2025-2026学年辽宁省辽西重点高中高二上学期10月联考数学试卷（含解析）

第=page2020页，共=sectionpages2020页2025-2026学年辽宁省辽西重点高中高二上学期10月联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，若AB=a，AD=b，AA'=A.0 B.1 C.2 D.42.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A.5 B.22 C.3.在空间直角坐标系中，向量a=(2,1,m)，b=(-2,1,2)，下列结论正确的是(

)A.若a//b，则m=2

B.若a⊥b，则m=-32

C.若〈a,b〉为锐角，则m>4.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，若AB1⊥BA.33 B.22 C.5.已知平面α经过点A0,0,-1，m=1,2,-2为平面α的一个法向量，点Px,y,z是平面α内异于点AA.x+2y-2z=-2 B.x+2y-2z=2

C.x-2y-2z=2 D.x-2y-2z=46.如图1，正方形ABCD中，AE=EB，DF=FC，O是BD的中点.将△ABD沿BD折叠到△A'BD的位置，使得平面A'BD⊥平面BCD(如图2)，则直线BD与平面EOFA.36 B.23 C.7.如图，△SAB是圆锥SO的轴截面，SA=2AB,C是半圆弧AB的中点，D是线段OB的中点，则异面直线SA与CD所成角的余弦值是(

)A.147

B.1020

C.8.在△ABC中，顶点A(2,3)，点B在直线l：3x-y+1=0上，点C在x轴上，则△ABC周长的最小值为(

)A.13 B.2105 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列四个结论错误的是(

)A.任意向量a，b，若a⋅b=0，则a=0或b=0或〈a,b〉=π2

B.若空间中点O，A，B，C满足OC=13OA+23OB，则A，B10.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，AD=AA1A.若λ=12，则B1P=12AD-12AB-12AA1

B.若λ=13，则P，11.若点A(-1,-4)，B(3,0)到直线l：ax+by+c=0(ab≠0)的距离相等，则下列结论可能成立的是(

)A.l过原点

B.l过点(1,-2)

C.a≠-b且c=3b

D.直线3ax+2by+c=0可能过点(三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.两条异面直线a，b所成的角为60°，在直线a，b上分别取点A'，E和A，F，使A'A⊥a，A'A⊥b.已知A'E=2，AF=2，EF=5，则A'A=______．13.在正四面体ABCD中，P是△ABC内部或边界上一点，满足AP=λAB+μAC，且λ+μ=13，设14.已知实数x，y满足x+y+1=0，则x2+四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．

(1)求证：A1E⊥BD；

16.(本小题15分)

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=PA，AB=2PA，点N在AC上，且CN=2NA，点M是线段AB上的动点．

(1)求异面直线PN与BC所成角的余弦值；

(2)当M是AB的中点时，求PA与平面PMN17.(本小题15分)

据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．

(1)经过直线l1：2x-y+4=0与直线l2：x-y+5=0的交点M，且与直线x-2y-1=0平行的直线的方程；

(2)已知点A(-2,-1)，B(4,3).求线段AB的垂直平分线的方程；

(3)经过点P(-2,3)，并且在两坐标轴上的截距相等．18.(本小题17分)

在三棱锥A-BCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且MN=xAB+yAC+zAD．

(1)求x+y+z．

(2)已知AB=AD=2AC=2,cos∠BAC=14,cos∠CAD=-14,cos∠BAD=78．

①证明：MN⊥19.(本小题17分)

在空间直角坐标系中，已知向量u=(a,b,c)(abc≠0)，点P0(x0,y0,z0)，点P(x,y,z)，定义直线l经过点P0且以u为方向向量，平面α经过点P0且以u为法向量．

(1)若P是平面α内的任意一点，求证：a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0；

(2)另有平面α的方程为x-y+z-7=0，直线l是平面x+2y-3=0与x+z+1=0的交线，求直线l与平面α所成角的余弦值；

答案解析1.【答案】B

【解析】解：由题意，正方体棱长为1，故a,b,c两两垂直且|a|=|b|=|c|=1，

所以(a+b)⋅(b-c)=a⋅b-2.【答案】A

【解析】解：由题意得|AB|=|AD|=1,|AA1|=1，⟨AB,AD⟩=90°,⟨AA1,AB⟩=⟨AD,3.【答案】C

【解析】解：对于A：因为a=(2,1,m)，b=(-2,1,2)且a//b，所以a=tb，

即2=-2t1=tm=2t，方程组无解，故不存在m使得a//b，故A错误；

对于B：若a⊥b，则a⋅b=2×(-2)+1×1+2m=0，得m=32，故B错误；

对于C：若a,b为锐角，a与b不可能共线，则a⋅b=2×(-2)+1×1+2m>0，得m>32，故C正确；

对于D：因为a在b上的投影向量为16b，

因为a⋅b=2×(-2)+1×1+2m=2m-3，|b4.【答案】B

【解析】解：设正三棱柱ABC-A1B1C由于AB1=BB则AB1⋅BC1=(BB取BC的中点O，连接AO，B1由于底面▵ABC为等边三角形，AB=2，

则AO⊥BC由于BB1⊥平面ABC，AB，AO⊂平面ABC，

所以AO⊥由于BB1∩BC=B，BB1,BC⊂所以∠AB1O为直线AB1故选：B．5.【答案】B

【解析】解：因为m=1,2,-2是平面所以AP⊥故AP⋅即x+2y-2z=2．故选：B．6.【答案】C

【解析】解：连接A'O，CO，则A'O⊥BD，CO⊥BD，

因为平面A'BD⊥平面BCD，平面A'BD∩平面BCD=BD，A'O⊂平面A'BD，

所以A'O⊥平面BCD，

又CO⊂平面BCD，

所以A'O⊥CO，

故以O为坐标原点，OB，OC，OA'所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

设BD=2，则O(0,0,0)，B(1,0,0)，A'(0,0,1)，D(-1,0,0)，C(0,1,0)，

由题意知E，F分别为A'B，CD的中点，

所以E(12,0,12)，F(-12,12,0)，

所以OE=(12,0,12),OF=(-12,12,0)，BD=(-2,0,0)，

设平面EOF的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅OE=12x+12z=0n⋅OF=-12x+7.【答案】B

【解析】解：因为△SAB是圆锥SO的轴截面，

SA=2AB,C是半圆弧AB的中点，D是线段OB的中点，

连接OC，则OC⊥OB，

又SO⊥平面ABC，所以OC，OB，OS两两垂直，

故建系如图：

设AB=4，所以SA=2AB=42，所以SO=27，

则A(0,-2,0)，C(2,0,0)，D(0,1,0)，S(0,0,27)，

所以SA=(0,-2,-27),CD=(-2,1,0)，

设异面直线8.【答案】C

【解析】解：设A关于直线l的对称点为P，关于x轴的对称点为Q，

PQ与l的交点即为B，与x轴的交点即为C．

如图，P，Q两点之间线段最短可知，PQ的长即为△ABC周长的最小值．

设P(m,n)，由直线l：3x-y+1=0，

直线AP与直线l垂直，可得n-3m-2=-13，

又线段AP的中点在直线l上，可得3(m+2)2-n+32+1=0，

解得m=-25，n=195，即P(-25,195)，

A(2,3)关于x9.【答案】CD

【解析】解：对于A，已知任意向量a，b，若a⋅b=0，

又a⋅b=|a|⋅|b|cos〈a,b〉，

若a⋅b=0，则|a|=0或|b|=0或cos〈a,b〉=0，

即a=0或b=0或〈a,b〉=π2，故A正确；

对于B，若空间中点O，A，B，C满足OC=13OA+23OB，

因为13+23=110.【答案】ABD

【解析】解：对于选项A，由题意四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，AD=AA1=2AB=2，且∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=π3，点P满足B1P=λB1D，

由空间向量的线性运算法则可知B1D=AD-AB1=AD-(AB+AA1)=AD-AB-AA1，

若λ=12，则B1P=12B1D=12AD-12AB-12AA1，故选项A正确；

对于选项B，由题意知B1D=B1A1+B1C1+B1B，若λ=13，则B1P=13B1D=13B1A1+11.【答案】ABD

【解析】解：由题意可得kAB=1，直线AB的方程为y-0=1×(x-3)，

即y=x-3，

又点A、B到直线l：ax+by+c=0(ab≠0)的距离相等，

对于A，取a=-b=1，c=0，则l：x-y=0过原点和y=x-3平行，满足点A(-1,-4)，B(3,0)到直线l：ax+by+c=0(ab≠0)的距离相等，A正确；

对于B，当直线AB与直线l：ax+by+c=0(ab≠0)相交时，

因为点A(-1,-4)，B(3,0)到直线l：ax+by+c=0(ab≠0)的距离相等，

所以A，B的中点(1,-2)在直线l：ax+by+c=0(ab≠0)上，B正确；

对于C，当a≠-b时，即kl≠1，此时直线AB与直线l：ax+by+c=0(ab≠0)相交，

由B可知：a-2b+c=0，若c=3b，则a=-b，前后矛盾，C错误；

对于D，当直线AB与直线l：ax+by+c=0(ab≠0)相交时，

由B可得a-2b+c=0，即3a×13+2b×(-1)+c=0，

即直线3ax+2by+c=0可能过点(13,-1)，D正确．

故选：12.【答案】13或【解析】解：已知异面直线a，b所成的角为60°，A'E=2，AF=2，EF=5，

∵EF=EA'+A'A+AF，

∴|EF|2=(EA')2+(A'A)2+(AF)2+2EA'⋅A'A+2A'A⋅AF+2EA'⋅AF，

∵A'A⊥a，A'A⊥b，

∴EA'⋅A'A=0,A'A⋅AF=0，

又A'E=2，AF=2，EF=5，

∴25=4+(A'A)2+4+2EA'⋅AF=8+(A'A)2+2×2×2×cos〈EA',AF〉，

∵异面直线13.【答案】[1【解析】解：由题意有λ,μ∈[0,13]，

由AP=λAB+μAC有DP-DA=λ(DB-DA)+μ(DC-DA)，

所以DP=DA+λDB+μDC-(λ+μ)DA=23DA+λDB+μDC，

所以x=214.【答案】3【解析】解：因为x2+y2-2y+1+x2-2x+y2-4y+5=x2+(y-1)2+(x-1)2+(y-2)2，

所以问题可以转化为直线x+y+1=0上一动点P(x,y)到点A(0,1)，B(1,2)的距离之和最小，

如图所示，设直线x+y+1=0与x、y轴分别交于D、C点，则AO=OD=OC=1，

易知△ADC是等腰直角三角形，

设A关于直线x+y+1=0的对称点为A'15.【答案】如图，

以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体的棱长为a，则A(a,0,0)，B(a,a,0)，C(0,a,0)，

A1(a,0,a)，C1(0,a,a)，

设E(0,a,e)(0≤e≤a)，BD=(-a,-a,0)，A1E=(-a,a,e-a)，

则BD⋅A1E=a2-a2+(e-a)⋅0=0，

所以BD⊥A1E，即BD⊥A1E；

设平面A1BD和平面EBD的法向量分别为n1=(x1,y1,z1)，n2=(x2,y2【解析】证明：(1)如图，

以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体的棱长为a，则A(a,0,0)，B(a,a,0)，C(0,a,0)，

A1(a,0,a)，C1(0,a,a)，

设E(0,a,e)(0≤e≤a)，BD=(-a,-a,0)，A1E=(-a,a,e-a)，

则BD⋅A1E=a2-a2+(e-a)⋅0=0，

所以BD⊥A1E，即BD⊥A1E；

(2)设平面A1BD和平面EBD的法向量分别为n1=(x1,y1,z1)，n2=(x2,y2,z2)，

因为DB=(a,a,0),DA1=(a,0,a),DE=(0,a,e)，

所以n1⋅DB=0n1⋅DA116.【答案】3030；

【解析】(1)证明：设AC=PA=1.建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0),N(0,13,0),P(0,0,1),B(2,0,0),C(0,1,0)．

PN=(0,13,-1),BC=(-2,1,0)，

∴cos〈PN,BC〉=PN⋅BC|PN|⋅|BC|=13103×3=3030，

∴异面直线PN与BC所成角的余弦值为3030．

(2)当M是AB的中点时，M(22,0,0)，则17.【答案】x-2y+11=0；

3x+2y-5=0；

3x+2y=0或x+y-1=0

【解析】(1)根据2x-y+4=0x-y+5=0，解得x=1y=6，可知直线l1、l2交于点M(1,6)．

若一条直线经过点M(1,6)，且与x-2y-1=0平行，

则该直线的方程为(x-1)-2(y-6)=0，即x-2y+11=0．

(2)根据A(-2,-1)、B(4,3)，可得AB的中点为C(4-22,3-12)，即C(1,1)，

由AB的斜率k=3-(-1)4-(-2)=23，可得AB的垂直平分线的斜率k1=-1k=-32，

所以线段AB的垂直平分线方程为y-1=-32(x-1)，即3x+2y-5=0．

(3)①当直线过原点时，在两坐标轴上的截距相等，都为0，

此时直线的斜率k=-32，方程为y=-32x，即3x+2y=0；

②当直线不过原点时，

根据直线在两坐标轴上的截距相等，可知直线的斜率k=-1，

所以直线的方程为y-3=-(x+2)，即x+y-1=018.【答案】12；

①证明：由题意AB=AD=2AC=2,cos∠BAC=14,cos∠CAD=-14,cos∠BAD=78，

可得AB⋅AC=|AB||AC|cos∠BAC=12,AB⋅AD=|AB||AD|cos∠BAD=72，【解析】(1)由题意三棱锥A-BCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且MN=xAB+yAC+zAD，

可得MN=AN-AM=AC+CN-12AB