2025年新高考数学一轮复习（基础版）离心率的范围问题

§8.7离心率的范围问题

【重点解读】圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的

转化是解决此类问题的关犍，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁.

题型一利用圆锥曲线的定义求离心率的范围

例1（1）（2023・德阳模拟）已知R,B为椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，

ZF1PF2=60°,则椭圆与双曲线离心率之积的最小值为（）

A.25B.1C当D.2

答案C

解析不妨设|PQ|=m,1PBi=〃（〃?>〃）.

椭圆的长半轴长为〃”双曲线的实半轴长为S,两曲线的半焦距均为C,

由椭圆及双曲线的定义得〃?+〃=2ai,m-n=2ai,于是，〃=ai+〃2,〃=ai—s,

又在△尸尸尸2中，由余弦定理得

"户+“2—2//Z/JCOS60°=4c2与（0+。2）2+（。］—。2）2-I+。2）（0—〃2）=4（?2,

I1

则司+3尼=4c｛得了+/=%

由基本不等式得坐，当且仅当白=孚，62=乎时，等号成立,

所以椭圆与双曲线离心率之积的最小值为坐.

92

（2）（2023・寰阳模拟）已知双曲线C：出一£=l（fl>0,比>0）的右焦点为R2#,0）,点A的坐标

为（01），点。为双曲线左支上的动点，且△从〃产的周长不小于18,则双曲线C的离心率的

取值范围为.

答案（1,零］

解析由右焦点为打2加.0）,点A的坐标为（0,1）,可得|AQ=d24+l=5.

因为△人产尸的周长不小于18,所以|以|十|尸F|的最小值不小于13.

设尸2为双曲线的左焦点，可得|P/n=l尸Bl+2m

故|以|+|PF|=|%|+|PF2|+2〃，

当A,P,22三点共线时，解|+俨乃|+2。取最小值，最小值为IAF2I+2。，即5+2小

所以5+2〃213,即。24.

因为c=2而，所以/乎•

又e>l,所以e£（l,2]1

思维升华此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关

于a,b,c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围.

92

跟踪训练I（2023•宁波模拟）已知椭圆C：£+方=13>於0）的左、右焦点分别为Fi（—c,0）,

F2（C,0）,若椭圆。上存在一点M,使得的内切圆的半径为热则椭圆C的离心率的

取值范围是（）

34-

O--

A.I55-

-

答案A

解析AMFi&的面积为5吗BHywl,

因为的内切圆半泾为全

所以△MFR的面积可表示为32a+2c）W，

所以拉.|yw|=/3+2c）./

wa+c

解彳子lywl=12-，

因为lyHWb,所以二一《力，

两边平方得代上）2W加，

又因为。2=〃2—整理得5c2+2ac—3/W0,

因为《子，不等式两边同时除以/,得5/+2e—3W0,解得一"易

又椭圆。的离心率e£（O,I）,

所以椭圆C的离心率的取值范围为（0,1.

题型二利用圆锥曲线的性质求离心率的范围

2

例2⑴（2023・张掖模拟）若椭圆E：记十^^方=1（0<〃[<1）上存在点P,满足|0。|=皿。为坐标

原点），则椭圆石的离心率的取值范围为（）

A（0,B-[»

电¥1D惇1）

答案D

解析设椭圆£的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为4,〃，C,由题意知4=1"=^1一届,

c=m,

椭圆E上存在点尸满足等价于以。为原点，以c为半径的圆与椭圆有交点，得c2。,

所以c22b2=/—02,解得，2孑，

所以。=注乎.又。＜“＜1,

所以椭圆E的离心率的取值范围为[当，I).

⑵已知P为椭圆宗+方=13*0)上一点，Fi,尸2为椭圆焦点,且|PB|=3俨尸2|，则椎圆离

心率的取值范围是()

A(0,1B,[g,1)C.(0,；D,1)

答案D

y2

解析由夕为椭圆系+$=13＞比＞0)上一点，

可知|PFi|+|P尸R=2a.

又|PFi|=3|P尸2I，所以IP尸2|=1

又。一cWlPEdWa+c,即a—cW?《a+c.

又Ovevl,所以〈Wevl.

思维升华利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、通径、三角形中的边角关系、曲线上

的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解.

跟踪训练2(1)已知点厂是双曲线^一$=1("＞0,，》0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点,

过点尸且垂直于工轴的直线与双曲线交于A,8两点,若△ABE是锐角三角形，则该双曲线

的离心率e的取值范围是()

A.(1,+8)B.(1,2)

C.(2,1+V2)D.(1,1+的

答案B

解析出题意可知|AE1=|BE],即AAB石为等腰三角形，

所以椭圆。的离心率的取值范围为［乎，1）.

题型三利用几何图形的性质求离心率的范围

例3（1）设B，乃分别是椭圆a+方=1（4>〃>0）的左、右焦点，若在直线上存在点P,

使线段PA的中垂线过点出,则椭圆离心率的取值范围是（）

A（0,阴B（0,里|

C惇1）D惇1）

答案D

解析如图所示，因为线段PR的中垂线过户2,

・・・|尸尸2|=|尸尸2|=2C,

又I。尸2|=,一。,

且IP局eiQFd，

故2c，？—C,即3c22/,故

VJ

又0<*1,所以坐Wzl.

72

（2）（2023・合肥模拟）双曲线/一方=13>2,力>0）的焦距为2cQ0）,已知点4（40）,B（0,b）,

点Q,0）到直线AB的距离为4,点（一2,0）到直线A8的距离为由，旦4+心2/，则双曲线

离心率的取值范围为（）

A.［申,应］B［坐,小］

D.［小,26］

答案B

解析依题意得直线48：升方=1,

即bx+ay-ab=0,又。＞2,

_叱翅_细二红

所以小一后由一行讲'

J-2b-ab\Z?(g+2)

2止^+人7^+庐

在r；JiJb(a-2)仅4+2)2ab、4

所以“+必=乐福+/=7-»铲，

所以SyjcP—cra>2c2,即25(c?一

即4/-25i+25W0,解得总W/W5,

又e>l,所以e£［亭，小］.

思维升华利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之

间的关系.

跟踪训练3(2023・长春模拟)椭圆的中心在坐标原点，4,4，Bi，&分别为椭圆的左、右、

上、下顶点，B为其右焦点，直线8尸2与直线交于点P，若N8%2为钝角，则该椭

圆的离心率的取值范围为i)

A."1,1)B.&1)

C(2'D(0,

答案A

解析如图，设椭圆的标准方程为「+去=13>比>0),

2k

厂32

B?

由题意得A2(4。)，31(0,b),52(0,一力，尸2(c,0),

则瓦?2=伍，b),派1=(一c,b).

因为N3%2为向量京与后济的夹角，

且/囱雨2为钝角，

所以京・A^vo,所以/—a”。.

又lr=a2—c2,

所以a2一〃、一/<(),

两边同时除以〃得\—e-e2<0,

勰代J-小弋-1+^5

解仔e<丁^或e>----L^，

因为(0,1),所以二1”二3：1.

乙

课时精练

一、单项选择题

1.已知椭圆a+，=l（Q5>°）的左、右焦点分别为r1，/2，椭圆上存在点A,使得NF|AB

=V则椭圆离心率的取值范围为（）

A.（0,B.&1）

C.（（）,gD.1）

答案D

解析由题意，设椭圆上顶点为8,若椭圆上存在点A,使得“4尸2=去则只需NR%器

即可.

当NQ8尸2=冷时，为正三角形，此时。=2°,故当NABB消时，aW2c,即

。。4C，

又Ove<l,故离心率1）.

2.（2023•潍坊模拟）已知产尸2分别为椭圆C=1（。>比>0）的左、右焦点，尸是椭圆C

片+/

上的一点，直线/：x=F—，且PQ_L/,垂足为Q点.若四边形QPR尸2为平行四边形,

则椭圆C的离心率的取值范围是（）

A.（^,1）B.（V2—1,1）

C.（（）,^2-1）D.（0,用

答案B

勿2+〃、

解析设P（M,找），则&—「，吗），

•・•四边形QPFiB为平行四边形,

.a2+b2、

・・・|PQI=|FiBI,~-xo=2c,

a2+b22a2—(r—2ac

即即==-2c=---e

2。2—/-2ac

/.-1<--------2-------<1,

解得爽一l<zl.

LL7T

3.（2023・新乡模拟）双曲线C＞一方=13＞。，力＞。）的右焦点为B，过尸2且倾斜角为》勺直

线与双曲线右支交于不同的两点，则双曲线离心率的范围为（）

答案A

解析因为过B的直线/的倾斜角为:，所以直线/的条率k=l,因为直线/与双曲线右支

交于不同的两点，如图所示，由图象知gvl,

所以注=41+（沪啦,

又e＞I,所以I

）2

4.（2023・武汉模拟）已知圆G：/+），2=/（/*0）与双曲线Q：方一总=13＞0,方＞。），若在双

曲线C2上存在一点P,使得过点P所作的圆Ci的两条切线（切点为4,8）满足NAP8=W，

则双曲线C?的离心率的最小值为（）

A.小B/C普D.啦

答案C

解析如图所示，△POA空|O4|=|OA|=〃，

：./OPB=%

o

又OBLBP,：,\OP\=2b,

又|0P|2a,故

即4(d—a?)》/,即4,2542,

二、多项选择题

5.（2023・西安模拟）已知椭圆，+W=1（。＞6〃＞0）上一点A，它关于原点的对称点为从尸为

椭圆的右焦点，且满足AFLBF,设/=0，且。目重，§，则该椭圆的离心率可能是

（）

A.喙B坐C.1D.坐

答案AD

解析由题意，A关于原点的对称点为从点尸为椭圆右焦点，设左焦点为如图所示，

・•・四边形八尸山尸为矩形，

，|48|=|BF|=2c.

*.*ZABF=ai

/.|4Fl=2csina,|8F|=|AFi|=2ctosa,

由椭圆的定义得2a=2csina+2ccosa,

.।_1

..”—/sina+cosa—也mR+W

・k出+§）£惇,1,.'.e£［坐坐）.

02

6.已知O为坐标原点，双曲线C：东一分=13＞0,比＞0）的右焦点为凡/是C的一条渐近

线，以尸为圆心，。为半径的圆与/交于A,B两点,则（）

A.过点。且与圆尸相切的直线与双曲线。没有公共点

B.双曲线C的离心率的最大值是，5

C.若臣•而＞0,则双曲线C的离心率的取值范围是（田，同

D.若d二赢，则双曲线C的离心率为平

答案ACD

解析对于A,因为双曲线。的渐近线/与圆产交于A,B两点、,所以过点。且与圆”相

切的直线与双曲线。没有公共点（如图），故选项A正确;

对于B,过点尸作/D_L/,垂足为。，易知伊。|=从因为圆/与直线/相交，所以Xa,又

/=/+〃，所以/<24，即/<2,又e>l,所以双曲线C的离心率的取值范围是（1,也），

故选项B错误；

—>—>7T

对于C,若切/皮>0,则0<NAM<E，

故0<NAFD<j,故*vcosZAFD<I,

所以乎嚅<1，

即景与i即人V可得衿V2,

所以e£修，啦），故选项C正确；

对于D,因为5A=寿,所以A为线段08的中点，设图>|=%则|。4|=2见\OD\=3m,

在RtZXAF。和RtZX。”。中，由勾股定理得，

〃+m2=02,

消去m2得c2=9a2—Sb2,

力2+9〃p=d,

即17『=9d,所以6=卑