2024人教版八年级数学上册压轴题训练《全等三角形倍长一线三等角、手拉手模型综合》（含解析）

专题04全等三角形之一线三等角模型与手拉手模

型的二类综合题型

目录

典例详解

类型一、全等三角形模型之一线三等角模型

类型二、全等三角形模型之手拉手模型

压轴专练

国类型一、全等三角形模型之一线三等角模型

（2）如图2,将（1）中的条件改为：在VA8C中，A3=AC,Q,A,£三点都在直线加上，并且有

ZBDA=ZAEC=ZBAC.请写出。£8。,CE三条线段的数量关系，并说明理由.

图①图②

【答案】（1）证明见解析；（2）DE=BD+CE,证明见解析

【知识点】垂线模型（全等三角形的辅助线问题）、证•条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）

【分析】（1）利用已知得出进而利用AAS得出则048O（3OC4E,即可得出

（2）根据团8。4=团4欧7=团84。，得出团CAE=M8。，在财。8和团CE4中，根据A4S证出酎。睨1⑦CE4,从而得

出AE=B。，AD=CE,即可证出OE=8D+CE；

【详解】(1)DE=BD+CE.理由如下:

,C£0胴，

005DA=a4EC=9Oo

又跑孙C=90°,

00^D+SCAE=9O0,团84。+财8。=90°,

00CAE=a4BD

在211A8。和△CAE中，

ZABD=ZCAE

<^ADB=ACEA=90°,

AB=AC

^ABD^CAE(AAS)

^BD=AE,AD=CE,

团。EM/AAE,

6DE=CE+BD；

(2)DE=BD+CE,理由如下：

^BDA=^AEC=^BAC,

WBA+^BAD^BAD+^CAE,

^CAE=^ABD,

在公ADB和△CEA中，

NABD=NCAE

-ZADB=ZCEA,

AB=AC

^DIWCEA(A4S),

[ME=BD,AD二CE,

^BD+CE=AE+AD=DE；

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角"模型：判定三角形全等的方法有“SSS，、

"SA5\"ASA”、"A4S"；全等三角形的对应边相等.也考查了等边三角形的判定与性质.

【变式1T】在(M8C中，I3BAO90。，AC=AB,直线MN经过点4,且CD0MN于。，8E0MN于E.

团△DC4函EAB(AAS)

^AD=BEKEA=DC

由图可知：DE=EA+AD=DC+BE.

(3)团。以""于。，BE0MN于E

0^DC=^BEA=^BAC=90°

团I3DAC短0c4=900且用QAC+团£43=90°

(3WCA^EAB

团在△OCA和△E48中

ZADC=4BEA=90"

，ZDCA=NEAB

AC=AB

团△DCAEBEAB(AAS)

^AD=BE且AE=CO

由图可知：AE=AD+DE

0CD=BE+DE.

【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中

心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质.

【变式1-2】通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：

⑴如图1,/曲。=90。，AB=AD,过点8作3C_LAC于点C,过点。作OE/AC于点£由

Z1-FZ2=Z2+ZD=90°,得N/=ND.又NAC8=N4ED=90。，可以推理得到zMBCg,推理

依据是.进而得到AC=,BC=.我们把这个数学模型称为“K字"模型或"一

线三等角〃模型;

(2)如图2,ZBAZ)=ZC4E=90°,AB=AD,AC=AE,连接BC,OE,且8C_LA尸于点尸，Z)E与直线A/

交于点G.求证：点G是。石的中点：

⑶如图3,已知四边形A8C"和。&G"为正方形，△AF。的面秒，为E，AOCE的面枳为邑，试猜想3和邑

的数量关系，并说明理由.

【答案】(1).八4£，AAS,DE,AE

⑵见解析

(3)5.=S2,理由见解析

【知识点】全等的性质和ASA(A4S)综合(ASA或者A4S)

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条件、

证明过程及结论是解题关键.

(1)通过证明再根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答；

(2)作ZW_LAaEN.LAF,利用“K字模型〃的结论可得.ABFg_Abg.EAN,故可推出

DM=EN,再证△DWG//XENG即可证明结论；

(3)作PQ_LCEAMLPQ.FNLPQ,利用"：字模型〃的结论可得二月。河04。。尸,_。孙09以力，进•步

可江VAM四V/WQ即可求解.

【详解】(I)解：13过点8作ACJ_4C于点C,过点。作。七二4c于点E.

0ZC=ZE=9O°.

团N/=Z£)，AB=AD，

团,.4a?密QAE(AAS),

0AC=DE,BC=AE.

故答案为：_DAE,AAS,DE,AE.

(2)证明：如图：作。MJLAF,ENtAF,

图2

由“K字模型〃可得：ABF^..DAM,ACFAEAN

^AF=DM,AF=EN,

...DM=EN,

0NDMG=ZENG=90°,/DGM=4BGN,

田4DMG学4ENG,

(3GW=GN,即：点G是OE的中点.

(3)解：S,=S2t理由如下:

如图：作PQ_LCE,AM1PQ,FN1PQ,

图3

因四边形ABC。和DEGF为正方形，

(?)ZADC-^EDF-90°,AD—CD,DE-DF,

由“K字模型〃可得：..ADM^,DCP,.DFN会EDP,

•*-SADM~Szp,S[)FN~SEf)p>AM—DP,FN—DP,

AAMQ=NFNQ=90°,ZAQM=4FQN,

团VAMQWNQ

AMQ=S'FNQ，

==

团SAFD=SADQ+SFNQ+SDFNSADQ+SAMQ+SDFNSADM+S=S0cp+S印夕=SDCEES1=5,.

国类型二、全等三角形模型之手拉手模型

1）双等边三角形型

条件：ZiABC和aOCE均为等边三角形，C为公共点；连接8E,4。交于点儿

结论：①△AC。会/XBCE；②③/ARW=N8CM=60。；④C厂平分/B")。

证明：二•△ABC和AOCE均为等边三角形，：,BC=AC,CE=CD,ZBCA=ZECD=60°

AZBCA+ZACE=ZECD+ZACE：叩：ZBCE=ZACD,.\AACD^ABCE(SAS),

:・BE=AD,/CBE=/CAD,又丁NCMB:NAMEAZAFA/=ZBCM=60°,

过点。作CP_ZAO.CQ1BEJUJ/CQ8=NC%=90°,XVZCBE=ZCAD,BC=AC,：,^BCQ^/\ACP(AAS)

：・CQ=CP,根据角平分线的判定可得：C尸平分N8尸。。

2)双等腰直角三角形型

条件：aABC和ADCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE,A。交于点N。

结论：①△ACOg/\8CE；®BE=AD；③/ANM=/BCM=90。；④CN平一分/BND。

证明：•・•△八BC和AOCE均为等腰直角三角形，:.BC=AC,CE=CD,N8CA=NECQ=90。

AZBCA+ZACE=ZECEHZACE,艮N8CE二NAC。，：.&ACD@ABCE(SAS),

:・BE=AD,NCBE=NCAD,又°：4CMB=/AMN,AZANM=ZBCM=90°,

过点C作CPSAOCQJ./瓦则NCQ〃=NC%=90°,又：NC8E=NCAO,BC=AC,/.(71A5)

：,CQ=CP,根据角平分线的判定可得：CN平分NBND。

3)双等腰三角形型

条件：BC=AC,CE=CD,NBCA=NECD,。为公共点；连接4E,4。交于点入

结论：①△ACOg/XBCE；@BE=ADx③NBCM二NAFM；④CT平分NBH)。

证明：•:/BCA=NECD,AZBCA+ZACE=ZECD+ZACE,即N8CE=NACO,

XVBCMC,CE=CD,•••△ACO四△BCE(SAS),:・BE=AD,tCBE=/CAD,

乂•・・NCM8=NAMR:・/BCM=/AFM,过点。作则NCQB=NC%=90。，

又,：NCBE=NCAD,BC=AC,：,^BCQ^/\ACP(AAS)

:・CQ=CP,根据角平分线的判定可得：CF平分NBFQ。

例2.问题发现：如图1,已知C为线段A3上一点，分别以线段AC,4c为直角边作等腰直用三角形，

NACD=90。，C4-CD,CB=CE,连接4K,BD,线段4E,8。之间的数量关系为；位置关系

为•

拓展探究：如图2,把RtZXAS绕点C逆时针旋转，线段AE,BD交于点、F,则AE与3。之间的关系是否

仍然成立？请说明理由.

【答案】问题发现：AE=BD,AE1BD,拓展探究：成立，理由见解析

【分析】问题发现：根据题目条件证随。质团。。8,再根据全等三角形的性质即可得出答案；

拓展探究：用SAS证AACE岂ADCB,根据全等三角形的性质即可证得.

【详解】解：问题发现：延长8。，交AE于点F,如图所示：

(2ZACE=ZDCfi=90\

又mCA=CD,CB=CE,

I3MCE=ADCB(SAS),

AE=ED,ZCAE=/CDB,

0ZCDfi+ZCBD=9O\

□ZC7\b+ZC^/9=9(f,

0ZAFD=90\

^AFIFB,

..AE1.BD,

故答案为：AE=BD,AELBD-,

拓展探究：成立.

理由如下：设CE与3。相交于点G,如图I所示:

图1

0ZACD=ZBCF=9O\

团ZACE=NBCD,

又任CB=CE,AC=CD,

回AACE=ADC3(SAS),

^AE=BD,ZAEC=ADBC,

团NC4O+NCG6=90°,

团NAEC+NEG/=90,

0ZAFB=9O\

^BDLAE,

即A£=4O,A£_LBO依然成立.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，手拉手模型，熟练掌握全等三角形的判定

和手拉手模型是解决本题的关键.

【变式2-1】如图，在VA4c中，BC±CA,3C=C4,在△DCE中，DC±CE,DC=C£,连接3。，AE.试

说明：BCD^ACE.

B

【答案】见解析

【知识点】同（等）角的余（补）角相等的应用、用S4S证明三角形全等（SAS）

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，ASA,

AAS,SSS,SAS,HL.先根据余角的性质得出N8CD=NACE,再根据"SAS"证明三角形全等即可.

【详解】解：因为8C_LC4,Z）C1CE,

所以NAC8=N0C£：=9O。，

所以NAC8-NACQ=ZDCE-NACQ,

所以NBCZ）=NACE,

在△3CQ与/XACE中，

BC=AC,

/BCD=CACE,

CD=CE,

所以ABCZ)^AACE(SAS).

【变式2-2］在“中，AB=AC,点。是直线8c上一点（不与8、C重合），E是.ABC外一点，连接

AD.AE,已知4)=AE,NZME=/R4C,连接CEDE.

图2

⑴如图I,点。在线段8c上，如果N8AC=90。，则NACE=度:

⑵如图2,当点D在线段8C上，试判断NAO£•与乙4CE之间的数量关系，并说明理由；

⑶当点。在线段C3的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由.

【答案】⑴45

(2)ZA£>E=Z4CE,理由见解析

(3)(2)中的结论不成立，当点。在C8的延长线上时，ZADE+Z4CE=180°.理由见解析

【分析】本题考查了全等三角形的常见模型一旋转模型，掌握该模型的相关结论是解题关键.

(1)证..84/注一C4E即可求解；

(2)证度.C4E即可求解；

(3)证一区4岸..C4E即可求解.

【详解】(1)解：国NDAE=4AC,

0ZDAE-NDAC=ABAC-ADAC.

即：4CAE=4BAD,

团AB=AC,AD=AE,

区BAgCAE

:.ZADE=ZACE

团4AC=90。，AI3=AC,

ZACE=ZABD=45°

故答案为：45

(2)解:ZADE=ZACE,理由如下：

AB=AC,AD=AE,,

/.ZABC=NACB,ZADE=ZAED

•.・/DAE=N84C,

又,ZA8c=g(180。-/HAC),ZADE=g(180。—NOA£),

ZABC=ZADE,

•;NBAC=NDAE,

ABAC-ZDAC=NDAE-ZDAC

即：ZBAD=ZCAE,

AB=AC

在,RA。和..CAE中，ZBAD=ZCAE,

AD=AE

.-.ABAD^Z\CAE(SAS),

...Z4BC=ZACE

\ZADE=ZACE；

(3)解：(2)中的结论不成立，当点。在CB的延长线上时，Z4DE+ZACE=I8O°.理由如下:

.•.NDAE—NBAE=NBAC-NBAE,

即：ND4B=N£4C,

AB=AC

在《明。和,C4E中，N5AO=NC4E,

AD=AE

^ACAECSAS),

ZABD=ZACE

AB=ACyAD=AEy

ZABC=NACB,ZADE=ZAED

NDAE=/BAC

又•.ZA^C=-(180°-ZZ?AC),ZADE=-i(180o-ZDA£),

：,ZABC=ZADE,

ZABD+ZABC=180°

ZADE+ZACE=]80°.

【变式2-3】在R旭ABC中，财CB=90。，C4=C8,点。是直线A8上的一点，连接CQ,将线段CO绕点。

逆时针旋转90。，得到线段CE,连接EB.

(1)操作发现

如图I,当点。在线段A8上时，请你直接写出AB与8E的位置关系为；线段B。、AB、£B的数量关

系为;

(2)猜想论证

当点。在直线AB上运动时，如图2,是点。在射线AB上，如图3,是点。在射线84上，请你写出这两

种恃况下，线段BD、AB.EB的数量关系，并对图2的结论进行证明;

（3）拓展延伸

若AB=5,8。=7,请你直接写出0ADE的面积.

证明见解析；（3）

72或2

【分析】（1）首先通过SAS证明MCD0昉CE,然后利用全等三角形的性质和等量代换即可得出答案;

（2）仿照（1）中证明MCDQ团4（%,然后利用全等三角形的性质即可得出结论;

（3）首先求出BE的长度，然后利用S4AM=3・八。・七8即可求解.

【详解】解：（1）如图1中,

^ACD=WCE,

团CA=C8,CD=CE,

^ACD^BCE(SAS),

^AD=BE,0CBE=(M,

0CA=CB,0ACB=9O°,

00A=0CBA=45°,

苑C8E=(M=45°,

QABE=90°,

四施BE,

(MB=AO+8£),AD=BE,

[hAB=BD+BE,

故答案为A施BE,AB=BD+BE.

(2)①如图2中，结论：BE=AB+BD.

E

^ACD=WCE,

国CA=C8,CD=CE,

回财CD0国3CE(SAS),

BAD=BE,

^AD=AB+BD,AD=BE,

®BE=AB+BD.

②如图3中，结论：BD=AB+BE.

c

理由：SL4Cfi=0DCE=9O°,

00ACD=0BCE,

0CA=CB,CD=CE,

00AC£)00BCE(.SAS)

BAD=BE,

^BD=AB+AD,AD=BE,

^BD=AB+BE.

（3）如图2中，®4B=5,BD=7,

团BE=AO=5+7=12,

回

团SziAE£>-g•人£>・E8=gx12x12-72.

如图3中,财8=5,BD=1,

鲂£=AQ=8。-48=7-5=2,

□BE0AD,

殴JA所g・AQ・EB='x2x2=2.

【点睛】本题主要考查全等三角形，掌握全等三角形的判定及性质并分情况讨论是关键.

压轴专练

一、单选题

1.如图，AB=AC,AE=AD,点E在80上，ZE4D=ABAC,/BDC=56°,则NA8C的度数为（）

A.56°B.60°C.62°D.64°

【答案】C

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等边对等角，先证明4AE=NC4D,

再利用SAS可证明△8人七斗6。得到ZABE=ZACD,利用三角形内角和定理可证明ZBAO=ZCDO=56°,

据此根据等边对等角和三角形内角和定理可求出答案.

【详解】解：（3NK4/）=N84C,

0ZEAD-Z.CAE=zlBAC-ZCAE,即Nfi4£=NC4£),

在人84后和，CA。中,

AB=AC

«NBAE=NCAD,

AE=AD

团.BA®_C4£>(SAS),

0Z4fiE=ZACD；

如图所示，设AC,BD交于0,

04。□十NAZQ+44。_180°,NC8+NZX7O+NC8-180°.

ZAOB=NCOD,

0NBAO=ZCDO=56°,

团AB=AC,ZABC+ZACH+A.BXC=180°,

180°-ZBAC1800-56°

^ZABC=ZACB=--------------------=---------------=62

故选:C.

2.如图中，AEMBRAE=AB,BCI3CQ且8C=C£>,若点、E、B、。到直线AC的距离分别为6、3、2,则

图中实线所围成的阴影部分面积S是（）

C.38D.32

【答案】。

（分析］由己知和图形根据"K"字形全等，用AAS可证酊芯400M48,回。“aECMB,推出AM=EF=6,AF=BM=3,

CM=DH=2,BM=CH=3,从而得出F〃=14,根据阴影部分的面积=S碣彦EF〃D~S4ET-SZIA8c"SaOHc和面积公式代入

求出即可.

【详解Q石碓人尸，

(3团/=财加8=团。8=9()°,

^FEA+BEAF=90°,团EAF+皿%M=900,

物FEAWBAM,

在倒尸EA和回MAB中

NF=NBMA

,NFEA=NBAM,

AE=AB

^FEA^MAB(AAS),

1MM=EQ6,AF=BM=3,

同理CM=Q〃=2,BM=CH=3,

团，77=3+6+2+3=14,

团梯形EFHD的面积=-•(EF+DH)-FH=-x(6+2)x14=56,

22

团阴影部分的面积=S搂眼EFHD~SAEFA-SARBC~SADHC

=56--X6X3--!-X8X3--X3X2

222

=32.

故选D.

【点睛】本题考查了三角形的面积，梯形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，关键是把不规则图

形的面积转化成规则图形的面积.

二、填空题

9

3.如图，在VABC中，ZABC=90°,过点。作。/)，4。，且8=47,连接4。，若SBCDF，则5C的

长为.

A

D

【答案】3

【分析】过点力作交BC延长线于点M,先证明，ABCS一CA〃）（A4S）,则8C=DW,然后根据

9

S口=a求BC即可.

【详解】解：过点。作。M_L8C交8C延长线于点M，

则RDMC=9O°=048C,

CD1AC,ZABC=90°,

:.ZACB+ZMCD=90°,ZAC5+ZBAC=90°,

.•.NBAC=NMCD,

\CD=AC,

CMD（AAS）,

BC=DM,

,5,=-XBCXDM=-BC2=-,

△OBCC/JD22:

BC=3.

故填3.

A

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积，正确作出辅助线、构造全等三角形

证得BC=DM成为解答本题的关健.

4.如图，A,C,B三点在同一条直线上，△D4C和4所。都是等边三角形，AE,8。分别与CO,CE交

于点"，N,有如下结论：①YACEWDCB；（2）ZDAE=ZABD③AC=ON；④EW=8N其中正确

结论的是（填序号）—.

8

【答案】①②④

【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质；灵活运用相关判定定理和性质定

理是解题的关键.

根据等边三角形的性质可得AC=DC、ZACD=ZBCE=60°,CE=BC,再说明NACE=NQC8,即可证

明VAC厘VQC8,即可判断①；然后可.得NC4E=NCQ8,再分别表示出/DAE和—ABD，即可判定②

正确；求出NACM=N£)CN=60。，证明.ACMg<£>CN(ASA)可判定③；由，ACMW£>CN(ASA)可得

AM=DN,然后结合可得5=3N,可判定④.

【详解】解：团△D4C和均为等边三角形，

0/1C=DC,ZACD=ZBCE=60°,CE=BC,

团ZACD+ZDCE=ZDCE+/BCE,即ZACE=NDCB,

[3,.4CEg.OCA(SAS),故①正确；

^ZCAE=ZCDB,

回ZDAE=ADAC-ZCAE=60°-ZCAE.ZABD=ZACD-NCDB=60°-NCDB,

0ZZME=ZABD,故②正确：

0Z4CD=ZBC^=6O°,

团NDCN=60。，

@ZACA/=N/MTV=60°,

乂(MC=£>C,NCAE=NCDB,

[3QACM会一。CN(ASA),

团QN=AM,CM=CN,

团A版工AC,

团OVMAC即③错误：

回A4CE也△QC8,

^AE-AM=DB-DN,即乃”=砒，则④正确.

综上，正确结论的是①②④.

故答案为：①②④.

三、解答题

图2

⑴如图1,点A在直线/上，ZBAD=90\AB=AD,过点B作8CJ_/于点C,过点。作。EJ•/交于点£得

Z/=ZD.又/8C4=NAE£)=90。，可以推理得到-ABCgdDAE(AAS).进而得到结论：AC=,BC=

.我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型；

⑵如图2,团/BAD=4MAN=90°,A3=AQ,AM=AM8W，/于点C,DEJ_/于点£,N。与直线/交于点P,

求证：NP=DP.

【答案】(1)OE,AE

(2)见解析

【分析】本题考查一线三直角全等问题，

(1)由NC8A=/A£D=/3AO=90。，得/1+/2=/2+/。=90。，则Nl=/O,而=即可证

明.ABC名得AC=DE,BC=AE,于是得到问题的答案；

(2)作NFJJ于点F,因为BM1I于点C,DE于点E,所以NACM=NNFA=NNFP=NDEP=90。,

由(1)得AC=OE,因为NMAN=90。，所以ZCAM+NFAN=NFNA+NFAN=90°，则ZCAM=NFNA,

而AM=N4,即可证明C4V组一小入，得AC=NF,所以N尸=OE,再证明PFNmPED,则NP=OP.

【详解】(1))解：BCAJ于点、C,DE^U于点E,

RJ/C84=/4£D=900,

0ZBAD=9O°,

团Nl+N2=/8+"=90。，

吃1_-7>,

在/A8C和.DIE中,

Z1=ZD

ZBCA=ZAED,

AB=DA

瓦A8CgZ>4£(AAS),

^AC=DE,BC=AE,

故答案为：DE,AE.

图2

回BWJJ于点C,DEJJ于点、E,

团NACM=NNFA=NNFP=NDEP=90°,

由(1)得4C=OE,

同理(1)得AC=NF,

中NF=DE,

在，PFN^^PED^,

4MFP=ZDEF

<ZFPN=NEPD

MF=DE

%PEN丝PEZXAAS),

国NP=DP.

6.(1)如图1,已知NB=NE=ZACD=90。，AC=CD,易得△ABCZ/XCE。.如图2,N3=N。=N/7=90。，

ACA.CD,DEA.EG,且AC=CD,DE=EG,试问A3、CE、Gb的数策关系，并写出其证明过程.

(2)如图3,在VABC中，ZA8C=90。，A8=8C,点。是直线AC上的任意一点(不与点8、C重合),

连接AO,过点。在A。的右侧作NAOE=90。，且人£>=DE,连接CE,直接写出/ZX芯的度数.

【答案】（I）CE=AB+GF,证明见解析；⑵45。或135。

【分析】（1）过点。作W/-LCE广点〃，证明一A8C且CHD,△£>〃£：名△ER7,推出A3=C4,HE=GF,

等量代换可得CE=CH+HE=AB+GF；

（2）分三种情况：点。在线段8c上，点。在线段8c的延长线上，点。在线段C8的延长线上，参照（1）

中方法，通过作辅助线构造全等三角形，即可求解.

本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，注意分情况讨论是解题的关键.

【详解】（1）解：CE=AB+GF.

证明：过点。作。于点〃，

ZZ?=Z4CD=90°,

•・Z4C8+ZA=90。，ZAC8+NDC〃=90°,

/.ZA=^DCH,

在VA8C和VC”£)中，

NA=NDCH

<NB=ZDHC,

AC=CD

:・_ABCaCHD,

同理可证，△DHE44EFG,

：.AB=CH,HE=GF,

:.CE=CH+HE=AB+GF.

（2）解：当点。在线段BC上时.过点E作EFJ.BC,交8c的延长线于点凡

A

BDCF

由（1）可知△ABgADFE,

/.AB=DF,BD=EF.

AB=BC,

BC=DF,

/.BD=CF,

:.CF=EF,

.\ZECF=45°,

.1.ZDCr-135°；

当点。在线段BC的延长线上时，过点E作EFJ.BC,交8C的延长线于点尸，

r

同理^ABD^^DFE,

:.AB=DF，BD=EF,

AB=BC,

...BC=DF,

:.BD=CF,

:.CF=EF,

Z£CF=45°,即NDCE=45。：

当点。在线段CB的延长线上时，过点E作所/BC于点F,

BF

D

E

同理证得△ABD^ADFE,

:.AB=DF,BD=EF,

AB=BC,

/.BC=DF,

:.BD=CF,

:.EF=CF,

.-.ZDC£=45°.

综上可得NDCE的度数为45。或135。

7.【问题发现】（1）如图1,VA8C和VAOE均为等边三角形，点B,D,石在同一条直线上，连接CE,容

易发现：线段8。，CE之间的数量关系为」②/BEC的度数为

【探究发现】（2）如图2,VA8C和VAOE均为等腰直角三角形，N84C=ND4£=90。，点氐D,E在同

一条直线上，连接CE.试探究线段班3CE,DE之间的数量关系及/8EC的度数，并说明理由.

【问题解决】（3）如图3,/BAC=/BEC=90°,EB=8,EC=4,AB=AC,请直接写出4炉的值.

【答案】（1）①BD=CE：060°；（2）8E=CE+OE.N8EC=90°,见解析；（3）8

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键

是根据全等三角形的性质找边和角之间的关系.

（1）根据等边三角形的性质可知AB=AC,AD=AE,/84C=/D4E=60°,利用SAS可证AABZ泾△ACE,

根据全等三角形的性质可得瓦）=8、“比=60°：

（2）根据等腰直角三角形的性质可得A4=AC,AD=AE，利用利用SAS可证回△ACE,根据全等

三角形的性质可得3D=CE,从而可得3E=CE+OE,根据全等三角形对应角相等，可知

NEBC+NECB=90。,从而可得/BEC=90。；

⑶过点A作A/_LA£交跖于点尸，由(2)知,根据全等三角形的性质可得BF=CE=4,

AF=AE,从而可知EF=4,利用勾股定理可得A炉=8.

【详解】(1)①解：VA8C和V4OE均为等边三角形，

I21AB=XC,AD=AE,NHAC=石=60。，

^ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

回的£)=NC4E,

在△ABO和AACE中

AB=AC

<NBAD=NCAE,

AD=AE

或ABD^ACE(SAS),

⑦BD=CE；

②®

^ZABD=ZACE,

0ZEBC+/BCE=/DBC+ZACB^-ZACE=ZDBC+ZACB+ZABD=ZABC+NACB=120。，

团NBEC=180°-(ZEBC+Z«CE)=180°-120°=60°；

故答案为：BD=CE,60°：

(2)BE=CE+DE,ZBEC=90°

理由如下：(2VA8C和VAOE均为等腰直角三角形，

BAH=AC,AD=AE,

团N/MC=ND4£=90。，

回ZBAC-ADAC=ZDAE-ADAC,

回ZBAO=NC4E,

在，ABD和二ACE中

AB=AC

ZBAD=ZCAE,

AD=AE

团.4W汪&AC£(SAS),

GIBD=CE,ZABD=ZACE,

0BE=BD+DE,

⑦BE=CE+DE,

^ZABD^ZACE,

121ZEBC+ZECB=ZEBC+ZACB+AACE=NEBC+ZACB+ZAFiE=ZABC+Z^CB=90°,

团NBEC=I8O°-(ZEBC+ZBCE)=180°-90°=90°；

(3)如图所示，过点A作AF_LAE交归于点足

由(2)知2X48尸乡△ACE,

团BF=EC=4,AE=AF,

乂R3E=8,

团EF=BE—BF=8—4=4,

在Rt_AEF't1,AF2+AE2=EF?，

2AE2=EF2=42=16,

团A炉=8.

8.如图①，在VABC中，46=90。，AC=BC,过点。在VABC外作直线/,/WJL/于点M,用V_L/于

点N.

图①图②图③

⑴试说明：MN=AM+BN；

(2)如图②，将(1)中条件改为NA»C=NCEB=NACB=a(90°<a<180°),AC=BC,请问(1)中的

结论OE=AZ)+BE是否还成立？清说明理由.

(3)如图③，在V八BC中，点。为A"上一点，DE=DF,/A=/皮>"=/〃，AE=3,BF=5,请直接写

出AB的长.

【答案】(I)见解析

(2)DE=4Z>F8E成立，见解析

(3)8

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，一线三等角模型证明全等，解题关键是

熟悉一线三等角模型.

(1)先证明△AC"gZ\C8N,再根据全等三角形的性质得出AM=OV,BN=CM，从而根据

MN=CM+CN,可得MN=AA/+8N：

⑵先判定成立，再说理由，先证明.47四..。3£再根据全等三角形的性质得已AO=CE,

CD=BE,结合OE=DC+CE,可得。

⑶先证明.AEZ运加>产，再根据全等三角形的性质得出AE=D8,4)=8F，根据AB=A£)+OB，AE=3,

BF-5,可求得皿

【详解】(1)解：同44cB=90。，ZACM+ZACB+ZBC7V=18(F,

团Z4CM+N8CV=90。，

团AM_L/,BNYl,

回Z4MC=N8NC=90°

回NA例C+NACM=90°

团NMAONBCTV,

又AC=BC,

CBN(AAS),

.\AM=CN,BN=CM,

MN=CM+CN,

:・MN=AM+BN；

(2)DE=AM~BE成立,

理由：,ZACD+ZACB+ZBCE=18(r,ZADC=ZACB=a,7ADC+ZDAC+ZACD=180°

:.ZBCE=ZDAC,

又(MC=6C,ZADC=/CEB=a,

/.ACD^.CBE(AAS)t

AD=CE,CD-BE,

又DE=DC+CE,

：.DE=AM-BE；

(3)ZA=ZEDF,ZA+ZA£D+ZA£)E=180。，ZADE+ZEDF+ZBDF=180°,

:.ZAED=/BDF,

乂DE=DF,NA=N8,

:.t.AED^BDF(AAS),

AE=DB，AD=BF，

AB=AD^DB^AE=3,BF=5,

：.AB=BF+AE=5+3=8.

9.综合与实践

⑴操作判断

飞跃组在学习了三角形全等后展开了探究性学习活动.如图1,在VA8C中，N朋C=90。，AB=AC,直

线】经过点A,BD上直线1,CE1.直线/,垂足分别为。，E.由此得到结论：DE,BD,CE之间的数量

关系是_•

图1图2图3

(2)开放探究

无敌组的同学们提出了如下的问题：如果三个角不是直角，那么结论是否会成立呢？如图2,将(1)中的

条件改为在VA8C中，A4=AC,A,E三点都在直线/上，并且有N4D4=NAEC=NB4C=a,其中a

为任意锐角或钝角.(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请给出合理的解释.

⑶拓展应用

如图3,过VA8C的边A8、AC向外作正方形A8OE和正方形ACFG,A”是8c边上的高，延长HA交EG

于点/,求证：EI=IG.

【答案】U)DE=BD+CE

(2)(1)中的结论成立.证明见解析

⑶证明见解析

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题关键.

(1)先证明出一4)的一8,得出AE=8Z)、AD=CE,再根据线段的和差即可得到数量关系；

(2)证明一4)哙二C",得出AD=CE,再根据线段的和差即可得到数量关系；

(3)如图3,过点£作£加_1.”/于例,GNA.H1的延长线于N.同(I)可证△然〃且4M、ZW/C^AGM4

可得M=/W、HC=AN、EM=AH=GN,,再证明△后V〃&△GM可得E/=/G.

【详解】(1)解：皿〃直线I,CEJ_直线/,

.\ZBDA=ZAEC=90°,

ZBAC=90°,

.•.NBAD+NCAE=90。,

ZBAD+ZABD=90°,

:,zABD=ZCAE,

在‘AD3和,C£X中，

ZBDA=ZAEC

/ABD=/CAE,

AB=AC

.•…ADg.CEA(AAS),

:.BD=AE,AD=CE,

DE=AE+AD=BD+CE.

故答案为：DE=BD+CE；

(2)解：仍然成立，证明如下：

NBDA=NBAC=a,

:.ZDBA+ZDAB=ZDAB+ZCAE,

NDBA=NCAE,

在4A08和CEA中，

ZBDA=ZAEC

-NDBA=NCAE,

AB=AC

ADB^.CEA(AAS)t

:.BD=AE,AD=CE,

DE=AE+AD=BD+CE.

(3)证明：如图3,过点石作训，印于M,6%_1.”/的延长线于义.

图3

同(1)可得△A3“四△E4",,

田皿=AH=GN,

在△£•〃/和△GM中，

Z.EIM=Z.G1N

•Z.EM!=匕GNI,

EM=GN

J.EMI冬GM(AAS),

:.IE=1G.

10.综合与实践:

【问题情境】

⑴人上课本中有这样一道习题：如图1,△48。和AACE都是等边三角形，连接班3CD.同学们发现以

下结论：BE与CO的数