2025-2026学年人教版八年级数学上册同步练习：等边三角形

15.3.2等边三角形

冒出巩固提优

1.（2025•江苏南通崇川区期末）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附

近选一点C,利用测量仪器测得NA=5（r,/C=90o.AC=3km.据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于（）.

A.5kmB.；kmC.3x/3kmD.6km

2.如图抱〃ABC为等边三角形，若N1=45、则N2的度数为（）.

A.105°B.120°C.75°D.45°

3.（2025.江苏扬州仪征期中）如图,△ABC是等边三角形,AB=6.BD是/ABC的平分线,延长BC至!JE,使CE=CD.

则BE长为（

A.7B.8C-TD.9

4.（2025.云南昆明民大附中期末）如图,△ABC为等边三角形，D为BC延长线上一点，作DE〃AB交AC的

延长线于点E.若AB=5,AE=8,则DE的长为

5.（2025•广东广州华南师大附中期末）如图，在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,点E为AD上一点，连接BD,C

E交于点F,CE〃AB.

（!«△ABD为等边三角形请判断△DEF的形状，并说明理由；

（2衽⑴的条件下，若AD=12,CE=9,求CF的长.

A

（第5题）

6.如图/ABC是等边三角形,0为△ABC内任意一点0£〃人8、（^〃人（3,分别交BC于点E,F.求证:△0EF是

等边三角形.

思维拓展提优

7.如图,NMON=30。,点A1人,A3，…在射线ON上，点Bx,B2,B3，…在射线0M上,△A1BIA2,△A2B2A

，△，…均为等边三角形.若。小f加以的边长为（）

3A3B3A4A6B6A7.

A.8B.16C.24D.32

8.（2025福建福州十九中期末）如图，已知点M是等边三角形ABC的边AB上的一点，若NAMC=103。,则在以

线段AM,BM,CM为边围成的三角形中，最小内角的度数为。.

9.中考新考法新定义问题（2024.山东临沂经开区期末）定义：如果三角形有两个内角的差为60。,那么这样的

三角形叫作“准等边三角形”.已知仆ABC是“准等边三角形”，其中/八=50。,/090。厕NB=.

10（2025.黑龙江绥化海伦期末）如图，在平面直角坐标系xOy中,已知点A的坐标是（0』）,以OA为边在右侧

作等边三角形OAA］，过点A】作x轴的垂线，垂足为点0］，以0IA、为边在右侧作等边三角形01A1A2,

再过点A2作X轴的垂线.垂足为点。2,以02A2为边在右侧作等边三角形。2A2A3，…，按此规律继续作下

去，得到等边二角形(。202442024/2025则点A202s的纵坐标为-

11(2025福建南平期末)如图，在△ABC中.AB=AC,NBAC=100°以AC为边,在△ABC的外部作等边三角形

ACD,E是AC的中点，连接DE并延长交BC于F.求/DFC的度数

D

12在边长为9的等边三角形ABC中.点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从

点A向点B移动，设运动时间为t秒.

⑴如图(1),若BQ=6.PQ〃AC,求t的值.

(2)如图(2),若点P从点A向点B运动,同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C向点A运动.当t

为何值时,△APQ为等边三角形？

QCBQ

(1)(2)

(第12题)

15如图，已知△ABC是等边三角形，点D是边BC上一点.

⑴以AD为边构造等边三角形ADE（其中点D,E在直线AC两侧），连接CE.猜想CE与AB的位置关系，并

证明你的结论；

⑵若过点C作CM〃AB,在CM上取一点F,连接AF,DF,使得AF=DF,试猜想△ADF的形状，并证明你的结

论.

16（2024.泰安中考）如图直线l〃m,等边三角形ABC的两个顶点B,C分别落在直线l,m上，若NABE=21。,则/

ACD的度数是（）.

（第16题）

A.45°B.39。C.29D.21°

153.2等边三角形

1.D

2.A［解析］•二△ABC为等边三角形、

/.ZACB=60o.VZl=45°,

/.Z1+ZACB=1O5°.

•.飞〃b,・・.N2=Nl+NACB=105°.故选A.

3.D［解析］由题意可知,BC=AB=AC=6.

VBD是/ABC的平分线CE=CD,

匚CE=CD=；4C=3,・・・BE二BC+CE=9.故选D.

4.3［解析］由条件可知,AB=AC=5,NA=NB=60。.

VAE=8,.\CE=AE-AC=8-5=3.

•・•DE〃AB,・•・ZD=ZB=60°,ZE=ZA=60°,

.,.ZD=ZE=60o,.\ACDE为等边三角形、

.\DE=CE=3,

5.(1)△DEF是等边三角形.理由如下：

•.•△ABD为等边三角形，

・•.ZADB=ZA=ZABD=60°.

VCE/7AB,

JZDEF=ZA=60°,ZEFD=ZABD=60°,

•••△DEF是等边三角形.

(2连接AC交BD于点0,如图,7AB二ADCB=CD,・,・AC垂直平分BD,

,AO1BD,.\ZBAO=ZDAO=30°.

VCE/7AB,

・•・ZACE=ZBAO=ZDAO,

・•・AE=CE=9,JDE=AD-AE=12-9=3.

•••△DEF是等边三角形，

:.EF-DE-3,:.CF-CEEF-6.

6.〈△ABC是等边三角形，

AZABC=ZACB=60°.

V0E/7AB,.*.ZOEF=ZABC=60°.

VOF//AC,/.ZOFE=ZACB=60%

/.ZEOF=ZOEF=ZOFE=60°,

•••△OEF是等边三角形.

7.D［解析］••.△A】B］A2为等边三角形，

r-41Z?1=JlJ2=J2^1,CJ2^i^i=60,

匚口42414］=［:A/ON+匚/］8|060」.

又NMON=30°,；・NAi0=30°,

•••△OAiB］为等腰三角形.口力避广。小=1,即4A】BiA2的边长为1,

同理△A2B2A3的边长为2,AA3B3A4的边长为4,…，以此类推.△AnBDA□+1的边长为2^

6

.,.△A6B6A7的边长为2|=2'=32.故选D.

8.17［解析］如图所示、将△CBM绕点C顺时针旋转60。得到△CAQ.

••・CM=CQ,NMCQ=60°,BM=AQ,/AQC=NBMC,

工ACMQ为等边三角形".MQ=CM./CQM=60。，

・••以AM,BM,CM线段为边的三角形，即△AMQ,最小的锐角为NAQM.

■:ZAMC=103。,:.ZCMB=180°-103°=77°,

AZCQA=ZCMB=77O,

,ZAQM=ZCQA-ZCQM=77°-60°=17°.

9.20。或35。［解析］:△ABC是,淮等边三角形”,NA=50。,/090。,，分两种情况:

当NC-NA=60。时，□(＞匚/+60=110］,

:.ZB=180。-NOZA=180°-110。-50°=20。;当ZC-ZB=60。时，

■:NA=50°,/.ZC+ZB=1800-ZA=130°,

.\2ZB=70o,/.ZB=35°.

综上所述,NB的度数为20。或35。.

/］、2025

10.(;)［解析「・•三角形OAA1是等边三角形，口。小=04=1,14。小=6(户,口二001=30在RsO】OA1

中，「0014=90口,□"以户。口，匚0m=於4=；即点A1的纵坐标为洞理，。242=4。42=(92，。3431。243

=(品即点A?的纵坐标为(Ji点A3的纵坐标为5口..•点A2025的纵坐标为((J"”

11VAB=AC,ZBAC=100°,

匚［ABC=LACB=^~100=40°.

VAACD是等边三角形,E是AC的中点,・,.DEJ_AC,

二NCEF=90。，

••・NDFC+NACB=90。，

［l/)FC=90-DJCT=90D-403=501

12.(1)•・•AABC是等边三角形,JNA=NB=ZC=60°.

VPQ//AC,

・•・ZBQP=ZC=60°,ZBPQ=ZA=60°.

/.ZB=ZBQP=ZBPQ,

•••△BPQ是等边三角形,；・BPnBQ.

由题意可知AP=t，则BP=9-t,・・・9-t=6.解得t=3,/.t的值为3.

(2)©如图(1),当点Q在边BC上时，此时△APQ不可能为等边三角形；

若AAPQ为等边三角形贝」AP=AQ,

由邈意可知AP=t,BC+CQ=2t,

AAQ=BC+AC-(BC+CQ)=9+9-2t=18-2t,gP18-2t=L解彳导t=6,

・.・当t=6时.△APQ为等边三角形.

13.⑴•・"〃AB,且△ABC为等边三角形,

/.ZACE=ZB/\C=ZABD=60°,AB=AC.

VBD=CD,.\AD±BC.

ZADE=60o,ANEDC=30°,

DPOC=180-CEDC-ZACB^O

・•・ZDEC=ZDOC-ZACE=30°,

・•・ZEDC=ZDEC,EC=CD=DB,

•・.△ABD丝△ACE(SAS),

/.AD=AE,SEADE=60,

•••△ADE是等边三角形.

(2)成立理由如下：

如图在AC上取点F,使CF=CD,连接DF.

VZACB=60°,/.ADCF是等边三角形.

ZADF+ZFDE=ZEDC+ZFDE=60°,

AZADF=ZEDC.

,/ZDAF+ZADE=ZDEC+ZACE,

AZDAF=ZDEC,

・•・△ADFg△EDC(AAS),・•・AD=ED.又NADE=60。,・•・△ADE是等边三角形.

14.(1)VZBAC=120°.AB=AC.

匚口。=匚/4C=；(180L匚44C)=30.

•二CD=CA,

匚ndO=(JCQ/=：(180—匚c)=75J,

・•・ZBAD=ZBAC-ZCAD=45°.

VBE=BA,AZE=ZBAE.

,/ZABC-ZE+ZBAE-2ZBAE,

.,.2ZBAE=30°,ANBAE=15。,

/.ZDAE=ZBAE+ZBAD=150+45°=60°.

⑵ZBAC=2ZDAE,理由如下：

*/CD=CA,设NCAD=NCDA=a.

VBE=BA,J设NE=NBAE=p,

/.ZABD=ZE+ZBAE=2p.

*/NCDA二NABD+NDAB,

/.ZDAB=ZCDA-ZABD=a-2p,

；・ZBAC=ZDAB+ZCAD=a-2p+a=2(a-p).

ZDAE=ZBAE+ZDAB=p+a-2p=a-p,

AZBAC=2ZDAE.

(3)VAB平分NDAE,・••设NBAE=NBAD=8.

VBE=BA,.\ZE=ZBAE=8,

AZABD=ZE+ZBAE=20.

•・・CD=CA,AC_LCD,

・•・ACAD是等腰直角三角形,・•・NADC=45。.

ZADC=ZABD+ZBAD=30,

:.30=45°,/.0=l5°,:.ZABD=20=30°.

在RtZkABC中、NABD=3O°,，BA=2CA.

•/CD=CA,BE=BA,BE=2CD.

15.(1)CE〃AB.证明如下:

如图⑴「•'△ABC和4ADE是等边三角形，

/.AB=AC,AD=AE,ZB=ZBAC=ZDAE=60°,

AZBAD=ZCAE.