2025年新高考数学一轮复习（基础版）两条直线的位置关系

§8.2两条直线的位置关系

【课标要求】1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直2能用解方程组的方法求两条直线的交

点坐标.3.掌握平面上两点M的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.两条直线的位置关系

直线Ay=k\x-\-b\,h：y=kix-\-b2,h：Aix+fii>,+Ci=O,34巾+82丁+。2=0(其中/1与

，3是同一条直线，，2与/4是同一条直线)的位置关系如下表：

位置关系八，/2满足的条件/3,〃满足的条件

平行一=心且回工人24私一42e=0,且4c2-A?CIwo（或小。2—42。1中0）

垂直无1的=一］A1—21/心2=0

相交4义-A281W0

2.三种距离公式

(I)两点间的距离公式

①条件：点P\(X|,y1),Pz(X2,及).

②结论：|「/2|=叱］2—内产+。2—#)2.

③特例：点P(x,y)到原点。(0,0)的距离|。尸|=4?巧.

(2)点到直线的距离

|A.ro+B;；o+C]

点P(xo,再)到直线/：AM+由v+C=0的距离d=

(3)两条平行直线间的距离

IC1-C2I

两条平行直线/i：Ax-\~By-\-C\=0与/：：Av+By+C2=0间的距图d=

RA2+

【常用结论】

六种常用对称关系

(1)点。，)，)关于原点(0,0)的对称点为(一1,—y).

(2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,—y),关于y轴的对称点为(一x,y).

(3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为。，幻，关于直线,=—x的对称点为(一y,~x).

(4)点(x,)，)关于直线x=G的对称点为(2a—x,)，)，关于直线y=Z?的对称点为(.1,2b—y).

(5)点(x,y)关于点(“勿的对称点为(2。一心2b-y).

(6)点(x,y)关于直线x+y=火的对称点为(k—y,k~x),关于直线x—.v=k的对称点为(2+y，

x~k).

【自主诊断】

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“J”或"X”)

(1)当直线和，2斜率都存在时，一定有心=心玲/|〃/2.(X)

(2)若两条直线/]与/2垂直，则它们的斜率之积一定等于一1.(X)

(3)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离.(V)

(4)若点A,8关于直线/:)，=日+仇�)对称，则直线人8的斜率等于一;，且线段A8的中

点在直线/上.(J)

2.(选择性必修第一册P102T2改编)若直线2x+〃少+1=0与直线3x+6y-1=0平行，则m

等于()

A.4B.-4C.1D.-1

答案A

解析因为直线2x+/〃y+l=0与直线3x+6y—1=0平行，所以p解得〃?=4.

3.(选择性必修第一册P79练习T1改编)两平行直线x—2.v+l=0与直线法一4)-3=0的

距离为()

A.2B,小C.y[\0

答案A

3

解析由直线2x-4y-3=0可得，L2)，T=0,根据两条平行线间的距离公式知d=

—3—1L

_2]小

、12+(-2)2―2■

4.直线x—2厂3=0关于定点M(—2,1)对称的直线方程是.

答案x-2y+ll=()

解析在直线上取点P(3,0),点P关于知(一2,1)的对称直为P'(—7,2),

过点P'与原直线平行的直线方程为x—2y+11=0,即为对称后的直线方程.

■探究核心题型

题型一两条直线的平行与垂直

例I(1)(2023•桂林模拟)已知直线八：办+5一1))，+3=0,/2：2x+ay—1=0,若I山2,则实

数。的值是()

A.0或一1B.-1或1

c.-1D.1

答案A

解析由题意可知故2a+a（“一l）=o,

解得a=0或a=—1,经验证，符合题意.

（2）（2023•合肥质检）若Z3x-my-l=0与6：3（m+2〃-3y+1=0是两条不同的直线,则

是“〃/2”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析若h〃h,则3义（-3）=一〃?X3（m+2）,

解得/"=I或m=-3,

而当〃?=—3时，/|,人重合，故舍去，

则“〃?=1”是的充要条件.

思维升华判断两条直线位置关系的注意点

（I）斜率不存在的特殊情况.

（2）可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.

跟踪训练1（1）（2023•襄阳模拟）设小b,c分别为△A4C中角A,B,C所对边的边长，则直

线xsinA+a），+c=0与bx—ysin8+sinC=0的位置关系是（）

A.相交但不垂直B.垂直

C.平行D.重合

答案B

解析由题意可知，直线xsinA+qv+c=0与以一ysinB+sinC=0的斜率分别为一七二，

b

sinB'

a_____b_

又在△A4C中,

sin月―sin4'

sin4b

所以一

asinB1,

所以两条直线垂直.

（2）已知两直线/i：（加一l）x—6y—2=0,/?："Lr+y+1=0,若/1X/2,则m=；若l\//h，

则〃?=.

答案3或一21

(2)(2023•上饶统考)正方形48CQ的两个顶点A,8在直线x+)，-4=0上，另两个顶点C,D

分别在直线2A—y-1=0,4.r+y-23=0±,那么正方形ABCD的边长为.

答案2也或14也

解析设直线CQ的方程为x+.y+〃?=0,

1=0,得餐片),

联立

x+y+?7z=0,

联立篇二曹‘得干)’

・•・由两点间的距离公式可得|(7。|=¥m+ill,

又直线48与CO的距离为5="黄川,

・.3加+11|一千，

解得〃2=—8或机=-32,

即|CQ|=26或14^/2.

即正方形的边长为26或1472.

思维升华利用距离公式应注意的点

(1)点P(.ro,泗)到直线x=a的距离d=\xo—a\t到直线的距离1=伙)一夙

⑵两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x,y的系数化为相等.

跟踪训练2⑴若点(〃?，〃)在直线/：3x+4v-13=0±,则的一1>+〃2的最小值为()

A.3B.4C.2D.6

答案B

解析由(，〃-1户+〃2的几何意义为点到点(1,0)距离的平方，

“3+0—13八

得其最小值为点(1,0)到直线/:3x+4y-l3=0的距离的平方，即布二~}=4

⑵已知两条平行直线分别过点A(6,2)和伙—3,-I),并且各自绕点A,B旋转,平行线之

间的距离的最大值为,此时两平行直线方程分别为.

答案3，桁3x+y—20=0和3x+y+10=0

解析两条平行直线分别过点A(6,2),仅一3,-1),并且各自绕点A,8旋转，

当43与两平行直线垂直时，两平行线之间的距离最大，

HB|=叱6+3)2+(2+1)2=3也,

这两条平行直线之间的距离有最大值,

最大值为34通，

2+1i

直线AB的斜率k/{B=6।

6十J5

故这两条平行直线的斜率为一3,

则两平行直线方程分别为y—2=—3(x—6),y+1=-3(H+3),

即3x+y—20=()和3x4-y+10=0.

题型三对称问题

命题点1点(或直线)关于点对称

例3直线3x-2y=0关于点0)对称的直线方程为()

A.2x~3y=0B.3x—2y—2=0

C.x-y=0D.2x—3y—2=0

答案B

解析方法一设所求直线上任一点为(K,)，)，则其关于点生O)对称的点为停f-

停

为点

因-X

在直线3x-2y=0±,

所以3《一J—2(—y)=0,化简得3x—2)，-2=0,

所以所求直线方程为3x-2y-2=0.

方法二在直线3x—2y=0上任取两点0(0,0),M(2,3),

设点。，M关于点生0)的对称点分别为O',",

则O,(y0)，M，(~y—3)，

),_(_3)I-0

所以所求直线方程为

0—(-3)

gp3x-2y-2=o.

命题点2点关于直线对称

例4一条光线从点P(—1.5)射出，经直线.1一3〉，+1=0反射后经过点(2,3),则反射光线所在

直线的方程为()

A.2x~y—1=0B.3x—y—3=0

C..r-2=0D.4x-y-5=0

答案C

解析设点P(—1,5)关于直线工一3)，+1=0的对称点为Pm，b).

丁*=

则

a~\b+5,

—5—3X^-+l=0,

a=2,

解得，

/?=-4,

故反射光线过点P'(2,—4)与点(2,3),

则反射光线所在直线的方程为4—2=0.

命题点3直线关于直线的对称问题

例5两直线方程为八：3I—2厂6=0,，2：x一厂2=0,则八关于12对称的直线方程为()

A.3x-2y-4=0B.2x+3.y-6=0

C.2Y—3y—4=0D.3x—2y—6=0

答案C

解析设所求直线上任意一点M(x,.y),M关于直线不一)，-2=0的对称点为M'8,川)，

1if

则L1

［号—中—2=0,

即=y+2,

解得<①

y\=x-2,

•・•点M'在直线力一2)，-6=0上，

・、将①式代入，得3(.y+2)—2。-2)—6=0,

化简得2丫-3)，-4=0,即为人关于6对称的直线方程.

思维升华对称问题的求解策略

(I)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解.

(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条

件列方程组解题.

跟踪训练3已知直线/：&-3y+l=0,点4一1，-2).求：

⑴点A关于直线/的对称点A'的坐标：

(2)直线〃?：3文一2)，-6=0关于直线/对称的直线〃/的方程；

(3)直线/关于点A的对称直线/'的方程.

解(1)设A'(x,>),由已知条件得

x—1y-2,

2X--3X-3—F1=O,

解得《，所以4(一晋,苗

4

U，=l3-

(2)在直线〃?上取一点，如M(2,0),

则M(2,0)关于直线/的对称点AT必在直线机’上.

设对称点为M'3,份，则

a+2Z?+0

2X-y-—3X^-+1=O,

得V佶,if)-

la—23

设直线〃?与直线/的交点为N,

2Y—3v+1=0,

由得M4,3).

3x—2y—6=0,

又M经过点M4,3),

所以直线〃?'的方程为以一46y+102=0.

(3)方法一在/：公一3)，+1=0上任取两点，

如尸(1,1),0(4,3),则尸,Q关于点4一1,-2)的对称点P,Q!均在直线/'上,

易得P'(―3,—5),Q'(—6,—7),

所以/'的方程为统一3)，-9=0.

方法二因为/〃,

所以设/'的方程为2x—3y+C=0(CWl).

因为点&-1,一2)到两直线/,r的距离相等，

所以由点到直线的距离公式，

组I—2+6+C1-2+6+11

卜：I--------/--------解得。二一9,

。22+32。22+3：

所以/'的方程为统一3)，-9=0.

课时精练

知识过关

一、单项选择题

1.已知直线八经过点A（2,。-1）,B34）,且与直线A：2x+y—3=0平行，贝等于（）

A.-2B.2C.-1D.1

答案C

解析直线八的斜率策户,直线〃的斜率心=-2,

2—a2—a

n—5

所以^—=-2,解得4=-1,经检验，符合题意.

2—a

2.若直线内一令，十2=U与直线2r+5y十c=。垂直，垂足为（1,b）,则十c等于（）

A.16B.4C.—10D.—4

答案D

解析因为办一4），+2=0与直线2x+5y+c=0垂直，故为-20=0,即。=10,因为垂足

为（1,〃），

[10X1—40+2=0,1。=3,

取LX1+5/?+c=0,[c=-17,

故a+/?+c=—4.

3.两直线3x+4y+s=0和3x+4y+c2=0的距离为2芈，则匕一以等于（

)

A.2小B.2小C.2D.4

答案B

|CLC2||CLC2|

解析直线3x+4y+ci=0和3x+4y+c2=0之间的距离为

■^32+425

|口$<2|=2?—tLC2|=2巾.

于是有

4.四边形A8CQ的四个顶点是A（3,0）,8（0,4）,C（4,7）,0（11,6）,则四边形48。。为（）

A.矩形B.菱形

C.等腰梯形D.直角梯形

答案D

M士c占17-436-03

解析由心c一二^一不如＞一]]_3一不

0-44,6-71

公产亡3=一予如产向=T

*：kBC=kAD、k^B^kcD,

：.BC//AD,AB与CO不平行，

••・四边形A8CO为梯形，

又VICAD'/CAB=-1»

：,ADLABt,四边形4BCO为直角梯形.

5.(2024.牡丹江模拟)直线)，=彳"关于直线x=l的对称直线为/,则直线/的方程是()

A#r+y—2=0B，V3.r+y+2=0

C.x+V5.v-2=0D.x+小＞，+2=。

答案C

解析直线与直线x=l交于点A(l,坐)

所以直线/的斜率为一早且过点A(l,明，

所以直线/的方程为丁一坐=一坐(工一1),

即x+于y-2=0.

6.唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，

诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某

处出发,先到河功饮马后再回到军营,怎样走才能使总携程最短？在平面自角坐标系中.设

军营所在的位置为仇一1,。)，若将军从山脚下的点。(0,0)处出发，河岸线所在直线方程为x

+y=3,则“将军饮马”的最短总路程是()

A.2B.3C.4D.5

答案D

解析如图所示，作点。关于直线x+y=3的对称点4刈，和)，连接A8交直线于点C,此

时总路程最短，

由题知，点A(xo,yo)满足,

yg

2-=3,

解得仁；：即点43,3),

yo-Q

因为|oq+|8q=HG+|〃c|=H8|,

所以“将军饮马”的最短总路程为丁3|=#(-1-3)2+(()—3)2=5.

二、多项选择题

7.己知直线/过点W,2),且点A(2,3),8(4,—5)到直线/的距离相等，则/的方程可能是

()

A.4x+y—6=0B.x+4y—6=0

C.3x+2），­7=0D.2.r+3>'-7=0

答案AC

解析由条件可知直线/平行于直线/W或过线段/W的中点,

当直线/〃/W时，因为直线.AB的斜率为=一4,

，;2—（二4）

所以直线/的方程是y—2=—4（x—1）,即4x+y—6=0；

当直线/经过线段A4的中点（3,—1）时，

3

2一（一1）-

/的斜率为-2

1-3

此时直线/的方程是y—2=—,（x—1）,

即3%+2），-7=0.

8.己知直线尿x+），+l=0,则下列结论正确的是（）

A.点（0,1）到直线/（）的距离是也

B.直线/i：人一），+1=0,则/o_L/i

C.直线£蛆+（〃产—2）9+2=0（/〃为常数），若/0〃氏则用=-1或m=2

D.直线A1+），­1=0，则/o和，3的距离为2

答案AB

I1+H

解析由点到直线的距离公式知，d==也故A正确;

]2

因为1X1+1X（—1）=O,由两条直线垂直的充要条件知故B正确;

若则用2—2=机，所以〃?=—1或2.

因为当〃?=2时，/2：2x+2），+2=0,即x+y+l=O与/o：x+y+l=O重合，故C错误;

因为%）：x+y+l=O与A：x+y—1=0平行，

n-（-i）i

所以由两平行线间的距离公式可得d=712+12=啦,故D错误.

三、填空题

9.已知直线A：2x+y+l=0和直线8x+"+3=0,若则实数〃的值为

若h〃b，则/1与/2之间的距离为.

答案一2小

解析已知直线八：2x+y+l=0和直线/2：x+4+3=0,

若/1JJ2,则2+。=0,解得。=一2；

若八〃/2,则2a=1,解得〃=J,此时直线京2r+），+6=（）,显然两直线不重合,

|1一6|

故此时/i与A间的距离d==祗

A/4+T

10.已知△ABC的顶点8(2,1),C(—6,3),其垂心为”(一3,2),则顶点A的坐标为.

答案(-19,-62)

2—1

解析直线8”的斜率h=R=-苧

又BHLAC,则直线AC的方程为丁一3=5(/+6),即y=5x+33,

直线C〃的斜率近=三志=一小

又C’HLAB,则宜线A8的方程为)，-1=3。-2),即)，=3工一5,

y=5x+33,x=-l9,

由‘--解得

)'=-62,

所以顶点A的坐标是(一19,-62).

四、解答题

11.⑴已知点A(o,6)到直线3,L4y=2的距离d=4,求。的值；

⑵在直线x+3y=0上求一点P,使它到原点O的距离与到直线x+3y—2=0的距离相等.

|367-24-2|_

解(1)由题意，得|3。一26|=20,

*\/32+(—4)2

解得。=2或。=工­.

⑵设点尸(一3乩b),

由题意，得|00|=啊=彳=4丽.

点尸到直线工+3)­2=0的距离为

|—3Z?十3A-2]175

-710-=5，

所以人10岳=%^,解得/?=±1.

即点尸的坐标为修_£)或(T1)•

12.己知△/WC的顶点A(5,l),边上的中线CW所在直线方程为2x-y-5=0,N8的平

分线BN所在直线方程为％—2y—5=0.求：

⑴顶点8的坐标；

⑵直线BC的方程.

解(1)设点8(w，)，0),由AB中点在2》一)，-5=0上，可得2义也会一片【一5=0,

即2xo一和一1=0,

2x()一)'。—1=0,

又顺一2W一5=0,联立

.北一2yo—5=0,

Xo=—h

解得c即点8(—1,