2025年高考数学二模试题分类汇编：计数原理与概率统计（河北专用）解析版

计数原理与概率统计

in题型概览

题型01统计

题型02独立性检验

题型03计数原理

题型04随机事件的概率

题型05古典概率

题型06随机变量及其分布列

题型01

1.（2025・河北保定•二模）防溺水安全教育不仅是为了防止学生在游泳时发生意外，更是为了提高学生的安

全意识和自我保护能力，为此某校组织了“防溺水安全知识''答题比赛，并对参赛的200名学生的成绩进行了

统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间分别为[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100],则

（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（）

0.05

0.02

0.015

0.01

0.005

A.这200名参赛学生的成绩的上四分位数为82.5分

B.这200名参赛学生的成绩的平均值为76.5分

C.这200名参赛学生的成绩不低于80分的频率为0.03

D.若用分层抽样的方法从参赛学生中抽取一个容量为4（）的样本，则成绩在[70,80）之间的应抽取20人

【答案】ABD

【分析】对于A,根据上四分位数的概念，结合频率分布直方图的性质，可得其正误：对于B,根据频率分

布直方图的数据，利用平均数估计值的计算，可得其正误；对于C,根据频率分布直方图的性质，可得其

1/38

正误；对于D,根据分层抽样的概念，结合频率分布直方图的数据可得每组的比例，可得其正误.

【详解】因为（0.005+0.015+0.05）x10=0.7<0.75.0.7+0.02x：0=0.9>0,75,

所以这200名参赛学生的成绩的上四分位数即第75百分位数位于［80,90）内，

则这200名参赛学生的成绩的上四分位数为80+端产=82.5,故A正确：

这200名参赛学生的成绩的平均值为

55x0.05+65x0.15+75x0.5+85x0.2+95x0.1=76.5故B正确；

这200名参赛学生的成绩不低于80分的频率为（0.02+0.01）x10=0.3,故C错误：

成绩在［70,80）之间的应抽取40x0.5=20人，故D正确.

故选：ABD.

2.（2025•河北保定•二模）现有一组数据1,4,5,6,4,5,4,若删除一个数后，所得数据的中位数不变,

则被删除的数为（）

A.1B.6C.5或6D.1或6

【答案】C

【分析】将数据从小到大排列，由中位数的定义即可求解.

【详解】将数据1,4,5,6,4,5,4按照从小到大的顺序排列为I,4,4,4,5,5,6,

则原数据的中位数为4,若删除一个数后，所得数据的中位数不变，则被删除的数为5或6.

故选：C.

3.12025•河北•二模）第九届亚冬会在哈尔滨举行，参加自由式滑雪女子大跳台决赛的六位选手的得分如下:

119.50,134.75,154.75,159.50,162.75,175.50,则该组数据的第40百分位数为（）

A.134.75B.144.75C.154.75D.159.50

【答案】C

【分析】根据百分位数的定义求解.

【详解】六位选手得分由小到大排列如下：

119.50,134,75,154.75,159.50,162.75,175.50,

因为6x40%=2.4,

所以该组数据的第40百分位数为第三个数154.75.

故选：C

4.（2025•河北张家口•二模）商品价格与销量之间往往存在某种关系，以下是某商品价格x（单位：元）与

2/38

销量y（单位：万件）的调研数据:

商品价格X/（元）1()15202530

销量W（万件）5446403632

则下面四个回归方程中最适宜作为销量y与价格x的回归方程的是（）（参考数据M2之0.7,仙3。1.1,

In5®1.6）

A.y=-1.4x+70B.y=47x+60C.^=100-201n.xD.y=60-31n.v

【答案】C

【分析】分别取x=io,30代入相应方程计算y的估计值与实际值比较，得出答案.

【详解】对于A,分别代入x=10,30,可得J，=56,28,与实际值相差较大，不合题意，故A错误：

对于B,分别代入x=10,30,可得j，=53,39,第五组数据与实际值相差较大，不合题意，故B错误；

对干C,分别代入x=10,15,2（）,25.30,求得歹的估计值与实际值完全相同，应采用，故C1E确；

对于D,分别代入x=10,可得y=60—31nl0=60—3(ln2+ln5)=53.1,

x=30,得y=60-3（ln2+ln3+ln5卜49.8,数据与实际值相差较大，不合题意，故D错误.

故选:C.

5.（2025・河北张家口•二模）在某次高三模拟考试后，数学老师随机抽取了6名同学第一个解答题的得分情

况如下：7,9,5,8,4,1,则这组数据的平均数和极差分别为（）

A.y,8B.*8C.y,7D.y,7

【答案】A

【分析】根据平均数，极差的定义求解.

【详解】根据题意，这组数据的平均数1=1+4+5：7+8+9=1,极差为9—1=8.

63

故选:A.

6.（2025・河北•一模）为保护环境，我国近几年大力发展新能源汽车，新能源汽车的产销量迅速位居全球第

一.我国某省2024年9月份至2C25年1月份这5个月新能源汽车月销量V（单位：千辆）与月份代码》的

数据如表所示：

月份2024年9月2024年10月2024年11月2024年12月2025年1月

月份代码x12345

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Y4-Y

【详解】对于A,由4〃x25%=〃，得卜.四分位数为七"，A错误：

对于B,数据0，5……，心共2〃+1个，其中位数为七“，B错误；

[2〃]||2n

对于c,丁丁◊九匕=天“<毛力?九马.二z毛…c正确；

2n『=]2〃2〃2〃,=]

对于D,ax.-a,ax2-a,...,一a的方差为再，x”…,%”的方差的/倍，D错误.

故选：ABD

8.（2025•河北秦皇岛,二模）某科技公司统计了一款App最近5个月的下载量，如下表所示，若V与％线性

相关，且经验回归方程为/=-0.6》+6,则（）

月份编号X12345

下载量M万次54.543.52.5

A."与X负相关B.a=5.7

C.第7个月的下载量估计为1.8万次D.残差绝对值的最大值为0.2

【答案】ABD

【分析】根据回归方程的增减性，可得A的正误；取得样本中心代入方程，可得B的正误，利用回归方程,

代入x=7求值，可得C的正误；由题意列表求得每个月的残差，可得D的正误.

【详解】对于A,由-0.6<0,则回归直线斜向下，故A正确；

对I,B,由x=------二-----=3,y=------------------=3.9,即样本中心为（3,3.9）,

则3.9=-0.6x3+a,解得3=5.7,故B正确;

对于C,将x=7代入回归方程，解得_P=-0.6x7+5.7=1.5,故C错误：

对于D,由题意可得下表：

Xi2345

y54.543.52.5

^=-0.6x+5.75.14.53.93.32.7

\y-y\0.100.10.20.2

则最大值为0.2,故D正确.

故选：ABD.

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9.（2025・河北,二模）为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）

中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该

区间的中点值）.关于甲、乙两个班级的物理成绩，卜.列结论错发的是（）

甲班物理成绩乙班物理成绩

频数

7频率

6组距

50.030

40.025

30.020

2

1

00.0051

1■■■I,。飞060708090在0有数

5758596768697987888998分数

A.甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数

B.乙班成绩的笫75百分位数为79

C.甲班成绩的中位数为74

D.甲班成绩的平均数大小乙班成绩的平均数的估计值

【答案】ABC

【分析】由题图可判断A；由百分位数定义即可求第75百分位数可判断B：由中位数对定义判断C；分别

计算甲乙两班的平均数即可判断D.

【详解】对于A,由题图知甲班成绩的众数为79,乙班成绩的众数为75,故A错误.

对「B,因为10x（0.020+0.025+0.030）=0.75,所以乙班成绩的第75百分位数为80,故B错误.

对于C,甲班物理成绩从小到大排序的第10个、第11个数都是79,故中位数为79,故C错误.

因为甲班成绩平均数为:

表x(57x2+58+59+67+68x2+69x2+79x6+87+88x2+89+98)=74.8,

乙班物理成绩的平均数的估计值为:

(55x0.020+65x0.025+75x0.030+85x0.020+95x0.005)x10=71.5,故D正确.

故选：ABC

10.（2025・河北•二模）某学校对100名学生的身高进行统计，得到各身高段的人数并整理如下表:

[175,

身高（cm）[150,155)[155,160)[160,165)[165,170)[170,175)

180]

频数10203025105

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根据表中数据，下列结论中正确的是（）

A.100名学生身高的中位数小于160cm

B.10（）名学生中身高低于165cm的学生所占比例超过70%

C.100名学生身高的极差介于20cm至30cm之间

D.100名学生身高的平均值介于160cm至165cm之间

【答案】D

【分析】根据中位数的定义判断A选项，求出100名学生中身高低于165cm的学生有的人数判断B选项，

根据极差的定义判断C选项，根据平均值的定义判断D选项.

【详解】100名学生身高的中位数是第50和第51名学生身高的平均值，

第50名和第51名学生的身高均大于160cm,所以100名学生身高的中位数大于160cm,故A错误；

100名学生中身高低于165cm的学生有50名，

所以100名学牛中身高低于165cm的学牛所占比例为50%,故B错误：

100名学生身高的极差最大为180-150=30cm,最小为175-155=20cm,

但是“介于”不能准确表示临界值能否取到，故C错误；

,,,152.5x10+157.5x20+162.5x30+167.5x254-172.5x10+177.5x5

100名学生身同的平均值为-------------------“。八«一«----------------------------=163.5cm,故D

10+20+3（）+25-10+5

正确.

故选：D.

11.（2025•河北•二模）设一组样本数据x/,也.........方差为0.01,则数据10修，10必，…，10m的方

差为（）

A.0.01B.().1C.1D.1()

【答案】C

【分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.

【详解】因为数据叼+M=1,2,L,〃）的方差是数据Mi=l,2,L⑼的方差的的倍,

所以所求数据方差为102x0.01=1

故选：C

【点睛】本题考查方差，考查基本分析求解能力，属基础题.

独立性检验

12.（2025•河北•二模）A市某个景点自从取消门票实行免费开放后，迅速成为网红打卡点，不仅带动了A市

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淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构.下表是该景点免费开放后前五个月的打卡人数y（万人）与第％个

月的数

X12345

y23.137.062.1111.6150.8

（1）根据表中数据可用一元线性回归模型刻画变量了与变量x之间的线性相关关系，且回归方程夕=R+e中

的i=32.88,请计算相关系数,（精确到。01＞并判断是否可以认为J与X的线性相关性很强;

（2）为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了200名游客，得到如下列联表，请填写下面的2x2列联表,

并判断能否有99.9%的把握认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关”.

喜欢不喜欢总计

男100

女60

总计110

参考公式:

力—-）（必一力

（1）相关系数:=/一丁.若=20.75,则认为V与x有较强的线性相

廨一嗜（…I

ZCYr--?）（Z-7）2》上-应

关性.回归方程夕=八十方中斜率的最小二乘法估计公式为A=J-----------=4----------

fa-亍y尸

J-I沁I

(2)/=_______〃(一一_____

/(a+b)(c+d)(a+c)伍+d)其中〃=4+〃+c+”.

临界值表:

a0.0100.0050.001

Xa6.6357.87910.828

参考数据：£乂=384.6,歹々77,£x；=55,40954,336.32«113090.

1=1/=1r=1

【答案】（l）ra0.98,可以认为yqx有较强的线性相关性

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⑵答案见解析

【分析】⑴根据题给数据算出平均数1再根据参考数据亍及孔再对£：-5天和却;一57进行求值,

1-1J-I

5

即可得到一5处的值，再根据相关系数公式求解即可.

1-1

n(ad-be)-

（2）根据题给数据完成列联表，再根据/=公式代值求解，再与％=0砌=10.828

(a+b)(c+d)(a+c^(b+d)

比较大小，即可得解.

【详解】(1)由题可知嚏=12+；+4+5=3,”77,3=32.88,

22222222

^xf-5x=1+2+3+4+5-5X3=10,

1-1

22

^K-5y=40954-5x77=11309

r-1

工（七-亍）（必-力瓯5

--------=胃---------，可得—5取=328.8.

之（a-才一，一£

/=1/=1

za-亍）（乂一力z巧必—际

相关系数「=

328.8328.8

0.98>0.75,可以认为V与x有较强的线性相关性.

，13090~336.3~

（2）填写下面的2x2列联表

喜欢不喜欢总计

男7030100

女4060100

总计11090200

由表可知，。=70/=30,。=40,〃=60,”=2。。

2

2_n(ad-bc)_200(70x60-30x40^

'”—(.+b)(0+冷(4+0)©+，)-10O<IOQK110x9018.182>10,828

所以有99.9%的把握认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关”.

13.（2025•河北邯郸•二模）为考察国产14纳米光刻机和进口14纳米光刻机的光刻效果,随机抽取了500

台14纳米光刻机，对两种光刻机的良品，次品进行对比，得到如下列联表：

9/38

良品次品合计

国产14纳米光刻机17080n

进口14纳米光刻机150100250

合计m180500

⑴求机，〃的值;

(2)以频率估计概率，估计国产14纳米光刻机的次品率；

(3)根据小概率值a=0.01的独立性检验，能否判断国产14纳米光刻机与进口14纳米光刻机质量有差异.

附：+其中…小…为样本容量•

a0.050.010.001

几3.8416.63510.828

【答案】⑴闭=320,〃=250

⑵*

25

(3)不能判断

【分析】(1)由题怠易求〃，，〃；

(2)求得样本中的次品的频率，用频率估计概率即可；

(3)计算出/的观测值，结合临界值表可得出结论.

【详解】(1)由题意得加=170+150=320,“=170+80=250.

QAQ

(2)样品中，国产14纳米光刻机次品的频率为篇=会，

Q

•••国产14纳米光刻机的次品率约为

(3)零假设“0：国产14纳米光刻机与进口14纳米光刻机质量无差异,

2500x(17()00-12000)2125

Z'=—«3,472<6.635,

320x180x250x25036

依据a=0.01的独".性检验，〃。不成立,

，不能判断国产14纳米光刻机与进口14纳米光刻机有差异.

14.(2025河北秦皇岛二模)2025年哈尔滨亚洲冬季运动会，是继2022年北京冬奥会后中国举办的又一重

10/38

大国际综合性冰雪盛会，将于2025年2月7日至2月14H在黑龙江省哈尔滨市举行，人们将在观看比赛的

同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解哈尔滨市不同年龄段的市民每周锻炼的时长情况，随机抽取

200人进行调查，得到如下2x2歹J联表：

周平均锻炼时长

年龄合计

少于4小时不少于4小时

50岁以下4060100

50岁以上(含50)2575100

合计65135200

(1)试根据a=0.05的独立性检验，判断周平均锻炼时长是否与年龄有关；

(2)现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时长是否少于4小时，用分层防机抽样的方法抽取5人做进一步访

谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周衣均锻炼时长少于4小时的人数为X,求X

的分布列和数学期望.

附：Z2=7---w-M*其中〃=a+6+c+d•

(a+h)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】(1)有关

(2)分布列见解析，£(%)=1

【分析】(1)根据二联表中数据，计算卡方值，即可求解；

(2)根据抽样比可得抽取的5人中，周平均锻炼时长少于4小时的有2人，不少于4小时的有3人，即可利

用超几何分布的概率公式求解.

【详解】(1)零假设：周平均锻炼时长是否与年龄无关，

由2x2列联表中的数据，可得z2=200(40"5-25x60)‘工5.128,

100x100x65x135

又/。5.128>3.841,根据a=0.05的独立性检验，我们推断假没不成立，

11/38

即周平均锻炼时长与年龄有关.

4()

(2)抽取的5人中，周平均锻炼F寸长少于4小时的有5x^=2人,

不少于4小时的有5x爵二3人,

所以X所有可能的取值为0,1,2,

，〃(")=哭4"(丫=2)=窄1=宗

中=。)=甯H

所以随机变量X的分布列为：

X0i2

133

P

To5io

36

随机变量X的数学期望E(X)=0x—+lx-+2X-=一

105105,

即［计数原理

15.(2025•河北保定•二模)若(x-1)”(〃£N・)的展开式各项系数的绝对值之和为512,则(》+瞋。-1)"的展

开式中一的系数为()

A.-56B.56C.-70D.70

【答案】A

【分析】由二项式系数的和可得〃=9,再由二项式的展开式代入计算，即可得到结果.

【详解】(x-l)”的展开式各项系数的绝对值之和等「(x+1)”的展开式各项系数之和，

则(1+1)"=512,得〃=9,则6+1)8(工-1)"=(1_1)8._1),

因为的展开式中没有婢的项，

所以(x+l)8(x-l)”的展开式中一的系数为(，一犬的展开式中一的系数，

即c^(-l)3=-56.

故选:A

16.(2025・河北•二模)(2-/)0―2力5的展开式中/的系数为(用数字作答).

【答案】120

12/38

【分析】先得到（l-2x）s的展开式的通项，得到4=40f,Ts=80/,从而得到展开式中含系数为

（-1）x40+2x80=120.

【详解】（1-2"的展开式的通项式7；u=C；rT.（_2A）=（-2）y/，

当/^=2时，7；=4C^2=40X2,

当r二4时，7；=16c江4=80/,

（2-X2）（1-2X）5的展开式中含/的系数为（一1）x40+2x80=120.

故答案为：120.

17.（2025•河北•二模）已知X~W（3,4）且尸（X>4）=P（X<〃），则二项式化一:|的展开式中，常数项为

7

（）

A.-24B.-1C.1D.24

【答案】D

【分析】先根据正态分布的对称性确定。的值，再根据二项展开式的特点求常数项.

【详解】因为X~N（3,4）,所以P（X>4）=P（X>3+l）=P（X<3-l）=P（X<〃）,

所以a=2.

所以二项式的展开式中，常数项为:C；x（-2）：=6x4=24.

故选:D

18.（2025・河北张家口•二模）的展开式中V项的系数为（）

A.-55B.-64C.-80D.-124

【答案】C

【分析】利用二项式定理的通项公式求解即可.

【详解】（2x—j展开式的通项公式为酊=C>（2x广•（—｝）'=（-1f2匕弓—・S5’一,

令5-2〃=3,得「=1,

所以展开式中V项的系数为（T）-24.C）=-80.

故选:C.

13/38

19.（2025•河北邯郸•二模）6个不同的芯片欲组装到一个云计算的主机中，先将它们串联在一起统一测试,

在串联电路中甲，乙两个芯片不相邻的前提下，丙，丁两个芯片相邻的概率为（）

A-R-C-D—

A.3B.$。2D.1（）

【答案】D

【分析】先求出共有A：种情况，再利用捆绑法和插空法结合古典概型概率公式求出P（⑷和2/4）,最后利

用条件概率公式求出结果即可.

【详解】我们先把6个不同的芯片全排列，共有A：=72（）种情况，

设甲，乙两个芯片不相邻为A,丙、丁相邻为8,

当甲，乙两个芯片不相邻时，先对除了甲、乙两个芯片的其它芯片全排列，

其它芯片全排列共有A：=24种情况，产生了5个空，

将甲，乙两个芯片任选两个空插入，共有A；=20种情况，

Ftl分步乘法计数原理得此时共有24x20=480种情况，

在该条件下，我们将丙，丁进行全排列，共有A；=2种情况，

将丙丁整体和除了甲乙以外的芯片全排列，共有A；=6种情况，产生了4个空,

将甲，乙两个芯片任选两个空插入，共有A；=12种情况,

由分步乘法计数原理得此时共有2x6x12=144种情况,

48021441

故P(A)=——=一，P(AB)=——=-

72037205

144

则由条件概率公式得P（以）播=荔=提=a，故D正确.

720

故选：D.

20.（2025•河北•二模）用1,2,3,4四个数字组成个六位数，耍求3,4不排在偶数位置（最高位为第

一位），每个数字至少用一次，则不同的六位数共有个.（用数字作答）

【答案】120

【分析】根据题意先分析每个数字出现的次数，再给有限制条件的3和4安排位置即可求解.

【详解】根据题意分成三种情况：

第一种情况：1和2其中一个数字用一次，另一个数字用三次，3和4分别用一次，

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先排3和4的位置，从三个奇数位置选择两个，共A；种方法，

再选择1和2中用•次的数字，并从剩下的四个位置中选择•个位置安排，共种方法，余下的位置是

用三次的数字，

所以共A；C；C；=6x2x4=48种方法；

第二种情况：1和2分别用两次，3和4分别用一次，

先排3和4的位置，从三个奇数位置选择两个，共A；种方法，

再选择两个位置安排数字1，剩下的两个位置安排数字2,共有C：种方法，

所以共有A；C：=6x6=36种方法；

第三种情况，1和2其中一个数字用一次，另一个数字用两次，3和4其中一个数字用一次，另一个数字用

两次，

先从3和4中选择一个用一次的数字并安排一个奇数位置，共C；-C；种方法,

剩下一个用两次的数字安排在剩余的奇数位置，

再从1和2中选择一个用一次的数字并安排一个偶数位置，共C；・C；种方法,

剩卜•一个用两次的数字安排在剩余的偶数位置，

共有2x3x2x3=36种方法，

所以不同的六位数共有48+36+36=120个.

故答案为：120

21.（2025•河北秦皇岛•二模）将1,1,1,1,2,4,6,8这8个数填入如图所示的格子中（要求每个数都

要填入，每个格子中只能填一个数），则不同的填数方法共有种；若填入的每行数之和为偶数，则不

同的填数方法共有种（用数字作答）.

第1行|

第2行1-

【答案】1680912

【分析】应用分步分类计数原理，结合排列组合数求8个数填入格子的不同的填数方法，讨论数字1的填

入方式，结合排列组合数求填入的每行数之和为偶数的填数方法.

【详解】首先任选4个格子填1,行C：种，再将余卜的4个数填入其它4个格子，有A：种，

15/38

所以，不同的填数方法共有C；A：=1680种，

要使填入的每行数之和为偶数，第1、2行填1的个数有(0,4),(2,2),(4,0)三种情况，

若(0,4),即第1行0个1,第2行4个1,此时有A：=24种；

若(2,2),即第1行、第2行各2个1,此时有C；A：C；A；=864种：

若(4,0),即第1行4个1,第2行0个1,此时有A：=24种；

所以共有24+864+24=912种.

故答案为：1680,912

22.(2025•河北•二模)设q,。2M3,包为123,4的一个排列，则满足|《-出1+饱-%卜4的不同排列的个数为

()

A.24B.16C.8D.2

【答案】B

【分析】根据题意，分析可得则|%-“21=1且I%-%1=3,或Ivl=3且1%-“41=1，或1=2且|%1=2,

分别在不同情况下，列出所有可能，进而得到答案.

【详解】根据题意,若14-41+1。3-&1=4,贝力《一%|=1或&-41=3日」叼-a/=l，或叼1=2

且他-41=2,

当|卬一。2Kl月」6一41=3时，有q=2,%=3,%=1,4=4,或q=2@=3吗=4,4=1,

或q=3"=2吗=1,%=4,或《=3,%=2必=4,4=1,共4种可能；

当一。21=3且1%-%1=1时，有％=1.。2=4,%=2M,=3,或6=1,%=4吗=3,q=2,

或q=4,,=1,%=2,卬=3,或6=4,%=1吗=3,4=2,共4种可能，

当同1=2且I%-％卜2时,有q=I,%=3M3==4,或％=1,%=3必=4,4=2,

或q=3,。2=1,%=2,%=4,或q=3,/=1,%=4,q=2,或q=2,%=4%=1，久=3,

或q=2,%=4,%=3吗=1,或q=4,%=2,%=1,小=3,或%=4,/=2吗=3吗=1,共8种可能,

满足14-%1+1%-41=4的不同排列的个数为4+4+8=16,

故选:B.

23.(2025・河北・二模)如图，一只蚂蚁位于点“处，去搬运位于N处的糖块，的最短路线有

条.

16/38

3/

【答案】150

【分析】由分步乘法和分类加法计数原理及组合数的计算即可求解.

【详解】由题可知，的最短路线必经过46两点，

则"f4的最短路线有C；种，ATN的最短路线有C：种；

MTB的最短路线有C；种，BTN的最短路线有C；种；

因为N的最短路线有〃-4'N和"->8-»N,

所以MTN的最短路线有C；xC"C；xC；=10x10+5x10=150种，

故答案为：15().

24.(2025•河北•二模)卜的展开式中的常数项为

【答案】70

【分析】利用二项展开式的通项口】可求得结果.

【详解】卜的展开式的通项为乙讨=《炉"(——)*=《•(—以•/-2。

令8-24=0得，攵=4,

故常数项为C>(-1>=70,

故答案为：70.

随机事件的概率

25.(2025•河北保定•二模)某零件厂销售部以箱为单位销售杲种零件，每箱零件的定价为500元，低于200

17/38

箱按原价销售，不低于200箱有两种优惠方案.方案一：以200箱为基准，每多100箱免12箱的金额.方

案二：通过双方议价，买方能以每箱优惠8%的价格成交的概率为0.3,以每箱优惠6%的价格成交的概率为

0.4,以每箱优惠5%的价格成交的概率为0.3.

(1)买方甲要在该厂购买200箱这种零件，并选择方案二，求甲以低于9.5万元的金额购买这200箱零件的概

率.

(2)买方乙要在该厂购买400箱这种零件，以购买总价的数学期望为决策依据，试问乙选择哪种优惠方案更

划算？请说明你的理由.

(3)买方丙要在该厂购买960箱这种零件，由于购买的箱数超过500,该厂的销售部让丙综合使用这两种方

案作为第三种方案，即一部分用方案一(箱数必须是100的正整数倍)，另一部分使用方案二(箱数不限),

试问丙应该如何使用方案三，才能获得最多的优惠？说明你的理由.

【答案】(1)0.7

(2)方案二更优惠，理由见解析

(3)应该选择900箱使用方案一，60箱使用方案二，这样才能获得最多的优惠，理由见解析

【分析】(1)分别计算买方甲以每箱优惠8%,6%,5%的价格成交的金额，再与9.5万元比较即可求解；

(2)先计算乙选择方案一的成交金额，再计算乙选择方案二的成交金额的数学期望，比较大小即可判断；

(3)设丙用方案一购买100〃(3K〃K9,〃eN)箱，表示出丙购买的金额的期望为46.176-0.285万元,利用

y=46.176—0.285〃(34〃49,N)为减函数即可做出决策.

【详解】(1)买方甲要在该厂购买20()箱这种零件，并选择方案二，

若甲以每箱优惠8%的价格成交，则成交的金额为500x(1-8%)>：200=9.2万元；

若甲以每箱优惠6%的价格成交，则成交的金额为500x(l-6%)x200=9.4万元；

若甲以每箱优惠5%的价格成交，则成交的金额为500x(l-5%)x200=9.5万元

故甲以低于9.5万元的金额购买这200箱零件的概率为0.3+0.4=0.7；

<2)买方乙要在该厂购买400箱这种零件，

若乙选择方案一，则成交的金额为500x400-"需"xl2x500=18.8万元

500x(1-8%)x400、〜、

若乙选择方案二，设成交的金额为X万元，则尸X=————=RX=18.4)=0.3,

\/

(500x(1-6%)x4001,cQ

PX=-----J/，-----=RX=18.8)=0.4

18/38

^=500x(l-5%)x400j=^=i9)=()3

所以买方乙按方案二在该厂购买“0箱这种零件的成交金额的数学期望为

E(X)=18.4x0.3+18.8x0.4+19x0.3=18.74万元

因为18.74<18.8,所以方案二更优惠;

(3)设丙用方案一购买100〃(3。匕9,MN)箱,

则丙用方案•需要支付的金额为100“500-*^迎xl2x500=(4.4〃+1.2)xl04元,

方案二需要支付的金额的期望为券罗xl8.74xl04=(44.976-4.685〃)xl04元，

所以丙购买的金额的期望为4.4〃+1.2+44.976-4.685〃=(46.176-0.285〃)万元

因为y=46.176-。285〃(34〃49,N)为减函数，所以〃越大,N越小，

故应该诜择900箱使用方案一，60箱便用方案二，这样才能获得最多的优惠.

26.(2025・河北张家口•二模)乒乓球比赛规则规定：在双方打成10平后，领先两分者获胜.在某校组织的

乒乓球比赛中，甲、乙两名同学己经打成了io平.已知下一球乙同学得分的概率为;，且对以后的每一球,

若乙同学在本球中得分，则他在下一球的得分概率为：2，若乙同学在本球中未得分，则他在下一球的得分

概率为

(1)求在继续打了两个球后比赛结束的条件下，乙同学获胜的概率；

(2)求乙同学最终获胜的概率.

【答案】⑴；

(若

【分析】(1)根据条件概率的计算公式求解；

(2)设事件C为“乙赢了本局”,事件M为“乙赢了上一局”.设事件0,1)为“当前乙同学分数与甲

同学分数之差为i时，最终乙同学获胜”，由于初始尸(c)=；,故乙同学最终获胜的概率等价于P(A|A7),

分,=1,i=_l,i=o三种情况讨论求出概率的表达式，解方程组求出可。0麻)得解.

【详解】(1)在打了两个球后结束，则甲连胜两球或乙连胜两球，

设件件A为“再打两球后结束”，事件4为“乙赢得比赛”，

19/38

12222122

则p(4)=—X—+—x—

33333V7339

故明力黯4

(2)设事件C为“乙赢了本局、事件M为“乙赢了上一局”,

设事件。(,=-1,0,1)为“当前乙同学分数与甲同学分数之差为，时，最终乙同学获胜”，

当i=l时，乙肯定赢了上一局，此时P(C)=若羸球则乙直接赢得比赛，若输球则乙获胜的概率为

尸(优附)，

所以P(QJ=P(A|C).P(C)+P⑷C).尸©=**(0。间，

同理，当i=-l时，乙肯定输/上一局，此时P(C)=；,若输球则输掉比赛，若嬴球则获胜的概率为P(AjM),

所以尸(2；)=尸(2jC)P(C)+P(2|@尸©=；尸(力。眼)，

当i=0时，若乙赢了上一局，此时尸(C)=g,若赢球则获胜的概率为P(A),

若输球则获胜的概率为尸(。_1),

-7।

所以P(A)M=P(2)P(C)+P(2JP©=§尸(4)+§尸(2)，

若乙输了上一局，P(C)=1,

同理可得p(AM)=p(〃)p(c)-p(ajp(c)=；p(Qj+|p(%),

又初始P(c)=；，故乙同学最终获胜的概率等价于尸(A凶)，

P(A)=：+；P(4M)

尸(处)=7(。。附

解得尸(4眼)=；

71

尸(5悭)二WJ产(〃)J+^(〃)

P(DO|M)=1P(D.)+|P(DJ

2

所以乙同学最终获胜的概率为

古典概率

27.(2025・河北•二模)抛掷两枚质地均匀的散子，则向上的数字之和是4的倍数的概率为()

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【答案】B

【分析】先求出抛掷两枚质地均匀的骰子的不同结果数，再列举出向上的点数之和为4的倍数的结果数，

应用古典概率的求法求概率.

【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子共有6x6=36种不同的结果，

向上的点数之和为4的倍数，

共有(1,3),(3,I),(2,2),(3,5),(5,3),(2,6),(6,2),(4,4),(6,6),共9种情况，

91

所以概率为—■=—.

364

故选:B.

28.(2025・河北•二模)为了有效预防流感，很多民众注射了流感疫苗.市防疫部门随机抽取了1000人进行

调查，发现其中注射疫苗的800人中有220人感染流感，另外没注射疫苗的200人中有80人感染流感.医学

研究表明，流感的检测结果有检错的可能，已知患流感的人其检测结果有95%呈阳性(流感)，而没有患流

感的人其检测结果有99%呈阴性(未感染)

(1)估计该市流感感染率是多少？

(2)根据所给的数据，判断是否有99%的把握认为注射流感疫苗与预防流感有关；

(3)已知某人的流感检查结果呈阳性，求此人真的患有流感的概率.(精确到0.001)