高等数学 上册 高等数学 上册 第四章习题详解

习题4-1选择题CBC计算题设为的一个原函数，求；已知的导数是，求f(x)的原函数.根据基本积分表，求下列不定积分：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) 设曲线通过点，且其上任一点处的切线斜率为，求此曲线方程．解：已知曲线在任一点处的切线斜率为，由导数几何意义知曲线的导数。对求不定积分：。因为曲线过点，将，代入可得：，即，解得。所以曲线方程为。5.已知平面曲线上任意一点处的切线斜率为，且曲线经过点，求该曲线方程．解：已知曲线在任一点处的切线斜率为，由导数几何意义可知。对求不定积分得，所以。因为曲线经过点，将，代入：，解得。所以曲线方程为。6.已知，且，求．解：已知，由导数与不定积分的关系，，所以。又因为，代入可得：解得。所以。习题4-21．在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立：(1)；(2)；(3)(4)(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)．2．用第一类换元法求下列不定积分。(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) 令，则，所以(44) 3.用第二类换元法求下列不定积分.(1)令，则。(2)令，则，。(3)令，则，。(4)令，。(5)(6)令，。(7)令，。(8)令，。(9)令，。(10)令，。(11)令，。（12）令，。(13)令，。(14)令，。（15）令，，(16)令，则，。习题4-31、用分部积分法求下列不定积分。(1) (2) (3) (4) ，移项可得，所以。(5) (6) (7)（8），，(9)，移项可得，所以。。。。(15)。(16)。。。。令，，。。，移项可得，所以。(22)。(23)。(24)令，，。。习题4-4将变形为，则。先对配方得，，。设，通分得到。由等式两边系数相等可得：，解得，，。所以。因为，设，通分得到。由等式两边系数相等可得：，解得，，。则。设，通分得到。由等式两边系数相等可得：，解得，，。所以。设，通分得到。由等式两边系数相等可得：，解得，，。则。，设，通分得到。由等式两边系数相等可得：，解得，，。。设，通分得到。由等式两边系数相等可得：，解得，，，。。。设，通分得到。由等式两边系数相等可得：，解得，，，。。将，设，通分得到。由等式两边系数相等可得：，解得，，，。。设，通分得到。由等式两边系数相等可得：，解得，，，。对，先计算；对于，其中对于，令，则。而对于，令，（即），则积分变为。根据积分公式（），当时，。把，代回得：-。。则。所以原积分结果为令，则，。令，则，。令，则，。对配方得，则令，则，，。令，则，，。，对配方：则(18)令，则，。令，则，。令，则，。令，则，。令，则，。，再本章自测题1、选择题答案：DCCBB2、填空题(1)已知，对等式两边求导得，则，所以。令，，则。(2)令，则，因为，所以。，即。(3)已知是的一个原函数，则。由分部积分法，，，所以(4)。(5)令，，。，因为，，所以，可记为。求下列不定积分。(1) (2) (3)令，则，， (4)令，则， (5) (6)设，，则，， (7)令，则