2024人教版七年级数学上册 第五章 一元一次方程 单元测试【解析版】

第五章一元一次方程单元测试（解析版）

一、单选题：

1.下列方程中，是一元一次方程的是（）

I2

A.2X2-4X=3B.一一1=3C.-A-1=5D.lx+2y=5

x3

【答案】C

【分析】若一个整式方程经过化筒变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1,系数不为0,则

这个方程是一元一次方程.根据此定义，对四个选项逐一进行判断即可.

【详解】解：A.2d—4x=3未知数的次数不是1次，所以不是一元一次方程，故本选项不合题意；

B.--1=3,1不是整式，所以K是一元一次方程，故本选项不合题意；

xx

2

C.：工-1=5是一元一次方程，故本选项符合题意；

D.7x+2y=5,含有2个未知数,所以不是一元一次方程，故不选项不合题意

故选：C.

【点睛】本题考查一元一次方程，解题的关键掌握一元一次方程的定义.

2.若方程1=5是关于x的一元一次方程，则〃的值为（）

A.±1B.2C.±2D.-1

【答案】D

【分析】含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程是一元一次方程，根据定义列式计算即可得到答

案.

【详解】解：由题意得：=且。一1工0,

a=-1,

故选D.

【点睛】此题考查一元一次方程的定义，需注意的是含未知数的项的系数中含有未知数时必须满足系数不

等于0.

3.解方程=下列去分母变形正确的是（）

263

A.3x-x+2=6-2（x-l）B.3x-x-2=6-2（x-l）

C.3x-（x+2）=i-2（x-l）D.3x-x+2=3-2（x-l）

【答案】A

【分析】把方程两边同时乘以6去分母即可.

【详解】解：3-与

263

把方程两边同时乘以6得：3x-（x-2）=6—2（x—I）gp3x-x+2=6-

故选A.

【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键在于能够熟练掌握去分母的方法.

4.下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（）

人.若4="则改=从B.若a（r+l）=b（A^+I）,Ma=b

C.若〃=/?,贝D.若x=y,则/-3=y-3

CC

【答案】C

【分析】利用等式的性质对每个式子进行变形即可找出答案.

【详解】解：A、a=b.等式两访都乘以c得到4C=A,正确；

Bo（9+1）=b（9+1）,等式两边同时除以（/+1）,得至="正确；

C.a=b,等式两边同时除以c,c为零时不成立，故错误；

D.x=），，等式两边都减3,得到x-3=y-3,正确.

故选：C.

【点睛】本题主要考查等式的性质.运用等式性质1必须注意等式两边所加上的（或减去的）必须是同一

个数或整式；运用等式性质2必须注意等式两边所乘的（或除的）数或式子不为0,才能保证所得的结果仍

是等式•

5.下列变形正确的是（）

A.若3大一1=2工+1,则3x+2<=l+lB.若3（x+l）-5（l-x）=0,贝lj3x+3—5-5x=O

c3x-\,x,„,ix+1x,

C.若1一一—=x,则ni2-3x-l=xD.g---=10,则n一^---=1

【答案】D

【分析】根据移项，去括号，去分母，通分的运算法则逐一运算判断即可.

【详解】解：A：3x-l=2x+l移项得：3x-2x=l+l,故错误；

B3（x+l）-5（l-x）=O去括号得：3x+3-5+5x=0,故错误；

C：1一==工去分母得：2-3A+1=2Y,故错误；

2

D：黑-工=10所有项除10得：=故正确；

0.20.323

故选：。

【点睛】本题主要考查了解一元一次方程的步骤，熟悉掌握运算的法则是解题的关键.

6.解方程4=1-安，嘉琪写出了以下过程：①去分母，得3(x-2)=6-2(2x-l);②去括号，得

3x-6=6-4工-2；③移项、合并同类项，得加二10；④系数化为1,得”=与，开始出错的一步是()

A.①B.②C.③D.④

【答案】B

【分析】解决此题应先去括号，再移项，移项时要注意符号的变化.

【详解】在第②步，去括号得力-6=6-4.2,等式右边去括号时忘记变号，

故选B.

【点睛】解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1；在移项时要注意

符号的变化，此题是形式较简单的一元一次方程.

7.某车间28名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，一个螺栓需要两个螺母

与之配套，如何安排生产螺栓才能让螺栓和螺母正好配套？设有人•名工人生产螺栓，其余人生产螺母，依题

意列方程应为()

A.12x=18(28-x)B.2-12x=18(28-x)

C.I218X=18(28-A)D.I2x=2-18(28-x)

【答案】B

【分析】设有x名工人生产螺栓，贝IJ(28-x)人生产螺母，根据一个螺栓需要两个螺母与之配套，列出一元

一次方程解决问题.

【详解】设有x名工人生产螺栓，贝”(28-外人生产螺母，依题意得，

故选B.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解题的关键.

8.关于x的一元一次方程(&-1)1=4的解是整数，则符合条件的所有整数&的值的和是()

A.0B.4C.6D.10

【答案】C

【分析】根据方程的解为整数，可得攵的值，再求解即可.

【详解】解：解方程得，］二士，

K-\

.•・关于％的一元一次方程Q-l)x=4的解是整数,

A.要亏本4%B.可获利2%

C.要亏本2%D.既不获利也不亏本

【答案】A

【分析】要求这两台空调调价后售出的亏嫌，就要先求出他们的售价.根据题意可知，本题中的等量关系

是“调价后两台空调价格相同"，依此列方程求解即可.

【详解】设这两台空调调价后的售价为X,两台空调进价分别为久b.

调价后两台空调价格为：x=a(l+20%)；户仅1-20%)

解得卜

2x-

调价后售出利润为:21"")64

5、'=-°()4=-4%，

a+b-XH—X

64

所以亏本4%

故选A.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合

适的等量关系，列出方程，再求解.

二、填空题：

11.方程1-与红=三上去分母后为.

32--------

【答案】6-2(3-5x)=3(2x-5)

【分析】方程两边乘以6去分母得到结果即可.

【详解】解：方程去分母得:6-2(3-5x)=3(2x-5),

故答案为：6-2(3-5x)=3(2x-5)

【点睛】本题主要考查解一元一次方程的步骤之一：去分母.

12.当x=时，整式版-1与2x+l互为相反数；

【答案】0

【分析】利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到x的值.

【详解】解：•••代数式孔-1与2其+1互为相反数，

■a-3x-l+2.v+1=0,

解得x=0.

故答案为：0.

【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及相反数，熟练掌握解一元一次方程的解法是解题的关键.

13.已知（，〃-2）.例7+3=〃.5是关于工的一元一次方程，则利的值为.

【答案】—2

【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式

是ax+b=O（a,b是常数且aXO）.据此可得出关于m的方程组，继而求出m的值.

【详解】由一元一次方程的特点得

吁2Ho

解得：m=-2.

故填：-2.

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是L一次项系数不

是0,这是这类题目考查的重点.

14.已知x=l是方程统一〃=0的一个根，贝IJ加一力+2022=.

【答案】2020

【分析】根据x=l是方程f+a”力=0的一个根，可得。-力=T,再代入，即可求解.

【详解】解：..1=1是方程Y+奴一8=0的一个根，

•*-l+a-/?=0,a-b=-\,

2a-2b+2022=2（a-b）+2022=-2+2022=2020,

故答案为：2020

【点睛】本题主要考查了方程的解，已知式子的值，求代数式的值，熟练掌握能使方程左右两边同时成立

的未知数的值是方程的解是解题的关键.

15.已知d、Ac、d为有理数，现规定一种新运算：“：=3d-bc,那么当:'+3曰=4时则户_.

ca\-x5|

【答案】%=-0.5

【分析】根据新运算规定，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案.

【详解】由题意，得

5（2x+3）-4（1-x）=4,

解得x=-0.5.

故答案为x:-0.5.

【点睛】此题考查了解一元一次方程，利用新运算规定得出一元一次方程是解题关键.

16.某人骑自行车去工厂上班，若每小时骑10公〃可早到6min,若每小时骑8k〃?，就迟到6min.那他家到

工厂路程是___km.

【答案】8

【分析】设他家到工厂的路程是x千米，根据小明到工厂的规定时间不变建立方程求出其解即可.

【详解】设他家到工厂的路程是x千米

根据题意可得：

1060860

解得：x=8

故答案为8

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程.

17.一件商品的原价为。元，提高50伯后标价，再按标价打七折销售，则此时售价为一元.

【答案】1.05a

【分析】售价二(1+提高百分比)X原价X折扣.

【详解】解：由题意得:实际售价为：(1+50%)a*70%=1.05a(元)，故答案为1.05a.

【点睛】此题考查了列代数式的知识，解题的关键是联系生活，知道七折就是标价的70%.

18.如图，用一块长7.5cm、宽3cm的长方形纸板，和一块长6cm、宽1.5cm的长方形纸板，与一块小正

方彩纸板以及另两块长方形纸板，恰好拼成一个大正方形，则小正方形的边长是____cm,拼成的大正方形

【分析】设小正方形的边长为底门，然后表示出大正方形的边长，利用正方形的面积相等列出方程求得小

正方形的边长，然后求得大正方形的边长即可求得面积.

【详解】解：设小正方形的边长为xcm,则大正方形的边长为(6+7.5-x)cm或(x+3+1.5)cm,根据题意

得：6+7.5-x=x+3+1.5,

解得:x=4.5,

则大正方形的边长为6+7.5-x=6+7.5-45=9(cm),

大正方形的面积为92=81（cm2）,

故答案为：4.5；81.

【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，设出小正方形的边长并表示出大正

方形的边长.

19.某超市在“五一”活动期间，推出如下购物优惠方案：

①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠；

②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠；

③一次性购物在350元（含350元）以上一律享受八折优惠；

小明在该超市两次购物分别付款60元和288元.若小明把这两次购物改为一次性购物，则应付款一元.

【答案】304或336

【分析】要求他一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共实际买了多少元，

第一次购物显然没有超过100元，即杲60元.第二次就有两种情况，一种是超过100元但不超过350元一

律9折；一种是购物不低于350元一律8折，依这两种计算出它购买的实际款数，再按第三种方案计算即

是他应付款数.

【详解】解：第一次购物显然没有超过100元，即在第一次消费60元的情况下，他的实质购物价值只能是

60元.

第二次购物消费288元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）：

第一种情况：他消费超过100元但不足350元，这时候他是按照9折付款的.

设第二次实质购物价值为x元，那么依题意有：O.9x=288,解得：x=32（）.

第二种情况：他消费不低于350元，这时候他是按照8折付款的.

设第二次实质购物价值为a元，那么依题意有：0.8。=288,解得：。=360.

即在第二次消费288元的情况下，他的实际购物价值可能是320元或360元.

综上所述，他两次购物的实质价值为60+320=380或60+360=420,均超过了350元.因此均可以按照8

折付款：380x0.8=304（元），420x0.8=336（元）.

故答案为：304或336.

【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是第二次购物的288元可能有两种情况，需要讨

论清楚.本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种.

20.如图，在数轴上，点A,B表示的数分别是-8.10.点P以每秒2个单位长度从A出发沿数轴向右运动，

同时点Q以每秒3个单位长度从点B出发沿数轴在B,A之间往返运动，设运动时间为t秒.当点P,Q之

间的距离为6个单位长度时，t的值为.

AB

----1--------1----------1---►

-8010

【答案】9秒或三秒或12秒

JJ

【分析】根据数轴上两点间的距离解题，分三种情况讨论①当点P、Q没有相遇时，②当点P、Q相遇后，

点Q没有到达A时，③当点Q到达A返回时.

【详解】解：•••点A,B表示的数分别是一8,10,,-.OA=8,OB=1()...OA+OB=18.

①当点P、Q没有相遇时，

12

由题意得：8-2t+10-3t=6,解得：t=M；

②当点P、Q相遇后，点Q没有到达A时，

24

由题意得：2t-8+3t-10=6,解得：t=y；

③当点Q到这A返回时.

由题意得:2t—(3t—18)=6,解得：t=12；

综上所述，当点P.Q之间的距离为6个单位长度时，t的值为/秒或弓秒或12秒；

故答案为：£秒或三秒或12秒.

JJ

【点睛】本题考查数轴与数的对应关系、数轴上点的移动、数如上两点间的距离等知识，是基础考点，掌

握数轴的性质是解题关键.

三、解答题：

21.解方程

(1)3x-4=2x4-5

2x-53-x

64

(3)3(x-2)-l=x-(2A--1)

1一二=12-*

0.20.55

【答案】⑴x=9；(2)x=y；⑶x=2；(4)x=-15

【分析】(1)根据等式的性质，对原方程移项，然后合并同类项，求出方程的解；

(2)根据等式的性质，先将方程中的分母去掉，然后去括号，移项，合并同类项，系数化一，解出方程；

(3)按照去括号法则先将方程中的括号去掉，再根据移项，合并同类项，系数化一解出方程；

(4)先将方程中分母从小数化成整数，再去分母，去括号，移项，合并同类项.系数化1解出方程.

【详解】解：(1)3x-4=2x+5,

移项得：3x-2x=5+4,

合并同类项得：x=9；

⑵^-^=1.

64

去分母得：2(2—)=12,

去括号得：4x-9+3x=12.

移项得：4x+3x=12+10+9,

合并同类项得：7x=31,

31

系数化为1得：；

(3)3(x-2)-l=x-(2x-l)

去括号得■3x—6—1=x—2x+\,

移项合并得：4x=8,

系数化为1得：x=2

£18_X-3=12_£116

0.20.55

整理得：5x+40-2x+6=--^y^t

去分母得：25x+2(X)-10.r+30=6-16,

移项合并得：16x=-240,

系数化为1得：x=T5.

【点睛】本题考查了解一元一次方程的一般步骤，解题中需要注意去分母时找出分母的最小公倍数，并且

方程的每一项都要乘；去括号时要注意符号的变化情况.

22.如图，一块长5厘米、宽2厘米的长方形纸板，一块长4厘米、宽1厘米的长方形纸板，一块小正方

形以及另两块长方形的纸板，恰好拼成一个大正方形，求大正方形的面积.

【答案】大正方形的面积是36cm2

【分析】设小正方形的边长为X,然后表示出大正方形的边长，利用正方形的面积相等列出方程求得小正方

形的边长，然后求得大正方形的远长即可求得面积.

【详解】设小正方形的边长为X,则大正方形的边长为4+（5-x）cm或（x+1+2）cm,

根据题意得：4+（5-x）=（x+1+2）,

解得：x=3,

A4+（5-x）=6,

・•・大正方形的面积为36cm2.

答：大正方形的面积为36cm2.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是设出小正方形的边长并表示出大正方形的边长.

23.某种海产品，若直接销售，每吨可获利润1200元；若粗加工后销售，每吨可获利润5000元；若精加

工后销售，每吨可获利润7500元.某公司现有这种海产品140吨，该公司的生产能力是：如果进行粗加工，

每天可加工16吨；如果讲行精加工，每天可加工6吨,但两种加工方式不能同时讲行,受各种条件限制I.

公司必须在15天内将这批海产品全部销售或加工完毕，为此该公司设计了三种方案：

方案一：全部进行粗加工；

方案二：尽可能多地进行精加工，没有来得及进行精加工的直接销售；

方案三：将一部分进行精加工，其余的进行粗加工，并恰好15天完成.

你认为选择哪种方案可获利润最多，为什么？最多可获利润多少元？

【答案】方案三可获利润最多，最多可获利润850000元.

【分析】方案一由于全部进行粗加工，而16x15>140,所以粗加工可以全部加工完，然后每吨可获利润5000

元即可求出利润；方案二由于尽可能多地进行精加工，没有来得及进行精加工的直接销售，那么15天可精

力口工6x15=90吨，剩下的直接销售，再根据已知条件也可求出利润；方案三由于将一部分进行精加工，其

余的进行粗加工，并恰好15天完成，那么设将x吨海产品进行精加工，则将（140-幻吨进行粗加工，根

据恰好15天完成可以列出方程求出精加工和粗加工各自的吨数然后利用已知条件求出利润.

【详解】解：方案一：可获利润为：5000x140=700000（元）；

方案二:15天可精加工6x15二90（吨），

说明还有50吨需要直接销售，

故可获利润：7500x90+1200x50=735000（元）；

方案三：设将x吨海产品进行精加工，则将（140-x）吨进行粗加工，

r140-r

由题意得：A+2^-£=i5,

616

解得:x=6Q,

故可获利润7500x60+5000x80=850000(元)，

•••850000>735000>700000,

所以选择方案三可获利润最多，最多可获利润850000元.

【点睛】此题和实际生活结合比较紧密，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力.解题关键

是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.

24.为鼓励居民节约用电，某省试行阶段电价收费制，具体执行方案如表：

档次每户每月用电数(度)执行电价(元/度)

第一档小于等于200部分0.5

第二档大于200且小于等于400部分0.6

笫三档人于400部分0.8

(1)若一户居民七月份用电420度，则需缴电费多少元？

(2)若一户居民某月用电x度(x大于200且小于400),则需缴包费多少元？(用含x的代数式表示)

(3)某户居民五、六月份共用电500度，缴电费262元.已知咳用户六月份用电量大于五月份，且五、六

月份的用电量均小于400度，问该户居民五、六月份各用电多少度？

【答案】(1)需缴电费236元；(2)(0.6X-20)元；(3)该户居民五月份用电180度，六月份用电320度.

【分析】⑴根据阶梯电价收费制，用电420度在第三档，贝IJ需缴电费0.5x200+0.6x200+0.8(420-400),计

算即可;

(2)根据阶梯电价收费制，用电工度(x大于200小于400),需交电费0.5x200+0.6U-200),化简即可；

(3)设五月份用电x度，则六月份用电(5007)度，分两种情况进行讨论：①工,200；②200c<250.

【详解】解：(1)0.5x200+0.6x200+0.8(420—400)=236(元).

答：需缴电费236元；

(2)0.5x2()0+0.6(x-2()0)=1(X)+0.6,r-120=0.6x-20(元)；

(3)设五月份用电x度，则六月份用电(500-力度.

分两种情况：

第一种情况：当XW200时，300S500—XV400

0.5%4-0.5x200+0.6(500-200-x)=262,

解得x=l80,

500-x=320；

第二种情况:当200vxv250时,250W500-XW400,

100+0.6(.r-200)+100+0.6(500-200-.r)=262,

260工262,x无解，

所以，该户居民五月份用电180度，六月份用电320度.

【点睛】此题考杳了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合

适的等量关系，列出方程，再求解.

25.如图：在数轴上，点4对应的数是-3,点3对应的数是16,两动点M、N同时从原点。出发，点M

以每秒1个单位的速度沿数轴向点B运动；点/V以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，到达点A后停留

1秒，再从点A沿数轴向右到达点8后停止运动.设点M的运动时间为秒.

4QB_

-3016

⑴当f=l时，线段MN的长为(直接填空)；当，=3时，线段的长为(直接填空)；

⑵在运动过程中，当点M与点N重合时，求，的值；

⑶当线段MN的长为7时，直接写出，的值.

【答案】(1)4,3

⑵9

(3)8或9

【分析】(1)分别求出当，=1时，当1=3点M和点N表示的数，然后利用数轴上两点距离公式求解即可；

(2)先判断出当点M与点N重合时，点N肯定是在从人向8的运动过程中，由此表示出运动/秒后点M

和点N表示的数，再根据二者重合建立方程求解即可；

(3)分当点N向点A运动的过程时，当点N在点A停留时，点N从点A向点6运动过程中，且点N没有

追上M时，当点N从点4向点8运动过程中，且点N追上M,且点N为到点8前，当点N从点A向点8

运动过程中，且点N到达点8后，表示出点N和点M表示的数，再根据"N的长为7建立方程求解即可.

【详解】(1)解：当1=1时，点M表示的数为1,点N表示的数为-3,

历N=1-(-3)=4；

当/=3时，点N表示的数为-3+3xl=O,点N表示的数为3,

MN=3-4=3；

故答案为：4.3；

(2)解：由题意得，当点M与点N重合时，点N肯定是在从4向8的运动过程中，此时运动，秒后，点M

表示的数为-3+3(，-2)=3/-9,点N表示的数为，，

3t-9=t,

解得f=T；

(S)解：当点N向点A运动的过程时，由题意得，-(-3/)=7.

7

解得不符合题意；

当点N在点A停留时，由题意得，「-(-3)=7,

解得，=4,不符合题意；

当点N从点4向点8运动过程中，且点N没有追上M时，由题意得，，-(3-9)=7,

解得/=1,不符合题意；

当点N从点A向点8运动过程中，且点N追上且点N为到达点8前，由题意得，3r-9-/=7,

解得t=8；

当点N从