2025年广州市中考数学复习《圆》重难点练习

2025年广州市中考数学专题复习《圆》部分重难点专项练习

一、单选题

1.（2024•广东广州•二模）V4BC中，AB=AC=6,BC=4,以点A为圆心，5为半径画圆，那么该圆与

4C的位置关系是（）

A.相离B.相切C.相交D.不能确定

2.（2024.广东广州.中考真题）如图，OO中，弦A3的长为46，点C在C。上，OC±ABfZABC=30°.(O

所在的平面内有一点P,若OP=5,则点P与：。的位置关系是（）

C

A.点。在OO上B.点尸在GO内C.点尸在0。外D.尢法确定

3.（2024・广东广州•二模）如图，是0。的弦，点尸在弦AB上,P/T=4,PB=2,OP=布,则。。

的半径为（）

Q

4.（2024.广东广州•二模）如图,正六边形ABCDE”的半径为4,则该正六边形的边心距为（）

AB

E

A.73B.2GC.3GD.4G

5.（2023•广东•中考真题）如图，A8是G。的直径，ZB/AC=50°,贝ijNZ）=（）

c

C.50°D.80°

6.（2025•广东广州一模）如图，0Ao3,OC都是O的半径，AC,OB交于点D.若AO=CD=3,OD=4,

则8。的长为（）

B

A.4B.1C.3D.2

7.（2024.广东广州.中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72。的扇形，若扇形的半径/是5,

2n

C.2«式D.------兀

3

8.（2023•广东广州•中考真题）如图，VA4C的内切圆，/与AC,C4,A8分别相切于点。，E,F,若

的半径为r,ZA=。，则（B尸+CE-BC）的值和NR%的大小分别为（）

B.0,900-«C.2r,90°--D.0,90。埸

2

9.（2024•广东广州•二模）如图，RlZXABC中，ZC=90°,6。是VABC的内切圆，切点分别为点D、E、

F,CF=4,则劣弧Z?"的长是（）

C.8nD.16n

10.（2024•广东广州•二模）如图，A6是。的直径，直线。£与O相切于点C,过八，8分别作AD

BEJ.DE,垂足为点。，E,连接AC,BC,若AO=G，CD=3,则VA8C的面积为（）

B.4石C.6D.6>/3

II.（2024•广东广州•一模）如图，V48C的内切圆。/与BC,C4,48分别相切于点。，E,F,若。/

的半径为/，=则（A/^+CO—4C）的值和/A的大小分别为（）

B.r,1800-a

C.B，90。一夕D.折，90°-1

12.（2025,广东广州•模拟预测）妇图，矩形ABC。中，AB=4,BC=6,以A为圆心，2为半径作©A.若

动点E在CA上，动点P在BC上，则庄+PD的最小值是（)

A.8B.9C.10D.11

二、填空题

13.（2025•广东广州•模拟预测）如图，正六边形A8CD所的边长为2,以顶点A为圆心，/W的长为半径

画圆，则图中阴影部分的面积为.

14.（2022•广东广州•中考真题）如图，在AABC中，A8=AC,点O在边AC上，以。为圆心，4为半径的

圆恰好过点C，且与边48相切于点。，交BC于点E,则劣弧DE的长是（结果保留不）

15.（2024.广东广州.模拟预测）刺绣是我国独有的一门传统艺犬，它承载着大量中国民族文化的意义.圆

形刺绣作品展示木架的设计简图如图所示，已知A。、"C、分别与圆相交于点人点E、点、D,ABA.BC,

CDLBC,AB=CD=2em,BC=12cm,则圆形刺绣作品的半径为cm.

16.（2025•广东广州•模拟预测）如图，VABC内接于GO,连接A0并延长交8C于点。，交。。于点E,

若DE=2,AD=8,ZADB=150°,则BC的长为.

A

17.（2024.广东广州•模拟预测）如图，/用为：O的直径，点A是弧BC的中点，A。交BC于E点，。的

切浅与BC的延长线交于点F,AE=2,£0=4.则（1）弧AB的长=；（2）CF=.

18.（2024•广东广州•三模）如图，正方形ABC。内接于，O,线段MN在对角线8。卜.运动，若：O的面积

为2乃，MN=1,则（1）。。的直径长为：（2）cAMN周长的最小值是.

19.（2025・广东广州•模拟预测）如图，线段AA为QO的直径，点C在的延长线上，AA=4,BC=2,

点P是。。上一动点，连接CP,以C/）为斜边在PC的上方作Rb^PCO,且使得N"P=60。，连接O。,

则。。长的最大值为

20.（2024•广东广州•二模）如图，已知。的半径长为2,AB为。直径，点P是：O一动点，BC=2,

连结以。为斜边，在。上方构造直角三角形CP。且满足NCPQ=30。，NCQP=90°.

（I）若CP是（加的切线，求OQ-.

（2）求。。的最大值为.

三、解答题

21.（2023・广东广州•中考真题）如图，在平面直角坐标系u中，点4（-2,0）,“0,2）,AB所在圆的圆心

为0.将嬴向右平移5个单位，得到（点A平移后的对应点为C）.

（1）点D的坐标是,CO所在圆的圆心坐标是

（2）在图中画出C。，并连接4C,BD；

⑶求由八8，BD,DC，C4首尾依次相接所围成的封闭图形的周长.（结果保留乃）.

22.（2022•广东广州•中考真题）如图，48是。。的直径，点C在。O上，且AC=8,2c=6.

（1）尺规作图：过点。作AC的垂线，交劣弧AC于点。，连接C。（保留作图痕迹，不写作法）；

（2底（1）所作的图形中，求点。到AC的距离及sinNACO的值.

23.（2024•广东广州•模拟预测）如图，VA3C中，AB=AC,。是V/WC的外接圆，30的廷长交边AC

于点D.

（1）试利用无刻度的直尺画出N'"C的平分线，并说明理由；

⑵若CD=CB,。的半径为2,求劣弧BC的长.

24.（2024•广东广州•模拟预测）如图，相是O的直径，点C、D在圆上，NCD8=3NABC,CO平分NAC8,

与A8相交于点£

D

（1应6的延长线上找一点立使。尸=8,连接也）（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

⑵求证：/。是。的切线.

25.（2025・广东•模拟预测）如图，点，E在以AC为直径的（0上，上4ZX?的平分线交（O于点8,连

接物，EC,EA,过点石作E，_LAC,垂足为，，交AD于点F.

⑴求证：AE2=AFADX

2/s

（2）右sinNABD=---,AB=5,求S.0G.

26.（2024・广东广州•模拟预测）如图，在VA8C中，ZC=90°,。为边A8上的一点,以。为圆心，OB为

半径的圆与AC切于点E,与AB交于另一点O.

⑴求证：BE平分NABC；

(2)若80=4,BE=6,求C£的长；

(3底(2)的条件下，直接写出cosA的值.

27.(2025・广东广州•一模)如图，AB是的直径，。是AC上的点，弦和CE交于点尸，且。尸=。。，石”

是(。的切线，EH//AB,连结八CAEIE.

箭用图

(1)求证：EB=EF；

⑵求证：户是VA8C的内心;

(3)若CE=7&,9C=6,求直径A8的长.

28.(2023•广东・中考真题)综合探究

如图1,在矩形A38中(A8>/W),对角线AC,8。相交于点0,点A关于8。的对称点为4,连接AT交

30于点E,连接CA.

(1)求证：7Vr_LC4'；

(2)以点。为圆心，OE为半径作圆.

①如图2,与co相切，求证：/vr=Gcv：

②如图3,。与C4相切，AO=1,求。的面积.

29.（2024•广东广州•中考真题）如图，在菱形ABC。中，NC=120。.点E在射线上运动（不与点3,

点C重合），一4£3关于AE的轴对称图形为△AM.

C

（1）当N刻尸二30。时，试判断线段4•和线段A。的数量和位置关系，并说明理由：

⑵若AB=6+6百,。为△花5的外接圆，设C。的半径为，.

①求「的取值范围；

②连接直线厂力能否与。相切？如果能，求跖的长度；如果不能，请说明理由.

30.（2024•广东广州•模拟预测）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边

形，其中这个角叫做美角.

AA

【初步应用】（1）如图1,四边形A8C。是圆美四边形，NA是美角.

①/A的度数为°;

②连接80,若。的半径为5,求线段8。的长；

【拓展提升】

（2）如图2,已知四边形入水?。是圆美四边形，是美角，连接。，若C4平分/8CZ）,若。。的

半径为6,求5C+C。的最大值是多少？

参考答案

题号12345678910

答案ACABBBI)1)A1)

题号1112

答案AA

1.A

【分析】本题考查了直线和圆的位置关系、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理，明白要作AO/8C、

求出AO是解题的关键.

根据题意画出VA8C,并过点A作A。人4c于点。，根据等腰三角形三线合一求得8。的长，再利用勾股

定理求得AO的长，把AO与圆的半径5比较大小，判定该圆与的位置关系即可.

【详解】解：如图，根据题意画出VA8C,并过点A作于点。，

VAB=AC=6,8。=4,

/.^D=CD=-£fC=-x4=2,

22

,AD7AB2-BD2=4右，

V4>/2=V32>V25=5,

・•・以点A为圆心，5为半径的圆，与8c的位置关系是相离，

故选：A.

2.C

【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解

题关键.由垂径定理可得AQ=26,由圆周角定理可得ZAOC=60°,再结合特殊角的正弦值，求出。的

半径，即可得到答案.

【详解】解：如图，令OC与A8的交点为。，

•••0C为半径，A8为弦，且0cl4?,

:.AD=LAB=23,

2

vZAfiC=30°

.•.ZAOC=2ZABC=60°,

在zMDO中，ZA£)O=90°,400=60。，AD=2拒,

sinZAOD=—,

OA

,nA_AD_2x/3_

.正而一近一，即。。的半径为4,

2

・.・OP=5>4,

•••点。在(。外，

故选：C.

3.A

【分析】本题考查垂径定理‘勾股定理'过。作于从连接3,由垂径定理得到4"=3,

由勾股定埋求出OH=JOP-PH」=4，OA=y/AH2+OH2=5*得到圆的半径长.

【详解】解：过。作O〃_LA8于〃，连接。A,

•・・PA=4£「尸8=2,

JA8=4+2=6,

/.AH=3,

:.PH=AP-AH=4-3=l,

•・,OP=后,

••・C”=Jc尸-尸炉=4,

•,-OA=ylAH2+OH2=5-

・•・（。的半径长是5.

故选：A.

4.B

【分析】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数，过正多边形中心。作

014LED,连接OE,OD,证出OED是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可.

【详解】解：如图，过正多边形中心。作QM_1_瓦）,连接OE,OD,

AB

/O\

\汴、一多边形ABCQEV为正六边形，

EMD

:"EOD=®,

OE=OD,

.1。瓦）为等边三角形，

.•./OEM=60。

.•.OM=O£sinNOEM=4x立=2石,

2

故选；B.

5.B

【分析】根据圆周角定理可进行求解.

【详解】解：〈AB是。的直径，

・•・ZACB=90°,

•・•ZBAC=50°,

/.ZABC=900-ZBAC=40°,

AC=ACf

ZD=ZABC=40°；

故选B.

【点睛】本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键.

6.B

【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键.根据垂径定理得到8_LAC,

根据勾股定理求出OA=5,即可得到答案.

【详解】解：0AOC都是。。的半径，AD=CD=3,

0D1AC,

."ODA=90。，

OD=4,

:.OA=y/OD2+AD2=V42+32=5»

:.OB=OA=5,

.\BD=OB-OD=5-4=\,

故选：B.

7.D

【分析】本题考查了弧长公式，圆锦的体积公式，勾股定理，理解圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧

长相等是解题关键，设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为2〃广，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，

进而得出r=1,再利用勾股定理，求出圆锥的高，再代入体积公式求解即可.

【详解】解：设圆锥的半径为「，则圆锥的底面周长为2加1

圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72。的扇形，且扇形的半径/是5,

••・扇形的弧长为需』=2乃，

1o()

圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等,

2仃=2万,

r=1,

二圆锥的高为行二了=26，

••・圆锥的体积为:万x『x2#=挛万，

33

故选：D.

8.D

【分析】如图，连接/凡/E.利用切线长定理，圆周角定理，切线的性质解决问题即可.

【详解】解：如图，连接/R/£.

:・BF=BD,CD=CE,IFLAB,IEA.AC,

・•・BF+CE-BC=BD+CD-BC=BC—BC=O,ZAFI=Z4E/=90°,

/.ZE/F=180°-«,

/.Z1EDF=-N£7尸=90°--a.

22

故选：D.

【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是掌握切线的性

质，属于中考常考题型.

9.A

【分析】本题考查切线长的性质、弧长公式.根据切线的性质证明四边形O尸CE为正方形，再弧长公式求

解即可.

【详解】解：连接0区OF,

EB

在四边形"TE中，NOFC=NC=NOEC=90。，

••・四边形OECE为矩形.

又因为OF=OE,

••・四边形OECE为正方形.

则0/=b=4,NEC尸=90。，

劣弧E尸的长是9篝0n?-4=2兀.

1o()

故选：A.

10.D

【分析】本题考查了切线的定义，解直角三角形，直径所对的圆周角，解题的关键是掌握切线的定义，熟

记各个特殊角度的三角函数值，以及直径所对的圆周角是直角.

连接OC,得出OC_LOE,易得tan/ACZ)=42=且，AC=^AD2+CD1=2>73,推出48=60°，则

CD3

0AC是等边三角形，进而得出A6=2OA=4^,再根据圆周角定理得出NAC3-90。，根据勾股定理得出

BC=y/AB2-AC2=6»即可得出.

【详解】解：连接OC,

•・•直线。笈与CO相切于点C

••・OC1DE,

VAD±DE,AD=6CD=3,

**,tanZ.ACD=>AC=AD2+CD1—25/3»

NACO=30。，

・•・ZACO=60°,

'：OA=OC,

・・・“％C是等边三角形，

・•・OA=OC=AC=2y/3,

AAB=2OA=4G,

〈AB是。的直径，

・•・ZACB=90°,

,*BC—\JAB2—AC2-6,

/.VA8C的面秒［,AC•4C='X26X6=66，

22

【分析】本题考查三角形的内切圆，圆周角定理，切线长定理等知识.连接/£/《•利用切线长定理，可

得AF=AE,CD=CEJFJ.ARJELAC,从而得到A"+CO—AC,再由圆周角定理，可得

NEIF=2/EDF=2a,即可.

【详解】解：如图，连接"WE.

•••VABC的内切圆。/与8C,CA,A8分别相切于点Q,E,F,

：,AF=AE,CD=CEJF±ABJE.LAC,

/.AF+CD-AC^AE+CE-AC=AC-AC=0,^AFI=^AEI=90°,

・•・NEIF=2/EDF=2a,

・•・ZA=360°-ZAFI-ZAEI-ZEIF=180。-2a.

故选：A

12.A

【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，点与圆上一点的最值问题，勾股定理等；作A关于8c的

对称点A,以W为圆心，2为半径作()4,连接4。交A于E,交BC于P,由轴对称的性质得PE+PZ)

=PE”D，此时在+即取得最小值，PE+PD=DE,由勾股定理即可求解；能由对称的性质及圆外

•点到圆上•点距离最小值的典型解法找出取得最小值的条件是解题的关键.

【详解】解：如图，作A关于8C的对称点4,以A为圆心，2为半径作4,连接A7)交。A干E,交.BC

iP,

AD

PE+PD=PE+PD,

此时PE+PD取得最小值,

PE+PD=DE',

四边形AKCD是矩形,

...ZA=90。，

AD=BC=6,

AA'=8,

/.A!D=JAA'2+人A?

=782+62

=10,

.•.DE=10—2=8,

「•庄+P。取得最小值为8,

故选：A.

13四

3

【分析】本题考查了正多边形与圆；延长£4交一A于G,如图所示：根据六边形A8CDM是正六边形,

360°

AB=2,利用外角和求得NG48===6。。，再求出正六边形内角

6

=180°-ZG/AB=180°-60°=120°,利用扇形面积公式代入数值”算即可.

【详解】解：延长内交A于G,如图所示:

E

D

六边形ABC。所是正六边形，AB=2,

C

G

360°

."GAB=—=60。，

6

NEAB=180°-ZGAB=180°-60°=120°,

•r_〃万/_120x;rx4_4”

"画形F"一前"——360一—彳，

故答案为4手7r.

14.2期

【分析】如图，连接O。，OE,证明A3〃OE,可得？A?COE,再证明？COE?AOD90?,可得

DOE180?90?90?,再利用弧长公式进行计算即可.

【详解】解：如图，连接O。，0E,

•：OE=OC=4,

?OEC?OCE,

.•.N8=4C8,

\2B?OEC,

\AB//OE,

\?A?COE,

•・•（。与边A8相切于点。,

A?ADO90?,

・・・？A?AOD90?,

\2COE?AOD90?,

\1DOE180?90?90?,

...DE的长J：2”,

loU

故答案为：27r.

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，切线的性质，三角形的内角和定理的应

用，弧长的计算，求解NOOE=90。是解本题的关键.

15.10

【分析】本题考查垂径定理，勾设定理，矩形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助

线，构造直角三角形解决问题.

设圆心为O,连接AO,OA,OE,OE交AD于点F,证明四边形人8C。是矩形，得4c是切线，在

求出AF,设。4=OE=r(cm),则有产=52+(-2)?,解方程可得结论.

【详解】解：如图，设圆心为。，连接AD,OA,OE,OE交AD于点F.

ABA.BC.DCLBC,

・•.AB//CD,

AB=CD=2cm,

四边形4BCO是平行四边形,

AB±BC.CD1BC,

ZABC=NDBC=900,

••・西边形A3CO是矩形,

AD=BC,

BC=12cm,

AD=BC=12cm,

・•.AD//BC.

・・.BC是：。切线，

•••OEA-BC,

ADBC,

OE1AD

AF=FD=-^xl2=6(cm),

设OA=QE=r(cm),则有r2=62+(r-2)2,

/.r=10»

故答案为：10.

16.回

【分析】本题主要考查了圆的计算，解题关键是垂径定理的应用.作O产6c于尸，得6c=2PC,由题

I3

意aUX7=3O°,得Q4=OE=OC=5,OD=5-2=3,由进而求出O尸=一。。=二，再由勾股定理求出8c

22

即可.

【详解】解：作O尸_L8C于凡

得BC=2FC,

由NAQB=150°,

则47X7=30°,

'：DE=2,AD=S,

：.OA=OE=OC=5,OD=5-2=3,

ABC=2FC=252-(-)=回,

故答案为：5/91

2后)

I17/----n2

3

【分析】(1)先证明？A3c?ADB,进而证明利用相似三角形的性质求出八。=26,

进而利用勾股定理求出8E=4,^\BE=DE,ZEBD=/EDB,/48£>=NCOB,进而推出CO=A8=2道,

再证明V4OB是等边三角形，进一步可得弧长,

CDCFCD2

(2)结合(1)求解8C=A"=A£+〃k=6,证明ZXC人土△CD8,得到一=—,贝iJC7・=±^=2.

CBCDCB

【详解】解：（1）如图，连接04,连接C。,

：・汴8=片。，

工？ABC?ADB,

VZ4=Z4,

J

.ABAE

••=9

ADAB

：.Afi2=AExAD=2x(2+4)=12,

:.AB=2方,

'：80是圆的直径，

，N孙力=90。，

VtanZABE=—=j,

AB263

・•・ZA£?E=30°,

・•・ZAO8=30。，

/.ZAOB=2ZADB=60°,

・•・VAO3是等边三角形，

/.0B=AB=20,

J弧A8的长=60兀x26=3叵7r

1803

(2)在RtAABE中，由勾股定理得，鹿=〃序+八炉=人

:・BE=DE,

；・NEBD=NEDB,NABD=4CDB,

「・A8=C。，存。二用。，

:・CD=AB=2日BC=AD=AE+DE=6,

"：BD为。的宜径，。尸是切线，

，NDCF=/BCD=NBDF=90。，

?.ZF+NCDF=ZCDF+NCDR=90°,

，NF=NCDB,

，^CFD^/\CDB,

.CDCF

••-=---，

CBCD

.5CD2_

••Of-—2,

CB

故答案为：逑兀.2.

3

【点睛】本题考查的是切线的件质，相似二角形的判定与性质.解百角二角形的应用，圆周角定理的应用.

弧长的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键.

18.2&4

【分析】本题考查了正多边形与圆，掌握圆的相关性质及正方形的相关性质、准确的辅助线及计算是本题

的解题关键.

(I)利用圆的面积公式计算出半径即可求出直径；

(2)连接人C,CM,以MN、MC为边作oCWJVE,连接八E,证明出AM=£7V,AM+AN=AN+EN,

当A、N、£共线时，4V+EN最小，即AE为AM+AN的最小值，利用勾股定理求出人£即可解答此间.

【详解】解・：(1)。的面积为"r=2知，

/.r=>/2»

・・・。的直径长为2拉，

故答案为：2夜；

(2)如图，连接AC,CM,以MN、A/C为边作CMNE,连接AE,

四边形A3CO为正方形,

..AC±HD,AM=CM,

四边CMNE为平行四边形，

:.CM=EN,

:.AM=EN,

:.AM+AN=AN+EN,

当A、N、E共线时，AN+EN最小,即为A"+4V的最小值,

在LCWZVE中，EC=MN=1,EC//MNt

;"ECN=900,

AC=2x/2，

AE=\lEC2+AC2=3，

AMN周长的最小值为3+1=4,

故答案为:4.

19.2>/3+1/1+2>/3

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，如图，作.COE,使得

ZCEO=90°,/ECO=60°,则CO=2CE,OE=zBNOCP=ZES,由△。。〜△。七。，推出空二f=2,

EDCD

即EQ=；OP=1（定长），由点上是定点，。£是定长，推出点。在半径为1的正上，由此即可解决问题，

解邈的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题.

【详解】解：如图，作.COE,使得NCEO=90。，NECO=60°,则CO=2CE=4,OE=264OCP=4ECD,

VZCDP=90°,NDC〃=60°,

：・CP=2CD,

.COCP、

CECD

J/XCOPsMED,

.OP_CP-

EDCD

即==］（定长），

•・•点£是定点，OE是定长，

・••点。在半径为1的E上，

•・•OD<OE+DE=2^+\,

:.。。的最大值为26+1，

故答案为：253+1.

20.M或"2x/3+l/l+2V3

【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定；

（I）分情况讨论，分别画出图形，解直角三角形，即可求解；

（2）以CO为斜边构造直角三角形CTQ且满足NCO。=30。，ZCO'O=90°,证明4cOO's/TQ,得出

qCQOsgC。。进而得出o，Q=ga>=i,进而根据点到圆上的距离最值问题，即可求解.

【详解】解：如图所示，

•・・（。的半径长为2,A3为。O直径，4c=2,

：.CO=4

义,：CP是。的切线，

・・・OP=2,OPLCP

，CP=2G

VZCPg=30°,ZCQP=90°.

・•・CQ=^CP=6/PCQ=60。

PO\

VsinZPCO=—=-

OC2

J/尸CO=30。

JNQCO=90。

在Rt二CQ。中，OQ=《CQ2+CO2K也j+4?=M；

如图所示，过点。作于点£>,

・.・NPCQ=60。，ZPCO=30°

/.Z0CD=30°

CQ=G,

:.QD=LCQ=B,CD=0DQ=+

222

35

・•・OD=CO-CD=4--=-

22

在Rt..OOQ中，QO=JDQ2+DO?=J］乎+(g、=V7

故答案为：JR或币.

(2)如图所示，以CO为斜边构造直角三角形CP。且满足NCO(7=30。,“00=90。，则

0。'=COsin60。=2石

・•・aCOOsjCPQ,

.QCO'CmQCCP

CPCOO'Cco

又「NQCP=NO'CO=60。

JNQCO'=Z.PCO=60°-NO'CP

:..CQOs.cPO

.QO'_CQ_\

^~PO~~PC~2

/.OrQ=^OP=l,

・••点。在以O'为圆心，1为半径的圆上运动,

:.0Q的最大值为00,+OQ=+1

故答案为：26+1.

21.(1)(5,2),(5,0)：

(2)见解析;

⑶2兀+10.

【分析】本题主要考查了平移的性质，求弧长，求周长，解题的关键是掌握平移前后对应点连线相等，弧

长公式，=器

(I)根据平移的性质，即可解答;

(2)以点(5,0)为圆心，2为半径画弧，即可得出CD；

(3)根据弧长公式求出人B，根据平移的性质得出AC=4O=5,根据封闭图形的周长，即可求解.

【详解】(1)V5(0,2),AS所在圆的圆心为0(。，。)，

A。(5,2),°。所在圆的圆心坐标是(5.0).

故答案为：(5,2),(5,0).

・・・A5的半径为2,

二也一,

180

•・•将A8向右平移5个单位，得到CO,

；・CD=AB=兀，AC=8L>=5,

，由48，BD,CD,C4首尾依次相接所围成的封闭图形的周长=〃+5x2+乃=2乃+10.

故答案为：2乃+10.

22.（1）作图见解析；

⑵点。到4c的距离为3,sinNAC。的值是更

5

【分析】（1）作线段AC的垂直平分线，由垂径定理推论可知该垂直平分线必经过点Q

⑵由垂径定理得到AF=C尸，进而得到。产是△AC8的中位线，由此得到点。到4c的距离OF〈BC=3；

求出。F=OQ-OF=5-3=2,CF=4,由勾股定理求出8=2石，最后在氏公。。尸中由

sin?ACD竺=多=当即得答案.

CD2石5

【详解】（1）解•：①分别以A,。为圆心，适当长（大于AC长度的一半）为半径作弧，记两弧的交点为a

②作直线。£,记OE与AC交点为D；

③连结CD,则线段AC的垂线OE、线段CD为所求图形，如下图所示：

（2）解：记。。与AC的交点为凡如下图所示:

D

B

VOD±AC,

・・・F为4c中点，

少是△ABC的中位线,

：・0F*BC=3,

'：OFVAC,

・•・OF的长就是点。到AC的距离；

R/AABC中，VAC=8,BC=6,

/.AB=1O,

AOD=OA=^AB=5,

：.DF=OD-OF=5-3=2,

•・・F为AC中点，

.\CF=^4C=4,

Ri&CDF中，*/DF=2,CF=4,

CD=2旧,

i.“，nDF_2一百

贝nlI！］sin9?ACD---=—尸二—»

CD2A/55

・••点。到AC的距离为3,sin/HCO的值是更.

5

【点睛】本题考查了圆的基本性质、垂径定理及其推论、勾股定理、线段垂直平分线的尺规作图、锐知三

角两数等，属于综合题，欲求某知的某三角函数值，首先想到的应该是能否在直角三角形中进行,如果没

有现成的直角三角形，则需要设法构造(作辅助图形).

23.(1)画图见解析；理由见解析

4

(2)丁

【分析】（1）延长4。交4c于E,由A4=AC,04=OC,可得40垂直平分/3C,进而可得40立分^BAC；

（2）设ZAAO=x,则NO4B=工，/BAC=2x,NBDC=ZABD+NDAB=3x,由CQ=BC,可得

NDBC=/BDC=3x,则ZA8C=4x,由4A=AC,可得ZAC8=ZA8C=4x,由

NBDC+NCBD+/BCD=180。,可得3x+3x+4x=180。，可求工二18。，则NR4C=2x=36。，由圆周角定

理得NAOC=2NmC=72。，根据劣弧8c的长为72：鲁2,计算求解即可.

1o0

【详解】（1）解：如图，A0为/8AC的平分线.理由如下：

延长AO交BC于E,

VAB=AC,OB=OC,

・・・A。垂直平分8C,

JA。平分/BAC；

(2)解：设ZAB£)=x,

,：OA=OB,

Z.OAB=x,

ZBAC=2x,

・•・ZBDC=ZABD+乙DAB=3x,

・：CD=BC,

・•・zlDBC=zlBDC=3x,

・•・ZABC=4x,

'：AB=AC,

・•・ZACB=ZABC=4x,

•・•ZBDC+NCBD+/BCD=180°,

3.x+3x+4x=180°,

解得％=I8。,

・•・NBAC=2x=36。，

丁BC=BC

ZBOC=2NBAC=72°，

・・・劣弧BC的长为7"?:x八x2二4?".

IX05

4

工劣弧BC的长为

【点睛】本题考查了外接圆，等腰三角形的判定与性质，作角平分线，垂直平分线的判定，三角形内角却

定理，三角形外角的性质，圆周角定理，弧长等知识.熟练掌握外接圆，等腰三角形的判定与性质，作角

平分线，垂直平分线的判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，圆周角定理，弧长是解题的关键.

24.⑴见解析

(2)见解析

【分析】(1)根据基本作图的基本要求作图解答即可.

(2)连接OQ.根据直径，得到48=90。，进而得出Z1=Z2=45°,再由圆周角定理，得到N8OD=90。，

/CAB=NCDB,从而推出NC7T>=NCAE,得到A8FD,即可证明尸。是。。的切线.

本题考查了基本作图，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，切线的判定定理，熟练掌握作图，切线的

判定定理是解题的关键.

【详解】⑴解:根据题意,作图如下：

则点尸、FQ为所求.

(2)证明：连接OO.

加是。的直径，

.\ZACB=90°,

•.CD平分NACB,

Z1=Z2=-Z>4CT=45O,

2

vBD=BD'

."BOZ)=2/2=90。，

CF=CD,

:"CFD=ZCDF=^(18O0-Z1)=67.5°.

CB=CB，

:"CAB=ZCDB,

乙CDB=3ZABC,

^CAB=3^ABC,

ZC4B+ZABC=90°,

.­.3ZABC+Z4BC=90°.

AABC=22.5°,NCAA=67.5。,

:.^CFD=ZCAEt

ABFD,

ZFDO=/3=90°,

:.FDL()D.

又'OD为O半径，

.•・/•曾是O切线.

25.⑴见解析

⑵”

12

【分析】（1）连接EO,根据直角三角形中两锐角互余得出+切=90"根据直径所对的圆周角是

直角得出4EC=90。，根据直角三角形中两锐角互余得出NE44+ZAC£=90。，根据等角的余角相等得

出NAC£=4£H,根据同弧所对的圆周角相等得出NAOE=N4£H,根据有两个角对应相等的两个三角

形是相似三角形得出心外尸根据相似三角形的对应边之比相等即可证明AE2=AF.AD;

（2）连接OB,过点G作GK_L4£）,垂足为K,过点G作GMJ_CO,垂足为M,根据直径所对的圆周角

是直角得出NADC=90。，根据隹平分线的定义和同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出

ZAOB=2ZADB=90°,根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出GK=GM,根据等腰直角三角形的

性质和特殊角的三角函数值求出OA=OB=OC=半，AC=5日根据锐知三角函数的定义和同弧所对

的圆周角相等求出八0=2标，CD=y/i0,根据三角形的面积求出GC=；AC=¥，OG=手，即可

求出S&BOG-

【详解】（1）证明：连接耳）,

EHLAC,

/./EAH+ZAEH=900,

AC是直径，

ZAEC=90°,

.\ZEV7+Z4CE=90o,

:.ZACE=ZAEH,

.\^ADE=ZAEH,

又・・N£4/=ND4E,

.\AEAF^DAE,

•_A_E_一_A__F

ADAE

\AE2=AF-AD;

(2)解：如图，连接08,过点G作GK_L4。，垂足为K,过点G作GM_LCO,垂足为M,

//O：IG—华・・・・4C是直径,

ZADC=90。，

又Q8D平分Z/UX7,A〃=A8，

.-.ZAOB=2Z/1DB=90°,GK=GM,

在等腰直角VA08中，AB=5,

c

；,OA=OB=OC=

AC=2OA=5>/2

Q/c

sinZABD=—,ZABD=ZACO,

AC5>/25

.ro=2而，则=

“AGD=-2AGCD-sinZACD,6•，/人XYv.=-2CGCDsinZACD

人(“■>AG

SBCGGC

1GK

丝,即丝=蚂=2,

一CDGMGCCDGC

2

GC=-4C=—

33

OG=OC-GC=-,

236

LOGOBJW也再

SBOG

226212

【点睛】本题考查了宜.角三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，直径所对的圆周角是

直角，同弧所对的圆周角，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，角平分线的性质等，正确做出辅助线，通

过三角形的面积求出CG是解题的关键.

26.(1)见解析

⑵CE二迎

2

⑶手

o

【分析】（I）连接OE,切线的性质推出O£〃8C,得至"NOEB=NCBE,等边对等角得到NO肪=NO即,

进而得到NOBE=NCBE,即可;

（2）连接过点E作所J.BO,勾股定理求出OE的长，等积法求出E尸的长，角平分线的性质，得

到CE=Eb,即可得出结果;

3人

3右，根据余弦的定义得到cosA=空=迈，即可.

(3)OE〃8C,得到芸=/，AECE

ChUB_-_--—JAO8

AOOB48

【详解】（1）证明：连接。。贝J：OE=OB,

：,4)BE=/OEB,

•・•，以。为圆心，OB为半径的圆与4c切于点E,

：・OE上AC,

JZOE4=9()O=ZC,

：・OE〃BC,

・•・ZOEB=NCBE,

・•・/OBE=/CBE,

平分/八AC：

(2)解：连接。石，过点E作所_!_a)，

〈3D为直径,

，/BED=90。,

•・・OB=4,

，8。=8,

；・DE=ylBD2-BE2=277,

•；EF上BD,N8ED=90。，

：.-DEBE=-BDEF即：2，/7x6=8EF,

22t

.d_3不

2

•・•晅平分/ABC,EFtBD,ZC=90°,

：^CE=EF=—

2

(3):OE//BC,

.AEAO

••-=---，

CEOB

3s

AECE~_3V7,

VOE1AC,

，ZAE0=9()0,

.AE3«

••cosxA=---=------.

AO8

【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，勾股定理，平行线分线段成比例，求角的余弦值，熟练掌握

知识点，并灵活运用，是解题的关键.

27.(1)证明见解析

(2)证明见解析

⑶10

【分析】(1)根据等腰三角形的性质得=再根据对顶角相等及同弧所对的圆周角相等得

“BE=/EFB,即可证明E8=E尸：

(2)连结OE.证明C/平分/4C8,BF平分NABC,即可得出结论；

(3)解法一：过点E作£M_LAC于点M,过点E作EN_LC8交8的延长线于点N.证明

Rt.AME^Rt«/VE(HL),得到AM=8V,再证明四边形EMCN是正方形，利用正方形的性质与勾股定

理求解即可；

解法二：将ABCE绕点E逆时针旋转90。得到VACE.证明C',AC三点共线，求得CC=&C£=14,从而

求得AC=CC-AC'=14-6=8,然后由勾股定理求解即可.

【详解】(I)证明：・.・OF=DC,

，少CF=4DFC,

:.^DCF=/BFE,

DE=DE，

:.zLDCF=NFBE,

：.4FE=NFBE,

.\EB=EF.

(2)证明：如图①，连结OE.

EH是.。的切线,

图①

：.OEA.EH,

:EH〃AB,

：.OEA.AB.

又在。中，OE=OB,

O8E是等腰直角三角形，

:./OBE=ZOEB=45°,