2025年高一数学讲义-平面向量的基本概念（人教A版必修第二册）解析版

第01讲平面向量的基本概念

【人教A版2019】

1.向量的概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量.

(2)数量：只有大小，没有方问的量(如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等)，称为数量.

注：

①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移.

②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素.

③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小.

2.向量的表示法

(1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.

(2)向量的表示方法：

①字母表示法：如〃,b,c,…等.

(2)几何表示法：以力为始点，8为终点作有向线段方(注意始点一定要写在终点的前面).如果用

一条有向线段标表示向量，通常我们就说向量方.

3.向量的有关概念

(1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).

（2）零向量：长度为零的向量叫零向量.记作0,它的方向是任意的.

（3）单位向量：长度等于1个单位的向量.

（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量.

⑸相反向量：长度相等且方向相反的向量.

注：

①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定.

②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等.

►题型归纳

【题型1向量概念的理解】

【例1.1]（23-24高一下•全国•课后作业）给出下列物理量：（1）质量；（2）速度；（3）力；（4）加速

度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）电流强度：（9）体积淇中不是向量的有（）

A.6个B.5个C.4个D.3个

【解题思路】根据向量的概念，即可得出答案.

【解答过程】看一个量是不是向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向.

（2）（3）（4）既有大小也有方向，是向量，

（1）（5）（6）（7）（8）（9）只有大小没有方向，不是向量

故选：A.

【例1.2]（24-25高一・江苏•课后作业）下列结论正确的个数是（）

①温度含零上和零下，所以温度是向量：

②同量的模是一个正实数；

③若向量N与石不共线，则五与刃都是非零向量；

④若®a>b.

A.0B.1

C.2D.3

【解题思路】①根据向量的概念可判断；②根据向量模的概念可判断；③根据零向量与任何向量共线可判

断；④根据向量的性质可判断.

【解答过程】①错，温度只有大小，没有方向，是数量不是向量；

②错，6的模等于0;

③正确，根据零向量与任何向量共线可以判断正确；

④错，向量不能比较大小.

故选：B.

【变式1.1]（23-24高一•全国•假期作业）已知向量方如图所示，下列说法不正确的是（）

___________________>

MN

A.也可以用而表示B.方向是由M指向NC.起点是MD.终点是M

【解题思路】根据向量的几何表示，逐项判断即可得解.

【解答过程】由向量的儿何表示知，A、B、C1E确，D不正确.

故选D.

【变式1.2]（2024高一•全国•专题练习）下列说法正确的个数是（）

（1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量；

（2）零向量没有方向；

（3）向量的模一定是正数：

（4）非零向量的单位向量是唯一的.

A.0B.1C.2D.3

【解题思路】根据零向量与单位向量，向量的定义对各个项逐个判断即可求解.

【解答过程】对于（1）,温度与功没有方向，不是向量，故（1）错误；

对于（2）,零向量的方向是任意的，故（2）错误；

对于（3）,零向量的模为0,不是正数，故（3）错误；

对于（4）,非零向量的单位向量的方向有两个，故（4）错误；

故选：A.

【题型2零向量与单位向量】

【例2.1]（23-24高一下•山东荷泽•阶段练习）下列说法错误的是（）

A.任一非零向量都可以平行移动B.耳筱是单位向量，则|宕|二|£|

c.|CD|=\DC\D.若I万I>I而I，则万〉而

【解题思路】根据题意，由向量的定义以及相关概念对选项逐一判断，即可得到结果.

【解答过程】因为非零向量是自由向量，可以自由平移移动，故A正确；

由单位向量对于可知，I可|=|石I，故B正确；

因为而=一尻，所以|而|=|沆故C正确；

因为两个向量不能比较大小，故D错误：

故选:D.

【题型3向量的几何表示与向量的模】

【例3.1]（23・24一下•山东荷泽阶段练习）如果一架飞机向西飞行150km,再向南飞行350km,记飞机

飞行的路程为s,位移为匕则（）

A.s>|a|B.s=\a\C.s<|a|D.s与同不能比较大小

【解题思路】根据题意，作图，结合向量的几何意义，可得答案.

【解答过程】由题意，作图如下：

则该飞机由4先飞到B,再飞到C,则=150km,BC=350km,a=AC,

则飞机飞行的路程为s=500km,|a|=V1502+3502=50闻km,

所以s>|司.

故选：A.

【例3.2]（23-24高一下•安徽合肥•阶段练习）在如图所示的半圆中，为直径，点。为圆心，。为半圆

上一点,R/.OCB=30°,\AB\=2,则|前|等于()

A.1B.V2C.QD.2

【解题思路】根据|沆|二|砺可得乙4BC==30。，进一步得出答案.

【解答过程】如图，连接/1C,

由|元|=|而=LOCB=30°.

因为C为半圆上的点，所以匕ACB=90。，

所以国|=]|而|=1.

故选:A.

【变式3.1]（24-25高一下•全国课后作业）在如图的方格纸中，小方格的边长为1,画出下列向量.

（1）|褊|=3,点力在点O的正西方向；

⑵|丽|=3或，点8在点。的北偏西45。方向：

（3）根据（1）（2）,作出向量而并求出|而|的值.

【解题思路】（I）根据要求画出点川的位置即可；

（2）根据要求画出点:B的位置即可；

（3）向量荏由点力指向点8,画出图形即可求出|彳面.

【解答过程】（1）因为|0团=3,点,4在点O的正西方向，故向量瓦?如图所示.

（2）因为|砺|=3&，点8在点。的北偏西45。方向，故向量通如图所示.

（3）向量而如图所示，|而|=3.

北

【变式3.2]（23-24高一下•安徽淮北•阶段练习）在如图的方格纸中，画出下列向量.

(I)|o2|=3,点A在点0的正西方向；

(2)|丽|=3VL点B在点。的北偏西45。方向：

(3)求出|屈|的值.

【解题思路】(I)根据向量的大小和方向，作向量五?,

(2)根据向量的大小和方向，作向量丽,

(3)根据向量的模的定义求|而|.

【解答过程】(I)因为|瓦=3,点/在点。的正西方向，故向最瓦?的图示如下:

北

(2)因为|砺|=3四，点B在点。的北偏西45。方向，故向量丽的图示如下:

东

(3)

I祠=阿一|西2=3.

1.向量的共线或平行

方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量）.规定：0与任一向量共线.

注：

①零向量的方向是任意的，注意。与0的含义与书写区别.

②平行向量可以在同一直线二，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在

同一直线上的线段的位置关系.

③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量.

2.用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系

（1）利用向展的模相等可以证明线段相等，利用向显相等可以证明线段平行且相等.

（2）利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点.

（3）利用向量可以判断图形的形状（如平行四边形、等腰三角形等）、证明多点共线等.

►题型归纳

【题型4向量相等或共线的判断】

【例4.1］（23-24高一下•广东东莞・开学考试）设点。是正方形的中心，则下列结论错误的是（）

A.^40=0?n.A0=B0C.B0//DBD.同与而共线

【解题思路】

画出图形，结合相等向量与共线向量的定义判断即可.

【解答过程】

如图，

因为彳3,反方向相同，长度相等，故而=小，故A正确；

因为前，前方向不同，故而H而，故B错误；

因为8,。，。三点共线，所以前//丽，故C正确；

因为4?〃。。，所以而与而共线，故D正确.

故迄B.

【例4.2］（23-24高二・全国•假期作业）如图，在四棱柱的上底面力8C。中，AB=DC,则下列向量相等的

A.而与万B.灰与科

C.而与赤D.而与丽

【解题思路】由同=方可知四边形/WCO是平行四边形，根据相等向量的定义即可判断.

【解答过程】因为方=沆，则四边形A8CZ）是平行四边形，结合题图，

AD=-CB,A错误；

OC=-OAtB错误；

前与丽方向不相同，C错误：

~DO=OB,D正确.

故选：D.

【变式4.1］（23・24高一下•全国课后作业）如图，四边形A8CD和四边形力BDE都是平行四边形.

（1）写出与向量而相等的向量；

（2）写出与向量而共线的向量.

【解题思路】（I）根据向量相等的概念直接求解；

（2）根据共线向量的概念直接求解即可.

【解答过程】（1）•・•四边形480E和四边形48CD都是平行四边形，

:.AB=ED,AB=DC,

・,•丽=DC.

故与向量前相等的向量是方，DC.

（2）由共线向量的条件知，与南共线的向量有反，AB,瓦?，DC,CD,EC,CE.

（1）试找出与战共线的向量：

（2）确定与而相等的向量：

（3）而与正相等吗？

【解题思路】（1）（2）（3）根据给定条件，利用正六边形的性质，结合共线向量、相等向量的意义判断

作答.

【解答过程】（I）由。为正六边形/BCD"•的中心，得与而共线的向量有近和万?.

（2）由于灰与而长度相等且方向相同，所以前=而.

（3）显然雨〃近，且|西=|园，但刀与正的方向相反，所以这两个向量不相等.

【题型5用向量关系研究几何图形的性质】

【例5.1］（23・24高一下•河南•期中）在四边形4BCC中，4c与8D交于点。，且而=近，BO=0D,\AC\=

阿I，则（）

A.ACS.BDB.四边形ABC。是梯形

C.四边形48C。是菱形D.四边形力8CD是矩形

【解题思路】由题意，根据相等向量的概念和向量的模，结合矩形的判定定理即可求解..

【解答过程】由而二沅，诙=而,|而|二|前

知四边形的对角线相互平分旦相等，

所以四边形48。。为矩形.

故选：D.

【例5.2】（23-24高一下•辽宁抚顺•开学考试）若四边形ABCD中瓦5=而，]且向=|西,

则对该四边形形状的说法中错误的是（）

A.平行四边形B.矩形

C.梯形D.正方形

【解题思路】根据向量条件可判断四边形48CD为正方形，据此判断各选项.

【解答过程】四边形/BCD中瓦？=而，则其为平行四边形，

若同时满足|而|二|而即邻边相等，就是菱形，

最后|而|二|而即对角线相等，就满足了矩形的条件.

于是三项都满足的四边形为正方形，故A,B,D正确，C错误.

故选：C.

【变式5.1】（23-24高一•全国•课后作业）如图，四边形力3CO的对角线力C与交于点O,且而=沅,

BO=OD.求证：四边形48CQ是平行四边形.

【解题思路】由南=玩，前=前可得力（7、6。互相平分，利用平行四边形的判定定理即可证明.

【解答过程】因为四边形/4CO的对角线力。与5。交于点O,且初二而，BO=OD.

所以四边形力8c。的对角线力C、4。互相平分，

所以四边形力8CQ是平行四边形.

即正

【变式5.2]（23-24高一下•全国课后作业）如图，已知在四边形/BCD中，A/N分别是BC,4D的中点,

又通=沆.求证：CN=MA.

【解题思路】根据相等向量的定义、中点的定义、平行四边形的判定定理和性质定理，可以证明出CNMMA

【解答过程】证明：由而=配正知AB=DC且4B〃DC,

所以四边形48CD为平行四边形，

从而而=BC.

又材，N分别是8C,力。的中点，于是丽=就.

所以4N=MC且4/V〃MC.

所以四边形AMCN是平行四边形.

从而CN^MA

〉课后提升练（19题）

一、单选题

I.（2024高二上•黑龙江佳木斯•学业考试）下列量中是向量的为（）

A.功B.距离C.拉力D.原量

【解题思路】根据向量的定义即可判断.

【解答过程】功，距离，质量只有大小没有方向，不是向量；拉刀既有大小又有方向，是向量.

故选：C.

2.（23-24高一下•全国•课前预习）下列说法正确的是（）

A.向量的模是正实数

B.共线向量一定是相等向量

C.方向相反的两个向量一定是共线向量

D.两个有共同起点且共线的向量终点也必相同

【解题思路】根据向量、向量的模和共线向量的含义即"J判定.

【解答过程】对于A,因为0|=0,不是正实数，故A错误；

对于B,共线向量是方向相同或相反的向量，但模的大小不确定，故B错误；

对于C,共线向量是方向相同或相反的向量，故方向相反的两个向量一定是共线向量，故c正确；

对于D,两个有共同起点且共线的向量方向相同或相反，长度也不一定相同，故终点不一定相同，故D错

误.

故选：C.

3.（2024高三・北京・专题练习）给出下列命题：①任一非零向量都可以平行移动，零向量的长度为零，方

向是任意的：②若苍，了都是单位向量，则五=石：③向量方与瓦（相等.其中正确命题的序号为（）

A.①B.③C.①@D.①②

【脩题思路】由向量的有关概念逐项判断即可.

【解答过程】因为同方向且模相等的向量相等，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，

且零向量的长度为零，方向是任意的，故①正确：

根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，

故两个单位向量不一定相等，故②错误；

向量而与瓦?互为相反向量，故③错误.

故选：A.

4.（23-24高一下•福建芾田•阶段练习）下列结论中，正确的是（）

A.零向量的大小为0,没有方向

B.画=|瓦

C.起点相同的单位向量，终点必相同

D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等

【解题思路】根据零向量特点即匕判断A；根据向量模的定义即可判断B,根据单位向量以及向量共线的性

质即可判断CD.

【解答过程】对A,既有大小乂有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误；

对B,由于而与瓦5方向相反，长度相等，故B正确；

对C,起点相同的单位向量，终点不一定相同，故C错误；

对D,若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等或相反，故D错误.

故选：B.

5.（2024高三・全国•专题练习）在△ABC中，AB=AC,。、E分别是48、4C的中点，则（）

A.都与前共线B.丽与丽共线

C.而与版相等D.而与丽相等

【解题思路】利用共线向量、相等向量的概念逐项判断即可.

【解答过程】由题意可知，而与元不共线，A错；

因为。、E分别是力B、AC的中点，所以，DE//BC,故反与方共线，B*j；

因为。。与4E不平行，所以而与荏不相等，C错；

因为而=砺=一而，D错.

故选：D.

6.（23-24高一下•黑龙江佳木斯期末）下列叙述中正确的是（）

A.已知向量Z,b,且d/而,则正与了的方向相同或相反

B.若国=回,则五=E

C.若苍〃反bUc,则五//?

D.对任一非零向量自④是一个单位向量

同

【解题思路】对A,若高E有一个为零向量即可判断；对B,向量相等定义即可判断；对C,若Z=6即可

判断；对D,由单位向量的定义判断.

【解答过程】对A,零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，若五=6或1=6时，W与石的方向不

是相同或相反，故A错误；

对B,同=|石且有，了方向相同才可判断元=反故B错误；

对C,当E=6时，若苍//反bile.五与7是任意向量，故C错误；

对D,对任一非零向量示普表示与之方向相同且模长为I的向量，故D正确.

同

故选：D.

7.（23-24高一下•福建福州•期中）下列说法正确的是（）

A.若两个非零向量荏，而共线，则A,B,C,D必在同•直线1：

B.若方与E共线，石与^共线，则五与也共线

C.若同=|同贝必=Z

D.若非零向量而与而是共线向量，则它们的夹角是0°或180。

【解题思路】根据共线向量的概念即可判断A,B,D;根据相等向量的概念可以判断C.

【解答过程】方向相同或相反的两个非零向量是共线向量，因此D正确；

若非零向量几,己是共线向量，则48,C,0未必在同一直线上，A错•：

若1=6,则之与1共线，了与之共线，但是会与工未必共线，8错・；

由向二网可以得到阳b的大小相等，但方向不一定相同，C错.

故选：D.

8.（24-25高一下•全国•课后作业）如图，在04BCO中，可以用同一条有向线段表示的向量是（）

A.瓦5和近B.反和而

C.诙和前D.反和万？

【解题思路】根据相等向量的概念，得到反和而是相等向量，即可求解.

【解答过程】对于A中，向量万5和正的方向相反，但长度相等，所以病和说不是相等向量:

对于B中，向量沆和通的方向相同且长度相等，所以反和而是相等向量，

对于C中，向量方和近的方向不同，且长度不相等，所以反和而不是相等向量；

对于D中，向量沆和刀的方向不同，且长度不相等，所以沆和方不是相等向量；

所以只有向量沆和而可以用同一条有向线段表示.

故选:B.

二、多选题

9.（24-25高一下•全国•课后作业）（多选）下列说法错误的是（）

A.若同=|3，则五=土石B.长度相等的向量是相等向量

C.零向量的方向是任意的D.方向相反的向量是相反向量

【解题思路】根据向量的相关定义逐•判断各个选项即可求解•.

【解答过程】对于A,若同=历|，则不一定有五=±瓦

比如，让这两个向量共起点，则它们的热点分步在以这个起点为圆心的一个圆周上,

所以这两个向量不一定共线，故A错误；

对于B,长度相等且方向相同的向量是相等向量，故B错误；

对于C,零向量的方向是任意的，故C正确：

对于D,方向相反且长度一样的向量是相反向量，故D错误.

故选：ABD.

10.（23-24高一下•江苏泰州•阶段练习）下列说法中，正确的是（）

A.若两个非零向量AB,而满足而+而=6,则而，而是互为相反向量

B.若向最而，而满足\AB\=\CD\,荏与而同向，则下》而

C.荏=而的充要条件是力与。重合，B与。重合

D.模为0是一个向量方向不确定的充要条件

【解题思路】根据向量的基本性质，基本概念，以及向量平行和零向量的定义，逐项分析即可.

【解答过程】对丁A,因为两个非零向量AB,讶满足而十丽=6,

贝山通|二|而且而二一而，故方向相反，

则75,而是互为相反向量，故A正确；

对于B,因为向量不能比较大小，故B错误；

对于C,若4与C重合，。与。重合，则说=而，

则充分性成立，

但屈=而，根据向量的可平移性，

不一定有力与C重合，B与。重合，必要性不成立，

故C错误；

对于D,模为0的向量是零向量，故其方向不确定；

一个向量方向不确定，是零向量，其模为0,

故模为0是一个向量方向不确定的充要条件，

则D正确，

故选：AD.

11.（24-25高一下•全国•课后作业）如图，在菱形4BC0中，4BAO=120。，则以下说法正确的是（）

cB

A.与而相等的向量只有1个（不含而）

B.与而的模相等的向量有9个（不含布）

C.丽的模恰为万?的模的旧格

D.而与瓦?不相等

【解题思路】根据相等向量以及模长定义，结合结合图形求解ABD,根据菱形的性质即可求解C.

【解答过程】由于而=方，因此与万相等的向量只有反，而与血的模相等的向量有万?，DC,AC,CB,

而，CD,CA,前,BA,故A,B正确；

而在RtANOD中，力D0=30。，|诙|=等|万可，故|砺|二百|）国，故C正确：

由于方=万5,因此而与万?是相等的，故D错误.

故选：ABC.

三、填空题

12.（24-25高一下•全国•课后作业）已知四边形48CD和480E都是平行四边形，则与向量而相等的向量为

相反•

【解题思路】根据向量相等的概念直接求解..

【解答过程】

•••四边形/18C•。和718DE都是平行匹边形，

AB//ED,AB=ED,AB//DC,AB=DC,

从而而=前，AB=DCt/.ED=DC.

故与向量前相等的向量为前，DC.

故答案为：AB,DC.

13.（24・25高一下•全国•课后作业）如图，在正六边形力8CQM中，若48=1,则I而+而+而1=2.

ED

【解题思路】由向量的加法原则求解即可.

【解答过程】因为而+而+而=而+近+而=而，

因为正六边形48C。痔是由6个全等的等边三角形构成，所以|而|=2,

所以|荏+而+而|=|而|=2.

故答案为：2.

14.(23-24高一•全国•假期作业)下列说法中正确的是①③.

①若向量2与向量石不平行，则正与茄勺方向一定不相同；

②任意两个相等的非零向量的起点与终点是•平行四边形的四个顶点；

③向量W与了不共线，则五与石都是丰零向量.

【解题思路】根据向量的概念、向量平行的定义，逐项判断即可.

【解答过程】由向量平行的定义知①正确；两个相等的非零向量可以在同一直线上，故②不正确；向量五

与否不共线，则五与石都是非零向量，正确，不妨设,为零向量，贝口与石共线，与方与石不共线矛盾，故③正确.

故答案为：①③.

四、解答题

15.(24-25高一•全国•随堂练习)选择适当的比例尺，用有向线段表示下列向量.

(1)终点力在起点O正东方向3m处；

⑵终点8在起点0正西方向3m处；

(3)终点C在起点0东北方向4m处；

（4）终点D在起点O西南方向2m处.

【解题思路】（1）从0向东作长度为3m的有向线段就；

（2）从。向西作长度为3m的有向线段而；

（3）从。点起向北偏东45。方向作长度为4m的有向线段沉;

（4）从。点起向南偏西45。方向作长度为2m的有向线段历.

【解答过程】（1）从0向东作长度为3m的有向线段而：

八北

西东

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