高考物理一轮复习 知识点34：天体的追及与相遇问题（拔尖解析版）

知识点34：天体的追及与相遇问题【知识思维方法技巧】天体相遇与追及问题的处理技巧：（1）首先根据eq\f(GMm,r2)＝mrω2判断出谁的角速度大（2）根据两星追上或相距最近时满足两星运动的角度差等于2π的整数倍，即θa－θb＝ωAt－ωBt＝n·2π(n＝1,2,3，…)，相距最远时两星运行的角度差等于π的奇数倍，即θa－θb＝ωAt－ωBt＝(2n＋1)π(n＝0,1,2，…)。考点一：地球卫星模型的追及相遇问题题型一：地球卫星与赤道上物体的追及相遇问题【典例1拔尖题】假设有一载人宇宙飞船在距赤道地面高度为4200km的上空绕地球做匀速圆周运动，地球半径约为6400km，地球同步卫星距地面高为36000km，宇宙飞船和地球一同步卫星绕地球做同向运动，每当两者相距最近时，宇宙飞船就向同步卫星发射信号，然后再由同步卫星将信号发送到地面接收站，某时刻两者相距最远，从此刻开始，在一昼夜的时间内，接收站共接收到信号的次数为()A.4次 B.6次 C.7次 D.8次【典例1拔尖题】【答案】C【解析】根据圆周运动的规律，分析一昼夜同步卫星与宇宙飞船相距最近的次数，即为飞船发射信号的次数，也为接收站接收到信号的次数．设宇宙飞船的周期为T，由G＝mr，得T＝2π；由开普勒第三定律得＝，则＝()3，解得T＝3h；设两者由相隔最远至第一次相隔最近所用的时间为t1，有(－)·t1＝π，解得t1＝h，以后每次相距最近的时间间隔为t2，有(－)·t2＝2π，解得t2＝h由n＝＝6.5知，接收站共接收到信号的次数为7次，故选C.【典例1拔尖题对应练习】军用卫星指的是用于各种军事目的的人造地球卫星，在现代战争中大显身手，作用越来越重要，一颗军事卫星在距离地面高度为地球半径的圆形轨道上运行，卫星轨道平面与赤道平面重合，侦察信息通过无线电传输方式发送到位于赤道上的地面接收站，已知人造地球卫星的最小周期约为85min，则下列判断正确的是()该军事卫星的周期约480minB．该军事卫星的运行速度约为7km/sC．该军事卫星连续两次通过接收站正上方的时间间隔约为576minD．地面接收站能连续接收的信息的时间约为96min【典例1拔尖题对应练习】【答案】D【解析】对于该军事卫星和近地卫星，由开普勒第三定律可知(eq\f(2R0,R0))3＝(eq\f(T,Tmin))2，解得T＝2eq\r(2)Tmin≈240min，A错误；军事卫星运行的速度v＝eq\r(\f(GM,2R0))＝eq\r(\f(1,2))×eq\r(\f(GM,R0))＝eq\f(7.9km/s,\r(2))≈5.6km/s，B错误；该军事卫星连续2次通过接收站正上方，由几何关系可知eq\f(2π,T)t1－eq\f(2π,T0)t1＝2π，解得t1＝288min，C错误；卫星与接收站的关系如图所示．设卫星在A1、A2位置接收站恰好能接收到信息，由几何关系可知∠A1OB1＝∠A2OB2＝eq\f(π,3)，eq\f(2π,3)＋eq\f(t2,T0)·2π＝eq\f(t2,T)·2π，解得t2＝eq\f(TT0,3（T0－T）)＝96min，D正确．题型二：地球卫星与地球卫星的追及相遇问题【典例2拔尖题】如图所示，A、B为地球两个同轨道面的人造卫星，运行方向相同，A为同步卫星，A、B卫星的轨道半径之比为eq\f(rA,rB)＝k，地球自转周期为T。某时刻A、B两卫星位于地球同侧直线上，从该时刻起至少经过多长时间A、B间距离最远()A．eq\f(T,2（\r(k3)－1）)B．eq\f(T,\r(k3)－1)C．eq\f(T,2（\r(k3)＋1）) D．eq\f(T,\r(k3)＋1)【典例2拔尖题】【答案】A【解析】由开普勒第三定律得eq\f(req\o\al(3,A),req\o\al(3,B))＝eq\f(Teq\o\al(2,A),Teq\o\al(2,B))，设两卫星至少经过时间t距离最远，如图所示，eq\f(t,TB)－eq\f(t,TA)＝nB－nA＝eq\f(1,2)，又TA＝T，解得t＝eq\f(T,2（\r(k3)－1）)，选项A正确。【典例2拔尖题对应练习】如图所示，已知地球的一颗同步卫星信号最多覆盖地球赤道上的经度范围为2α.另一颗其他卫星信号最多覆盖的赤道经度范围为2β(图中未画出)，若α>β，两颗卫星围绕地球转动的方向相同，不考虑两卫星间的影响．若某时刻另一颗卫星位于地球和同步卫星连线中间的某位置，下列说法正确的是()A．另一颗卫星的周期为24eq\r(\f(cos3α,cos3β))小时B．同步卫星和另一颗卫星的线速度之比为eq\r(\f(cosβ,cosα))C．至少经过eq\f(1,\r(\f(cos3β,cos3α)－1))小时，另一颗卫星再次到达地球和同步卫星连线中间某位置D．经过相同时间，同步卫星与另一颗卫星半径扫过的面积之比为eq\r(\f(cosβ,cosα))【典例2拔尖题对应练习】【答案】AD【解析】设地球的半径为R，则同步卫星做圆周运动的半径为r1＝eq\f(R,cosα)，另一颗卫星做圆周运动的半径为r2＝eq\f(R,cosβ).同步卫星绕地球做圆周运动的周期T1＝24小时，根据eq\f(r\o\al(3,1),T\o\al(2,1))＝eq\f(r\o\al(3,2),T\o\al(2,2))可得T2＝24eq\r(\f(cos3α,cos3β))小时，选项A正确；根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)可知eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(cosα,cosβ))，选项B错误；根据eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T2)－\f(2π,T1)))t＝2π可得t＝eq\f(24,\r(\f(cos3β,cos3α)－1))小时，选项C错误；天体半径扫过的面积为S＝eq\f(θ,2π)·πr2，而θ＝eq\f(2π,T)t，联立可得S＝eq\f(tπr2,T)，故经过相同时间，同步卫星与另一颗卫星半径扫过的面积之比为eq\f(S1,S2)＝eq\r(\f(cosβ,cosα))，选项D正确．考点二：行星冲日（合日）及偏离现象的追及相遇问题题型一：行星合日（冲日）现象【典例1拔尖题】太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示。则下列判断正确的是()地球火星木星土星天王星海王星轨道半径(AU)1.01.55.29.51930A.各地外行星每年都会出现冲日现象B.在2015年内一定会出现木星冲日C.天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半D.地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短【典例1拔尖题】【答案】BD【解析】本题考查开普勒定律、周期公式等知识点，意在考查考生的逻辑分析能力．设某行星相邻两次冲日的时间间隔为t，地球绕太阳运动的周期为T，某行星绕太阳运动的周期为T行，则eq\f(2π,T)t－eq\f(2π,T行)t＝2π，可得t＝eq\f(T,1－\f(T,T行))；而根据开普勒定律可得eq\f(T2,T\o\al(2,行))＝eq\f(R3,R\o\al(3,行))，联立可得t＝eq\f(T,1－\r(\f(R3,R\o\al(3,行))))，代入相关数据可得t火＝eq\f(T,1－\r(\f(R3,R\o\al(3,火))))≈2.195T，t木＝eq\f(T,1－\r(\f(R3,R\o\al(3,木))))≈1.092T，t土＝eq\f(T,1－\r(\f(R3,R\o\al(3,土))))≈1.035T，t天＝eq\f(T,1－\r(\f(R3,R\o\al(3,天))))≈1.012T，t海＝eq\f(T,1－\r(\f(R3,R\o\al(3,海))))≈1.006T.根据上述数据可知，各地外行星并不是每年都会出现冲日现象，选项A错误；木星在2014年1月6日出现了木星冲日现象，再经1.092T将再次出现木星冲日现象，所以在2015年内一定会出现木星冲日，选项B正确；根据上述数据，天王星相邻两次冲日的时间间隔不是土星的一半，选项C错误；根据上述数据可知，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短，选项D正确．【典例1拔尖题对应练习】(多选)如图，火星与地球近似在同一平面内，绕太阳沿同一方向做匀速圆周运动，火星的轨道半径大约是地球的1.5倍。地球上的观测者在大多数的时间内观测到火星相对于恒星背景由西向东运动，称为顺行；有时观测到火星由东向西运动，称为逆行。当火星、地球、太阳三者在同一直线上，且太阳和火星位于地球两侧时，称为火星冲日。忽略地球自转，只考虑太阳对行星的引力，下列说法正确的是()A.火星的公转周期大约是地球的倍B.在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为顺行C.在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为逆行D.在冲日处，火星相对于地球的速度最小【典例1拔尖题对应练习】【答案】CD【解析】由题意根据开普勒第三定律可知＝，由于火星轨道半径大约是地球轨道半径的1.5倍，则可得T火＝T地，故A错误；根据G＝m，可得v＝，由于火星轨道半径大于地球轨道半径，故火星运行的线速度小于地球运行的线速度，所以在冲日处火星相对于地球由东向西运动，为逆行，故B错误，C正确；由于火星和地球运动的线速度大小不变，在冲日处火星和地球速度方向相同，故相对速度最小，故D正确。题型二：天体周期性的追及相遇问题【典例2拔尖题】经长期观测发现，A行星运行轨道的半径近似为R0，周期为T0，其实际运行的轨道与圆轨道存在一些偏离，且周期性地每隔t0(t0>T0)发生一次最大的偏离，如图所示，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知行星B，已知行星B与行星A同向转动，则行星B的运行轨道(可认为是圆轨道)半径近似为()A．R＝R0eq\r(3,\f(t02,t0－T02))B．R＝R0eq\f(t0,t0－T0)C．R＝R0eq\r(\f(t03,t0－T03)) D．R＝R0eq\r(\f(t0,t0－T0))【典例2拔尖题】【答案】A【解析】A