2025年高一数学暑假作业1：集合与常用逻辑、不等式、复数（北师大版）含解析

高一暑假作业1:集合与常用逻辑、不等式、复数（北师大版）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.（2025•江苏省苏州市•月考试卷）已知全集U=A={x\2<x<6],8=（1,4）,则下图中阴影部分表

示的集合为（）

A.{x|1<A;,2)B.{x\l<x<2}C.{1,2}D.0

2.命题“3x0GR,片十2XQ十2,。”的否定是（）

甚任片+

A.R,24+2,,0B.3Ao£A,4+2x()+2>0

C.\JXGR、x2+2x+2,,0D.VXG7?,42.v+2>0

3

3.命题p：x..2是命题小——<1成立的（）条件

x+1

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

4.（2025•福建省三明市•月考试卷）已知。>0,若不等式恒成立，则〃的最大值为

ab2a+b

（）

A.9B.12C.16D.20

5.（2025・吉林省・期末考试）已知不等式以2+公+0<0的解集为{#1〈-1或工>3},则下列结论正确的是

()

A.«>0

B.c<0

C.a+b+c<0

D.ex2—bx+a<0的解集为{划-5Vx<1}

6.（2025•河北省•单元测试）欧拉是十八世纪伟大的数学家，他巧妙地把自然对数的底数e,虚数单位i,三

角函数cos。和sin。联系在一起，得到公式e'〃=cose+jsin。，这个公式被誉为“数学的天桥”.根据

该公式，可得/+1=（）

A.1B.72C.2D.75

7.已知函数y--2的定义域为A,集合"={x||x—3K〃M>0},若Ac3中的最小元素为

2,则实数。的取值范围是（）

A.{x|0v6，4}B.{x|0<«<4）C.{x|lvq,4}D.{x\\<a<4}

8.（2025•浙江省•同步练习）当0<%（时，log。8、恒成立，则实数”的取值范围是（）

3

A.（°，塔）13•（去，DC.（1,右）D.（0,2）

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.（2025•黑龙江省绥化市•期末考试）下列叙述中正确的是（）

A.若则一《一

ab

B.“HrwH,2、>%2”的否定是“Vx仔R,

C.a,b,ceR,则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”

D.若命题“女cA,丁+4%+〃=0”为假命题，则实数力的取值范围是（4,+8）

10.（2025•内蒙古自治区•期中考试）已知z是复数，且z-i和三都是实数，其中i是虚数单位.则下列说

1-z

法正确的是（）

A.z=—\+i

B.|z|=2

C.z2=—2Z

D.若复数z+,〃+（〃/—在复平面内对应的点位于第三象限，则实数加

11.（2025糊南省・单元测试）已知Z,关于x的一元二次不等式W-61+〃<0的解集中有且仅有3个整

数，则a的值可以是（）

A.5B.6C.7D.8

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(2025•上海市市辖区•月考试卷)已知条件p：2软Jr3,q：2A•-1(工<卜+3,〃是c/的充分条件，则

实数火的取值范围是.

13.(2025•天津市•月考试卷)己知乂ye/?,若x+)”与一^互为共规复数，则%+>=_______.

1-z

14.设。<0,若关于x的不等式(4/+a)(x+26)》。对任意的xe(。,。)恒成立，则人一。的最大值为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(2025•浙江省•单元测试)(本小题13分)

已知集合4={t|一1<n<3},B={x|x..l},C={x\x>m-2}.

⑴求AuB;

(2)若,求实数〃?的取值范围.

请从①AqC,②AcC，0,③这三个条件中选一个填入(2)中横线处，并完成第⑵问的解答.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

16.(2025•广东省•单元测试)(木小题15分)

己知复数z=(〃LlX〃[+2)+(〃7-l)i(〃?eR),其中j为虚数单位.

⑴若z是纯虚数，求实数〃7的值：

(2)若〃?=2,设二^=a+,试求a+〃的值.

Z7

（2）为了节约成本，应该如何设计绘画墙的尺寸，使得绘画墙墙面的面积最小？

19.⑵）25•吉林省・联考题）（本小题17分）

设函数y=ax2+（\-a）x+a-2.

⑴若不等式）Z.-2对于实数时恒成立，求实数x的取值范围；

、4v2+9

⑵命题〃：V%£{x|-2领k2},叫£{刈1领k4）,使x；+叫+3—。…二——成立.若〃为真命题,

4X2

求实数〃的取值范围.

1.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查集合的运算，Ve〃〃图表达集合的关系及运算，属于基础题.

依题意，可得阴影部分所示集合为何，A)c6,进而求解.

【解答】

解：依题意，可得阴影部分所示集合为⑼A)c8,

其中(4,A)=(-co,2]56,+OD),故同A)CB={x11v&2}

2.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查命题的否定.存在量司令题与全称量词命题的否定关系，基本知识的考查.

直接利用存在品词命颍的否定是全称异词命题写出结果即可.

【解答】

解：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以：命题石+2%+2,0”的否定是:

Vx£R,x2+2x+2＞0.

故选：D.

3.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查充分、必要条件的判断，属于基础题.

解分式不等式，再利用充分、必要条件的定义即可判断.

【解答】

3

解：由----＜1＞得x＞2或工＜一1,

x+1

因为尤.2是人＞2或人＜—1的既不充分也不必要条件，

故〃是夕的既不充分也不必要条件，

故选D.

4.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查基本不等式，将〃分离出来，化为〃《5+—+丁是关键，属于中档题.

ab

依题意可将2+；》丁七化为”5+多+土利用基本不等式即可得到答案.

ab2a+6ab

【解答】

解：'.'tz>0,b>0,

21n2(2a4-b)2a4-b-262a

2b2a..2^”・华=4(当且仅当。=〃时取“二”).

由。>0,力>0得,

ab

.・.5+竺+即.9

ab

4,9.

故选A.

5.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系，是基础题.

根据不等式以2+/.+CV0的解集得出对应方程的解，以及。<0,由此判断选项中的命题是否正确.

【解答】

解：因为不等式办2+公+cv0的解集为{XIXVT或X>3},

所以一1和3是方程ar2+Z?x+c=()的解，且〃<0，选项A错误；

-1+3=--

所以“，解得〃=—2a,c=-3a>0,选项8错误；

-1x3=-

a

所以a+0+c=a-2“一女i=-4«>0,选项C错误：

不等式ex2一灰+〃<0可化为一3必2+2ax+a<0,即3x2—2x-1<0>

解得所以不等式的解集为{x|-g<x<l},选项。正确.

33

故选：D.

6.【答案】B

【脩析】【分析】

本题考查模的计算，体现基础性、创新性，属于基础题.

由定义得出一,，然后利用模的计算公式求解即可.

【解答】

我

解：由已知/=cos—+isin—=/>

22

所以|理+“=|1+4=&，

故选B.

7.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了函数的定义域

【解答】

函数3=一尢-2=］（』一2）（尢十1），由（*一2）（*+1）..0解得工.2或匕，一1,所以集合八={x|x..2

或K,一1},由1%-3|<〃，得一4<X-3V。，即3—。VXV3+4所以集合

-1„3—6/<2,

B={x\3-a<x<3+aya>0},因为AcA中的最小元素为2,所以匕。解得1<%4,

3+a>2,

故选C

8.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查对数函数和指数函数的图像和性质，不等式恒成立问题.

作出），=8、与），=log“x的大致图象，结合函数图像进行求解.

【解答】

解：•.•log“x>8'，

/.logaX>。，

而o<兄，"!•，

3

/.0<«<1.

作出y=8V与），=log”X的大致图象，如图所示,

r

K.

o\x

I

ii

31

则只需满足loga->8=2=log“a,

,x/3

.•a>—，

3

石)

/.—<6/<1.

3

故选B.

9.【答案】AD

【解析】【分析】

本题考查利用不等式的基本性质判断不等关系，全称量词命题与存在量词命题的否定，充要条件及其判

断，属于基础题.

利用不等式的性质判断4利用存在量词命题的否定判断以利用充要条件的定义判断C；求出，〃的范围

判断D

【解答】

解：对于4,a>b>0,则,<,，故A正确；

ab

对于从“小wR,2、>丁”是存在量词命题，

其否定是：7xwR,，故B错误；

对干C,若a>c，b=0,则疝2=0=浦2,

因此不是a/〉”/的充要条件，故C错误；

对于。，命题“HxwH,V+4x+〃?=0"为假命题，

则VXG»/+4]+为真命题，

因此△=16-4/〃<0,解得W>4,故。正确.

故选：AD.

10.【答案】ACD

【解析】【分析】

本题考查了复数的概念，几何意义和复数的运算，属于中档题.

利用待定系数法可求得Z,根据复数的模长公式，乘法运算以及几何意义即可得结果.

【解答】

解：设2=工+.，x,ywR,

所以z-，=x+(y—l)i为实数，即y=l;

zx+i(%+z)(l+/)x-l+(x+l)i

所以;一=L=〃.、/[=-----Z-------，即工二-1,所以z=—l+i,故A正确；

1-z1-z(1-z)(l+z)2

所以|z|=0,故4错误；

所以22=(-1+7)2=-27,故。正确;

复数z+"7+(M_m_3)/=-14-m+(nV-m-2)i对应的点为(-1+in,nV-加-2)在第三象限,所以

-1+m<0

i?!2-m-2<0

解得故。正确,

故选：ACD.

11.【答案】ABC

【解析】【分析】

本题主要考查一元二次不等式，以及根的存在性及根的个数判断问题，同时考杳了转化的思想，属于较综

合的中档题.

设/(幻=/-6工+4,其图象是开口向上，对称轴是x=3的抛物线，如图所示.利用数形结合的方法得

/(2)<0

出，若关于x的一元二次不等式9—6x+《,0的解集中有且仅有3个整数，则<从而解出所

有符合条件的。的值.

【解答】

解：设/。)=/一6工+。，其图象是开口向上，对称轴是工=3的抛物线，如图所示.

若关于X的一元二次不等式X2-6X+6Z<0的解集中有且仅有3个整数，则

/（2）<0[22-6X2+«<0

/⑴..0[l2-6xl+6/..O

解得5,,av8,又〃wZ,「.a=5,6,7.

故选ABC.

3

12.【答案】[03]

【解析】【分析】

本题主要考查充分条件与必要条件，属于基础题.

根据已知条件，可知〃能推出取即可列出不等式组,即可求解.

【解答】

解：•・•〃：2领k3,q：2上一1+〃是4的充分条件，

2k-1<k+33

2k—142,解得滕友二，

{k+3232

3

故实数上的取值范围为

2

3

故答案为：[0,51.

13.【答案】-1

【解析】【分析】

0•

本题考查了共规复数和复数的四则运算，先由复数的运算化简士，再由共枕复数定义可得结果.

1-Z

【解答】

3+Z_(3+/)(l+z)

=1+2/

解:1^7-(l-z)(l+O

•・<+y・与拉互为共物好数，

1-Z

=)'=-2,则x+y=-l,

故答案为T.

14.【答案】2

【解析】【分析】

本题考查不等式恒成立问题，分类讨论思想的应用.

分类讨论。、〃与。的大小关系，根据小等式恒成立得出力—4的范围，即可求出。-。的最大值.

【解答】

解：当时，Vxw(a,6),戈+2人<0,

所以(4x2+a)(x+2b)..0在3,以上恒成立,

可转化为，a,-4x2r

y=-4x2在(。力)上单调递增,其加=-4a2,

所以&-4a2,则一L,,av0,

4

所以o〈人一。〈■!■；

4

当"Ovb时,(4/+。).*+2力..0在他力)上恒成立，且0金。肉,

当x=O时,(4/+〃).(》+2〃)=246<0,不符合题意：

当4Vo=/时,由题意知xw(a,0),(4G+°).乂.0恒成立,

则4x2+4,0,仇,一4a2,所以一a<0,

4

所以0<2-④L

4

综上可知，人一。的最大值为一.

4

故答案为!.

4

15.【答案】解:(1)・・•集合A={/|Tvxv3},B={x|x.l),

：.AUB={rr|-1<x<3}U{x\x21}={©£>-1}.

(2)若选择①，由AqC,得加一2,—1，即〃4」，

，实数m的取值范围是{"""k1}.

若选择②，由AcCw0,得〃?一2v3,即m<5,

・•・实数m的取值范围是{m|m<5}.

若选择③，由。洋C/1,且C/l={0①W-1或"3},得相一2..3,即坂.5,

・•・实数m的取值范围是{，〃|枢.51.

【解析】本题为结构不良题型，考查集合的基本运算，集合关系中含参问题，属「基础题.

16.【答案】解：⑴若z是纯虚数，则产[)”2)=0,解得,〃=_2；

1H0

3

+-

2-

上

【解析】本题主要考察复数的概念与分类和复数的除法运算，属于中等题.

根据复数的定义以及复数相等的意义即可求解.

17.【答案】解：⑴若命题“关于x的方程/+〃q+2〃z+5=0有两个不相等的实数根”是真命题,

则△=-4(2/??+5)>0,解得加>10或v-2,

故]()}.

(2)因为4={〃2|-2效版10),xwA是xwB的充分不必要条件，所以AOA

[1—2«,—2

即八（等号不同时成立），解得a.U，

10

所以实数。的取值范围为{。I11}.

【解析】本题考查充分条件，必要条件，集合的包含关系，属于中档题.

⑴先假设命题为真，进行求解即可；

（2）根据题意，可得AU8,即可得解.

18.【答案】解：⑴由题意，知每一幅矩形图画的长为寸厘米，宽为>-4厘米,

则Tx()，—4)=9600,整理得了=生图+4(”>8).

3%—8

⑵由⑴知绘画墙墙面的面积s=.。=,

x-8

则S=28800(I)+23040%g8)+32

x-8

=2：誉+4(X-8)+28832

=4^92+(x-8)]+28832,

x-8

由基本不等式，有卫缈+x-8..2,卫92X(X-8)=480,当且仅当x=248时取等号.

x-8Vx-8

故S..4X480+28832=30752,此时)，=+4=124,

故当绘画墙墙面的长为248厘米，宽为124厘米时，绘画墙面的面积最小.

【解析】本题考杳利用基本不等式解决实际问题，属于中档题.

⑴由题意得寸乂。，-4）=9600,化简即可得解；

（2）首先得S=41卫弊+（工-8）］+28832,然后结合基本不等式及其取得条件即可求解.

_X-o

19.【答案】解：⑴原式可化为a^+d—aK+a.O对实数。以一1,1］恒成立，

即（/7+l）a...7对实数ae［T,1］恒成立，