2025北师大版数学九年级上册 正方形的性质与判定（第2课时）教学设计（表格式）

3正方形的性质与判定

授课类型新授课

课题第3课时正方形的判定

授课人

教学

课本P22-23

内容

1.掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解

决问题。

教学2.发现决定中点四边形形状的因素，能熟练地运用特殊四边形的判定

目标及性质对中点四边形进行判断，并能对自己的猜想进行证明，进一步发展

学生演绎推理的能力。

3.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想。

教学重点：掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判

重难定解决问题。

点难点：各种四边形的中点四边形的判断及证明。

教学多媒体课件、长方形纸片、菱形活动框架、剪刀、直尺、量角器、圆

准备规等。

教与学互动设计（教学过程）设计意图

1.创设情景，导入新课

如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打

开。怎样剪才能剪出一个正方形？（学生动手折叠、思考、

教师通过学生

剪切）

熟悉的场景和事物

引出所学内容，使学

生感受到数学就在

我们身边，数学离不

开生活，渗透善于观

师生活动：教师可以鼓励操作快的学生帮助有困难的学

察生活中的数学的

生，请学生到讲台前讲解自己的做法，教师顺势追问判断依

学习意识，同时也激

据，学生回答，然后教师引出课题。

发了学生的学习兴

教师活动：同学们回答的很好，但是判断一个图形是不

趣，加强了非智力因

是正方形，光靠直观的感受是不够的，在数学上，还需要严

素的培养。

格的证明，这节课，我们来学习正方形的判定。（教师板书

课题：第2课时正方形的判定）

2.实践探究，学习新知

【探究1】

议一议：满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件

的菱形是正方形？

教师活动：根据“议一议”中的问题，我们做两个活动通过两个活动，

来探索一下。引导学生分别从矩

活动形的基础上和菱形

准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠的基础上进行探究，

部分得到一个正方形，可量一量验证。考虑满足什么条件

的矩形或菱形是正

方形，教学时也可以

根据实际情况进行

教师活动：满足怎样条件的矩形是正方形？

适当的调整。教学时

学生活动：猜想1：当矩形的一组邻边相等时，会变成

应鼓励学生积极探

一个正方形。

索，大胆猜想。在此

基础上再进行严格

的证明。

猜想2：当矩形的对角线互相垂直时，会变成一个正方

形。

X一

活动2：

把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱

形框架的形状，量量看是不是正方形。

教师活动：满足怎样条件的菱形是正方形？

学生活动：猜想3：当菱形的有一个角是直角时，会变

猜想4：当菱形的对角线相等时，会变成一个正方形。

教师活动：通过上面两个活动的探索，我们可以得到四

个猜想，同学们能证明这四个猜想吗？

师生活动：教师可以让学生分成小组形式，每个小组选

一个猜想进行证明，小组内成员先独立思考，再小组内进行

交流。等待大部分学生书写完成后，由小组分别派出代表分

别展示四个猜想的证明过程，师生共同评议。

【演绎证明】

通过证明让学

猜想1:有一组邻边相等的矩形是正方形。

生明确正方舟的判

己知：四边形A3CD是矩形，AB=BC.

求证：四边形ABCD是正方形。定定理1、2、3、4,

培养学生的逻辑推

理能力

证明：・・•四边形ABCQ是矩形，

ZA=90°,四边形A8CO是平行四边形。

又•：AB=BC,

・•・四边形ABC。是正方形。

猜想2：对角线互相垂直的矩形是正方形。

已知：四边形ABC。是矩形，对角线AC与8。相交于

点O,AC±BDO

求证：四边形48CQ是正方形。

证明：・・•四边形48CO是矩形，

Q

・•・四边形A8CQ是平行四边形，ZBAD=90o

：.OB=ODo

又,・工。_1_8。，

：.AB=ADO

・•・四边形48CQ是正方形。

猜想3：有一个角是直角的菱形是正方形。

已知：四边形ABQ）是菱形，NA=90。。

求证：四边形A3CD是正方形。

证明：・・•四边形ABCO是菱形，

：.AB=BC,四边形A8CO是平行四边形。

XVZA=90°,

・・・四边形48CQ是王方形。

猜想4：对角线相等的菱形是正方形。

已知：四边形A3C。是菱形，对角线AC与5。相交于

点。，AC=BDo

求证：四边形48CD是正方形。

证明：・・•四边形48C。是菱形，

：.AB=AD,四边形A8CO是平行四边形。

又・；AC=BD0

・・・四边形A8CD是矩形。

・•・N7>48=90。。

・•・四边形A8CQ是正方形。

【归纳总结】

定理：有一组邻边相等的矩形是正方形。

几何语言：・・,四边形A3C。是矩形，AB=CD.

・•・矩形ABC。是正方形。

定理：对角线互相垂直的矩形是正方形。

几何语言：・・,四边形A3C。是矩形，AC±BD.

，矩形ABCQ是正方形。

定理：有一个角是直角的菱形是正方形。

几何语言：・・・四边形A8C。是菱形，NA=90。,

，菱形4BC7）是正方形。

定理，对角线相等的菱形是正方形。

几何语言：•・•四边形ABCZ）是菱形，AC=BD,

・・・菱形A3C。是正方形。对知识进行巩

【教材例题】

练习，使学生对知队

例2如图，在矩形ABCD中，8E平分乙ABC,CE平

加深理解，便亍教师

分/DCB,BF〃CE,CF//BE

及时了解学生对本

节课内定的掌握情

况。培养学生应用所

学知识解决问题的

能力。

教师活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大

部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。

学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。

证明；♦:BF〃CE,CF//BE,

，四边形BEC厂是平行四边形。

•・•四边形A8CQ是矩形，

ZABC=90°,ZDCB=90°o

又8E平分/ABC,CE平分4DCB,

ZEBC=-ZABC=45°,ZECB=-ZDCB=45°

22O

・•・ZEBC=ZECBo

:.EB=EC.

・••阳ECF是菱形（菱形的定义）。

在4E8C中，

VZEBC=45°,NECB=45。，

・•・ZBEC=90°o

・・・菱形BEC/是正方形（有一个角是直角的菱形是正方

形）。

【探究2】探究中点四边

做一做：我们知道，任意画一个四边形，以四边的中点形的问题，旨在综合

为顶点可以组成一个平行四边形。那么，任意画一个正方形,应用平行四边形及

以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？正方形的性质定理

师生活动：教师提出问题，让学生通过画图、测量或直和判定定理，发展空

接猜想四边形的形状，并进行证明。再请学生上台演示，交间感念，培养学生解

流。决问题的能力。

（可先证四边形AiBCiDi是矩形，再证其是正方形，也

可先证其是菱形，再证其是正方形。）利用类比的方

议一议：（1）以菱形或矩形各边的中点为顶点可以组成法分别提出了以菱

一个什么图形？先猜一清，再证明。如果以平行四边形各边

形、矩形以及三行四

的中点呢？

边形各边中点为顶

以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状

（2）点所组成图形的形

与哪些线段有关系？有怎样的关系？状问题，除了让学生

师生活动：教师指导学生以小组合作的形式，在其他众猜测、证明外，还希

多的特殊四边形（主要是平行四边形，矩形，菱形）中选择望学生能进一步分

自己感兴邮的四边形来研究中点四边形，并探究中点四边形

析、概括得到一个一

与原四边形的哪些线段有关系。再分别请每组学生代表上台

般性的结论：所得的

四边形的形状取决

于原四边形两条对

角线的位置关系和

数量关系。

【归纳总结】

任意四边形的中点四边形是平行四边形（如图1、5、6、

7）；

矩形的中点四边形是菱形（如图2）；

菱形的中点四边形是矩形（如图3）；

正方形的中点四边形是正方形（如图4）。

3.学以致用，应用新知

考点1有一组邻边相等的矩形是正方形

例1在△ABC中，NACB=90。，/ABC,NBA。的平通过例题讲解，

巩固理解“有一组邻

分线相交于点。，DE工BC,DF±ACf垂足分别为E,F。

求证：四边形OEC广为正方形。边相等的矩形是正

方形”的判定定理，

一方面加强学生对

知识的掌握，从而提

高知识的应用能力；

另一方面可以差缺

补漏。

证明：如图，过点D作。N_LAB,垂足为M连接CD。

•・•乙4。?=90。，DELBC,DF1AC,

・•・四边形OEC尸是矩形。

VZABC,N84c的平分线相交于点。，DE1BC,DF

_L4C,DNLAB,

:・DF=DN,DE=DN.

：.DF=DE0

・・・四边形0EC尸是正方形。

考点2对角线互相垂直的矩形是正方形

例如图，在四边形中，点是线段上的

2A5CDEAO通过例题讲解，

任意一点（E与A,。不重合），G,F,”分别是BE,BC,巩固理解“对角线互

CE的中点。连接ER若BE工EC,EFLBC,相垂直的矩形是正

求证：四边形是正方形。

EGFH方形”的判定定理，

一方面加强学生对

知识的掌握，从而提

高知识的应用能力；

另一方面可以差缺

补漏。

证明：如图,连接GH。

A

VG,一分别是BFBC的中点,

:・GF〃EC,GF=-EC.

2

:・GF〃EH,GF=EH°

・•・西边形EGFH是平行四边形。

■:BE1EC,

:.NGEH=90。。

・•・四边形EG/7/是矩形。

VG,H分别是BE.CE的中点，

:.GH//BC.

XVEF1BC,

:.EF1GH。

・•・矩形EG"/是正方形。通过例题讲解，

考点3有一个角是直角的菱形是正方形巩固理解“对角线

例3如图，在△48C中，N84O90。，NZMC的平分互相垂直的矩形是

线交于点。，DE//AB,DF//AC.正方形”的判定定

求证：四边形为正方形。理，一方面加强学生

对知识的掌握，从而

提高知识的应用能

力；另一方面可以差

缺补漏。

证明：■:DE//AB,DF//AC,

・・・四边形AFDE是平行四边形。

,•F。平分N84C,

；・NfAD=NEAD。

■:DE〃AB,

：.ZEDA=ZE\Do

：.ZEDA=ZEAD0

：.AE=DEO

・・・四边形AFQE是菱形。

NBA090。，

...四边形AFDE是正方形“通过例题讲解，

考点4对角线相等的菱形是正方形巩固理解“对角线

例4如图，在菱形ABC。中，对角线AC,B。相交于相等的菱形是正方

点。，点E,尸在对角线8。上，且8£=OF,0E=0A.求证:形”的判定定理，一

四边形AEC尸是正方形。方面加强学生对知

识的掌握，从而提高

知识的应用能力；另

一方面可以差缺补

漏。

证明：•・•四边形4BCQ是菱形，

：.AC-LBD,OA=OC,OB=ODo

,:BE=DF,

：.OE=OFo

：.四边形AECF是平行四边形。

又,.,ACJ_B。，

•••0AEC/是菱形。

•：0E=0A,

：.EF=ACO

・•・菱形AEb是正方形。

考点中点四边形

5通过例题讲解，

例如图，在四逅形。中，点石，F,G,分别

5AbH考查判断中点四边

是A8,BC,CD,DA边上的中点，则下列结论一定正确的形的形状，以及中点

是（）四边形面积、周长与

原四边形的关系。一

方面加强学生对知

识的掌握，从而提高

知识的应用能力；另

A.四边形EFG”是矩形一方面可以差缺补

B.四边形的面积等于四边形ABC。面积的工漏O

4

C.四边形EFGH的内角和小于四边形A8C。的内角和

D.四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线长

度之和

答案：D

通过变式训练

变式训练如图，在四边形43CD中，AC_L5D,点

巩固所学知识，灵活

F,G,"分别是AB,BC,CD,DA的中点;，若AO6,8。=8,

运用中点四边形的

则四边形EFGH的面积是o

知识理解决问题。

答案：12

4.随堂训练，巩固新知

1.下列命题是真命题的是（）

A.四边相等的四边形是正方形

B.一组邻边相等的矩形是正方形

C.对角线互相垂直平分的四边形是正方形

D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

答案：B

为学生提供自

2.如图，在四边形ABC。中，AB=BC=CD=DA,对角线

我检测的机会，教师

AC与50相交于点O,增加下列条件仍不能推出四边形48co

针对学生的学习情

是正方形的是（）

况，及时调整爱课，

查缺补漏。

A.ZABC=90°B.ZBAD=ZBCD

C.AC=BDD.0A=0B

答案：B

3.如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形

A.AB//DCB.AC=BD

C.ACLBDD.AB=DC

答案：C

4.如图所示，石是正方形ABC。边8c上任意一点，EF

_LB。于凡EGJ_C。于G,若AB=10cm,则四边形EG。/

的周长是______cmo

答案：1()右

5.如图，在四边形ABCO中，AC1BD,AC=BD,E,F,

G,“分别是AH,BC,CD,DA,的中点。

求证：四边形是正方形。

证明：•・•£F,G,，分别是AB,BC,CD,OA的中点,

2_[_[1

.\EF=2AC,GH=3AC,EH=5BD,FG=&BD,EF//

AC旦EH〃BD.

9：AC=BD,EF=FG=GH=HE,

・・・四边形E/G”是菱形。

乂・・・ACLB。，EF〃AC,EH//BD,

：.EHLEF,B[JZ7/EF=90°o

・•・四边形EFGH是正方形。

5.课堂小结，自我完善

1.正方形的判定：

定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四

边形是正方形。

定理，有一组邻边相等的矩形是正方形。

通过小结，使学

定理：对角线互相垂直的矩形是正方形。