1尔是怎么做的？与同伴进行

交流.

30千米

=21------------------------------1—

'1时?

【挽t究新知】

小明：可以:分别画出两人S与

t之间关系（内图象（如图），找

出交点的X债坐标就行了！

|xkrr

,00K

80卜4

6okX

$4ok

23th

分析讨论：J书图象法求解，两

通过实际问题情境，进一步加

个函数图喙、的交点的横坐标

强函数与方程的联系，在用多

就是他们相遇时的时间.由于

种方法解决问题的思考和比

在前一课时f已经有了用作图

较中，体会图象法与代数法各

活动二：实践探究'交流新知象的方法解方程组的经验，因

自的特点，在此基础上，掌握

此画图象求:解是较为自然的

用待定系数法确定一次函数

做法，但画B刈的结果多是近似

表达式的方法.同时理解知识

值，，睢以精确.

之间有着广泛的联系.

小颖：对于乙，S是1的一次

函数，因此.可以设s=kt+b.

当t=0时，s=100；当1=1

时，s=80.）务它们分别代入s

=kt+b中，可以求出k，b

的值，即可求出乙的s与t之

间的函数表达式.同样可以求

出甲的s与t之间的函数表达

式，再联立;区两个表达式，求

第15页共22页

解方程组就可以了.

分析讨论：用待定系数法确定

甲、乙各自的S与1之间的函

数表达式，再用消元法解方程

组，能准确地求出结果.

小亮：后乙距离A地80

km、即乙的速度是20km/h；2

h后甲距离A地30km»即甲

的速度是15如加.由此可以求

出甲、乙两人的速度和，再用

总路程100路除以两者的速

度和即可……

分析讨论：用代数法，根据行

程问题中的相遇问题，找出等

量关系列一元一次方程来解.

师：既然大家对他们的想法都

有了一定的认识，你能说说，

他们的想法的优缺点吗？

生：在刚才讨论的基础上，可

以达成一致的看法是：

小明想法的优点是：直观池获

得问题的结果，使考虑问题的

思路清啦，借助图象帮助我们

寻找解题途行.缺点是：作图

象的方法难以获得准确的结

果.

小颖的想法，既利用了小明的

想法的优点，又克服了其缺

点.由此可见当遇到一次函数

第16页共22页

与二元一次方程组有关的问

题，要认真设清题意，必要时

要借助数形结合，从图象信息

确定一次函数表达式，加强一

次函数与二元i次方程组的

联系.

归纳总结：用图象法可以直观

地获得问题的结果，但是有时

难以获得准确的结果.为了获

得准确的结果，一般用代数

法.

续表

教学步骤师生活匆设计意图

【典型例题】

活动三：开放训练、体现应用

例（教材第130页例i在某汽

车客运站，乘坐长途车的乘客可以利用文字提供的信息，让学生掌握

免费携带一定质量的行李超过该利用二元一次方程组确定一次函

质量需购买行李票，且行李费y（单数表达式的具体做法，让学生深刻

位：元）是行李质量x（单位：依）的理解解决这种问题的一般步骤与

一次函数.已知李明带了60版的方法，在此基础上，培养学生的应

行李，交了行李费5元；张华带了用意识、阅读理解能力与建立模型

90kg的行李，交了行李费10元.解决问题的能力，让学生体会数学

（1）写出y与x之间的关系式；的广泛应用，充分加强数学与现实

（2）每名乘客最多可免费携带多少的联系.

千克的行李？

第17页共22页

解：⑴设y=kx+b，根据题意，

得

5=60k+b，①

10=90k+b.②

②一①，得30k=5，k=1.

将k=：代入①，得b=-5.

所以y=1x—5.

（2）当x=30时，y=0.

所以每名乘客最多可免费携带30

依的行李.

【变式训练】

在正常情况下，一个人在运动时所

能承受的最高心跳次数S（次/分）

与这个人的年龄n（岁）满足关系

式：S=an+b，其中a，b均为常

根以瓜单修充泰在正常情卫下.年龄

明，人在运动时，”岁和45y的人在运

心跳的快慢通常动时所能及便的最高

和年龄相关.心观次敷分刖为164

次/分和144次/分.

⑴根据图中提供的信息，求a，b

的值；

（2）若一位63岁的人在跑步，医生

在途中给他测得10秒心跳为26

次，问：他是否有危险？为什么？

解：（1）根据题意，得

164=15a+b，

144=45a+b，

第18页共22页

a=­T♦

解得13

,b=174.

2

所以a=—§，b=174.

2

（2）当n=63时，S=-1X63+174

=132（次/分），

即63岁的人在运动时所能承受的

最高心跳次数为132次/分.

而26X1一156（次/分）＞132（次/

分），

所以他有危险.

师生活