2024北师大版八年级数学上册《勾股定理的应用》教案

北师大版(2024)八年级上册数学第一章3勾股定理的应用教案

新课导入设计

【置疑导入】

如图所示，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门ABCD，如果把竹竿竖放

就比门AB高出2尺，沿着门的对角线斜放就恰好等于门的对角线(BD)，已知门宽AD为6

尺，求竹竿的长.

教学设计

课题3勾股定理的应用授课人

1.能正确运用勾股定理及直角三角形的

判定方法解决简单的实际问题.

2•学会选择适当的数学模型解决实际问

题.

素养目标

3•通过问题情境的设立，帮助学生体会

数学来源于生活，又应用于生活.积累

利用勾股定理的知识解决日常生活中实

际问题的经验和方法.

应用勾股定理及直角三角形的判定条件

教学重点

解决简单的实际问题.

教学难点从实际问题中合理抽象出数学模型.

授课类型新授课课时

教学活动

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教学步骤师生活动设计意图

勾股定理及直角三角形的判让学生回忆并回答，为本课的

回顾

定条件是什么？学习提供知识基础.

【课堂引入】

看图片，引出问题：有一块长

方形绿地，绿地周边是小路，用学生熟悉的生活实例导入

在绿地旁边的B处有健身器并提出问题，使学生的参与兴

材.居住在A处的居民为了趣浓厚、探究热情高涨，既复

走近路而不惜践踏草地直接习了本节课需要用到的基本

活动一：创设情境、导入新课

从A到B.各位同学，你知道事实“两点之间，线段最短”

他们为什么不走绿地周边的和勾股定理的计算，又为下一

路吗？环节奠定了良好的课堂尔围

也一基础.

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教学步骤师生活动设计意图

【探究新知】1.运用直角三角形的判定条

1•李叔叔想要检测雕塑底座件来解决实际问题，让学生学

正面的边AD和边BC是否分会分析问题，利用允许使用的

别垂直于底边AB，但他只随工具灵活处理问题.

身带了卷尺.2•通过设未知数，建立方程，

活动二：实践探究、交流新知(1)你能替他想办法完成任务我们成功地解决了正方形折

吗？叠线段长度的问题，这让我们

(2)李叔叔量得边AD的长是看到，方程思想就像一把钥

30cm,边AB的长是40cm♦匙，能帮助我们解开勾股定理

点B，D之间的距离是50cm>在复杂图形中应用的难题.在

则边AD垂直于AB吗？探究的过程中让学生进行思

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(3)小明随身只有一个长度为考、动手操作，进而培养学生

20a〃的刻度尺，他能有办法的思考能力、动手能力以及探

检验边AD是否垂直于边AB究能力.

吗？边BC与边AB呢？

H1

1/1/

AR

方法总结：判断线段的垂直关

系时，一-般是把线段放到三角

形中，利用勾股定理的逆定理

证得直角三角形，进而得到线

段的垂直关系.

2•如图，正方形纸片ABCD

的边长为8cm»E是边AD的

中点，将这个正方形纸片翻

折，使点C落到点E处，折

痕交边AB于点G，交边CD

于点F.你能求出DF的长吗？

AED

F

RC

老师先给大家示范：拿出一张

正方形纸片•，将右下角向上沿

着GF折叠，使右下角顶点恰

好落在正方形的边AD的中

点上，请同学们跟着老师的步

骤进行折置，折置完成后，思

考一下：在这个直角三角形

中，哪些边的长度可以直接得

到，哪些边的长度需要借助未

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续表

教学步骤师生活动设计意图

【典型例题】

例（教材第13页例）今有池

方一丈，葭生其中央，出水一

尺.引葭赴岸，适与岸齐.问：

水深、葭长各几何？（选自《九

章算术》）

题目大意：有一个水池，水面

是一个边长为1丈的正方

形.在水池正中央有一根新生

的芦苇，它高出水面1尺（如

图）.如果把这根芦苇垂直拉

利用勾股定理解决实际问题，

向岸边，那么它的顶端恰好到

同时训练学生的读题能力和

达岸边的水面.这个水池的深

活动三：开放训练、体现应用规范书写解题过程的能力，使

度和这根芦苇的长度各是多

学生进一步理解勾股定理，体

会数学与现实世界的球系.

解:设水池的深度0A为x尺，

则芦苇的长度OB为（x+1）

尺.由于芦苇位于水池中央，

所以AC为5尺.在心ZXOAC

中，由勾股定理，可得AC?

4-OA2=OC2，

即52+X2=（X+1）2.

解得x=12.

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124-1=13.

因此，水池的深度是12尺，

芦苇的长度是13尺.

【变式训练】

《九章算术》是我国古代最重

要的数学著作之一，在“勾

股”章中记载了一道“折竹

抵地”问题：“今有竹高一

丈，末折抵地，去本三尺.问

折者高几何？”翻译成数学

问题是：如图所不

中，NACB=90°»AC-FAB

=10尺，BC=3尺，求AC

的长.

A

号

Cb

解：设AC=x尺，则AB=(1()

一x)尺.

在R/ZXABC中，由勾股定理，

得

AC2+BC2=AB2，

即X2+32=(10-X)2，

解得x—船.

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答：AC的长为筋尺.

师生活动：给予学生一定的时

间去思考，充分讨论，争取让

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学生自己得到正确答案，并对

学习有困难的学生适当引导、

点拨.

【课堂检测】

活动四：课堂检测

1.甲、乙两位探险者到沙漠进

行探险，某日早晨8：00甲先

出发，他以6加?〃?的速度向

正东行走，1小时后乙出发，

他以5hn/h的速度向正北行

走.上午10：(X)，甲、乙两

人相距多远？

K

AB东

解：如图，已知A是甲、乙

的出发点，10：00甲到达B

点，乙到达C点.则

AB=2X6=12(&〃?)，AC=

1X5=5(km).

在/?zAABC中，BC2=AC2

+AB2=52+122=169=132.

所以BC=13%.故甲、乙两

人相距13km.

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教学步骤师生活动设计意图

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2.小丽在物理课上学习了发

声物体的振动实验后，对其做

了进一步的探究：在一个支架

的横杆点0处用根细绳悬挂

一个小球A，小球A可以自

由摆动，如图，OA表示小球

静止时的位置.当小丽用发声

物体靠近小球时，小球从OA

摆到OB位置，此时过点B作

BC_LOA于点C，(图中的A，

B，0，C在同一平面内)，测

得AC=2cm>RC=8。以求

OB的长.通过设置当堂检测，及时获知

4学生对所学知识的掌握情况，

活动四:课堂检测明确哪些学生需要在课后加

强辅导，达到全面提高的目

/\的.

解：VOA=OB,AC=2cm-

AOC=OB-2.

在Z?rAOBC中，OB2=OC2

+BC2，

.\OB2=(OB-2)2+82.

解得OB=17.

.,.OB的长为17cm.

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师生活动：学生进行当堂检

测，完成后，教师进行批阅、

点评、讲解.

1.课堂小结：

(1)你在本节课中有哪些收

获？哪些进步？小结环节的设置能够让学生

课堂小结