2025-2026年高考数学第一轮复习：三角函数和解三角形（解答题）专项练（含解析）

2025-2026年高考数学第一轮复习试卷：三角函数和解三角形解答题专项

练

一、三角恒等变换

1.在VA8c中，内角所店的边分别为。也c.己知sin2c=6sinC.

⑴求C；

(2)若。=4,且VA8C的面积为2",求VA8C的周长.

2.不查表求sin105的值.

3.VA8C的内角A,B,。所对的边分别为4c,a=6,/?sin0■二=asin8.

2

(1)求A的大小；

(2)M为VABC内一点，入M的延长线交8C于点",求VABC的面积.

请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使AABC存在，并解决问题.

①M为AABC的重心，AM=2A/3:②M为AABC的内心，AD=30③M为AABC的外心，AW=4.

,、、旭wsin470-sin17°cos30°

4・计算：一嬴币一

5.锐角AABC的内角A,B,5的对边分别为a,b,c.已知8s2A+sin(5+C)=l.

⑴求A；

(2)若a=2,b=c,求AABC的面积.

6.已知VV4BC的内角ABC的对边分别为c,〃=6a<c•，且瓜in2A-cos2A=1,

⑴求A的大小；

(2)若asinA+csinC=4GsinB,求AABC的面积.

7.在三角形A8C中，角A8,C所对的边长分别为〃,/“，且3siMsinC=2-2cos2A.

(1)证明：3c=4〃；

(2)若〃=而，c=a+\,求三角形ABC的面积.

8.在AABC中，。、b、。分别是内角A、B、。的对边，Q=4/，b=6,cosA=-1.

(1)求c的值；

⑵求cos28的值.

9.在AABC中,x/3sinA+cosA=73,b=2\/3»〃=2,从>/+/.求:

(1)tan2人的值；

(2)。和面积S的值.

10.记AABC的内角A,B,C的对边分别为“，b,c,已知csin28-〃sinC=0.

⑴求角4;

(2)若乃2=2c2+ac，求色心的值.

c

3

11.在锐角AABC中，角4,B,C,的对边分别为a,b,c,从条件①：sinAcosAtanA=:，条件②:

4

省sinA-cosA」,条件③：2〃COSA-0COSC=CCOSB这三个条件中选择一个作为已知条件.

\/3sinA+cosA2

(I)求角A的大小;

(2)若〃=2,求AABC周长的取值范围.

12.在AABC中，角A、B、。的对边分别为“，b,c,已知。=6，c=&，。是边8C上的点,

(1)若BD=2力C且人。=&,求BC的长；

4

(2)??cosZAZ)C=--,8=45。，求cos/DAC的值.

13.在AABC中,角A8,C所对的边分别为a,ac,且满足4cosc+Gasin。=。+2c.

(1)求角A；

⑵。为8C边上一点，DA±13A,ABD=4DC,求cosC.

14,已知锐角三角形A8C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且Gccos4+csin4=G〃.

(1)求角。的大小；

(2)若c=2,角A与角8的内角平分线相交于点D,求△A3。面积的最大值.

15.在锐角AABC中，内角内氏(7的对边分别为九%且

(tz-Z?)(sinA+sin4)=(sinC-sinB)(acosB+bcosA).

(1)求角A的大小;

(2)若VA3C外接圆的半径为G，求空三的取值范围.

a

A+R

16.在AABC中，内角4,B,C所对的边长分别为a,b,c,且满足。-36+6加访2----=0.

2

(1)求证：。+劝cosC=0；

(2)求tanA的最大值.

17.在VA8C中，角A,8,C所对的边分别为a,b,c,已知6cosA+sinA=0.若。在线段8c上，且BO=2OC，

|A*2.

⑴求A；

(2)求VABC面积的最大值.

18.在VA3c中，角A8,C的对边分别是a,4c,g^=A(tan3+tanC).

⑴求B；

⑵若〃=。的面积为36,求VA8C的周长.

2

41D

19.在「A8C中，角AB,C的对边分别为。/了,已知cos——=2sinC

2

⑴求cosC；

⑵若sinA,，a=2,求.ABC的面枳.

4

二、三角函数

20.已知函数/(x)=sin"+S；3>0)在(0,与上单调递增，在停，兀上单调递减，设(即。)为曲线

y=/(x)的对称中心.

⑴求用;

(2)记VABC的角A氏。对应的边分别为。也。，若cosA=cos/,b+c=6,求边上的高人。长的最大值.

21.已知a为锐角，sina=1,求sin(a+J)的值.

26

22.求sin看-tan0+co咛-cos2票.

23.求函数y=ia吟的周期.

24.设函数/(x)=a〃，其中向量。=("?,cosx),〃=(l+sinx,l),xeR,且=

(1)求实数〃?的值；

(2)求函数/(X)的最小值.

25.在VAAC中，角/在V所对的边分别为a,b,c,已知a=7,c=8.

4

(1)若sinC=；y,求角A的大小：

(2)若〃=5,求AC边上的高.

26.已知函数/(%)=l+cos2x.

(I)求fM的最小正周期；

⑵求/(x)的单调递减区间.

27,已知向量4=(1,一G),〃=(sinx,2cos2楙-1)函数f(x)=ab；

2cos2--sin0-\

(1)若/3)=0,求-----Z——『的值；

x/2sin«9+-l

4

⑵当x«0,可时，求函数/*)的值域.

28.已知函数丁=$而(21+已)，xeR.

(1)求出该函数的最小正周期；

(2)求出该函数取最大值时自变量x的取值范围.

29.已知函数/(x)=3sin2x-"

⑴写出/(x)的最小正周期；

(2)求/(力的最小值，并求取得最小值时自变量x的集合.

3

30.已知。泊了分别为V4AC三个内角A*。的对边,cos4=-.

(1)求sinA的值；

(2)若asin8=4,求〃的值.

31.已知函数f(x)=cos葭一sin与一a,aeR

⑴求函数/*)的单调递增区间；

⑵若函数/")在上有零点，求.的取值范围.

36

32.某同学解答一道三角函数题：“已知函数/(x)=2sin(s+F)⑷>0,其最小正周期为九.

6

(1)求/(。)和0的值；

(2)求函数/。)在区间［-g百上的最小值及相应x的值.”

63

该司学解答过程如下:

解：(1)/(0)=2sin-=2x1=1；

62

因为7=井="，且口＞0，

1/1

所以(0=2.

(2)画出函数y=2sin(2x+[)在[-上的图象,

663

TT

由务象可知，当％=-乙时，函数八幻的最小值/

O

下表列出了某些数学知识:

任意角的概念任意角的正弦、余弦、正切的定义

弧度制的概念的正弦、余弦、正切的诱导公式

弧度与角度的互化函数)，=5由此)，=8$占)，=1211工的图象

二角函数的周期性正弦函数、余弦函数在区间［0,2〃］上的性质

同角三角函数的基本关系式正切函数在区间(-1,与上的性质

22

两角差的余弦公式函数户Asin(s+Q)的实际意义

两角差的正弦、正切公式参数A,co,夕对函数产Asin(5+0图象变化的影响

两角和的正弦、余弦、正切公式半角的正弦、余弦、正切公式

二倍角的正弦、余弦、正切公式积化和差、和差化积公式

请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学知识.

33,在锐角VA4C中，角人，B,C所对的边分别为小b,c,其中。=2,〃=3,sinC=—.

3

⑴求c的值.

(2)求sinA的值.

34.已知函数/(x)=Asin(ox+S+8的一部分图象如图所示，如果A>0,。>0,图<].

⑴求函数“X)的解析式；

7TTT

(2)当xe时，求函数/(»的取值范围.

_0O

35.已知函数f(x)=2sin(2x+弓｝求：

(1)/(%)的最小止周期；

(2)/(x)取最大值时自变量x的集合.

36.已知。为第二象限角，且sina=1.

(1)求tana；

(2)求cos]-2a)的值.

37.设|a设1,求arccosa+arccos(-a)的值.

38.已知函数的./'(工)=5巾(5+夕)(@>0,-5<°〈3最小正周期为九，且=

⑴求力,0；

(2两/")图象往右平移;个单位后得函数g(x),求/(x)+g(x)的最大值及这时x值的集合.

39.求函数y=sin?2x的周期.

40.已知函数〃x)=&cos(2x—xeR.

(1)求函数/(x)的最小正周期和单调递增区间；

(2)求函数/(x)在区间|"-?弓］上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值.

o2_

41,直线/上有不同的三点A,B,C,。是直线/外一点，对于向量。4=(1-cosa)O8+sinaOC(。是锐

角)总成立，求角。.

3

42.」知函数/(x)=asin2x+8asinxcosx-^a+b(a,b,a<0),

⑴若当0卷时，函数的值域为［-55，求实数。力的值;

(2)在(1)条件下，求函数/*)图像的对称中心和单调区间.

43.由扇形。4c和三角形O8C组成的平面图形如图所示，已知08=12,=8,ZAOB=90°,ACBO=60°,

点E在扇形04。的弧上运动.

(1)求sin/AOC的值；

(2)求四边形AO8E面积的最大值.

44.如图在平面四边形人BC。中，AC=>/7,AB=3,^DAC=ZBAC,sin^BAC=—

14

(2)若/。。4=可，求四边形A3C。的面积.

»•

45,已知向量4=cosx+g,sinx+g、b=cosx+g,-sinx+^-,记/(力=。力.

⑴求函数y=/(x)的最小正周期;

⑵若函数)，=/(x+。)(其中常数Ow0,5)为奇函数，求e的值.

46,已知在VA8C中，a=2b,且S△械=%.

(1)若〃=4,求lan(A+3)；

(2)若C＜；,且sinC=g,求sin4,sinB.

47.已知角。的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点户(-8,〃7),且sina=-].

⑴求tana的值;

2cos——+a+cos(-a)

⑵求的值

s.inl日---a\J-cos(,兀+a)、

48.已知函数f(x)=2$in(2x+・)，将/(x)的图象向右平移力个单位长度，再将所有点的横坐标伸长为

原来的2倍・，纵坐标不变，得到函数)=g("的图象.

⑴求g(x)的解析式;

⑵若函数0(K)=Ig(x)|cosX+Gcos2x,求0(x)在区间[o,2n]上的所有最大值点.

JT

49.已知函数/)=由sin25+cos2cux+l(0Vc°V5),将函数的图像向右平移7个单位，得到函数＞=g(x)

0

的组像，是g(x)一个零点.

(1)求函数y=段)的最小正周期；

JT

(2)求函数y=g(x)在xe的单调区间.

6

50.已知函数,f(x)=6cos(2x-]-2sin\v+l.

⑴求/(x)的单调区间：

⑵当xe(0,f时，求/(x)的值域；

⑶若x€卜吟)且/(力4求小的值.

51.已知/(x)=Gcos2x+2sinf与+x]sin(冗一x),xeR,

(1)求/(火-)的最小正周期及单调递增区间;

(2)已知锐角VA8C的内角ABC的对边分别为。也c,且f(A)=-JL。=3,求8C边上的高的最大值.

三、解三角形

52.在VA8C中，内角A&C所对的边分别为。，b,c,已知已知/=^+c2—历

(1)求角A的大小；

(2)若Z?=2,c=3,求。的值；

⑶若a2=be，判断'ABC的形状.

53.在VA4c中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且c=2/>,a=2ccosC.

⑴求:的值；

b

⑵若人=2时，求VA8C的面积.

54.VA3c的内角人，B,。的对边分别为a,b,c,且力cosA=ccosA+acosC.

⑴求4;

(2)若。=4,求V4BC面积的最大值.

55.在VA3C中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,且。=4,b=5,cosC=1.

(1)求VABC的面积；

⑵求边长。及sinA的值.

56.在VA8c■中，。=4,。=5,cosC=-.

8

⑴求V4BC的面积；

⑵求c及sinA的值.

57.在△/WC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=28,c=2,8=30。

(1)求力

(2)求sinA的值

58.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为8c,f+2=4COSC.

ba

⑴求仁匕的值；

c

(2)若一求cosA.

tanBtanAtanC

59.在VA8C中，内角A8,C所对的边分别a,〃,c其中a=b+2,。=血，且sinA=&sin。

⑴求c的值：

(2)求tanA的值;

60.在VA8C中，角A,B,C的对应边分别为a,b,c,a=7,c=3且竺£二°.

sinB5

⑴求边人的长；

(2)求角A大小及VABC的面积.

61.已知VA8C的两个顶点A,B分别为椭圆/+4)，2=4的左焦点和右焦点，且三个内角AB,C满足关

系式sin4-sinA=—sinC.

2

(1)求线段A/3的长度；

(2)求顶点C的轨迹方程.

62.已知VA4C的内角A8,C所对的边分别为火Ac,满足〃=2G,A=g.

(1)求VABC外接圆的面积；

(2)若为=2,求VA8C的面枳.

63.在VA8C中，•分别为由角A8,C所对的边，若4=争a2=(c-b)2+4.

(1)求VABC的面积；

(2)求〃的最小值.

64.在VABC中，角A,B,。所对的边分别为。，％,c,且2asinC=3加inA,cosA=；.

(1)证明：VA3C为等腰三角形.

(2)若。是边BC的中点，AD=A,求V/WC的面积.

65.如图，在山脚A测得山顶〃的仰角为。，沿倾斜角为6的斜坡向上走。米到6,在8出测得山顶〃得

仰角为7,

(1)若尸=15°,求坡面的坡比.(坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比值)

asinasin(y-〃)

(2)求证;山高/?=

sin(y-a)

66.在V/IAC中，角A,B,。所对的边分别为〃，6c.若c=q5,b=\,C=120，求:

⑴角B：

(2)V人8c的面积S

67,已知。，仇c分别为VA8C的直角ARC的对边，fLc(acosB-bsinA)=a2-b2.

⑴求A；

⑵若。=2,VABC的面积为2,求人+c.

68.记VA4c的内角4,B,C的对边分别为小b,c,已知当=2。产c?C

sin42-cosA

⑴求4

(2)若b=2,osin4=Z?sinC,求VA8C的周长.

69.记VA8c的内角A、B、C的对边分别为。、b、c,已知加in8+(Z?+c)sinC=asinA.

⑴求A：

(2)若a=7,〃+c=8,求V48c的面积.

70.记VA8c的内角A,B,C所对动分别为〃，b.c,已知sin8=2siii4,c=4«cosB.

⑴求cosA；

(2)若VABC的面积为后，求。.

71.已知。，b,c分别为V4BC三个内角A,B,。的对边，且acosB+JGasinB=〃+c.

⑴求A：

(2)若8=:,V4BC的面积为3+石，求〃的值.

72.在VABC中，内角AB,C所对的边分别为已知asin8=/?cos4-弓)，Z?cosC=ccosB.

⑴求A的值；

4

(2)若点。为边BC上的一个点，且满足cos/A4D=w，求△ABO与△AC。的面积之比.

73.在VA8C中，角A,B,7所对的边分别为小b,c,已知2acos8—〃cosC=ccos8.

⑴求NB的大小；

⑵若。=2,c=3,直线尸。分别交43,BC于P,Q两点，且也把V48C的面积分成相等的两部分，求|PQ|

的最小值.

74.记VABC的内角A8,C的对辿分别为a,b,c,已知向量力=(百sinC,-cosA),n=(a,c),且

⑴求A；

(2)若VABC的面积为6，且6+1=26从，求〃.

75.已知“分别是VA8c的隹A8,C的对边，bsinB-t«inA=sinC(2ZTCOS2B-c).

(1)求证：4=23；

(2)求工的取值范围.

a

76.在锐角△八8C中，角4B,C的对边分别为a,b,c,且®c-3sinC=0.

(1)求角8的大小；

(2)从条件①6=3/M=4：条件②。=2,4=(这两个条件中选择一个作为已知，求AABC的面积.

77.V4AC中，角4,B,C对边分别为a,b,c,assB=6,Z>sin4=l.

(1)求的大小；

(2)若〃=&,求VA8C的面积.

78.如图，三角形A8c的内角A,B,。所对的边分别为“，b,c,方cosA—〃sin3=().

(2)若A«_L4),AC=2叵,CD=x/5,求4。的长.

79.记NABC的内角A8,C所对的边分别为a,8,c,且c一2«cos2B=2/JCOSACOSB.

⑴求B；

3

(2)设。为AC边的中点，若〃=2,BD=-t求VA3C的面积.

80.在VA5C中,内角在VC的对边分别为a,b,c,已知siYA+sinBsinCusirB+sin2c.

⑴求A：

(2)若。为AC的中点，且8。的长为2,求儿的最大值，并求此时々的值.

81.已知V48C中角A,B,C的对边分别为〃，b,c,且2ccosA=acos8+Z?cosA.

⑴求角A；

(2)若a=G，求VABC的周长的最大值，并求出此时角8,角C的大小.

82.在AABC中，NA=90。，点。在3C边上.在平面A8C内，过。作。小，8c且O"=AC

(1)若。为8c的中点，且△CQr的面积等于△A5C的面积，求NA3G

⑵若4BC=45。，B.BD=3CD,求cosNCFB.

83,在①向量5=，7?=(sinA-cosB),且比_L〃，②~-=-7-7;,③

'7\f3cosBsinC

/+c2_〃2+2ac=2'csinA,这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并加以解答.

己知VA4C中，内角A,B,。所对的边分别为小b,c,.

(1)求角8的大小；

(2)若方=3,a-c=2,求VABC的面积.

84.在VA4c中，角A3,C所对的边分别为。，b,c,且人=名，a=4.

(1)若边上的面4。=26,求证：V4BC为等边三角形；

(2)己知直线AM为24AC的平分线，且与3。交于点若AW=半，求VA3C的周长.

85.在VA8C中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且湖足几osA=(2c-a)cos8.

⑴求角B;

(2)若。=2,AC边上的中线长为BO=立，求VA8C的面积.

2

9A—c

86.在VA3C中，内角A、B、C所对的边分别为〃、b、c,且COSC=F—.

2a

(1)求角A的大小：

(2)若VABC的周长为6,求VABC面积S的最大值.

87.已知VA8c的内角A、B、C的对边分别为〃、b、c,且『芮足=s-A+C

sinA-sinCsinB

(1)求角4的大小:

7

(2)若4=近，VA8C的角平分线4。与边8c相交于点。，且4)二§,求VA8c的面积.

88.设VA3C的内角A8,C的对边分别为已知。=20,c=x,C=f.

4

(1)若x=2,求V4BC的面积:

⑵若存在两个这样的VA6C,求人的取值范围.

89.在VA8C中，三个角A、B、。所对的边分别为a、b、c,点。在边48上，且CQ_L8C,

ADB

⑴求3;

(2)若CO=26，点E在线段A8上，当ACBE为锐角三角形,求2|。耳+忸目的取值范围.

《2025—2026年高考数学第一轮复习试卷：三角函数和解三角形解答题专项练》参考答案

1.⑴y

O

(2)6+275.

【分析】（I）利用二倍角公式化简即可求得.

（2）利用面积公式和余弦定理即可求解..

【详解】（1）由sin2C=6sinC,得2sinCcosC=心由。，

在VA4C中，sinC^O,/.cosC=—.

2

在V48C中，CG(O,TI),.-.C=-.

6

(2)SAM=—«/?sinC=—XAX4X—=26,「.a=2下),

,CDL222

由余弦定理得。2=标+从一2。反OSC=12+16-2X2GX4X@=4,

2

：.c=2,w++c=2>/3+4+2=6+2\/3,

.7ABC的周长为6+26.

9V6+V2

4

【分析】由sinlO5=sin（60+45）,利用两角和差正弦公式可求得结果.

cos45cos60sin45二2立+k立二^

【详解】sin105=sin(60+45)=sin60+

22224

3.⑴A=1

（2）答案见解析

【分析】⑴利用正弦定理以及二倍角公式求解；（2）根据正弦定理」余弦定理和面积公式即可求解.

B+C....7T-A

【详解】（1）Vbsin-----=«sinBn,..Z?sin-----=as\nB,gpZ?cos—=«sinB

222

AA-.4A.门

由正弦定理得,sinBcos—=sinAsinB,即sin8cos—=2sin—cos—sinB,

2222

441

VA,Be(0,7：),/.sinB>0,cos—*0,/.sin—=-又万eq,

222乙J)263

f=2百

=2R=R

（2）设VABC外接圆半径为R,则根据正弦定理得，sinA

2x

2

若选①：IM为该三角形的重心，则。为线段8c的中点且AO=|AM=36，

又力O=」(A8+AC),A|ADF=；(|ABf+\ACf+2\AB\-\AC\-cosA],

2

即27=；卜2+〃+庆.），又由余弦定理得42=A2+C2—2〃CCOSA，即36=从+召一从，解得b=C=6,・•・

S^ABC=-bes\nA=9\/5；

2

若选②：•・•"为VA8C的内心，・・・Z7MO=/CAQ=2/84C=m，由S八相=§AM+S八8得

-besin—=-c-/4Dsin—F-/?"/\Dsin—,VAD=3>/3»*,•――Ac=3>/3x—(/?+c),K|Jb+c=一

232626223

由余弦定理可得〃2+M—36=从，即S+cf-3反=36,・・・姆1一3机=36=0,

9

=xx=

即(bc+9)[?-4)=°,,/bc>0,/?c=36,/.S^ABC=^besiny,

若选③：M为VA8C的外心，则AM为外接圆半径，AM=20与所给条件矛盾，故不能选③.

\_

4.~2

【分析】因为47。=30。+17。，所以对sin47。进行和差公式展开，即可求解

、sin47°-sin17°cos30°sin(30。+17°)-sin17°cos30°

【详解】------------------=---------------------------

cos17cos17°

sin30°cos170+cos30°sin170-sin17°cos30°sin30°cos17°.1

=---------------------------------------=------------=sin30°=-.

cos17°cos1702

兀

5.(I)A=-

o

⑵2+百

【分析】（1）根据三角恒等变换即可求解,

（2）根据余弦定理，结合面积公式即可求解.

【详解】(1)因为cos2A+sin(8+C)=l,所以I-2sin?人+sin4=1,

又$inA/0,所以sinA=■!■.

2

由VABC为锐角三角形，得A=?.

6

(2)由(1)及余弦定理知/=/+/-»CCOS4=〃+C2-G/?C.

,4

因为。=2,b=c,所以5~二~~6»

所以VA4C的面积S='bcsinA=—=2+6.

24

6.【小题1】y【小题2】迈

64

【分析一】（1）已知等式利用诱导公式和倍角公式化简，可求A的大小;

(2)条件中的等式，利用正弦定理角化边，再用余弦定理求得边，用面积公式计算面积.

【详解】(1)V3sin2A-cos27\=l.\2sin(2A--)=l,可得sin(2A-')

662

_八.九兀-▲冗5冗-.加兀.兀

又a<c「・0vA<——<2A—V—2A—=—A=一

2666666

(2)由正弦定理得，•.•L+C2=4屉.•./+C2=12,

由余弦定理，/=〃+C?一2Z"os?\,可得，cr=3+c2-3c,

3

联立方程组整理得，2cJ3c-9=0,所以c=3或c=-：(舍).

<LA

..3=—bcs\nA=-----

24

7.(1)证明见解析；

(2)373.

【分析】(1)利用二倍角公式可得3sinC=4sinA,再由正弦定理计算可得:

(2)首先求出〃、c,再由余弦定理求出最后由面积公式计算可得.

【详解】(1)因为3sinCsiiH=2-2cos2A=2-2(l—2sin2A)=4sir?A,

因为AG(0,TI),则sinA>0,

所以3sinC=4siiv\,由正弦定理得3c=4a；

(2)由(I)有3c=4a,又c=〃+l,可得a=3,c=4,又。=>/i5,

由余弦定理可得cosB=。2+。2=32+42-(而,=[,

2ac2x3x42

又8£(0,兀)，所以B=

所以VA4c的面积SABC=-6/csin^=-x3x4xsin-=3V3.

223

8.(l)c=2

(2)cos2B=--i

【分析】(1)根据题意和余弦定理计算即可求解；

(2)根据同角的三角函数关系求出sinA=XZ,由正弦定理求出sin8=巫，结合二倍角的余弦公式计

33

算即可求解..

【详解】(1)由余弦定理知/=芹+C。-2/?ccosA,即48=36+。？-2x6xcx-!,

整理得/+4c—12=0,解得c=2或C=-6(舍负)，故c=2.

(2),**cosA———,且Ae(0,7l),:.sinA-—cos2A——

/4^_6r-

由正弦定理知三二二，即运一高万，得sin/3=9,

sinAsinB------3

3

・•・cos2B=l-2sin2B=--

3

9.(1)tan2/\=>/3：

⑵c=2,S=G

【分析】(1)利用辅助角公式将题设化成sin(A+3=正，根据内角范围求出角A即得;

62

(2)由正弦定理求得sin8=无，结合条件确定＜兀,依次求出角及。和边c、S.

22

【详解】(1)由GsinA+cosA=&,可得，2sin(A+F)=＞/5,即sin(A+^)=——.

662

又0＜从＜兀,则

故A+或A+.=g.解得4=［或A=g.

636362

因。=2,。=26，则a＜〃,A不是最大角，故得人=5，

0

所以lan2A=lan：=J5.

,2_25/3rr

(2)由正弦定理三二—一，可得—则sin4=叱.

sinAsinBsin—2

6

因为b1＞a1+c2,由余弦定理，cosB=巴力———＜0,

2ac

则曰＜8＜冗,故8=W，C=g

236

则c=a=2,S=^absinC=瓜

10.(Dy

⑵U

2

【分析】(I)利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式得到cos3,即可得解；

(2)利用余弦定理及处2=2°2+加.得至1］。=］。、b=^Lc,代入目标式子计算可得.

22

【详解】(1)由题意可得csin24=〃sinC,所以由正弦定理得sinCsin28=sinAsinC.

即sinC-2sinBcosB=sinBsinC，

在VABC中，因为sinCwO,sinAwO,

所以cosB二;，因为8«0,兀），所以3=1.

（2）由（1）得854，+/一护=工

2ac2

2

->2c+ac2"

又2〃2=21+公，故二+L-2J，即」一万二I，

2ac22ac2

把。=]c代入2//=2c?+ac,可得b=立~c或b=-虫~c(舍去),

222

3百

所以〃+/^+5-°_3+5.

cc2

11.(D^=f

（2）V48c周长的取值范围为（2+26,6|

【分析】（I）若选条件①，切化弦即可；若选条件②，等价转换即可；若选条件③，由正弦定理，边化角

得2sinAcosA-sinBcosC=sinCeosB,再根据诱导公式等价转化即可.

（2）由正弦定理，边化角得i+c=4sin（呜）+2,结合3的范围求解.

3sinA4

【详解】（1）选条件①：因为sinAcosAtanA=-,所以sinAcosA2"——,即sin?A=二，又因为VA8C

4cosA44

为说角三角形，所以所以sinA=无，所以A=J.

A/I。。2］）,23

由sinA-cosA_1

选条件②：因为所以2(GsinA-cosA)=6sinA+cosA

x/5sinA+cosA2

所以x/5sinA=3cosA,又因为Ac(0,乡，所以cosA/O,所以tanA=G，所以〃=?，

选条件③：由正弦定理可得2sinA8sA-sinBcosC=sinCcosB

即2sinAcosA=sin3cosC+sinCcosB=sin(8+C)=sinA,又因为sin4Mo,所以cosA=；,因为Aw]。,1

所以A=

，八a+b+c=2+a(sinB+sinC)=sinfi+sinf--+2

⑵sinA,①II3))

T

sin海%n8+正

cosB+—sinB+2cosB+2=4sinB+-\+2

222(y

冗

C号-f),BC0,-,+

2626

则sinB+—e即a+〃+cw(2+2x/l6],

k6)

即VA3C周长的取值范围为（2+2屈6].

12.（1）3

⑵座

25

【分析】（1）设CO=x（x>0）,在△ABD、V48c分别利用余弦定理，即可得到方程组，解得即可;

（2）由正弦定理求出sinC,即可求出cosC,再求出sinZAOC,最后根据

cosZDz4C=cos[7r（ZADCiZC）]=-cos（ZAZ）CiNC）利用两角和的余弦公式计算可得.

【详解】（1）依题意设CD=x（x>0）,则8£>=2v,BC=3x

在△A8O中由余弦定理AD2=AB2+BD2-2AB-BDcosZABD，

即4x2-4衣•cos/ABD=0①，

在VABC中由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB-5CcosZ.\BD,

即9f-6>/2.vcosNABD-3=0②，

由①②解得x=l或x=-l（舍去）,

所以8c=3.

(2)由正弦定理三=<，即巫=*_,解得sinC=@,

sinCsinBsinCsin4505

又b>c,所以8>C,所以cosC=Jl—sii?C=乎,

4/-----------7

又cosZ4DC=,J^lfsinZADC=V1-sin2ZADC=-,

55

所以cosZDAC=cos[兀一(ZADC+ZC)]=-cos(ZADC+ZC)

=-cosZADCcosZC+sin/ADCsinZC

13.⑴八专

⑵」

7

【分析】（1）由正弦定理得到国必-必A=2,再利用辅助角公式求出A=专；

（2）分别在CAO与二胡。中，利用正弦定理得到c、=»,再由余弦定理得到4从而求出cosC.

【详解】（1）由-7--==c,得sinAcosC+>/3sin4sinC=sinB+2sinC.

s\nAsinBsine

由B=n(AiC),

所以x/3sin>4sinC=cosAsinC+2sinC,

又因为Ce（0,兀），所以sinC工0,故GsirtA-cosA=2.

即2sin(AqJ=2,又OVAVTC,所以A专.

(2)由⑴知：A=y

所以NC4O=§_[=B.

326

CD_bBD_c

在，CAD中，~~n~sin^ADC;在一BA/)中，~n~sinZADB.

sin—sin一

62

又sin/AO8=sin/AOC,8O=4CD,代入得：c=2b.

由余弦定理得：a=yjb2+c2-2bccos^-=y/lb,

所以C+〃—d二殛

lab7

14.(1)C=|

【分析】（I）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式化简得到sinC=V5cosC,即可

得解;

(2)依题意NAO8=g,设N0A8=a,由三角形为锐角三角形求出ae行,*在△A8Z）中利用正弦

定理表示A。，即可表示出SAM，再由三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得.

【详解】（I）因为x/3ccosA+csia4=下>b,

由正弓玄定理得V5sinCcQsA+sinCsinA=575sinE=6sin(A