2025-2026高考数学第一轮复习：解三角形（解答题）专项练（含解析）

2025-2026高考数学第一轮复习试卷：解三角形解答题专项练

一、正弦定理及其公式的变形（本大题共4小题）

1.在锐角三角形ABC中，内角ARC的对边分别为〃，b,c,己知

cosCsin（/A-Z?）=cossin（C->4）.

（1）求tanA的最小值；

（2）若tanA=2,a=4\^»求c.

2.已知。ec分别为锐角VABC三个内角A&C的对边，月.如os（A+C）=（2c-b）cos（B+C）.

（1）求A；

（2）若。=2,。为4C边的中点，求长的最大值；

（3）若。=4,求VA8C面枳的取值范闱.

3.在VABC中，角A8,C的对边分别为a,A,c,且（2-si"）cos4-l=cosAsin/3-2cQs8sinC.

（1）求A：

（2）证明：融+62M乃2.

4.在VABC中，角人，B,C的对边分别为a,b,c,（2Z?+>/3c）cosA+^acosC=0.

（1）求A；

（2）若点。满足丽=2觉，A/7/4A且入。=1,求VA8C的面积.

二、利用正弦定理解三角形（本大题共8小题）

5.在锐角VABC中，内角A8,C所对的边分别为〃,从j且陋.+包g.=6sme

cos/4cosBsinBeosA

（1）求角区的值；

（2）求的取值范围.

b'

6.在锐角VA3c中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2acosA-Z?cosC=ccos8.

（1）求角4的大小；

（2）若a=2也,求〃+c的取值范围.

7.已知平面四边形A8OC中，对角线C8为钝角NACO的平分线，CB与4。相交于点O,

AC=5,AD=7,cosZACD=-1.

（1）求sin4CO的值；

（2）求CO的长；

（3）若BC=BD,求AAB力的面积.

8.在VA4c中，内角A,B,。所对的边分别为小b,c;

(1)若〃=8,c=3,A=y,求a;

(2)若c=G，h=\,C=I2O°，求5;

A+r

9.VA3c的内角AB,C的对边分别为,已知asin—=/?sinA.

(1)求8；

(2)若VABC为锐角三角形，b=B求2a-c的取值范围.

10.在VA8C中，内角A,B,C的对边分别为a,b,。6C=l且次：osC+6csin8=l+2c.

（2）如图所示，。为△ABC外一点，ZDCB=/B,CD=6,AC=A£）,求角。.

11.已知三角形ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,b=出,c=3.

（1）求角8的大小；

（2）求sinA的值；

（3）求sin（2A+8）的值.

12.在VA3C中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c,且

cos2C+sin25=2-cos2A-sinAsinC-

（1）求角B;

（2）若—A4c的角平分线交AC于点。，a=3,c=4.求8D；

（3）若V"C的外接圆的半径为求2r-a的取值范围.

三、三角形面积公式的应用（本大题共12小题）

13.在VA3C中，角A,B,C的对边分别为小b,c,已知

7（sin2A+sin2B-sin2=2sinAsinB.

（1）求cosC；

（2）若a=3,b=7,求VA8C外接圆的周长：

（3）若c=2面，当VABC的面积取得最大值时，求而•曲.

14.在V/WC中，内角A,B,C所对的边分别为“，h,c,且有

Z?sin（A--）-«siivlcosC-csiiiAcosA=0.

3

（1）求角A;

（2）若VA8C的面积为班，。=46，求VA8C的周长.

15.已知锐角VA3c的内角4,8,C所对的边分别为a,b,c,向量"?=（〃,sin8）,7=（2凡\/5）,且

m!In-

（1）求角A的大小；

（2）若VA8C的面积为点，求。的最小值；

（3）若c=2,BC边上的中线A。长为右，求人的值.

16.已知VA4C的内角A4.C所对的边分别为"Ec,L2ccosA=tzcosB+Z;cosA.

（1）求角A；

（2）若V4BC的周长为3方，旦a=G，求VABC的面积.

sinA

17.在VA8C中，已知AC=1,tanB=—~~--.

2-cosA

（1）求A5的长；

（2）若284。的平分线AD交BC点。，求AO8C的最大值.

18.VABC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,满足为cos8=2c-b.

（1）求角A的值；

（2）若角4的平分线交边8C于点。，40=3,求V48c面积的最小值.

19.在△/WC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.且〃2+c?一〃=6从314.

（1）求siM的值；

（2）若。==，4=3,求AABC的面积.

4

20.如图，在VA8c中，/W=2,cosfi=1,点。在线段8c上.

（2）若BD=2DC,△AOC的面积为逑，求AC的长.

3

21.在VA8C中，内角A,B,C所对的边分别为。也。.sin2=sinAsinC»角8的平分线交AC于

3

Z）,cos£?=-

4

（1）求

a

（2）若人一巫，求VAAC的面积.

3

22.已知V48C的内角A,B,。所对的边分别为a,b,c,点P满足

ZPAB=/PBC=ZPCA=a.

（1）若a=b=c,求。；

（2）若ZABP=a,VABC的周长为4,

①求证：b-=aci

②求VA8C面枳的最大值.

23.记VA3C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且次:osC+&sinC-a-c=0.

（1）求角B的值；

积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（I）的条

件下，若。=2,〃是VA8c内一点，过。作AB,BC,AC垂线，垂足分别为。，E，尸，借助

于三维分式型柯西不等式：凶，打，4+K+K之（$+。+田），当且仅当

.Vi%>3,+为+%

等号成立.求7制+鬻+微的最小值.

32.在三角形ABC中，角A8C的对边分别为。力,。，且

cos（4-B）cosB-sin（A-B）sin（4+C）=-y.

（1）求sinA的值；

（2）若a=4亚,b=5,求向量而在配方向上投影的数量.

33.在VAAC中，c=2/7cosB,。=手.

（1）求NB;

（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使VABC存在且唯一确定，

求8c边上中线的长.

条件①：。=伍：

条件②：VA3c的周长为4+2百；

条件③：V48C的面积为主叵；

4

34.已知。为△4BC外心，S为AABC面积，厂为。0半径，且满足

uiruuu,、T2、C

CB-AO+4r2（2-cos24-cos2B^--a2=j「S

（1）求NA大小；

（2）若。为4c上近C三等分点（HPCD=1BC）,且AO=&,求S最大值.

35.已知VA4C中，2（cos2A-cos2B+sin2C）=sinBsinC.

（1）求cosA的值；

（2）。为边3c的中点，若AD=A6,求嗯.

36.已知锐角VABC中，角A,B,。所对的边分别为a，b,c,

2sinAsinBs\nC=>/3（sin2B+sin2C-sin2A）.

（1）求A：

（2）若。=2,当VABCH勺周长取最大值时，求VABC的面积；

（3）求匕C的取值范围.

b-

五、利用余弦定理解三角形（本大题共11小题）

37•记VABC的内角ABC所对的边分别为仇已知sin8=2sinC,。为边上一点，且

CD=2BD.

（1）证明：A。平分26AC;

IT

（2）若NBAC=§,在射线4。上任取一点E,且AABE的面积为I,求跖的最小值.

38.在VABC中,内角A3,C所对的边分别为a也c,sin24+>/3sinBsinC=sin2B+sin2C.

（1）求角A的大小；

（2）若a=2Z?cosC,判断V/WC的形状并说明理由.

39.在V/1AC中，内角4,B,C所对的边分别为小b,c.已知加inA=acos（B-F）.

（1）求角6的大小；

（2）设a=2,c=3,求2和sin（2A-B）的值.

40.记VA8C的内角A8,C的对边分别为〃也叫/+从一d=一15，V48C的面积为吆叵.

4

（1）求C的大小；

兀

（2）若VA4C外接圆的面积为49于，求V人8c的周长.

41.在V/WC中，BC=3、AB-AC=1.M为边BC上一点,8M=1,。为边川?上一点，AM交

CO于P.

（1）若AC=3,AO=2,求cosZAPC：

（2）若4。=1，。。=二,£在线段从沙的延长线上，△CME的面积为更.求证：AC//DE.

226

2

42.在V48C中，内角A,8,。所对的边分别是已知〃sinA=3csin8,a=3,cosB=—.

3

（1）求。的值；

（2）求sinA的值：

（3）求cos（2A+二）的值.

4

43.记VA8C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知‘巾'=、一

cos5cosCa~+c~-b~

（1）求角。的大小：

3

（2）若点。在边/W上，且4。=24）,cosB=-,求cosNBC。的值.

44.在V48C中，角A,B,C的对边分别为。，b,。，且满足2/usinA=6卜J+c?-片）.

（1）求。的大小；

（2）若VABC外接圆的半径为右，VABC的面积为竽，求VA8C的周长.

45.VABC的内角A8.C的对边分别为已知（2c-/?）cosA-acos“=0

（1）求A；

（2）若点"在BC上，且满足BM=MC,AM=2,求V4BC面积的最大值.

46.已知4,0,c分别为VABC的内角A8,C的对边，月.《acos"-加inA）="2-尸.

（1）求A；

（2）若a=2,VA8C的面积为2,求〃+c.

47.已知V48C的角ARC对边分别为Gacos〃=〃siM.

（1）求角4的大小.

（2）设点。是AC的中点，若80=6,求a+c的取值范围.

六、周长与面积最值或范围（本大题共2小题）

48.已知V48C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c若4cosA=2cos2A+3.

（1）求A；

（2）若a=4,求VA8C周长的取值范围.

49.在V/WC中，角ABC所对的边分别为已知人=2,且满足

trtan/AcosB+/?sirvA=2rlaa4cosB

（1）求角8的大小

（2）的内心为/,求“C7周长的取值范围.

七、复杂图形（多个三角形拼接、四边形）求解（本大题共2小题）

50.已知VA8C的内角ARC的对边分别是为V4BC内一点，且

/PAB=/PBC=/PCA=0.

C

（1）如图1,若。二巴,必=1,48=J5,求VA3c的面积；

6

jr7T

（2）如图2,若/胡。二二，乙ABC：?,求tand：

26

51.记VABC的内角内以。的对边分别为。，仇c,sin8+cos8=^，点。在8c上，且

B口=6DC,sinZ«AD=V3sinZmC.

（1）判断VA8C的形状；

（2）若四边形ABCE满足R4EC=],AB=2.求四边形MCE面积的最大值.

八、正、余弦定理的实际应用-测量高度问题（本大题央2小题）

52.如图，测量河对岸的塔高A8时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与。.

现测得N8C£）=60。，4BDC=75°,CD=60m,并在点C处测得塔顶A的仰角NAC8=30。.

A

（1）求8与。两点间的距离；

（2）求塔高AZL

53.2021年10月13日第18号台风“圆规”在海南某地登陆，最大风力达到12级.路边一棵参天大

树在树干某点B处被台风折断且形成120。角，树尖C着地处与树根A相距10米，树根与树尖着

地处恰好在路的两侧，设NC4B=8（4,4,。三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计）

（1）若6=45。,求折断前树的高度;

（2）问一辆宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过？并说明理由.

九、正、余弦定理的实际应用-测量距离问题（本大题共2小题）

54.如图，甲船在距离A港口24海里并在南偏西20。方向的C处驻留等候进港，乙船在人港口

南偏东40。方向的8处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里.

（1）求N/WC的正弦值：

（2）当乙船行驶20海里到达。处时，接到港「I指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，求此时甲

乙两船之间的距离.

55.设A是直线产。外一点，点用在直线上（点M与点P、Q任一点均不重合），我们称如下

操作为“由A点对P。施以视角运算”：若点例在线段上，记（P，Q；用）="QkinNM4Q；若点

M在线段PQ外，记（PQM）=一高而万丽.在"A'。中，角人、B、C的对边分别是。、

c,点。在射线上.

（1）若。是BC的中点，由A点对施以视角运算，求（仇C。）的值；

⑵若A=60，a=4,ABIAD,由A点对4c施以视角运算，（民。;0=-3,求VA4C的周

长；

（3）若八=120。，4）=4,由A点对3c施以视角运算，（〃CO）=，，求〃+4。的最小值.

参考答案

1.【答案】（1）指

（2）c=5夜或3M

【详解】（1）由已知得cosC（sin4cosB-cosAsinA）=cos8（sinCcosA-cosCsinA）,

整理得2cosCsinAcosB=cos/AsinA»

因为sinA>0,所以2cosceos8=cosA,

又因为cosA=cos（fiIC）=cosBcosCisinBsinC,

所以sinBsinC=3cosCcosB♦

可得tanBtanC=3,

tanB+tanCtanB+tanC

tanA=-tan（B+C）=>VtanBtanC=G,

tanBtanC-1F

当且仅当tan8=tanC=6时等号成立,

故tanA的最小值为G.

（2）由（1）知tanA=2.所以tan8+tanC=4,

又因为tan8tanC=3,所以tanC=1或tanC=3,8分

当tanC=l时，sinC=—，由正弦定理得c=二$而。=5及，

2sinA

当tanC=3时，sinC=£^，由正弦定理得。二三点。：？面.

10sinA

综上，c=5/或3屈.

2.【答案】（1）A

（2）也

（3）（2"叫

【详解】（I）因为ocos（A+C）=（2c-力）cos（B+C）,

由正弦定理可得sirL4cos（£-8）=（2sinC-sin8）CQs（7i-A）,

即sirvAcos^=2sinCcosA—sinBeosA,

所以，2sinGcos/l=sinAcosB+coSsin4=sin（A+4）=sinC,

因为4。«0,兀），MsinC>0,所以cosA=,，故A=].

23

（2）由A=1及/=b2+c2-»ccosA，可得〃2+/一=4,

^b2+c2>2bc,:.bc<4,当且仅当6=c=2时取等号,

又。为BC边的中点，.•.4Z5=；（A月+AC）,

两边平方得标'=-（^B2+AC2+2^BAC）

=—(/?2+c2+2Z?ccos/4)=—(/?2+c2+/?c)="(4+2Z?c)<—(4+2x4)=3,

故西卜白，当且仅当A=c=2时取等号，

所以AO长的最大值为

bc‘得"鬻's—次siM=&=勺等

（3）由正弦定理

sinBsinC

因为所以0/为所FbC*沪*扁+25

0<—

2，解得

因为VA8c为锐角三角形，所以0

八2兀》兀62

0<B<—

32

贝ljtanBG，所以力.£（2后86）.

3.【答案】（1）B=?

J

(2)见详解

【详解】(1)由(2-siiB)cos8-l=cosAsin8-2cosBsinC,

得2cos8-1=cosAsinB+sinAcosB-2cosBsinC>

得2cosB-1=sin(A+B)-2cosBsinC,

即2cosB-l=sinC-2cosftinC»

2cos8+2cosBsinC=1+sinC,

2(l+sinC)cosB=1+sinC,

因为0<。<不，所以sinC>(),所以l+sinC>0,

所以2cosB=l,即cosB='，

2

又因为。＜8＜万，所以8=5.

（2）依题要证明/+02工力2,即证明

b-

sin2A+sin2C4/..

由（1）及正弦定理得：名茎------；-----=—sin-0A+sin

b-siirB3V

4|1-cos24+1-cos2C42

=----(cos2A+cos2C),

32233

又因为A+C=7i—8=§,所以2C=¥—2A,

33

4乃c上刀CA

所以cos2A+cos----2Acos2A-cos2A

<3(3

=cos2A-cos—cos2/\-sin—sin2?l

33

=—cos2/\-^^sin2/4=cos(2A+兀

22I

因为0<4<4，所以g<2A+g<¥,

JJJJ

所以当2A+q=;r时，cos(2A+g)=-1

4022

此时5—§(cos2A+cos2C)有最大值2,即"<2»

所以/+。24处2得证.

4.【答案】⑴A=(

6

⑵速

4

【详解】(I)由(2〃+Gc)cosA+®cosC=。和正弦定理可得：

(2sinB+V3sinCjcos4+V3sin4cosC=0,

即2sin8cosA+gsin(A+C)=0,

在V4BC中，sin(A+C)=sin5,代入整理得：sin8(2cosA+G)=0,

因0<〃<兀，则sinB>0,故cosA————»

2

因为A«0m),所以A=¥

6

(2)

—n=—7i

23

设8Q=2x,依题意，CO=x,

AD_xt-

在△AC。中，由正弦定理.^C=~n,得sinC='，

sin§2x

因为角C是锐角，则cosC=Jl—Sil?c=J—・="；：-3

在RlAiABO中，sinB=—,因4=冗―三•—。=四一。，

2x66

ifesinB=sin(y-C),即sinB=，cosC-身心

622

也即旦立，

解得x=故8。=2近,

2x22x22x

则AA=JBB-AD2=36，所以5&，刖=:乂36xl="，

乙〜

因血=2成，则以皿=京行皿=手，

973

所以SAMC

~T~

即V/WC的面积为名叵.

4

5.【答案】（1）B=|；

⑵M

【详解】（1）因为包△+包色=瓜inC,

cosAcosBsin6cosA

所以sinAcosB+cosAsinB_sin(A+8)_sin(7t-C)_sinC_TJsinC

cosAcosBcosAcosBcosAcosBcosAcosBsin8cosA

又VA8C为锐角三角形，所以4民Ce(0,3所以cos,“。且sinC。。,

所以由sin。=6sinC,得普=JJ,即tan8=相，所以4

cosAcosBsinBcosAcosB3

(2)由⑴可得8=g,

由正弦定理三=bbsinA_2疯?sirtA_Z?sinC_2疯?sinC

SUVAshi/JsinCsinB3''sinB3

'2G加inA、(2回sinC丫

(3,+

所以234sin2A4sin2C4/..，「\

--=-^sinM24+sin'C]

~1F3

4•**A.)

=—sirrA+sirr

3

4.)4(-2Ji.2n.

sirrA+sin——cosA-cos——sinA

333

2

4半+3%+与…

sin24+cosA+-sin4

323422

431/v5/3...

----+一(1—cos2A)+——sin2A1+—sin2A--cos2A

344、74444

1E）卜消而3兀

±l+lsin2A——

326

0<A<-

又VA3C为锐角三角形，所以2」J解得常限

所以—J卷，所以:<si[24-

boo2V07

所以那+1出仙一祚2,即小工信,2

333（6）b~13

6.【答案】(1):

(2)(6,4向

【详解】(1)根据题意得，2acosA-bcosC=ccosB，

由正弦定理得，2siiiAcosA-sinZfcosC=sinCeosB,

即sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=2sinAcosA,

即sin(3+C)=sinA=2sinAcos4,

因为Ae(0,2)，则sinA"),则l=2cosA,

a_b_c_2G_

(2)由正弦定理得，而7=而五=沅=支，所以。=4sin8,c=4sinC.

T

所以〃+c=4(sin5+sinC)=4|sin8+sin(4+B)]=4^-|sinB+与cosB)=6sinB+26cosB

=4\/3sinB+—1,

因为△ABC是锐角V48C,则2,即2,解得枭入].

八"兀2n_n62

0<C<—n0<------B<—

2I32

则四<4+色<生，故且<sin(3+310l.

3632\6/

所以6<〃+C«46，则b+c的取值范围为(6,46].

7.【答案】(1)巫

8710

9

【详解】（1）因为cos/ACQ=-（,对角线C8为钝角ZACO的平分线,

所以cos/ACD=\-?sin2/ACO.

解得sin/ACO=巫或sin/ACO=-姮（舍），

所以sin/ACO=sinZDCO=

(2)由题意，在△ACO中，由余弦定理可得

AD2=AC2+CD2-2ACCDcos/ACO，

即72=52+C£>2-2x5xCDxf—

整理可得C£）2+2CO-24=0，解得6=4或6=-6（舍去），

因为cos/ACD=-二，所以sin/ACD=〜底

55

又因为0塘8=S.ACO+S&DCO»

所以,C4.CO.sin/ACO=■!■C4.COsin乙4以"CO.C9sinNOCO,

222

一261〈8屈1A「八而

所以一x5x4x------=-x5xCOx------+—x4xCOx------»

252525

解得*

AD

⑶方法-：在“8中，由正弦定理可得；际

sinZACD

-------------=7

即sin/AOC2遍，所以sin/AQC=±，

工7

因为ZACO为钝角，所以COS/A。。4，

因为b£)=8C,所以N8DC=NB8,

所以sinZBDC=sinZBCD=—,所以cosZBDC=—

55

在△3CO中，由余弦定理可得

/nvMCD2+BD2-BC2CD2

cosZoDC=-----=----------------------=------=-----，

52CDBD2BDBD

解得8。=8。=祈，

因为sinZADB=sin(ZBDC-ZADC)

=s\nZBDCcosZADC-cosZBDCsxnZADC

x/155A/1025/6岳

=---------X------------------X-----------=----------，

575735

所以s丽=LAD•DBsinNADB=■X而X叵=回

+BD22352

方法二：在△5C。中，由4c=4。，

可得sinZDCO=sinZCDB=巫，所以cosZBCD=—,

55

所以CO=2BCcos/8CO=2BCx半=4,所以8C=M，

又由于。。=8叵，从而80=®,即CO:8O=8:1,

99

所以S,,f7)=-x-!-^CxCDxsinZ^CD=—x>/Wx4x^=^

9w92J859

XXAX

S^BOA=-5RC.=~xix/^CxCBxsinZ4CB=-5/F()—^-=^—

9.9218518

所以sAetilJS9B。小[巫g+巫2=叵

8.【答案】(1)a=7

(2)3=30°

【详解】(1)在VA4c中，b=R,。=3,A=-,

3

由余弦定理得，a2=Z>2+?-2/?CCOSA=64+9-2x8x3x1=49,

2

所以。=7.

(2)在VAZ7C中，c=V5，b-\,C-120°,

,G

由正弦定理得，—-=-^-7,即GnR21，由。<C，得3VC，

sinBsinCs,n^="^=2

所以8=30。.

9.【答案】(1)8=]

(2)(0,3)

【详解】(I)因为asin21£=AiM,由正弦定理得sinAsin(Z/)=sinBsin4,

44一Bc.BB.A

口乂sinAcos—2sincossinA,

222

在VA8C中，0<A<n,0<B<TI,所以sinA>0,0<—<—,则cos§>。，

222

可得《口彳二7,所以彳=^,所以8=?.

22263

)R_a_c_b_x/3_

(2)由正弦定理可得sin4」sinC」sin/?"73~(R为VABC外接圆的半径)，

T

所以a=2sinA,c=2sinC>

因为4=四，则A+C=——,C=———A,

333

/\

所以2。一。=4sinA-2sin|与一4)=3sinA->/3cos/\=273sinA--,

I6)

0八<A.<兀—

2

因为VA8C为锐角三角形，则：，解得]<A</

0<C=^兀62

-A<—

32

r111A兀八兀、,A兀'IX

则A—e0,—,sinA—e0,——，故2a—cG(0»3).

6I3J16JI2,

10.【答案】⑴120'

(2)75\

【详解】(1),/bcosC+x/3csinR=\+2c=a+2c»

・•・在△ABC中，由正弦定理得，

sin8cosc+V3sinCsinB=siiv\+2sinC，

由三角形内角和为180可得sinA=sin(8+C),

sin8cosc+GsinCsinB=sin(B+C)+2sinC=sinBcosC+cosBsinC+2sinC，即

JJsinCsinB-cosBsinC=2sinC,

Q00<C<180%/.sinC*O,V3sinB-cosB=2,^ysinfi-|cosB=l,即sin(8-30)=l,

又・・・。<8<18(r,,'.B-30=90，即8=120”

(2)设AC=AP,令NDC4=NOM=a,NCA力=180-2a，

ACCD石sina

在△ACO中，由正弦定理得,»CD=>/3，AC=

sinDsinZ.CADsinla2cosa

ACBC

在VA3c中，由正弦定理得,，N8AC=a-60，BC=\,

sinBsinZ.BAC

sin120

二.AC=

sin(a-60)，

/.sin(cr-60)=cosa=sin(9(X-a),解得。=75,

II.【答案】⑴?

叵

5x/3

(3)

7T

由余弦定理cos8=9=上Q=土巴吆=」

【详解】（1）

2ac122

又8三（0,冗），所以"二W；

（2）由（1）知sinB=立，由正弦定理三二々；,

2sinAsinB

2走L

则sEA=3一再

b币7

所以，所以为锐角，故2

(3)A<6Acos4=(1-sin2A=F

所以sin2A=2sinAcosA=2xx

所以cos2A=2cos?A-\=2x^-1=y,

所以sin(2A+B)=sin(24+g=sin2Acos—+cos2As\n—

33

4Gl1y/35>/3

=-----X—+—X-----=-----.

727214

12.【答案】（1）!

(2)=

7

(3)(-3,6)

【详解】(1)因为cos^C+sin?BnZ-cos?A-sin4sinC，

可得sin?3=(1-cos?4-(1-cos2C)一sinAsinC=sin2A4-sin2C-sinAsinC,

由正弦定理得。2=/十/一比，则cosB="十0一”=

lac2

且0<B(兀，所以8=g.

因为S—BC=S^RBD*S488>

贝I」一acsinZABC=—xcxBOxsinZ.ABD+—xaxfiDxsin乙CBD,

222

BP—x3x4x=—x4xBDx—+—x3xBDx—,可得BD--.

2222227

(3)由正弦定理可得一J=-j=2V5,

sinesinA

则c=2>/3sinC,a=2朋)sinA=2A/3sin(C+8)=GsinC-3cosC,

可得2c-a=4A/3sinC一［石sinC+3cosc)=3>/3sinC_3cosC=6sin(C一看,

又因为Ce(0号)则一4-弱,

可得sin|c-q—,1,UP2c—ae(—3,6),

所以2.々的取值范围为(-3,6).

13.【答案】(1)y

(2)逐

6

(3)-7

【详解】3)由7kin2A+sin28-sii?C)=2sinAsin8,由正弦定理可得7(/+/一/)=2",

所以由余弦定理可得cosC="2-1二」；

2ac7

(2)在V4BC中，由余弦定理可得c2=〃+/-2〃acosC，

又4=3,b=7,所以/=49+9—2X3X7X；=52,所以。=2相，

由(1)知cosC=y,所认sinC=V1-cos2C=»

=_L2/_7旧_7廊

由正弦定理可得外接圆的半径为「=2X7^=而="IF，

7

所以NABC外接圆的周长2"=宜迎:

6

C)在中，由余弦定理可得/MW+CJ-Z/MCOSC.

7o17

乂因为°=2>/57，所以84=Zr+“2-亍/?“，所以84之2〃。一亍n7=亍仄7,

所以WK49,当且仅当。=〃=7等号成立，

由(2)可知sinC=幽，所以三角形面积最大时，ba=49,

7

所以衣月=〃ccos(7r_c)=49x(_；)=_7.

14.【答案】(1)4号：

(2)8+43

【详解】(1)在V/WC中，由〃sin(A-1)-4sin4cosc-csirbAcosA=0及由正弦定理,

得sin3sin(A—1)=sin4(siiL4cosc+cosAsinC),即sin8sin(A-1)=sirt4sin(A+C),

7TIF

整理得sinBsin(A——)=sinAsinB，而sin8>0,则sin(A——)=sinA,

33

又OvAv兀，则A—£=九—A,所以A=守.

33

(2)由余弦定理，f#48=/?2+c2-2/?ccos—=(/?+c)2-be,

3

又S^ABc=；"csin曰二46,则次・=16'S+c『=64,解得b+c、=8.

所以VA8c的周长为8+4方.

15.【答案】(1)5

(2)2

(3)2

【详解】⑴•・•历=(b,sin8),”=(2a,JJ),且而〃大

:.6〃=2。sin8,故VJsinB=2sinAsin3，

Vsin故sinA=^^,

k2；2

A€f0,—•,A=—.

I2j3

（2）•・•VA8C的面积为3，・・.!AsinA=J5,即,儿?也0,故bc=4.

222

2222

由余弦定理得，a?=/?+c_2bccosA=b+c-be?2bcbe=4»

当且仅当〃=c=2时等号成立，此时VA8C为等边三角形，符合题意,

：.a>2,即〃的最小值为2.

(3)

•••A。为8C边上的中线，，荏+*=2百,

222

・•・（布+4C）=4AD,^AB+AC+2AB-AC=4AD,

••・d+〃+2/"cosA=12，即4+从+2b=12，解得〃=2或T（舍），

此时b=C=1,VA8C为等边三角形，符合题意,

:・b=2.

16.【答案】（1）八=*

（2）-73.

4

【详解】（I）根据正弦定理，由2ccosA=acosB+Z?cosA,可得

2sinCcosA=sinAcosB+sin8cosA=sin（A+3）=sinC,

因为4,。£（0,兀），所以sinC工0,则cosA=；,故人=

（2）由（1）可知，cosX=-,

2

根据余弦定理，cosA=°芸一"=；,

2bc2

因为则Z?'+c?-3=bc，即（〃+c'）~=3+3力c,

又因为V/WC的周长为3相，即"0=36-4=26，所以（2石丫=3+3反，解得仇:3,

所以，VA8C的面枳S=—Z?csinA=—x3x—=—x/3.

2224

17.【答案】（1）2

⑵逑

2

【详解】（I）由题意得，——=――――，得到2sin8-sin反osA=sia4cos3,

cosB2-cosA

所以2sin3=siaAcosB+sinBeosA=sin（24+B）=sinC,

由正弦定理‘4=44=’7；，得至l」A8=2AC,又AC=1,

smAsinBsinC

所以AB=2.

jr

（2）设NBAO=ae£（0,5）,因为L8c=5“初+S.m，

III4co3

所以一Z>csin20=—AOcsin0+—AO•加inO,又c=2,b=l,所以A£）=-----,

2223

由余弦定理，BC=J/，？+d-2bL29=，5-4cos2。=39-8cos*，

所以AD.8C=gJcos的（9-8cos沼）=gJ-8卜os?。-+||

当cos夕=g时，A。.AC取到最大值逑.

42

18.【答案】（1）y

⑵373

【详解】（I）2acosB=2e-b,由正弦定理得2sinAcos8=2sinC-sin8,

XsinC=sin（A+B）=sinAcosB+sin8cos4,

所以0=2sin3cosA-sinB,由8