2025年高考数学试题分类汇编：解析几何

解析几何

一、单选题

1.（2025•全国一卷）若双曲线C的虚轴长为实轴长的g倍，则C的离心率为（）

A.V2B.2C.V7D.2>/2

【答案】D

【分析】由题可知双曲线中。力的关系，结合力+/=才和离心率公式求解

【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为24,242c,

由题知，b=^a，

于是+〃=。，=4,+,则0=2及〃，

即6=£=2正.

a

故选：D

2.（2（）25・北京）双曲线》2一4/=4的离心率为（）

A.—B.—C.-D.石

224

【答案】B

【解析】

【分析】先将双曲线方程化成标准方程，求出a,b,c,即可求出离心率.

【详解】由工2-4/=4得，--/=1,所以/=4.〃=142=/+从=5,

4”

即4=2,。=6，所以C-£—

a2

故选：B.

3.（2025•全国一卷）若圆/+。+2）2=/（厂>0）上到直线y=VLr+2的距离为1的点有旦仅

有2个，则/•的取值范围是（）

A.（0,1）B.（1,3）C.(3,+oo)D.(0,-KO)

【答案】B

【分析】先求出圆心E（0「2）到直线J，=VL-+2的距离，然后结合图象，即可得出结论.

【详解】由题意，

在圆/+（），+2『=,.2代＞0）中，圆心七（0,一2）,半径为「，

当r=3时,

圆/+（二2）2=/&＞0）上有且仅有三个点（BCD点）到直线歹二省工+2的距离等于1;

当则「的取值范围为（1,3）时，

圆/+（），+2）2=/（/.＞（））上有且仅有两个点到直线＞;=M¥+2的距离等于1.

故选：B.

4.（2025•全国二卷）设抛物线C:_/=2px（p＞0）的焦点为己点力在C上，过力作。的淮线

的垂线，垂足为8,若直线8尸的方程为y=-2x+2,则|力/卜（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

x=-l,故8(—1,4),则h=4,代入抛物线C：V=4x得5=4

所以»可=|力邳=猫+§=4+1=5.

故选：C

5.(2025•上海)已知4(0,1),〃。,2),。在「：/一/二小2］,”。)上，则v/AC的面枳()

A.有最大值，但没有最小值B.没有最大值，但有最小值

C.既有最大值，也有最小值D.既没有最大值，也没有最小值

【答案】A

【分析】设出曲线上一点为(。/)，得出〃=病］］，将三角形的高转化成关于6的函数，分

析其单调性，从而求解.

【详解】设曲线上一点为(%6),贝IJ/一〃=i,则4=后1,

—=1,48方程为：y~\=x即x—y+l=(),

1-0t

根据点到直线的距离公式，(巴方)到月8的距离为："m_V^TT)+i,

叵一c-n

设f(b)=\jb2+\-b=,1—,

y/b2+\+b

由于620,显然/S)关于6单调递减，f(b)nm=/(0),无最小值，

即V/18C中，48边上的高有最大值，无最小值，

又川5一定，故面积有最大值，无最小值.

故选：A

22

6.(2025•天津)双曲线=-邑=15>0">0)的左、右焦点分别为片,乙,以右焦点6为焦

ab"

点的抛物线V=2pMp>0)与双曲线交于另一象限点为P,若I尸用+1?用=3忻封，则双曲

线的离心率e=()

x/2+1nN/5+1

A.2B.5i~y•

22

【答案】A

|?制=女+。

【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出根据勾股定理从而确

「鸟|二女_〃=|。川

定P的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算.即可.

由题意可知AD1I,EF1AB,则NADE=AAFE=90°,

又\AE\=\AE\,所以VHOE@VUE,

所以N4ED=NAEF,同理NBEP=N4EF,

又ZAED+乙4EF+ZBEP+/BEF=180°,

所以/AEF+4BEF=90°,即/AEB=90°,

显然48为的斜边，贝力力用<|力用，故B错误；

对于C,易知直线48的斜率不为0,

设直线48的方程为X=帆+1力（X],必）,3卜2,%），

_3

联立X2,得y2-6my-9=0,

y2=6x

易知A>0,则必+y2=易，必必=-9,

「33

又占二由必+于x2=my2+-t

2

所以|481=芭+x?+p=m\yx+为）+3+3=6rn+6>6,

当且仅当〃?=0时取等号，故C正确；

对于D,在RtAABE与R^AEF中，NBAE=AEAF,

\AE\\AF\..

所以则扃=渴，^\AE\=\AF\-\AB\,

同理忸用2=忸/不|力同，

又|力尸卜忸曰=1+：八X2+|,=（〃叫+3）（〃少2+3）

22

=myxy2+3机（必4-y2）+9=—9m+18〃尸+9=9（〃/+1）,

\AB\=6m2+6=6（〃J+1），

所以|力£卜忸呼=忸日.|力斗|力砰=9（〃/+1卜36（〃/+1丫，

M|^£||5E|=3（w2+1）^x6（/n2+1）=18（/n2+Ip>18»故D正确.

故选：ACD.

法二：对于A,对于抛物线C:y2=6x,

则P=3,其准线方程为x=-：3,焦点bf-3,0,

则I为抛物线上点到准线的距离，|力日为抛物线上点到焦点的y'

距离，由抛物线的定义可知，\AD^AF\,故A正确；D--

对于B,过点8作准线/的垂线，交于点P,

由题意可知ADA.I.EFA.AB,则NADE=NAFE=90°,

又|力。|=|力尸|,IJE|=|AE\t所以

所以N4ED=N4EF,同理=

又ZAED+乙4EF+NBEP+NBEF=180°,

所以/力所+4BEF=90°,即/AEB=90°,

显然48为A/IBE的斜边，则|力用<|力/，故B错误；

对于C,当直线/旭的斜率不存在时，|48|=2p=6；

当直线4?的斜率存在时，设直线48方程为V=%(x—■|)

A__3_]IQ

联立I2人消去儿得上那一(3^+6*+犬=0,

y2=6x

69

易知△>(),则*+z=3+审,斗丫2=7，

K4

所以|力司=Ji+〃2卜1f2卜>h+k?xJki+x?1-公也

=Jl+Axj(3+?)一9=6；+*)>6，

综上，|川？巨6,故C正确；

对于D,在Rt”BE与中，ABAE=Z.EAF,

\AE\\AF\

所以Rt△力则后=谒，即»£『=|』尸卜|48|,

同理忸靖=忸打.|力同，

当直线/出的斜率不存在时，|4a=6,|"'|=|8F|=gg8|=3；

所以|71E0忸砰=忸日.|力斗|<8『=3x3x6。即|4司•忸£|=18；

当直线力8的斜率存在时，|力司=6（1+

I"卜阴=卜।+|）卜2+（"）=3+能+必>g

=21卜+部*XT，

所以»£1『.忸用2=防|-\AFI•阿=9|1+136|1+4

则|力耳.怛可=3（1+』］，6（1+?=180+-U2>18；

、k）<k）ik）

综上，|^£|.|5E|>18,故D正确.

故选：ACD.

22

8.（2025•全国二卷）双曲线C:=-4=l（a>0,6>0）的左、右焦点分别是£、K,左、右顶

a-b~

点分别为4,4，以片用为直径的圆与C的一条渐近线交于“、N两点，且NN4M=¥，

6

则（）

A.N4M4,=巴B.也4|=2四4|

6

C.C的离心率为后D.当〃=行时，四边形的面积为8次

【答案】ACD

【分析】由平行四边形的性质判断A；由KM_LF2M且|MO|=C结合M在渐近线上可求M的

坐标，从而可判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结

合B的结果可得。2=13/,计算后可判断C的正误，或者利用翳^=卷=百并结合离心

率变形公式即可判断；结合BC的结果求出面积后可判断D的正误.

【详解】不妨设渐近线为），=2、，〃在第一象限，N在第三象限，

a

对于A,由双曲线的对称性可得4"4N为平行四边形，故/4屈4=兀-营=9，

66

故A正确；

对于B,方法一：因为必在以《工为直径的圆上，故片且|MO|=c,

方法二：因为tan/MO4=g，因为双曲线中，《2=/+/,

则cos//。”=-,又因为以片鸟为直径的圆与C的一条渐近线交

C

于〃、N,则OM=c,

则若过点必往X轴作垂线，垂足为“，则|O〃|=C?=Q=p4|,

则点〃与4(〃)重合，则A/4_Lx轴，则|"4|=42-4?=力，

方法三：在利用余弦定理知，

=|OMf+P4f-2\)M|pj2|cosZWy/2,

即=c2+a2--2ac--=h2,则,〃|=6,

c

则"H"为直角三角形，且N4历4J,则21M勾=6>4|,

故B错误；

对于C,方法一：因为砺=；(狐+丽)，故4荻2=祝于+2丽・丽+丽)

由B可知|,”阕=可“4卜苧6,

^.4c2=b2+-b2+2xbX巫b走=-/>2当。2—即。2=13。2,

33233、,

故离心率e=故C正确；

方法二：因为匿(=(=百，则3=26,则e='=U=Jl+(2后=屈，故C正

确；

对于D,当。=及时，由C可知e=JF,故《=回，

故b=2m,故四边形NAM4为2sAWM=2x；xx2及=8行，

故D正确，

故选：ACD.

三、填空题

9.(2025•北京)抛物线V=2px(p〉0)的顶点到焦点的距离为3,则夕=.

【答案】6

【解析】

【分析一】根据抛物线的几何性质可求〃的值.

【详解】因为抛物线的顶点到焦距的距离为之，故£=3,故〃=6,

22

故答案为：6.

10.(2025♦天津)4：x-y+6=O,与x轴交于点儿与y轴交于点8,与(工+1尸+(y-3尸=产

交于C、D两点，|46|二3|。〃|,贝壮=.

【答案】2

【分析】先根据两点间距离公式得出［48|=6及，再计算出圆心到直线的距离“，根据弦长

公式|CO|=277彳列等式求解即可.

【详解】因为直线］：x-y+6=0与x轴交于4(-6,0),与N轴交于8(0,6),

所以|48|=162+62=60，所以|。。|=2夜，

圆。+1)2+(.y3)2=/的半径为，・，圆心(T3)到直线4：x-j，+6=O的距离

为d」二中!=&,

故==2,2_(6)2=26，解得/，=2；

故答案为：2.

四、解答题

11.(2025•全国二卷)已知椭圆C:1+3=l伍>b>0)的离心率为长轴长为4.

a-b-2

(1)求。的方程；

⑵过点(0「2)的直线/与C交于/,B两点,O为坐标原点，若△Q48的面积为行，求|.4田.

【答案】（1）］+?=1

Q）M

【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程;

（2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数/表示面积后可求/的值，从而可

求弦长.

【详解】（1）因为长轴长为4,故〃=2,而离心率为弓，故C=j2,

故b=6,故椭圆方程为：—+^-=1.

42

（2）由题设直线48的斜率不为0,故设直线/：x=（y+2）,

，（石，乂）津（电，必），

因可得（人2）—=0,

由

故4=16/-4（/+2乂4*-4）=4（8-4『）>0即_^<£<&,

4/4/2-4

且…2=^,3777,

故SmB=；X12f|X|必一%|=|/|J（乂+必），-4乂%=6f=&，

解得f=±直,

3

故|48|=7?77物一刃W（乂+必）2-4乂出=后』；§V5

3+2

12.（2025•全国一卷）设椭圆。:1+4=1（。>8>0）的离心率为逑，下顶点为儿右顶点

a-b~3

为B,।力A|=JF6.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知动点尸不在歹轴上，点火在射线力产上，且满足|4?|・|1尸|=3.

（i）设P（%〃）,求点/？的坐标（用用，〃表示）；

（ii）设。为坐标原点，M是椭圆上的动点，直线。Af勺斜率为直线OQ的斜率的3倍，求

|尸”|的最大值.

【答案】（1）、+/=1

3cmn+c2-nf2-if2、

(2)(i)(ii)3(x/J+啦)

+(〃+]『〃7+(〃+])-)

【分析】（1）根据题意列出d/）,c的关系式，解方程求出GA。,即可得到椭圆的标准方程:

（2）⑴设R（x°Jo）,根据斜率相等以及题目条件列式，化简即可求出或者利用数乘向量求出;

（ii）根据斜率关系可得到点。的轨迹为圆（除去两点），再根据点与圆的最值求法结合三角

换元或者直接运算即可解出.

\la2+b1=x/fo

^_£_2^2,解得。2=9方=]]=8,

【详解】（1）由题可知，力（0,-6）,8（〃,0）,所以.

a3

c2=a2-b2

故椭圆的标准方程为5+r=1

（2）⑴设R（XoJo），易知0,

法一：所以〃"=上也V0+l_M+1

,fix一,且叫>0.

ni/m

因为力（0,7）,|力刚/片=3,所以Jx；+（%+l）2xjm?+（〃+］『=3,

/7+13mn+2—m2—n2

即1+wi'解:得可,所以凡=〃八（〃+厅，

m

n+2-m2-n

所以点火的坐标为

+(»?+1)-m2+(/?+!)")

法二：设二=4万,2>0,则陷|/=3=>4〃/+(〃+1)[=3,所以

3

〃人(〃+1)2'

3m3(〃+1)

AR=ZAP=A(tn,n+\)=,故

m2+(n+\)"”，+(〃+1)工

n+2-m2-n2

点R的坐标为〃/+(〃+]]'〃?2+(〃+])21

//+2-w2-n2

n+2，fln

(ii)因为勺H=小+g；+l)=~~,kOP=-^kOR=3自尸,可得

5m3〃？m

m2+(〃+1)-

即=〃+2一/一〃2,化简得疗+/+8〃_2=o,即机2+(〃+4)2=18(/"O),

m3〃？

所以点?在以N(0,-4)为圆心,3夜为半径的圆上(除去两个点)，

伊皿而为M到圆心N的距离加上半径，

法一：设M(3cos。,sin。),所以

|A/7V『二(3cose)?+(sin6+4)2=6+sin?e+8sin°+l6

=8cos2^+l+8sin^+l6

=8(l-sin2^)+8sin^+l7

=-8sin2e+8sinO+25

=-8，in夕-；)+27<27，当且仅当sin6=：时取等号，

所以RML=a+36=3(6+6).

法二：设加(小必)，则乎+应=1,

=4+(%+4=9-9月+4+8W+16=-8力+8%+25

+27427,当且仅当y“二g时取等号，

故—Mmax=a+3a=2(6+72).

13.(2025•北京)已知£：吞+卓=1的离心率为告，椭圆上的点到两焦点距离之和为4,

(1)求椭圆方程；

(2)设。为原点，”(xo，y(j(xo工0)为椭圆上一点，直线XoX+2j&y-4=0与直线歹=2,

卜=-2交于4B.与aOB河的面积为S”S2，比较］!~与曾空的大小.

%I%I

【答案】（1）工+片=1

42

(2)名.㈣

S?\OB\

【解析】

【分析】。）根据椭圆定义以及禽心率可求出〃，c，再根据〃力，。的关系求出〃，即可得到

椭圆方程;

再根据s.丈二\AM局\’即可得

（2）法一：联立直线方程求出点坐标，即可求出

|。同

出它们的大小关系.

法二：利用直线的到角公式或者倾斜角之间的关系得到,再根据三角形

的面积公式即可解出.

【小问1详解】

由椭圆可知，2。=4,所以。=2,又6=£=①，所以c=Q,h2=a2-c2=2,

a2

故椭圆方程为二十片=1；

42

【小问2详解】

/'+2打），-4=0/、2

联立2,消去X得，土马叱+2/=4,

---1"-~=1x

142In。，

整理得，（2x；+4y；）y2-i6%y+16-4x：=0①，

又或+21=1,所以2x：+4y；=8.16-4丫；=力：,

42

故①式可化简为8/一16为＞+8），；=0,即（）一为）2=0,所以y=y。,

所以直线％x+2盟4=0与椭圆相切，M为切点.

设/（王,弘），8（工2，%），易知，当玉二电时，由对称性可知，—=77^1.

$2|°巧

故设％2<%<王，易知*需刊=

§2\x2—x01x0—x2

xx+2yv-4=04-4y-

联立《0n」n。尸,解得再二———n,^=2,

[y=2/

(xox+2yoy-4=O_4+4打

联立qc，解得它一-------，必一一幺，

[y=-2X。

4-4%/

V

所以工=:一/=-Q"仪一寸

、S?x-x4+4坊/2-仅一4

02人0

=2需一4%=2f

-2y；-4为2+汽

|。胃=T%)+4="(「、)+片=《4("儿了+4-2代=加-仇+4=2-%

l0SiJ(4+?oJ]；J4(l+%y+x；也(1+乂)+4―2或。；+4%+42+汽

工3

故

工一㈣

法二：不妨设（西,）（工，），），易知，当玉二不时，由对称性可知,

4H,8222s?|四

故设々<X()<X],

联立尸：2~4=。，解得寸1％尸2,

卜=2%

卜01+2%丁-4=0J+4盟

联立，.»解得“2-,歹2--2，

[尸-2X。

k

则七』=区=7^=7^-，oB=^=^^=-^-,府L区

芭4・4九2-2为“4+4%2+2j，ox。

又至+%_=],所以*+2y；=4,

42

X。♦

所以tanNAOM=乜-%=2-2%/

l+kdoM]+xA

2-2为飞

x；+2y；2典_42笫_2

与（典一2）当（%-2）

丁।/

tanZBOM=_2+2-Vo____=片+2/；+2%=4+2州=2_,

1+k（）M，koB1盟J*o1%o（No+2）即）（%+2）.v0

%I2+2%）

则tanZAOM=tan/BOM,即ZAOM=/BOM,

..H|OJ||OM|sinZJaV\0A\

|ilrPJ--------------------------------------------------------

S2|^||avr|sin^BOM\OB\,

14.（2025•上海）已知椭圆「:=+匕=l（a>⑹，/W（0,m）（〃?>0）,力是「的右顶点.

Q-5

⑴若「的焦点（2,0）,求离心率e；

（2）若。=4,且「上存在一点尸，满足百=2标，求利;

（3）已知4W的中垂线/的斜率为2,/与「交于C、。两点，NCMQ为钝角，求。的取值范

围.

2

【答案】⑴]

⑵和

（3）（技拒）

【分析】（1）由方程可得/=5,再由焦点坐标得。，从而求出。得离心率；

（2）设点尸坐标，由向量关系方=2诉坐标化可解得产坐标，代入椭圆方程可得〃?；

（3）根据中垂线性质，由斜率与中点坐标得直线/方程.联立直线与椭圆方程，将钝角条

件转化为向最不等式砒.砺<0，再坐标化利用韦达定理代入化简不等式求解可得。范围.

22

【详解】（1）由题意知，7:]+々=1（。>6），则从=5，

由右焦点（2,0）,可知c=2,贝（J〃=\js+c2=3，

c2

故离心率

yjk

(2)由题意4(4,0),"(0,加)(〃?>0),P(x,y)

ppM

4-Xp=2xp

由万i=2而得,

f=2匕「2m，

42m丫？v?()

解得〃（；,丫），代入二十匕=1，

33165

得1+如=1,又〃?＞0,解得〃7=可.

945

（3）由线段的中垂线/的斜率为2'所以直线力"的斜率为一;

.w-014”/口a

则■二”'解得〃"3’

由430）,加（0,5得4M中点坐标为（££）,

224

故直线八、=2工—3显然直线/过椭圆内点弓3。,0）,

48

故直线与椭圆恒有两不同交点，

设。（外,必）,。（8，必），

3

y=2x—a,,,,9,

由'•4消y得(4。'+51-3小+—/d-5。2=0,

5X2+O2=5«216

—a4-5a

由韦达定理得r+、.3,「16

'2"4775,'24/+5

因为/CMQ为钝角，则沈.砺＜0，且M（0,今，

则有斗马+（弘一自小一9＜。，

所以工吊+（2x1-—Y2X2--1=5X1X2

16

即5(9Q"一"1号"3"+2京s卜o,解得/

16

又a＞亚,故石即。的取值范围是（石,JR）.

15.（2025•天津）已知椭圆*＞0）的左焦点为E右顶点为力，P为x=a上一点、,

且直线尸尸的斜率为:，△尸产力的面积为I，离心率为;.

322

(1)求椭圆的方程；

(2)过点。的直线与椭圆有唯一交点4(异于点力)，求证：PF平分/AFB.

【答案】⑴上+己=1

(2)证明见解析

【分析】(1)根据题意，利用椭圆的离心率得到a=2c,再由直线Q"的斜率得到〃i=c,从

而利用三角形的面枳公式得到关于c的方程，解之即可得解：

(2)联立直线与椭圆方程，利用其位置关系求得上进而得到直线出的方程与点8的坐标,

法一：利用向量的夹角公式即可得证；法二：利用两直线的夹角公式即可得证；法三利用正

切的倍角公式即可得证；法四：利用角平分线的性质与点线距离公式即可得证.

【详解】(1)依题意，设眄圆£+E=l(a＞力〉0)的半焦距为J

cry

c1

则左焦点"(―GO),右顶点440),离心率e=—=；,即0=2c,

a2

因为尸为。=。上一点,设尸(凡⑼,

又直线p尸的斜率为I，则上三二二；，即/-=!，

所以」一=」，解得〃?=J则P(a,c),即尸(2c,c),

2c+c3

3

因为△PE4的面积为5，|力用二。一(一c)=〃+c=3c,高为|〃?|=C,

所以凡,二/力产Ml,解得c=1,

则a=2c=2,b'=-c2=3.

所以椭圆的方程为工+片=1.

(2)由(1)可知尸(2,1),户(-1,0),4(2,0),

易知直线。8的斜率存在，设其方程为＞=狂