2025人教版五年级数学上册-爬坡题

第一单元小数乘法

【例1】元旦期间同学们用彩带装饰教室，第一次用去了彩带的一半，第二次用

去剩下的一半，第三次又用去剩下的一半，这时还剩下3.2米，这条彩带原来长

多少米？

解析:本题考查的知识点是用“逆推还原法”解答求彩带的长度问题。解答时，

可以采用“图示法”(如下图)从最后一次剩下的3.2米开始分析和思考：当

第二次用后应剩下3.2X2,第一次用后剩下3.2X2X2,所以原来长3.2X2X2

X2=25.6(米)。

、第一次询商厂人第二次用冒族

去的用去的3.2米

解答：3.2X2X2X2=25.6(米)

答：这条彩带原来长25.6米。

【例2】王阿姨的计算器坏了，显示屏上显示不出小数点，你能很快地帮她写出

下面各式的结果吗？

已知：148X23=3404,

那么：1.48X23=()148X2.3=()0.148X23=

()

14.8X2.3=()1.48X0.23=()0.148X0.23

=()

解析：本题考查的知识点根据因数与积的小数位数的关系确定积的小数点的位

置。解答时，要明确的是这些小数乘法的计算方法是相同的，就是积的小数点位

置不同。

计算时都是先按照整数乘法”148X23=3404”算出积，再根据因数中的小数

的位数来确定积的小数位数。确定小数点的位置时，一定要数清两个因数一共有

几位小数，再从积的右边起数出几位，点上小数点。

解答：34.04340.43.40434.040.34040.03404

【例3】已知12X14=168,在()里填上合适的数。

1.68=()X()=()X()

解析：本题考查的知识点是用分类讨论的方法解答小数乘法中因数的小数位数问

题。解答时，可以先推测出因数中共有两位小数来分析思考。

情况一：两个因数中都只有一位小数，这个算式是1.68=1.2X1.4；

情况二：两个因数中一个是整数，一个是两位小数

1.68=0.12X14或1.68=12X0.14

解答：要点提示：

1.68=1.2X1.4根据积不变的规律确定小数的位数。

1.68=0.12X14

【例4】将“4.09X0.88”的积用“四舍五入”法保留两位小数,所得的近似数

是()。

A.3.59B.3.6C.3.60

解析：本题考查的知识点是用“四舍五入”法将积保留一定的小数位数，求出

积的近似数。解答时要注意：(1)要检查准确值的计算是否正确；(2)按题目要

求保留小数位数；(3)用“四舍五入”法按要求保留小数位数时，所求得近似数

末尾的“0”必须保留，不能随意去掉。

解答：c

【例5】两个因数的积是75.2,其中的一个因数扩大到原来的6倍，另一个因数

缩小到原来的工，积是多少？

2

解析：本题考查的知识点是用设数法找到规律再运用规律来解答问题。解答时，

可以先设原来的算式是6X8=48,这样一个因数扩大6倍，另一个因数缩小到原

来的,(也就是缩小2倍)，则积扩大到原数的6・2二3倍，所以积是75.2。

2

解答：75.2X(6+2)=225.6

【例6】一个三位小数，“四舍五入”到百分位后是1.65,这个三位小数最大是

多少，最小是多少？

解析：本题考查的知识点是理解“四舍五入法”的意义与运用。解答时想：取一

个数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的近似数比原数小，“五入”得到的近

似数比原数大，所以最大的数采用“四舍法”、最小的数采用“五入法”。这样可

以得出这个三位小数最大是1.654,最小是1.645o

解答：这个三位小数最大是1.654,最小是1.645。

【例7】用简便方法计算：2.4X0.29+0.24X7.1

解析：本题考查的知识点是利用转化法和积不变的性质进行小数乘法的简算。解

答时，根据积不变的性质把原来的算式2.4X0.29+0.24X7.1转化为0.24X

2.9+0.24X7.1,然后根据乘法分配律的逆运算来进行简便运算。

解答：2.4X0.29+0.24X7.1

=0.24X2.9+0.24X7.1要点提示：

=0.24X(2.9+7.1)一个因数扩大几倍，另一个因数缩小几倍,

二0.24X10积不变。

=2.4

【例8】在口中填上合适的数字，并在第一个因数中点上小数点。

3.63

x0.1口

7口口

363

口56

解析：本题考查的知识点是乘法竖式谜。解答时，根据得数最后一位为数字6,

所以6上面的方框中应该为6,6是第二个因数与第一个因数的最后一位的乘积,

所以第二个因数的最后一位为数字2；从而可以计算出7后面的方框为数字2,

乘积中的第一个方框为数字4;又因为因数中一共有4位小数，所以积中的小数

点应从右向左数出四位，然后点上小数点。

解答：

3.63

x0.1回

但回

363

0.臼356

【例9】“水是生命之源”。某市自来水公司为鼓励居民节约用水，对用水量采取

按月分段计费的方法收取水费，用水量在规定吨数以内的按基本标准收费，超过

规定吨数的部分提高收费标准。下面西西家1〜4月份用水量和缴纳水费情况：

月份1月2月3月4月

用水量/吨8101215

应缴水费/元16202635

根据表中提供的信息，回答下面的问题。

（1）每月用水量的规定吨数是（）吨；

（2）基本标准是每吨收费（）元；

（3）超过规定吨数部分的标准是每吨收费（）元；

（4）如果西西家5月份用水20吨，那么应缴水费（）元。

解析：本题考查的知识点是数据分析和解决分段计费问题。本题没有给出收费标

准，只是提供了两组数据（1〜4月份的用水吨数及相应的应缴水费钱数），需要

从数据中进行尝试和推算，分析出每月用水量的规定吨数、基本收费标准和超过

部分的收费标准，然后再来分段计算，解决西西家5月份应缴水费的问题。

从给出的数据中可以得出：3月份用了12吨水，水费是26元，2月份用

水10吨，水费是20元，于是可以得出每月规定的用水吨数应是10吨，每吨水

费是2元，超过部分每吨水费3元，据此解答即可。

解答：（1）10（2）2（3）3（4）50

【例10】某公司出租车的收费标准如下：

计费单位收费标准

4km及以内10元

4km以上〜15km

每千米1.2元

（不足1km按1km计算）

15km以上部分

每千米1.6元

（不足1km按1km计算）

某乘客要乘出租车去50km处的某地，如果中途不换车，应付车费多少元？

解析：本题考查的知识点是利用小数乘法解答“分段付费”问题。解答时要注意

理解收费标准时也耍强调两点：（1）分段计费；（2）•定路程以上，不足1km,

按1km计算（即用“进一法”取整千米数）。

乘客要乘出租车去50km处的某地（中途不换车），这样路途分三段：4km

以内、4km以上〜15km、15kin以上三部分，然后列式计算解答即可。

解答：10+1.2X（15-4）+1.6X（50-15）=79.2（元）

答：这位乘客应付车费79.2元。

【例11】已知O+Z\=2.8,求（（□+△）XI.2的积。

解析：本题考查的知识点是用整体代换的方法解答有关含有符号的算式的乘积问

题。解答时，把O+△看成一个整体，也就是说用2.8代替O+Z\,然后计算出

2.8与1.2的积即可。

解答：(€)+△)XL2=2.8X1.2=3.36

【例12］有趣的算式。

(1)算式33.333X33①33计算结果的整数部分是多少?

(2)算式333.33X333.33计算结果的整数部分是多少？

解析：本题考查的知识点是积不变的规律和乘法分配律。解答时，注意利用转化

思想把算式变形为积相等的乘法算式。

(1)将算式33.333X33.333变形为99.999X11.111,再变形为(100-0.001)

X1L111,根据乘法分配律简便计算即可求解。

(2)将算式333.33X333.33变形为999.99X111.11,再变形为(1000-0.01)

Xlll.ll,根据乘法分配律简便计算即可求解。

解答：

(1)33.333X33.333=99.999X11.111=(100-0.001)Xll.111

=100X11.111-0.001X11.111=1111.1-0.011111=1111.088889

答：算式33.333X33.333计算结果的整数部分是1111。

(2)333.33X333.33=999.99X111.11=(1000-0.01)X111.11

=1000X111.11-0.01X111.11=111110-1.1111=111108.8889

答：算式33式33X333.33计算结果的整数部分是111108。

第二单元位置

【例1】如果电影票上的“6排8号”用数对记作(8,6),那么“21排11

号”记作(，),(7,9)表示电影院的位置是()排()号。

解析：本题考查的知识点是用类推和对应的方法解答电影票上的几排几号与第几

行第儿列相对应问题。

6排表示第6行，8号表示第8歹IJ,因此要将电影票上的数据转化为数对的

列数和行数，再来表示。(7,9)表示第7歹U、第9行，转化成电影票上的描述

就是9排7号。

解答：112197

【例2】破译密码。

下面是一张密码图，其中隐藏着一句话，先按照数对在密码图中找出相对应

的字母，依次写在横线上就可以破译了。

(1,2)(3,3)(6,2)(2,2)(6,4)(1,4)(1,3)(6,4)(6,3)

BZQYFN

AC0R1G

WEMXSII

DLEKJP

123456

解析：由(1,2)得到字母肌类似的(3,3)0,(6,2)H,⑵2)E,(6,4)

N,(1,4)B,(1,3)A,(6,4)N,(6,3)G,即字母是W、0、H、E、N、B、

A、N、G组成拼音是:WOHENBANG,意思是“我很棒”。

解答：组成拼音是：WOHENBANG,意思是“我很棒”。

【例3】如果A点用数对表示为(1,5),B点用数对表示为(1,1),C点用数

对表示为(3,1),那么三角形ABC一定是()三角形。

A.锐角B.钝角C.直角D.

等腰

解析：本题考查的知识点是用数对表示位置的方法以及判断三角形形状。解答时

根据用数对表示物体位置的方法是:第一个数表示列，第二个数表示行进行判断。

利用方格图将A、B、C的位置标记出来，顺次连接即可得出三角形ABC（如图所

示）：

根据方格图可以得出AB1BC,所以这个三角形是直角三角形，而两条直角

边不等长，因此不是等腰三角形。

解答：C

4】在方格图上X点（a,b）向上平移两格到了Y点，那么Y点的数对是（）

A、(a+2,b)B、(a,b+2)C、(a+2,b+2)

解析：本题考查的知识点是点平移后的位置确定，解答时先明确的是：点上下平

移，列数不变；点左右平移，行数不变。在方格图上X点（a,b）向上平移两格

到了Y点，那么Y点的列数和X点的列数相同，应是a,行数要加2,所以Y点

的数对是（a,b+2）o

解答：B

【例5】如图所示，“象”所处的位置为（8,2）o

（1）你能用数对表示图中“马”的位置吗？

（2）中国象棋中规定“马”走“日”，如“马”下一步可以走到（5,4）处。请

用数对表示出“马”下一步可以走到的其他所有位置。

解析：本题考查的知识点是用数对表示位置的方法。解答时，先明确数对表示数

时，第一个数表示列，第二个数表示行。（1）根据数对表示位置的方法标出“马”

的位置。（2）根据“马”走“日”，如“马”下一步可以走到（5,4）处。即可

用数对表示出“马”下一步可以走到的其他所有位置。

解答：（1）“马”的位置是（6,2）

（2）在平面中标出“马”下一步可以走的位置如下图所示：

4

3

2

u12345678

观察图形可知，下一步可以走的位置分别是（5,4）；（7,4）；（8,3）；（8,

1）；（7,0）；（5,0）；（4,1）；（4,3）o

【例6】天鹅养殖基地一观测者测得一只麋鹿的位置在（1,5）,一个半小时后,

测得这只奔跑的麋鹿的位置已在（8,5）了。如果图中每格的距离代表15千米,

这只麋鹿每小时大约跑多少千米？

解析：本题考查的知识点是用数对表示点的位置和行程问题。解答时，要正确找

到数对对应的点的位置，然后观察到1.5小时跑了7格，每格的距离代表15千

米，换算出一共跑了105千米，从而求出麋鹿的速度。

解答：7X15+1.5=70（千米/时）

第二单元小数除法

【例1】在下表中按要求填出商的近似数。

算式保留一位小数保留两位小数保留三位小数

2.89+3.6

504-14

解析：本题考查的知识点是正确、熟练地计算小数除法，掌握求商的近似数方法,

并能根据“四舍五入法”按要求保留一定的小数位数。解答时，用竖式计算小数

除法，用竖式计算时每个横式只需列一个竖式，由于最多要保留三位小数，所以

应除到被除数的第四位小数，再来按保留小数位数的要求，分别用“四舍五入”

法截取近似数。

解答：

算式保留一位小数保留两位小数保留三位小数

2.894-3.60.80.800.803

504-143.63.573.571

［例2］王师傅把一根木料锯成4段，需4.8分钟，如果锯成10段需要多少分

钟？

解析：本题考查的知识点是用小数乘除法知识解答“间隔问题”。解答时，光明

确的锯成4段需要锯4-1-3次，锯成10段需要10-1-9次。已知锯成4段的时间

是4.8分钟，次数是3,所以锯一次需要的时间是4.8+3=1.6（分钟），这样可

以得出,锯成10段需要的时间是1.6X9=14.4（分钟）。

解答：4-1=3（次）4.84-3=1.6（分钟）10-1=9（次）1.6X9=14.4（分钟）

答：锯成10段需要14.4分钟。

【例3］把一个小数的小数点向右移动一位后，比原数多2.88,原数是（）o

解析：本题考查的知识点是利用小数点移动引起小数大小变化的规律解决小数除

法计算问题。解答时，先要根据小数点移动引起G数大小变化的规律，理解小数

点向右移动一位，小数就扩大到原数的10倍，也就是比原数多9倍。这样得出

原数的9倍是2.88,原数是2.88+9-0.32。

解答:2.884-9=0.32

【例4】用计算器探索规律。

(1)用计算器计算下面各题，并找出规律。

99.99X1=()99.99X2=

()99.99X3=()

(2)用发现的规律直接写出下面各题的得数。

99.99X4=()99.99XC—

()99.99X6=()

(3)你能用发现的规律接着写出几道像这样的算式吗？试一试。

解析：本题是对含有规律算式的观察、比较、归纳、推理、分析的能力考查。解

答时，思维要经历“计算一一观察发现规律一一利用规律写得数一一根据规律续

写算式”的过程。在这一过程中，找”规律要有“找”的方法：按一定的顺序观

察算式的变化，因数怎样变化，积怎样变化，前后算式之间有怎样的联系，通过

这样的观察、比较、总结和归纳，“找”到了规律：99.99乘1-9自然数时，积

是两位小数，积的最高为数是比几小1的数，积的最后一位是几与9的积的最后

一位，中间的数是9,最后再“利用规律写得数”和“根据规律续写算式”。

解答：

(1)99.99199.98299.97

(2)399.96499.95599.94

(3)99.99X7=699.9399.99X8=799.92

【例5］妈妈买3千克苹果和3千克梨花了33元，张阿姨买3千克苹果和5千

克梨共花45.4元，每千克梨多少元？

解析：本题考查的知识点是利用“整体代换法”解答购物问题。解答时，先要明

确的是两次购买苹果的千克数是相同的，所以总价的差就是3千克梨与5千克梨

的价格差，这样利用“对应法”可以求出每千克梨的价钱是(45.4-33)-(5-3)

=6.2(元)

解答：(45.4-33)+(5-3)=6.2(元)

答：每千克梨6.2元。

【例6】下面是一栋楼房的客用电梯，如果一个成年人的体重按75kg计算，那

么这台电梯一次最多可承载成年人的人数是()o

A.10B.11C.12D.13

解析：本题考查的知识点是根据具体情况用“去尾法”或“进一法”取近似值解

决简单的实际问题。解答时需要注意，取近似值时，要根据具体情况确定是“舍”

还是“入”。解答时，根据数量关系列式计算800+75=10.66…，计算的结果是

小数，而电梯承载的人数必须是整数，所以，本题的答案需要取计算结果的近似

值。如果用“四舍五入”法取近似值，承载的人数是14人，而14人的体重是

1050kg,超过了电梯的限载量，所以要用“去尾法”取近似值，承载的人数是

13人，选D。

解答：D

【例7】甲乙两数的差是10.8,乙数的小数点向右移动一位正好和甲数相等，甲

乙两数各是多少？

解析：本题考查的知识点是用小数除法解答“差倍问题”，解答时，要明确公式:

差小（倍数-1）=1倍数（较小数），1倍数（较小数）X倍数=几倍数（较大数）。

根据“乙数的小数点向右移动一位就和甲数相等”得出：甲数是乙数的10倍，

甲数比乙数多9倍，多10.8,所以乙数是10.8=（10-1）=1.2,甲数是1.2X

10=12。

解答：乙数：10.84-（10-1）=1.2甲数：1.2X10=12

答：甲数是12,乙数是L2。

［例8］小马虎在计算16.2除以一个小数时，忘记把除数转化为整数，他按照

除数是整数的除法计算，结果是0.45.已知原来的除数是一位小数，它应该是多

少？

解析：本题考杳的知识点是利用“错中求解”的方法来解答小数除法问题。解答

时，根据原来的除数是一位小数，只把除数的小数点去掉，也就是扩大10倍，

所以，用被除数16.2除以错误的商，所得的结果就是扩大10倍的除数，然后再

除以10就是正确的商。

解答：16.24-0.454-10=364-10=3.6

答：它应该是3.6。

【例9】在课堂上我们已经找到了四位数的“数字黑洞”。

（（◎你知道吗？◎、

什么是"数字黑洞"?-----------------------

数字黑洞是指A然数经过某种数学运算之后陷入了循环的境

况。例如，任意选四个不同的数字.按从大到小的顺序排成一个数，

再按从小到大的顺序排成一个数，用大数减去小数（如123,0,

就用3210-123）.用所得结果的四位数笊复上述过程,最多七步

必得6174,即7641-1467=6174o仿佛抻进了黑洞，永远出不

来。

不信的话,请你试•试！

\1

（1）你能用同样的方法找到三位数的“数字黑洞”吗？

（2）你能不能找到五位数的“数字黑洞”呢？

解析：本题考查的知识点是利用计算器探索数字黑洞游戏问题。解答时，要本借

鉴四位数“数字黑洞”的经验，借助计算器作为工具，用同样的方法探索三位数

和五位数的“数字黑洞”。通过探索可以发现，三位数和四位数的“数字黑洞”

都是一个数，而五位数的“数字黑洞”却是由四个数组成的一个循环圈。

解答：（1）三位数的“数字黑洞”是495。

（2）五位数的“数字黑洞”是由四个数组成的循环圈：

要点提示：

三位数的数字黑洞是一个数；五位数

的“数字黑洞”是这四个数的连环圈。

【例10】24-13,商的小数点后面第2018位上的数字是几？

解析：本题考查的知识点是用“分组法”来解答循环小数商的数位上的数字。解

答时，先列竖式计算2・13的商是多少，发现商是一个循环小数，循环节是

153846,也就是说6个数一组，如此循环，这样再用2018+6,看这样的循环出

现多少次（注意，此时求商不能取小数了），结果发现商是336余数是2,所以

可以判断出第2018位上的数字应是5o

••

解答：24-13=°-153846,循环节是153846,6位数一组，2018/6=336.......2,所

以第2018位上的数字是5。

【例111张老师去体育用品商店买羽毛球，他带的钱如果买10个，还差8.9元,

如果买5个还剩1.6元，你知道张老师带了多少钱吗？

解析:本题考查的知识点是用小数除法解答“盈亏问题”。解答时首先要明确的是

两次盈亏的数量之和与数量的差是对应的倍数关系。已知，如果买10个，还差

8.9元，如果买5个还剩1.6元，这说明10-5=5（个）的总价是8.9+1.6,因此

根据总价小数量=单价，可以求出每个羽毛球的价钱，然后再根据任意一个已知

条件求出一共的钱数即可。

解答:单价：（8.9+1.6）4-（10-5）=10.54-5=2.1（元）

共有：2.1X10-8.9=12.1（元）；

答：张老师带了12.1元。

【例12】一个服装厂原来做一套衣服用3.2米布。改变裁剪方法后，每套节省

0.2米.原来做1500套衣服用的布，现在可以做多少套？

解析：本题考查的知识点是计划数与实际数问题，解答此题关键是先求出改变裁

剪方法后每套制服用布的米数，进而求出原来做1500套衣服用市的总米数，最

后求出可以做的套数。

解答：1500X3.24-（3.2-0.2）=1500X3.24-3=6844-3.8=1600（套）。

答：原来做1500套衣服用的布，现在可以做1600套。

第四单元可能性

【例1】口袋里有6个球，分别写着数字1,2,3,4,5,6,任意摸出一个球，

有（）种可能的结果，任意摸出两个球，有（）种可能的结果。

解析：本题考查的知识点是用“列举法”解答摸球游戏问题。解答时，首先要明

确的是任意摸一个，可能出现1、2、3、4、5、6这6种结果；摸两个，可能出

现1和2、1和3、1和4、1和5、1和6、2和3、....,这样列举出一共有5+4+3+2+1=15

种结果。

解答：615要点提小：

列举时，不要重复和遗漏。

【例2]把下面的7张卡片打乱顺序朝下放在桌子上。每次任意拿出1张，拿到

单数输，拿到双数赢。这个游戏公平吗？

QHHHHHH

解析：本题考查的知识点是用比较可能性的大小来判断游戏是否公平。7张卡片

中，单数有4张，双数有3张，所以任意拿出1张卡片，拿到单数的可能性比双

数的机会多，因此不公平。

解答：单数有4张，双数有3张，机会不均等，所以不公平。

【例3】给一个正方体的表面涂上红、黄、蓝三种颜色，任意抛一次，使红色面朝

上的可能性最大,蓝色面和黄色面朝上的可能性相等,需要有（）个面涂红色。

A.2B.3C.4

解析:本题考查的知识点是用列举排除法来解答小正方体涂色问题。想：要使红

色朝上的可能性最大，黄色和蓝色朝上的可能性相等，可以假设蓝色面和黄色面

都有1个，则红色面是4个，这样红色的可能性最大，黄色和蓝色可能性相等。

如果假设蓝色和黄色都有2个面，则红色的也是2个面，不满足红色的可能性最

大，所以排除掉，先C。

解答：C

[Sj41请你根据获奖情况，帮商场经理标出幸运大转盘中的奖项。

奖项一等奖二等奖三等奖纪念奖

所得-

dr：HA

坛

价值3480元价值880元价值18元价值i元

人数1520100

幸运人转盘

解析：本题考查的知识点是运用“有序思考的方法”和可能性的有关知识分析和

解答问题。解答时，根据获奖人数的数量关系确定转盘中区域的大小，获奖人数

最多的对应区域最大，依此类推，可得从小到大依次标为一等奖、二等奖、三等

奖和纪念奖。

脑答:点.区域按各个区域面积从小到大依次标为一等奖、二等奖、三等奖和纪

念奖。

要点提示：

有序思考是常用的分析和思考问题的

方法。

【例5】把10张卡片放入纸袋，随意摸一张，要使摸出数字“1”的可能性最大,

数字“9”的可能性最小，“5”和“6”的可能性相等，卡片上可能是哪些数字？

请你填一填。

□□□□□□□□□□

解析：本题考查的知识点是用“分析法和排除法”解答数字卡片问题。解答时,

数字“9”的可能性最小，可以填1张；数字“5”和“6”的可能性相等，各填

2张；数字“1”的可能性最大，可以填5张，排除其他可能性。

解答：数字“1”填5张，“5”和“6”各填2张，“9”填1张。

［例6］在一个袋子中装有同一种形状的20粒纽扣,其中黑的有6粒,蓝的有4

粒，红的有10粒。（如下图）

<X><X><X><Y>

（1）摸出1粒时，可能出现哪几种结果?列举出来。

（2）摸出11粒时，其中一定有什么颜色的？

解析：本题考查的知识点用列举法和分析法来解答纽扣颜色问题。（1）解答时，

先根据颜色确定三种颜色都有可能，所以可能是红色，也可能是蓝色，也可能是

红色。（2）红色的有10粒、黑色的有6粒、蓝色的有4粒，假如摸出的前10

粒纽扣是蓝色和黑色的，这样摸第11粒纽扣时一定是红色的，所以摸出11粒一

定有红色的；假如摸出的前10粒纽扣都是红色的，第11粒可能是黑色的也可能

是蓝色的，这样颜色是不确定的，但是能保证一定有红色的。

解答：

（1）因为有三种颜色的扣子，所以摸1粒时，可能会出现三种颜色，可能是黑

色或蓝色或红色。

（2）一定有红色的。

第五单元简易方程

【例1】用方程表示下面的数量关系。

（1）某时刻物体的影长是其高度的2.3倍。（2）

|=34.5ni

方程：（）方程：（）

解析：本题考查的知识点是利用“数形结合思想”结合线段图来发现数量之间的

等量关系来列方程。解答此题的关键是找准数量之间的相等关系，然后列出方程。

（1）根据物体的影长与物体自身高度之间的等量关系（即物体高度X2.3二物体

的影长）来列方程。

（2）根据图中较长线段的长度是较短线段的3倍，和较长线段比较短线段长40

来列方程。

解答：（1）2.3^=34.5；（2）3x-x=40

【例2】如果/=2凡那么x不可能等于（）0

A.0B.1C.2

解析：本题考查的知识点是对/的理解。解答时可以用尝试法解题，将三个选

项的答案分别代入方程中，可以发现当工=1时，方程左边为V=F=1,方程右

边为2x=2xl=2,两边不相等。另外两项代入可使等式左右两边相等，所以x不

可能等于1,故选B。

解答：B

【例3】已知△+△+0=19,△+0=12,那么△和O各是()o

A.98B.76C.75D.67

解析：本题考查的知识点是利用整体“等量代换”的方法解答符号问题。解答时,

把a+O看做一个整体”，然后把△+0=12代入△+△+0=19从而求出△门,然后

再结合△+0=12得出0=5,所以选C。

解答：C

【例4】今年妈妈有a岁，儿子有(a-24)岁，再过b年以后，妈妈与儿子的年

龄相差()岁。

A.aB.24C.b

解析：本题考查的知识点是利用“年龄差不变”解答年龄问题。解答时，根据年

龄差不会随时间的变化而改变，所以妈妈与儿子今年的年龄差就是b年后妈妈与

儿子的年龄差.a-(a-24)=a-a+24=24(岁)，解答此题的关键是关键是知道年

龄差不会随时间的变化而改变。

解答:B.

【例5】爸爸今年32岁，比儿子的年龄的5倍还大2岁，儿子今年多少岁？

解析：本题考查的知识点是利用“方程思想”解答倍数问题。解答此类问题的关

键是分析等量关系并根据等量关系“儿子年龄X5+2=32”可得方程5x+2=32,

然后解这个方程得x=6o

解答：解：设儿子今年x岁。

5x+2=32

5x=30

x=6

答：儿子今年6岁。

【例6】丫丫今年8岁，爸爸今年34岁，丫丫多大时，爸爸的年龄是小军的3

倍？

解析：本题考查的知识点是利用抓年龄差不变的方法来列方程解答简单的实际问

题。解答此问题的关键是抓住年龄差小变。解答时，可以设丫丫x岁时，爸爸的

年龄是3x岁，这样可以得出YYx岁时，爸爸和丫丫的年龄差3x-x等于丫丫8

岁时爸爸和丫丫的年龄差34-8,于是可以得到方程3x-x=34-8,然后解这个方程

即可。

解答：解：设YYx岁时，爸爸的年龄是丫丫的3倍。

3x-x=34-8

2x=26

2x4-2=264-2

X=13

答：丫丫13岁时，爸釜的年龄是丫丫的3倍。

【例7】仔细观察，发现规律，用含字母的式子表示结论。

25=2X10+518=1X10+8

234=2X100+3X10+4509=5X100+0X10+9

结论：

（1）一个两位数，十位上的数字是a,个位上的数字是b,这个两位数是（）。

（2）一个三位数，百位上的数字是a,十位上的数字是b,个位上的数字是c,

这个三位数是（）。

解析：木题考查的知识点是观察算式得出规律并利用“类推”规律来解答问题。

解答时，先观察给出的已知算式：一个数可以改写成百位上的数字乘100、十位

上的数字乘10然后再加上个数上的数字的和。

利用这一规律可以把（1）一个两位数，十位上的数字是a,个位上的数字

是b,这个两位数是（10a+b）。（2）一个三位数，百位上的数字是a,十位上的

数字是b,个位上的数字是c,这个三位数是Q00a+10b+c）。

解答：（1）10a+b（2；100a+10b+c

【例8】己知m=3,n是m的4倍，p是n的1.5倍，求4m+5n+10p的值。

解析：本题考查的知识点是利用“整体代换”的方法求代数式的值。解答时，先

根据已知m=3,n是m的4倍。求出n==4m=12；同理，p=l.5n=18；最后再求出

4m+5n+10p=3X4+5X12+10X18=12+60+180=252。

解答：由n是m的4倍，得n=4m=12；由p是n的1.5倍，得：p=l.5n=18,

所以4m+5n+10p=3X4+5X12+10X18=12+60+180=252。

【例9】我们所穿的尺码通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的换算关系

是b=2a-10（b表示尺码数，a表示厘米数）。那么25厘米的鞋子用”码“作单

位就是多少码？

解析：本题考查的知识点是利用“方程”思想解答鞋的“码”和“厘米”之间的

换算问题。解答时，要明确b=2a-10中，b表示尺码数，a表示厘米数，所以求

25厘米的鞋子用”码“作单位就是多少码时，把a=25代入b=2a-10=2X25-10=40

（码）。

解答：当a=25时,b=2a-10=2X25T0=40（码）

答：25厘米的鞋子用”码“作单位就是40码。

【例10】如果规定一种新运算※，定义xXy=xy-2。请完成下列各题。

（1）求2X4的值；（2）3※田二13求m的值

解析：本题考查的知识点是利用“方程和代数思想”解答定义新运算问题。解答

时，先要理解定义的新运算的规则是x※产xy-2,也就是说xXy等于x与y的

积再减去2,然后根据这个规则分别得出（1）2X4=2X4-2=6；（2）由3※产13

得：3m-2=13,M=5o

解答：

（1）2X4=2X4-2=6

（2）由3Xm=13得：3m-2二13要点提示：

3x2+2=13+2解答定义新运算时，要理解规则的运算

3m=15的规则，然后按照规则来计算。

3m+3=15+3

M=5

【例11】实验室有一架天平，还有3个分别是3克、2克和10克的祛码，你能

想办法称出13克的盐吗？应该怎样称呢

解析：本题考查的知识点是利用天平的平衡原理利用指定克数的祛码称出指定克

数的物品。解答时想：天平一侧放10克和5克祛码，另外一侧放硅码2克，加

上13克糖，两侧都为15克，13克糖和2克祛码很容易分开。

解答：天平的一边放10g和5g的祛码，而另一边先放上2g的祛码，再把糖放上

去，直到天平平衡。

【例12]甲乙两家相距1500米，甲乙同时出发两向而行，甲每分钟走70米，

乙每分钟走80米，甲还带着一条狗，狗的速度是每分钟200米，狗与甲一起出

发，遇到乙时就抻头向甲跑，遇到甲再抻头向乙跑，宜到甲乙两人相遇，求甲乙

两人相遇时，狗一共跑了多少米？

解析：本题考查的知识点是利用抓关键条件来解答“狗跑步问题”。解答时要明

确的是：狗的速度不变，要求狗跑的路程，只要求出狗跑的时间即可。狗跑的时

间就是甲乙相遇需要的时间，先求出甲乙的速度和，再依据时间=路程♦速度，

求出甲乙相遇时需要的时间，再依据路程二速度义时间即可。

解答：200X[15004-（70+80）]=200X[15004-150]=200X10=2000（米）

答：狗一共跑了2000米。

第六单元多边形的面积

【例11如图面积的关系正确的是（）o

A.S1+S2=S3B.S1=S2C.S2=S3+S1D.不能判断

解析：本题考查的知识点是长方形中最大的三角形的面积与长方形面积的关系。

解答时明确长方形内最大的三角形与长方形等底等高，面积等于这个长方形的面

积的一半是关键。

解答：A

【例2】下图中，已知AB二BC二CD二EF二FG=GH=1dm。

（1）平行四边形AEGC的面积和平行四边形（）的面积相等，是（）。

（2）三角形AEC和三角形（）的面积相等，是（）0

（3）梯形CDHE的面积是（）,和平行四边形（）的面积相等。

解析：本题考查的知识点是利用等积变形思想解答多边形相互之间的面积关系问

题。解答时，先看清要计算的的图形的形状、底和高，和哪些图形是等积变形关

系。

（1）平行四边形AEGC的面积和平行四边形BFHD的面积是相等的，它们是等底

等高的形状相同的两个平行四边形，底都是2分米，高是2分米，所以面积是2

X2=4（平方分米）。

（2）三角形AEC的底是2分米，高是2分米，图中还有三角形GEC的底也是2

分米，高是2分米，所以这两个三角形的面积是相等。

（3）梯形CDIIE的上底是1分米、下底是3分米，高是2分米，所以面积是（1+3）

X2+2=4（平方分米），和平行四边形AEGC或BFHD的面积相等。

解答：(1)BFHD4dm2(2)GEC2dm2(3)4dm2AEGC或BFHD

【例3】如图，4个完全相同的正方形拼成一个长方形，对图中阴影部分三角形

面积的大小关系表述正确的是（）o

A.甲＞乙＞丙B.乙＞甲＞丙C.丙＞甲＞乙D.甲=

乙=丙

解析：本题考查的的知识点是利用等积变形思想来判断三角形的面积关系。解答

时，根据三角形的面积二底X高+2来进行判断。图中甲、乙、丙3个三角形等

底等高，所以面积都相等。

解答：D

【例4】图中画出了一个三角形，请你在图上画出一个平行四边形，使平行四边

形的面积是三角形的3倍；再画出一个梯形，使梯形的面积和所画平行四边形的

面积相等。

解析：本题考查的知识点是根据平行四边形、三角形和梯形的面积画出图形。由

图形可知，平行四边形和三角形的高相等，要使平行四边形的面积是三角形的3

倍，只要平行四边形的底是三角形底的1.5倍即可；在高相等的情况下，要使梯

形的面积和平行四边形的面枳相等，只要梯形的上下底之和的一半等于平行四边

形的底即可。

解答：

【例5】计算线段AB的长度.

AD

解析：本题考查的知识点是“抓不变量的方法”求平行四边形的底或高。解答时,

根据平行四边形的面积公式S=ah,先求出平行四边形的面积，然后用面积除以

6.4求出CD的长度，乜就是AB的长度。

解答：4X8-r6.4=324-6.4=5（厘米）

答：AB的长度是5厘为。

［例6］图中阴影部分的面积是10平方厘米，求三角形ABC的面积是多少平方

厘米？

解析：本题考查的知识点是运用抓不变量的方法解答三角形的面积问题。解答时

先根据已知阴影部分的面积和底是4厘米，求出三角形的高是10X2+4=5（厘

米），然后再根据三角形的面积公式求出面积，列式计算为（6+4）X5+2=25（平

方厘米）。解答此题的关键是要明白图中的三个三用形的高是不变的。

解答：10X24-4=5（厘米）（6+4）X54-2=25（平方厘米）

答：三角形ABC的面积是25平方厘米。

【例7】如图所示，正方形ABCD中，AB是4厘米，三角形BCF比三角形DEF的

面积多2平方厘米。求DE的长。

解析：本题考杳的知识点是综合运用正方形和三角形的面积计算公式来解答线段

的长度问题。解答时，理解透彻“三角形BCF比三角形DEF的面积多2平方厘米”

是解答此问题的关键。从三角形BCF、三角形DEF以及梯形ADFB和正方形ABCD

的面积关系可以读出：“正方形的面积-2平方厘米二三角形ABE的面积”，然后根

据“三角形的高二三角形的面积X2・底”求出AE的长，最后用AE的长减去4

厘米就是DE的长。

解答：4义4-2=14（平方厘米）14X24-4-4=3（厘米）

答：DE的长是3厘米。

【例8】求下列图形阴影部分的面积。

解析：本题考查的知识点是利用转化法解答不规则图形的面积。解答时，一般要

根据图形特点转化为求几个规则图形的面积相加或相减的方法进行解答。观察图

形得出：阴影部分的面积二大正方形的面积;小正方形的面积-空白三角形的面积，

据此解答即可。

解答：8X8+6X6-（8-6）X84-2=64+36-14X84-2=64+36-56=44（平方分米）

答：阴影部分的面积是44平方分米。

［例9］如图是用割补的方法将梯形转化成三角形的过程，如果梯形的面积是39

平方厘米，高是6厘米，那么转化后三角形的底是多少厘米？

解析：本题考查的知识点是逆用三角形的面积公式己知面和高求底。已知梯形与

三角形是面积相等，高相等，要求转化后三角形的底是多少厘米，根据三角形的

底二面积义2+高解答即可。

解答：39X24-6=13（厘米）

答：转化后三角形的底是13厘米。

【例10］如图，己知甲三角形面积为3.6平方厘米，乙三角形的面积为5.4平

方厘米。线段BD的长是DC的长的多少倍？

解析：本题考查的知识点是已知面积和高相等的两个三角形求底之间的关系。解

答时，先明确甲乙两个三角形的高和面积是相等的，所以它们的高之间的倍数关

系就是底之间的倍数关系，据此解答即可。

解答：5.44-3.6=1.5

答：线段BD的长是DC的长的1.5倍。

【例11】图中正方形的周长是32cm.你能求出平行四边形的面积是多少平方厘

米吗？

解析：本题考查的知识点是对“等积变形”思想的理解与运用。解答此题的关键

是求出正方形的边长，再找出平行四边形的高，最后根据平行四边形的面积公式

进行计算。

平行四边形的底是正方形的边长，高也是正方形的边长，用正方形周长除以

4求出正方形的边长，再根据平行四边形的面积公式列式计算。

解答32+4=8（厘米）8X8=64（平方厘米）

答：平行四边形的面积是64平方厘米。

【例12】一块近似平行四边形的稻田，中间有一条小路（如图）。如果每平方米

大约可以产稻2千克，这块稻田大约产稻多少千克？

解析：本题考查的知识点是利用“平移”转化法，把不规则图形转化为规则的平

行四边形，即把两边的土地向中间平移，挤掉中间的小路，则稻田的面积等于底

是29-1=28米，高10米的平行四边形的面积，据此求出稻田的面积，再乘2千

克，即可求出稻田的总产量。

解答：（29-1）X10X2=28X10X2=560（千克）

答：大约产稻560千克。

【例13］如图，正方形ABCD和正方形CEFG,正方形ABCD的边长为10厘米，正

方形CEFG的边长为5厘米，则三角形BFI）的面积为多少平方厘米？

解析：本题考查的知识点是等量代换、等积变形的思想方法解答三角形的面积问

题。解答此题的关键是弄清楚：推论得出阴影部分的面积等于大正方形的面积的

一半。

如图所示：三角形BCF和三角形DCF等底等高（底和高分别等于大、小正方

形的边长），则二者的面枳相等，分别去掉公共部分（三角形CFH）,那么剩余的

部分的面积仍然相等，即三角形BCH和三角形HFD的面积相等，于是阴影部分的

面积就变成了大正方形的面积的一半，据此代入数据即可求解。

BCE

解答：10X104-2=1004-2=50（平方厘米）

答：三角形BFD的面积为50平方厘米。

第七单元数学广角一植树问题

［例1］如下图，每两块正方形瓷砖中间贴一块长方形彩砖。像这样一共贴了50

块长方形彩砖，那么正方形瓷砖有（）块（第一块和最后一块都是正方形瓷

砖）。

口口।〕口口口口口In।

解析：本题考查的知识点是利用植树问题的模型思想解答铺砖问题。观察图中共

有9块长方形彩砖，10块正方形瓷砖。由于第一块和最后一块都是正方形竟砖,

所以正方形瓷砖比长方形彩砖多1块，长方形彩蒲有50块，那么正方形瓷砖就

有51块。

解答：51

【例2】把10根橡皮筋连接成一个圈，需要打（）个结。

解析：本题考杳的知识点是在封闭曲线上的植树问题（间隔数=植树棵数）。解答

时，首先明确这道题是在封闭曲线上的植树问题，有10根橡皮筋相当于间隔数

是10,打结的个数就相当于植树棵数。因为在封闭曲线上间隔数二植树棵数，所

以打结的个数是Wo

解答：10。

【扇3】丫