2025年人教版七年级数学上册同步练习讲义：一元一次方程的应用-形成问题、工程问题、配套问题（解析版）

第03讲一元一次方程的实际应用一一行程问题、工程问题、配套问题

学习目标

课程标准学习目标

1.掌握列方程解应用题的基本步骤并对其数号应用。

①列方程解应用题的基本步骤

2.掌握行程问题的基本等量关系与基本类型，并熟练解

②行程问题的基本等量关系与类型

决相关题目。

③工程问题的基本等量关系

3.掌握工程问题的基本等量关系并应用。

④配套问题的等量关系

4.掌握配套问题的基本等量关系并应用。

一元一次方程

的实际应用

知识清单

知识点（）1列方程解应用题的基本步骤

1.列方程解应用题的基本步骤：

第一步：审题一一仔细审题，找出题目中的等量关系°

第二步：设未知数一一根据题目的等量关系直接或间接设未知数0

第三步：列方程一一根据未知数以及等量:关系列出一一元一次方程。

第四步：解方程一一根据解方程的步骤解方程。

第五步：检验作答。

知识点02行程问题

1.行程问题的基本等量关系：

路程=速度x时间；时间=路程♦速度；速度=路程♦时间。

2.行程问题之相遇问题：

①甲、乙同时出发相向而行相遇。如图：

fS甲弋乙F乙工.

ACB

等量关系：

时间：，甲=，乙_；路程：_5甲+5乙=$总_。

②甲、乙同地不同时同向而行相遇。I甲〉七，乙先出发。如图:

甲乙S国（SG甲乙

U」丁

AB

等量关系

路程：_$甲=5乙_;时间：_，快+7先出发=，慢一。

3.行程问题之相距问题：

①甲、乙同时出发相向而行相遇前相距。如图

s®S痔足S乙

I^•——」器'I乙•'■Q

ACDB

等量关系

时间：/甲=匕___：路程：_5甲+s乙+s相距=s总_。

②甲、乙同时出发相向而行相遇后相距。如图：

S乙

A1:DB

si

等量关系：

时间：/甲二忆；路程：_5甲+s乙一s相距=s总―。

③甲、乙先后同地出发同向而行相遇前相距。

兜乙

A--------------,-----C-------B

S-

等审关系：时间：」先—时间差=7后_；路程：_S后+S相距=5先_。

④甲、乙向后同地出发同向而行相遇后相距。如图：（慢的先出发）

甲，乙SJ馋S产工

Ai______________।C_______B

S快

等量关系：

时间：，先-时间差后_：路程：_S快-S相距=5慢_

4.火车过桥进洞问题：

车头进到火车车尾出：如图：

行驶路程=桥长（洞长）+火车长。

车尾进到货车车头出：如图：

行驶路程=桥长（洞长）一火车长。

5.火车追及偌车与相遇错车问题：

追及错车问题：如图：

等量关系：

快车行驶的路程一慢车行驶的路程=两车车长之和。

相遇错车问题：如图：

两车行驶的路程方和=两车车长方和。

4.甲.乙两车分别从A、8两地同时出发，相向而行，若快车甲的速度为60公〃〃?，慢车乙的速度比快车甲

慢A、8两地相距80公明求两车出发到相遇所行时间.如果设.地后两车相遇，则根据题意列出

方程()

AJL+^Z1=6OB.x(x-4)=80

8080

C.60x+(60-4)x=80D.60.V+60(x-4)=80

【解答】解：设也后两车相遇，

由题意得,60x+(60-4)x=80.

故选：C.

5.已知A,3两地相距15千米，甲每小时走5千米，乙每小时走4千米.甲、乙分别从A,6两地出发,

背向而行，请问几小时后，两人相距6()千米？设x小时后，两人相距60千米，则下面列出的方程中正

确的是()

A.5A+4X=15B.5x+4x=60

C.5x+4x+15=60D.5.r+4x-15=6()

【解答】解：设x小时后，两人相距60千米，

根据题意得，5x+4x+15=60,

故选：C.

6.一艘轮船从4港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时，若船速为26千米/时，水速为2千米

/时，求A港和8港相距多少千米.设A港和8港相距x千米.根据题意，可列出的方程是()

A.位=旦+3B.土=位-3

26262626

【解答】解：设A港和4港相距x千米，可得方程：工=工-3.

2824

故选：D.

【即学即练2】

7.甲、乙两车同时从相距462千米的A、8两地相对开出，3小时后相遇.甲、乙两车的速度比是3：4,

甲、乙两车每小时分别行多少千米？

【解答】解：设甲、乙两车每小时分别行3x千米、以千米，

根据题意得3X3x+3X4x=462,

解得％=22,

A3.r=66,4x=88,

答：甲、乙两车每小时分别行66千米、88千米.

8.甲乙两地相距480公里，一列堡车从甲地开出，每小时行60公里，一列快车从乙地开出，球小时行140

公里.

(1)慢车先开I小时，快车再开.两车相向而行.问快车开出多少小时后两车相遇？

(2)两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？

【解答】解：(1)设快车开出1•小时后两车相遇，

根据题意得60(x+1)+140x=480,

解得x=2.1,

答：快车开出2.1小时后两车相遇.

(2)设)，小时后快车与慢车相距600公里，

根据题意得60y+600=480+l40)，，

解得y=1.5,

答：1.5小时后快车与慢车相距600公里.

9.小彬和小强每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑4〃?，小强每秒跑6〃?.

(1)如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？

(2)如果小强站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面10机处，两人同时同向起跑，几秒后小强能追

上小彬？

【解答】解：(1)设x秒后两人相遇，则小强跑了6工米，小彬跑了4x米，

则方程为6x+4x=100,

解得x=10;

答：10秒后两人相遇；

(2)设)，秒后小强追上小彬，根据题意得：小强跑了69，米，小彬跑了4y米，

则方程为：6)，-4y=I(),

解得y=5；

答：两人同时同向起跑，5秒后小强追上小彬.

10.一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时：从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时.已知

水流的速度是3千米/时，求船在静水中的平均速度.

【解答】解：设船在静水中的巨均速度为x千米/时，则顺流速度为(x+3)千米/时，逆流速度为(x-3)

千米/时，

列方程得：2(x+3)=2.5(x-3),

解得：x=27.

答：船在静水中的平均速度为27千米/时.

11.一列火车匀速行驶，经过一条长800米的隧道，从车头开始进入隧道到车尾离开隧道一共需要50秒的

时间：在隧道中央的顶部有一盏灯，垂直向卜.发光照在火车上的时间是18秒,求该火车的长度为多少米？

【解答】解：设该火车的长度为x米，

由题意得：①叱

5018

解得工=450,

答：该火车的长度为450米.

知识点03工程问题

1.基本等量关系:

工作总量=工作时间X工c效率；时间=总量+效率；效率=总量♦时间,

实际工作时间=计划工作时间一提前完成时间0

实际工作量=计划工作量。

题型考点：①有实际问题抽象出方程。②方程的实际应用。

【即学即练1】

12.某小组计划做一批中国结，如果每人做6个，那么比计划多做了9个，如果每人做4个，那么比计划

少7个.设计划做x个“中国结”，可列方程()

Ax+9-x-7Bx-9—x+7cx+9_x+7Dx-9-x-7

•-64~•-6T•-64~•-6T

【解答】解：由题意得，生2=工工.

64

故选：A.

13.某车间原计划用13小时生产一批零件，后来每小时多生产10件，用了12小时不但完成了任务，而且

还多生产60件.设原计划每小时生产工个零件，则可列方程()

A.\3x=(12+lO.v)+60B.12(x+10)=13x+60

xx+60x+60_

C.=10D.

1212

【解答】解：由题意可得：12(x+10)=131+60,

故选：B.

14.深圳市对市区主干道进行绿亿，现有甲、乙两个施工队，甲施工队有15位工人，乙施工队有25位工

人，现计划有变，需要从乙施工队借调x名工人到甲施工队，刚好甲施工队人数是乙施工队人数的3倍，

则根据题意列出方程正确的是()

A.3(15+x)=25-xB.15+x=3(25-x)

C.3(15-x)=25+xD.15-x=3(25+x)

【解答】解：•・•要从乙施工队借调x名工人到甲施工队，

・•・借调后甲施工队有(15+x)位工人，乙施工队有(25-x)位工人.

根据题意得：15+x=3(25-x).

故选：B.

【即学即练2】

15.列方程解应用题：

整理一批图书，由一个人做要40小时完成，现计划由一部分人先做4小时，然后增加2人与他们一起做

S小时，完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？

【解答】解：设应先安排x人工作，

根据题意得：至+8（x+2）=]

4040

化简可得：1+三!2=1,

105

即：x+2（x+2）=10

解可得：x=2

答：应先安排2人工作.

16.为保障蔬菜基地种植用水，需要修建若干米灌溉水渠，某施工队计划8天完成任务，在完成一半任务

后，遭遇了持续的恶劣天气，每天比原来少修建20米，最后完成任务共用了10天，问施工队共需完成

修建灌溉水渠多少米？

【解答】解：设施工队共需完成修建灌溉水渠x米，

1

万x

根据题意得：三・--------7=20,

810-8Xy

解得:x=480.

答：施工队共需完成修建灌溉水渠480米.

17.某车间计划加工一批产品.如果每小时加工产品10个，就可以在预定时间完成任务；实际加工两个小

时后，提高了加工速度，每小时多加工2个，结果提前1小时完成任务.

（1）该产品一共有多少个？

（2）若该产品销售时按成本价提高40%后进行标价，按标价的8折销售时，每个产品仍可以获利15元，

这批产品总成本为多少元？

【解答】解.：（1）设这批产品需要加工x个，

依题意得xT0><2,

1010+2

解得x=80,

答：该产品一共有80个；

（2）设该批产品成本为a元/人，

a（1+40%）X80%=〃+15,

解得a=125,125X80=10000,

答：该批产品总成本为10000兀.

知识点04配套问题

1.基本等量关系：

实际生产比等于配套比。

题型考点：①有实际问题抽象出方程。②方程的实际应用。

【即学即练1】

18.现用90立方米木料制作桌子和椅子，已知一张桌子配4张椅子，1立方米木料可做5张椅子或1张桌

子，要使桌子和椅子刚好配套.设用x立方米的木料做桌子，则依题意可列方程为()

A.4x=5(90-x)B.5x=4(90-x)

C.x=4(90-x)X5D.4AX5=90-X

【解答】解：设用x立方米的木料做桌子，则用(90-x)立方米的木料做椅子，

依题意，得：4x=5(90-x).

故选：A.

19.新型冠状肺炎疫情正在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中必不可少的物品.某口罩厂有50名工人,

每人每天可以生产500个口罩面或1000个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩

刚好配套，设安排x名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是()

A.2X1000(50-x)=5(X).vB.1000(25-x)=500,r

C.1(X)0(50-x)=2X500.vD.1000(50-x)=500x

【解答】解.：设安排x名工人生产口罩面，则(50・x)人生产耳绳，由题意得

1000(50-x)=2X500x.

故选：C.

20.某机械厂加工车间有33名工人，平均每名工人每天加工大齿轮5个或小齿轮15个.已知2个大齿轮

和3个小齿轮配成一套，问分别安排多少名工人加工大，小齿轮，才能刚好配套？若设加工大齿轮的工

人有x名，则可列方程是()

A.2X5(33-x)=3XI5xB.2X5.1=3X15(33-x)

C.3X5x=2X15(33-x)D.3X5(33-x)=2X15x

【解答】解：设加工大齿轮的工人有x名，则每天加工小齿轮的有(33-工)人，根据题意，得3义53=2

X15(33-x),故C正确.

故选：C.

【即学即练2】

21.某机械厂加工车间有84名工人，平均每人每天加工大齿轮9个或者小齿轮10个，已知1个大齿轮与2

个小齿轮刚好配成一套，问分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？

【解答】解：设每天加工的大齿轮的有x人，则每天加工的小齿轮的有(84-X)人，

根据题意可得；2X9x=10(*・x),

解得：x=30,

则84-30=54(A).

答：每天安排30人加工大齿轮，安排54人加工小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套.

22.列方程，解应用题：

新型冠状肺炎疫情正在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中必不可少的物品，某口罩厂有40名工人，每

人每天可以生产1000个口罩面或I2(X)根耳绳.一个口罩面需要配两根耳绳，为使每天生产的I」罩面与

耳绳刚好配套，应安排多少名工人生产口罩面？

【解答】解：设应安排x名工人生产口罩面•，则安排(40-A)名工人生产耳绳，

1000AX2=1200(40-x),

解得工=15,

答：应安排15名工人生产口罩面.

23.某车间有38名工人，每人每天可以生产1200个甲型零件或2000个乙型零件.2个甲型零件要配3个乙

型零件，为使每天生产的两种型号的零件刚好配套，应安排生产甲型零件和乙型零件的工人各多少名？

【解答】解：设生产甲种零件的工人有x人，则生产乙种零件的工人有(38-X)人，

1200AX3=2000(38-x)X2,

解得，x=2(),

.e.38-x=38-20=18,

答：安排生产甲、乙两种零件的工人分别为20人、18人.

24.某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是

调入工人人数的3倍多4人.

(1)求调入多少名工人；

(2)在3)的条件下，每名，人每天可以生产24()个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为

使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？

【解答】解：(1)设调入x名工人，

根据题意得：16+x=3x+4,

解得工=6,

工调入6名工人；

(2)由(1)知，调入6名工人后，车间有工人16+6=22(名)，

设y名工人生产螺栓，则(22-y)名工人生产螺母，

•・•每天生产的螺栓和螺母刚好配套，

.\240yX2=400(22-)，)，

解得y=10,

A22-y=22-10=12,

答：10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的喘栓和螺母刚好配套.

强化训练

1.《孙子算经》记载：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？”

(尺、寸是长度单位，1尺=10寸).意思是，现有一根长木，不知道其长短.用一根绳子去度最长木，

绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余I尺.问长木长多少？设长木长为k尺，则可

列方程为()

A.—(x+4.5)=x-1B.—(x+4.5)=x+\

22

C.—(x-4.5)=x+lD.-1(x-4.5)=x-1

22

【解答】解：设长木长为X尺，

•・•用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，

・••绳子长为(x+4.5)尺,

•・.绳子对折再覆木条，木条剩余I尺，

得方程为：—(x+4.5)=x-I.

2

故选：A.

2.程大位《算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：

有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分一个，正好分完.试问大、小和尚

各多少人？设大和尚有x人，依题意列方程得()

A.3x+100x=100B.3x-100x=100

33

C.^-3(100-x)=100D.^-4-3(100-X)=100

【解答】解：•・•大、小和尚共100人，且大和尚有x人，

・••小和尚有(100-x)人.

根据题意得：3工十项工=10().

3

故选：A.

3.一条船往返于甲，乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶，已知船在静水中的速度为

以〃湿，平时逆水航行与顺水航行所用的时间比为2：1,某天恰逢暴雨，水流速度是原来的2倍，这条

船往返共用了9人则甲，乙两港之间的距离为().

A.160kmB.\5hnC.—kmD.20hn

32

【解答】解：设平时的水流速度为“千米/小时，

则：2(8-x)=8+x,

解得：尸

3

设甲、乙两港的距离为y千米,

yV

则：8+-------------+-------------=9,

8*X28^X2

解得：＞,=20,

故选：Q.

4.《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安.今乙发已

先二日，甲仍发长安.问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安.现

乙先HI发2日，甲才从长安出发.问多久后甲乙相逢？设乙出发x日，甲乙相逢，则可列方程()

Ax+2x=1v口x_2x-「xx+2-八xx_2-

A'—"5B♦--5=1C.7^=1D.7k=]

【解答】解：设乙出发式日，甲乙相逢，则甲出发(x-2)日，故可列方程为：

A+ZZ2=I

75

故选：

5.我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有个问题：良马日行二百四十里，鸳马日行一百五十里，驾马先

行一十二日，问良马几何追及之.这道题的意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150

里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？如果我们设快马x天可以追上慢马，则可列方程()

A.240x=150x+12B.240x=150x・12

C.240x=150("12)D.240r=150Cx-12)

【解答】解：设快马x天可以追上慢马，

依题意，得：240%=150(x+12).

故选：C.

6.某车间有28名工人生产螺丝和螺母，每人每天生产1200个螺丝或1800个螺母，现有x个工人生产螺

丝，恰好每天生产的螺母和螺吆按2：1配套.为求x,可列方程()

A.120av=1800(28-x)B.2X1200x=l800(28-x)

C.2X1800=1200(28-x)D.1800x=120。(28-x)

【解答】解：•・•该车间有28名工人生产螺丝和螺母，且有x个工人生产螺丝，

・••有(28-X)个工人生产螺母，

乂•・•每人每天生产1200个螺丝或1800个螺母，且恰好每天生产的螺母和螺丝按2：1配套，

2X1200.v=1800(28-x).

故选:B.

7.有一项城市绿化整治任务交甲、乙两个工程队完成，已知甲单独做10天完成，乙单独做8天完成，若

甲先做1天，然后甲、乙合作x天后，共同完成仃.务，则可列方程为(〉

A.曲工=1B.迎J=1C.三］D.9J=1

108108108108

【解答】解：依题意得：三且+3=1.

108

故选:B.

8.轮船从A港顺流行驶到8港，比从B港原路逆流返回A港少用3小时，若船在静水中的速度为27千米

/时，水流的速度为2千米/时，求4港和B港相距多少千米？设A港和B港相距x千米.根据题意，可

列出的方程是()

A.x.=----3B.=―--+3

27+227-227+227-2

C.x+2_女.3D.-^2=9+3

27272727

【解答】解：设A港和8港相距x千米,

可得方程-3.

27+227-2

故选：A.

9.整理一批图书，由一个人做要40小时完成.现在计划由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起

做8小时，完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，具体应先安排人工作.

【解答】解：设具体应先安排；V人工作，

根据题意得：生+§(工+2)

4040

即：x+2(x+2)=10,

蚱得：x=2.

故答案为：2.

1().服装厂生产一批学生校服，已知生产1件上衣需要布料1.5米，生产1条裤子需要布料1米.因为裤子

旧得快，要求I件上衣和2条裤子配一套.生产这批校服共用了2016米布料，共生产了套校服.

【解答】解：设生产了4套校服，

由题意可得:(1.5+lX2)4=2016,

解得x=576,

答：共生产了576套校服，

故答案为：576.

11.甲、乙两人分别从A、4两地同时相向而行，当甲走出42千米时，乙恰好走完了A、4两地之间距离的

工，此时两人相距12千米，则4、B两地之间距离为____________千米.

3

【解答】解：设A、8两地之间距离为x千米，

依题意得：42-\2=x-—x,

3

解得x=45.

或42+12=x--x,

3

解得x=81.

综上所述，A、B两地之间距离为45或81千米.

故答案为：45或81.

12.甲、乙两人从A,8两地同时出发，沿同一条路线相向匀速行驶，出发后经5小时两人相遇.若乙比甲

每小时多行驶30千米，相遇后经2小时乙到达A地.则乙行驶的速度为km/h.

【解答】解：设乙行驶的速度为仍，则甲行驶的速度为（A-30）hn/h,

根据题意得:2x=5（x-30）,

解得：K=50,

・•・乙行驶的速度为50km/h.

故答案为：50.

13.客车和货车分别从甲乙两站同时相向开出，5小时后相遇，相遇后两车仍按原速度前进，当他们相距

196千米时，客车行了全程的《，货车行了全程的80%.

（1）全程是多少千米？

（2）货车行完全程需要多少小时？

【解答】解：（1）由题意可得，

1964-（80%