2025年人教A版选择性必修第一册《第二章 直线与圆的方程》单元测试卷（含解析）

人教A版选择性必修第一册《第二章直线与圆的方程》2025

年单元测试卷

一、单选题

1.若直线Z与直线y=2,%=4分别交于点P,Q,且线段PQ的中点坐标为(1,一1),则直线，的斜率为()

A.1B.-1C.-3D.3

2.过点M(-2,Q),N(Q,4)的直线的斜率为一;，则|MN|二()

A.10B.180C.6，5D.6c

：

3.已知直线ax+(a+l)y+1=0,Z2x+ay+2=0,若％1%，则a=()

A.0B.-2C.0或一2D.O或2

4.如果圆d+y2+。工+b丫+。=o(a,b,c不全为零)与y轴相切于原点，那么()

A.a=0,bwO,cHOB.b=c=O,a工0

C.Q=c=O,bWOD.a=b=O,c彳O

5.以点4(1,-2),B(3,4)为直径端点的圆的方程是()

A.ix-2)2+(y+l)2=10B.(x-2)2+(y—l)2=/10

C.(x—2)2+(y+l)2=-/TOD.(x—2)2+(y-l)2=10

6.经过点(1,0)且圆心是两直线x=1与x+y=2的交点的圆的方程为()

A.(X-I)2+y2=1B.(x-I)2+(y-I)2=1

C./+(V-l)2=1D.(X-I)2+(y-I)2=2

7.设meR,过定点力的动直线3+my+m=0和过定点8的动直线mx-y-m+2=0交于点P,贝力户川+

|P2|的最大值()

A.16B.4<5C.710D.2/5

8.设直线匕：2x—my-1=0,(m-l)x—y+1=0.则“m=2"是"匕〃%"的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9.直线y=kx+l与圆Q-2)2+(y-=4相交于P、Q两点.若|PQ|>2/2,则k的取值范围是()

A.[—^,0]B.[-苧，孑]C.[—1,1]D.[—V3,V3]

10.在等腰直角三角形218。中，AB=AC=4,点尸是边上异于48的一点.光线。

AB

等于（）

A.2

B.1

11.已知力（一2,0）,8（0,2）；C是圆上%2+y2-2%=0上任意一点，则的面积的最大值是（）

A.3+/2B.3-x<2C.6D.4

12.已知圆C：x2+y2-4x-2y+1=0,直线/：3x-4y+3=0,圆上到直线2的距离为1的点有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

13.已知圆的：（%—2）2+（）/-3）2=1.圆。2：（无一3>+（y—4）2=9,M、N分别是圆Q、最上的动点，。

为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）

A.5/2-4B./17-1C.6-2^1,D.717

14.过原点且倾斜角为60。的直线被圆好+方一4y=0所截得的弦长为（）

15.已知点P（%,y）是直线依+y+4=0（4>0）上一动点，PA,PB是圆C：好+/—2、=。的西条切线，％,

B是切点，若四边形P4C8的最小面积是2,则k的值为（）

A.3B婴C.2\f2D.2

二、多选题

16.已知直线八V3x-y+l=0,则下列结论正确的是（）

A.直线侑勺倾斜角是*

O

B.若直线m：x—\/~3y+1=0,则1J_m

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C.点(，W,0)到宜线I的距离是2

D.过(20,2)与直线I平行的直线方程是dlx-y-4=0

17.已知点力Q+2,0),8(-〃,0),若圆C：(%-4)2+(y-4>=9上存在唯一的一点P,使得巴41PB,则

葭的值可能为()

A.-9B.-5C.1D.7

18.已知圆Ci：x2+y2=r2,圆C”(%—+(y—匕/二八①>0)交于不同的力(占,y。，两点，

下列结论正确的有()

22

A.Q(%I—x2)+》(月—丫2)=。B.2axx+2byx=a+b

C.Xi+x2=aD.+y2=2b

三、填空题

19.过点(1,0)且倾斜角是直线2x-3y+3=0的倾斜角的两倍的直线方程是____.

20.已知圆C：%24-y2—4%—2y+1=0上存在两个不同的点关于直线X+ay-1=0对称，过点4(4,a)作

圆。的切线，则切线方程为_____.

21.经过两条直线3无+4y-2=0与2x+y+2=0的交点，旦垂直于直线3%-2y+4=0的直线方程为

22.已知圆C经过P(-2,4),Q(3,-l)两点，且在不轴上截得的弦长等于6,且圆C不过原点，则圆C的方程为

四、解答题

23.已知直线/经过点P(2,l),与直线工+2y-3=0和2x+y-6=0分别交于A,3两点，而且线段AB被

点P平分.

(1)求直线1的方程；

(2)若圆C的圆心在，上，与直线轨+3丫+14=0相切，且直线3%+4丁+10=0被此圆截得弦长为6,试

求圆C的方程.

24.口知圆C：x2+(y—2尸=4,直线，：〃以一y+1一机=O(〃ieR).

(1)判断直线I与圆C的位置关系：

(2)若直线I与圆C交于力、B两点,且乙4c8=120。，求直线［的方程.

25.为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形PQRC的草坪，且PQ//8C,RQ_L8C,另外△力EF

的内部有一文物保护区.4B=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m.

(1)求直线Er的方程.

(2)应如何设计才能使草坪的占地可积最大？

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】设P(%2),Q(4,y).

•••线段PQ的中点坐标为(1,一1),

仔=1,

,v>解得％=-2,y=-4.

.•.尸(一2,2),Q(4,-4)

•・•直线/的斜率=聿=一1.

故选：B.

2.【答案】D

【解析】•••过点M(-2,a),N(a,4)的直线的斜率々二接=一去

解得a=10,

•••|MN|=J(a+2尸+(4—a)2=V(10+2)2+(4-10)2=6

故选D.

3.【答案】C

【解析】,•,直线小ax+(a+l)y+1=0,l2：x+ay+2=0,

:•若h1Z2,a4-a(a4-1)=0

即a?+2a=0,

解得：a=0或一2.

故选：C.

4.【答案】B

【解析】因为圆与y轴相切丁原点，则圆心在x轴上，所以。=0：

且由圆心的横坐标的绝对值等于半径，则c=0,aHO.

故选：B.

5.【答案】D

【解析】圆心为(岑，若)即(2,1),

则r=T|力8|=：xJ(3-1尸+(4+2尸=/10,

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故方程为Q-2)2+(y-I)2=10.

故选。.

6.【答案】B

【解析】••,圆心是两直线X=1与％+y=2的交点,

二圆心为的解，即圆心坐标为(11)，

又;该国经过点(1,0)，

•••半径为1,

故圆的标准方程为(％-I)2+(y-1)2=1.

故选：B.

7.【答案】D

【解析】已知直线方程为x+my+m=0,

则x+m(y+1)=0,

即动直线工+my+m=0过定点(0,-1),

即<(0,-1)，

已知直线方程为nix—y—m+2-O,

则(无-l)x-(y-2)=0,

r-1=0

.7-2=0*

则

y=2,

即直线m%-y-m+2=0过定点(1,2),

即8(1,2),

则|.4B|=J(1-0)2+(2+1产=<10,

贝l|P川2+\pB\2=明2=10,

又(|P川+|P8|)2<|P4|2+|P8|2,

则|P4|+\PB\<275,

则|P川+|P8|的最大值为2/5,

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故选:D.

8.【答案】C

【解析】当m=2时，两直线方程为，1：2x-2y-1=0»l2：x-y+1=0»满足I"/%，

当n=0时，两直线方程为，1：2%-1=0,l2：-X-y+1=C,不满足。〃①

二若，"/①则哆"二三工占，

解得m=2或m=-1(舍去)，

“m=2”是““〃2”的充分必要条件，

故选C.

9.【答案】C

【解析】若|PQ|>2V2,

则圆心(2,1)到直线y=kx+l的距离d工J4一(半尸=/2,

即<UL

V1+H

解得：kE[―1,1]»

故选：C.

10.【答案】D

【解析】以人为原点，为x轴，AC为y轴建立直角坐标系如图所示.

则4(0,0),8(4,0),C(0,4).

设△ABC的重心为D,则。点坐标为(31),设P点坐标为(m,0),则P点

关于y轴对称点夕2为(-皿0)，

因为直线8c方程为x+y—4=0,

所以户点关于的对称点Pi为(4,4-m),

根据光线反射原理，％,P2均在QR所在直线上，

解得，m=g或m=0.

当n=0时，P点与力点重合，故舍去.

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m=

故选：D.

11.【答案】A

【解析】由题意直线4?的方程是3+之=1,即x-y+2=0,\AB\=2yf2,

则边48上的高即点C到直线48的距离d取最大值时、△力BC面积取最大值，

因为圆(％-1)2+y?=1的圆心(1,0),半径r=l,

则圆心(1,0)到直线4R的距离是比挈=手，

所以圆上点C到直线48的距离d取最大值是学+1,

所以△ABC面积的最大值是gx2/1x(苧+1)=3+V7.

故选:A.

12.【答案】C

【解析】圆。：+y2一轨一2y+1=0化为标准方程为：(X-2)2+(y-1)2=4

6(2,1),r=2

.•顺心到直线I：3x-4y+3=0的距离为：d=l3x2~^xl+3l=i

・••圆上到直线，的距离为1的点有3个

故选：C.

13.【答案】A

【脩析】由题意知g(2,3),0(3,4)，两圆的圆心均在第一象限，半径分别为1，3,

先求|Pg|+|PQI的最小值，作点Ci关于无轴的对称点。/(2,-3),

则(|PG|+\PC2\)min=IC/C2I=/PT7^=5/2,

所以(|PM|+\PN\)min=5<2-(1+3)=5VI-4.

故选A.

14.【答案】D

【脩析】将圆f+y2-4y=0的方程可以转化为：

%2+(y-2)2=4,

即圆的圆心为4(0,2),半径为r=2,

•••直线的倾斜角为60。，作4N垂直直线Z于N,如图在zUN。中，LA0N=30°,0/1=2,

••.A到直线ON的距离，即弦心距为1,

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:.GN=/3,

.•.弦长为2后，

故选。.

15.【答案】D

【解析】圆C：d+y2-2y=0的圆心(0,1),半径是r=l,

由阅的性质知：S四边形PACB=2SNBC、四功形P4C8的最小面积是2,

••的最小值=1=：rd(d是切线长)，

'd及小值=2、

当切线长最小时，|PC|最小，

而圆心到直线的距离就是|PC|的最小值，A/M+22=-^==/5

•••k>0,

:.k=2

故选：D.

16.【答案】CD

【解析】对于A直线心Cx-y+l=0的斜率k==故直线1的倾斜角是不故力错误：

对于8.因为直线m：%-四+1=0的斜率V=¥，kk'=lAl,故直线I与直线m不垂直，故8错误；

对干C点(，。0)到直线Z的距离d=16/一°+1|=2,故c正确：

J(/3)2+(-1)2

对于D过(2C,2)与直线，平行的直线方程是y—2=OQ—2C),整理得：^x-y-4=0,故。正确.

综上所述，正确的选项为CD.

故选CD.

17.【答案】ACD

【解析】因为4B的中点为定点N(l,0),口用=2|〃+1|,且

所以P在以N为圆心，|〃+1|为半径的圆N上，

依题意可得圆N与圆C只有一个公共点，则两圆外切或内切，

则|NC|=J(4.1)2+42=|〃+“+3,或|NC|=(4-I)2+42=||u+1|-3|,

解得〃=-9,-3,1,7.

故选ACD.

18.【答案】ABC

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【解析】由题意，由圆。2的方程可化为的：％2+'2-2(2%-2匕、+02+/)2一/2=0,

两圆的方程相减可得直线力B的方程为：2ax-^-2by-a2-b2=0,即2"+2by=小十房，

2222

分别把4(必,丫1),8(%2，丫2)两点代入可得：2axi+2by1=a+b,2ax2+2by2=a+b,

-

两式相减可得2a(xv-M)+2b(yr-y2)=0,即以与-x2)+^C/iX2)=

所以选项/I、B是正确的：

由圆的性质可得，线段48与线段C1G互相平分，所以+%2=见%+丫2=8，

所以选项。是正确的，选项。是不正确的.

故选ABC.

19.【答案】12x+5y-12=0

【解析】直线2x4-3y+3=0的斜率为k=-倾斜角为a,所以tana=-

*JO

过点(1,0)的倾斜角为2a,其斜率为ta712a=匿割=筌系=-y,

故所求直线方程为：y=-^(x-l),即12%+5y-12=0

故答案为：12x+5y-12=0.

20.【答案】y=-l或％=4

【解析】根据题意，圆C：x2+y2-4x-2y4-1=0,UP(x-2)2+(y-l)2=4,

表示以C(2,l)为圆心，半径等于2的圆；

若俱］C：义24-y2—4x—2y+1—0上存在两个不同的点关于直线x+ay—1—0对称，直线2：x4-ay—1—0

经过圆C的圆心(2,1),

故有2+a-1=0,解可得。二-1,则点力的坐标为(4,一1)；

过点4(4,一1)作圆。的切线，圆心到切线的距离d=2,

若切线的斜率不存在，直线方程为x=4,符合题意，

若切线的斜率存在，设直线的方程为y+l=k(x-4),BP/cx-y-4/c-l=0,

则有4=荒==2,解口J得k=0,则切线的方程为y=-l；

综合可得：切线的方程为y=-l或％=4；

故答案为：y=-1或x=4.

21.【答案】2x+3y-2=0

【解析】联立｛MQ2==o。，解得忧不

即两直线的交点为(一2.2),又直线垂直于3x-2y+4=0,

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故所求直线的斜率为一玄故方程为、-2二-弓(％+2),

化为一股式可得：2x+3y—2=0,

故答案为：2%4-3y-2=0

22.【答案】。-1)2+(y-2)2=13.

【解析】•••圆C经过P(-2,4),Q(3,-l)两点,且在工轴上截得的弦长等于6,且圆C不过原点，

f(-2-a)2+(4-Z?)2=/?2

设圆C：(%-a)2+(y—b)2=R2,根据题意得卜3—a)2+(—1一力尸=R2,

(房+9=R2

a=1(a=3

解得b=2或卜=4,

・••I1C的方程为Q-I)2+(y-2)2=13或Q-3)2+(y-4)2=25(此圆经过原点，故舍去).

故答案为：(%—1)2+(、-2)2=13.

23•【解析】(1)•••直线］经过点P(2,l),与直线x+2y-3=0和2%+y—6=0分别交于4B两点，而且线

段4B被点尸平分，

•••设F(4—m,2—n)>

(m+2n-3=0

AJ(2(4-m)+(2-n)-6=0,

解得m=n=I，

r0r9

•直线，过做§,§)，P(2,l),

2_1

「•直线I的方程为：号=5，

x/5一2

整理，得x-y-l=0.

(2)；圆C的圆心在直线Zq：x—y-1=0Jr.

.,.设C(x,x-1),

•••阿C与直线4%+3y+14=0相切，.•.圆心到直线距离d=R,

|4x+3(x-l)+14|_|7x+ll|

•