备考2025届中考数学中档及压轴题型模型方法技巧专题11：二次函数中的定点、定值焦点与准线问题（原卷版）

2025届中考复习1/432025届中考复习专题11：二次函数中的定点、定值，焦点与准线总览总览题型解读TOC\o"1-3"\n\h\z\u模块一定值问题【题型1】面积定值【题型2】线段长为定值【题型3】线段和定值【题型4】加权线段和定值【题型5】线段乘积为定值【题型6】比值为定值【题型7】横（纵）坐标定值【题型8】角度为定值【题型9】线段倒数平方和为定值【题型10】其它定值问题模块二定点问题【题型11】直线过定点问题【题型12】已知定值求定点模块三抛物线的焦点准线及新定义问题【题型13】焦点与准线基本性质证明【题型14】利用焦点与准线性质求最值【题型15】焦点准线的其它性质（倒数和为定值，焦点弦为直径的圆与准线相切）【题型16】焦点准线的新定义问题题型题型汇编知识梳理与常考题型一、定值问题一般来说，二次函数求解几何线段代数式定值问题属于定量问题，方法采用:1.参数计算法：即在图形运动中，选取其中的变量(如线段长，点坐标)作为参数,将要求的定值用参数表示出，然后消去参数即得定值。2.韦达定理法：当涉及到直线(一次函数图象或x轴)与二次函数交点时，先联立方程消去y之后整理得到一元二次方程，借助韦达定理可得到交点横坐标与参数的关系，可以将要求的定值代数式用交点横坐标的和或积表示，往往会刚好抵消掉参数，则得到定值。简单的引例1如下：若线段AB＝x＋2，线段PQ＝－x＋7，那么AB＋PQ＝x＋2－x＋7＝9；即线段AB与线段PQ的和等于9，是一个定值．

简单的引例2如下：求证不论m取任何实数，二次函数y＝x²－2（m＋1）x＋m（m＋2）的图象与x轴的两个交点之间的距离d为定值。通过令y＝0，可以求得方程的两个实数根分别为x1＝m，x2＝m＋2，则两个交点之间的距离d＝x1－x2＝|m－m－2|＝2，是一个定值二、定点问题函数的解析式中除自变量外，还有待定的系数，此时函数的图象会随着待定的系数的变化而变化。图象变化过程中，有时始终会经过某个固定的点，定点问题是一个难点。方法：使待定的系数k失去影响力【例】证明：无论k取何值，抛物线都经同一定点.第一步：先找出所有含k的项，再提公因式k第二步：令与k相乘的因式为0，此时k就不起作用了令，此时在一个函数中，知x可求y，这个坐标就是定点，故无论k取何值，函数都经过定点总结：因为当x取某个值时，使含k项全部抵消了，即k不起作用了!【例2】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）．证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；【思路点拨】将抛物线的解析式变形为：y=－x2+m（2x+3），进而根据2x+3=0，求得x的值．【详解】证明：∵y=-x2+m（2x+3），∴当2x+3=0时，即时，，∴无论m为何值，抛物线必过定点D，点D的坐标是【例3】已知二次函数，其中．求证：二次函数的顶点在第三象限【思路点拨】先根据顶点坐标公式求出顶点坐标为，然后分别证明顶点坐标的横纵坐标都小于0即可；【详解】解：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为．∵，∴，∴，∴．∵，∴二次函数的顶点在第三象限．三、二次函数的焦点与准线我们已经知道二次函数的图像是抛物线，一种特别的曲线，其本身还具有这样的性质：抛物线上的任意一点到平面中某个定点和某条定直线的距离始终相等．这个点称为抛物线的焦点，这条直线称为抛物线的准线，本文将讨论一些与抛物线的焦点和准线相关的问题．焦点和准线属于高中内容，高中内容下放也是中考中所常见的．我们知道，二次函数的图像是抛物线，它也可以这样定义：若一个动点M(x，y)到定点的距离与它到定直线的距离相等，则动点M形成的图形就叫抛物线 结论1：对于抛物线焦点坐标为，准线为直线焦点一般用字母F表示．而且实际题目中二次项系数很多时候是只是为了焦点坐标便于计算．至于形如的抛物线可化为顶点式然后通过由平移来确定焦点和准线．结论2：如下图，FM⊥FN．证明：设，，则，∴，∴FM⊥FN．结论3：取PQ中点E，作EH⊥x轴交x轴于H点，则PH⊥QH．证明：倍长中线证两次全等．结论4：记MN与y轴交于点，．模块一定值问题【题型1】面积定值【例题1】（2024·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，对称轴为．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，连接，点D在直线上方的抛物线上，过点D作的垂线交于点E，作y轴的平行线交于点F．若，求线段的长；(3)直线与抛物线交于P，Q两点（点P在点Q左侧），直线与直线的交点为S，的面积是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．【巩固练习1】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D（1，4）在直线l：y＝x+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上．

(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由．【巩固练习2】已知抛物线经过点．(1)求抛物线的解析式及其顶点的坐标．(2)将点向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点，若点为抛物线上的一个动点，则以线段为直径的圆与直线交于点，，的面积是否为定值？若是，求出它的值；若不是，请说明理由．【巩固练习3】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点．

(1)求二次函数的表达式；(2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标；(3)已知，为抛物线上不与，重合的相异两点．①若点与点重合，，且，求证：，，三点共线；②若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．【题型2】线段长为定值【例题1】在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣2，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D，交⊙M于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．【巩固练习1】如图，已知抛物线的顶点为A，且经过点．

(1)求顶点A的坐标；(2)如图，将原抛物线沿射线方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线交于C，D两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【巩固练习2】已知，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点为A，顶点为．

(1)求抛物线的解析式；(2)如图，设直线（k≠0）与抛物线交于两点，点关于直线的对称点为，直线与直线交于点，求证：的长为定值．【巩固练习3】（2024·山东济宁·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别相交于，两点，与轴相交于点，下表给出了这条抛物线上部分点的坐标值：…012303430(1)求出这条抛物线的解析式及顶点的坐标；(2)是抛物线对称轴上一动点，求周长的最小值；(3)如图2，点是第四象限内抛物线上一动点，过点作轴，垂足为，的外接圆与相交于点．试问：线段的长是否为定值?如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．【题型3】线段和定值【例题1】（2024·重庆·模拟预测）如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C，抛物线对称轴交直线于点D，P为x轴下方抛物线上一点．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P在直线下方的抛物线上时，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标；(3)直线分别交对称轴于点M，N，当点M，N均在点D的下方时，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【例题2】如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为，点是轴上方抛物线上的一个动点，过作轴于，交直线于．(1)求二次函数表达式及顶点的坐标；(2)设抛物线对称轴与轴交于点，连接交对称轴于，连接并延长交对称轴于，证明的值为定值，并求出这个定值．【巩固练习1】已知抛物线与x轴交于A、B两点，顶点为C，连接，点P在线段下方的抛物线上运动．

如图，直线，分别与y轴交于点E，F，当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．【巩固练习2】如图1，抛物线，交轴于A、B两点，交轴于点，为抛物线顶点，直线垂直于轴于点，当时，．(1)求抛物线的表达式；(2)点是线段上的动点（除、外），过点作轴的垂线交抛物线于点，如图2，直线，分别与抛物线对称轴交于、两点．试问，是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．【巩固练习3】如图，抛物线过点，点，点，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．

(1)求抛物线的解析式；(2)若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【题型4】加权线段和定值【例题1】如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC，BC．已知△ABC的面积为2．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N（2，0）．点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E．连接AD并延长交MN于点F．在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【巩固练习1】如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；(2)如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【题型5】线段乘积为定值【例题1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线（其中），交轴于两点（点在点的左侧），交轴负半轴于点．

(1)求点的坐标；(2)如图，平面上一点，过点作任意一条直线交抛物线于两点，连接，分别交轴于两点，则与的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．【例题2】如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线，分别交x轴于点M，N．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．【巩固练习1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知，对称轴为直线(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（不与直线重合）与抛物线交于G，H两点，直线分别交x轴于点M，N，画出图形，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【巩固练习2】（2024·四川泸州·模拟预测）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，，交y轴于点C，对称轴是直线．点D是抛物线的顶点，点E是对称轴与x轴的交点．(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；(2)连接，P是第一象限抛物线上的点，若，求点P的坐标；(3)如图2，点在对称轴上，过点K的直线（直线除外）与抛物线分别交于点G，H，直线，分别交x轴于点M，N．试探究的值是否是定值，如果是，求出该定值，如果不是，说明理由．【巩固练习3】（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点为抛物线上一点，点为轴上一点，当以为顶点的四边形是以为边的平行四边形时，求点的坐标；(3)若为线段的中点，为抛物线的顶点，直线交抛物线于两点，直线交轴于点，直线交轴于点．试探究：是否为定值？若为定值，求出的值；若不是定值，请说明理由．【题型6】比值为定值【例题1】如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为，对称轴为直线．点P是x轴上一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．

(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点M在线段上运动（点M与点A、点C不重合），点D是射线上一动点，连接、，直线、分别交抛物线于E、F，连接，当平分时，点D的横坐标是否为定值，请说明理由．【例题2】（2024·湖南·中考真题）已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点．(1)求此二次函数的表达式；(2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接．若，求证的值为定值；【巩固练习1】抛物线y＝ax2＋c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且位于x轴下方．（1）如图1，若P（1，－3）、B（4，0），求该抛物线的解析式；（2）如图2，已知直线PA、PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．【巩固练习2】（2024·湖北武汉·三模）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，其中，．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图，在第三象限内抛物线上找点，使，求点的坐标；(3)如图，过抛物线对称轴上点的直线交抛物线于，两点，线段的中点是，过点作轴的平行线交抛物线于点．若是一个定值，求点的坐标．【巩固练习3】（2024·福建厦门·模拟预测）如图1和图2，抛物线与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．(1)求A，B，C三点的坐标；(2)如图1，是抛物线上一点，连接，若，求点的坐标；(3)如图2，直线与抛物线交于，两点，直线，分别交轴于点，．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．【题型7】横（纵）坐标定值【例题1】如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为，对称轴为直线．点P是x轴上一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．

(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点M在线段上运动（点M与点A、点C不重合），点D是射线上一动点，连接、，直线、分别交抛物线于E、F，连接，当平分时，点D的横坐标是否为定值，请说明理由．【例题2】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q．(1)求抛物线的表达式；(2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值；(3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．【巩固练习1】（2024·海南海口·模拟预测）如图，已知拋物线与x轴交于点，B，与y轴交于点，P点是抛物线上一动点．(1)求抛物线的函数解析式；(2)如图1，P点是直线上方抛物线上一点，当点P到直线的距离为最大时，求此时P点坐标；(3)如图2，点K是抛物线对称轴直线上一动点，点M，N在直线左侧的抛物线上，点N在M的左侧，若为等腰直角三角形，，设点M，N的横坐标分别为m，n，探究的值是否为定值，若是，求的值；若不是，请说明理由；【巩固练习2】如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，连接．

(1)抛物线的解析式为__________________；（直接写出结果）(2)如图2，若动直线与抛物线交于两点（直线与不重合），连接，直线与交于点．当时，点的横坐标是否为定值，请说明理由．【题型8】角度为定值【例题1】如图1，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C．若tan∠ABC＝3，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为．（1）求二次函数的解析式；（2）直线l绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止，l与线段BC交于点D，P是AD的中点．如图2，过点D作DE垂直x轴于点E，作DF⊥AC所在直线于点F，连结PE、PF，在l运动过程中，∠EPF的大小是否改变？请说明理由；【巩固练习1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其顶点为．直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧）．

(1)求抛物线的函数表达式和点的坐标；(2)当线段被抛物线的对称轴分成长度比为的两部分时，求的值；(3)连接，，试探究的大小是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【题型9】线段倒数平方和为定值【例题1】（2024·黑龙江大庆·二模）已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴负半轴交于点A．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图，若直线下方的抛物线上有一动点P，过点P作y轴平行线交于点F，过点P作的垂线，垂足为E，求周长的最大值；(3)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点M，使得当经过点M的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值？若存在，直接写出出点M坐标及定值，若不存在，说明理由．【巩固练习1】（2024·山东淄博·一模）已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点．(1)求抛物线的表达式；(2)如图，若直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴平行线交于，过点作的垂线，垂足为，求周长的最大值；(3)若点在抛物线的对称轴上，点在轴上，是否存在以，，，为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；(4)将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到一个新的抛物线，问在轴正半轴上是否存在一点，使得当经过点的任意一条直线与新抛物线交于，两点时，总有为定值？若存在，求出点坐标及定值，若不存在，请说明理由．【题型10】其它定值问题【例题1】抛物线与轴相交于两点，且，点为抛物线在第一象限上的点，顶点为为坐标原点．(1)若点时，求的值；(2)直线：交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值．【巩固练习1】如图，已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中，连结．(1)求点C的坐标及此抛物线的表达式；(2)当时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，直接写出n的取值范围．【巩固练习2】（2024·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于，两点，与y轴交于点C．(1)求二次函数的解析式；(2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，连接，线段与交于点Q，设的面积为，的面积为，当取最大值时，求点P的坐标；(3)当时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请直接写出m的取值范围．【巩固练习3】已知抛物线与轴交于、两点点在左侧．

(1)，、分别交抛物线于、两点，的解析式为点在第一象限，的解析式为，直接写出的值点在第三象限；(2)在（1）的条件下，若，求证：一定与定直线平行模块二定点问题【题型11】直线过定点问题【例题1】已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．(1)直接写出A，B，C三点的坐标；(2)如图，M、N是抛物线上异于B、C的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上．求证：直线必经过一个定点，并求该定点坐标．【例题2】（2024·福建三明·二模）已知抛物线（为常数，且）(1)请直接写出该抛物线的对称轴：直线______．(2)若对于任意实数x，抛物线始终在x轴下方，求a的取值范围；(3)若，设抛物线的顶点为．若直线l与抛物线相交于点A、B（点A在点B的左侧），与抛物线的对称轴相交于点E，且点E在点M的上方，过点A作直线的垂线，垂足为D．若点D、M、B三点共线，那么直线是否经过一个定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．【例题3】抛物线，（）交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是抛物线的顶点．

(1)当时，直接写出A，B，C三点的坐标；(2)如图，将抛物线平移使其顶点为（0，1），点P为直线上的一点，过点P的直线，与抛物线只有一个公共点，问直线是否过定点，请说明理由．【巩固练习1】已知过点的直线：与抛物线：的图象交于点，，点在轴上，抛物线与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；(2)将抛物线平移使得其顶点和原点重合，得到新抛物线，过点的直线交抛物线于、两点，过点的直线交抛物线于、两点．求证：直线过定点，并求出定点的坐标．【巩固练习2】已知抛物线关于直线对称，且过点．(1)求抛物线的解析式；(2)过的直线和直线均与抛物线有且只有一个交点．①求的值；②平移直线，，使平移后的两条直线都经过点，且分别与抛物线相交于G、H和P、Q两点，若M、N分别为，的中点，证明直线经过定点【巩固练习3】（2024·福建泉州·模拟预测）已知抛物线与轴交于两点，为抛物线上不与重合的相异两点，设直线的交点为．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若四点构成的四边形是轴对称图形，且，求四边形的面积；(3)若直线的交点在直线上，则直线必过定点，直接写出该定点的坐标．【巩固练习4】抛物线：与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．

(1)直接写出点A，B，C的坐标；(2)如图，将抛物线平移得到抛物线，使其顶点为原点，过点的直线交抛物线于E，F两点（点E在点F的上方），过点E作直线的平行线交抛物线于另一点M，连接，求证：直线必过一定点．【题型12】已知定值求定点【例题1】经过点、、的抛物线与x轴只有一个公共点，其中且．(1)求抛物线的解析式；(2)连接，作，交抛物线于点B，求证直线过定点，并求出该定点的坐标．【例题2】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图1，过点A作交抛物线于点E，连接，点P是x轴上点B左侧一动点，若与相似，求点P的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，点T是上一动点，过点T的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线分别交x轴于点M，N．当是定值16时，判断点T是否是定点？若是，求点T的坐标；若不是，请说明理由．【巩固练习1】如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

(1)直接写出A，B，C点的坐标；(2)如图2所示，过作两条直线分别交抛物线于第一象限点，，交轴于，，．当为定值时，直线是否必定经过某一定点？若经过，请你求出该定点坐标（用含的式子表示）；若不经过，请说明理由．【巩固练习2】（2024·江苏泰州·三模）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．点P是第一象限抛物线上的一个动点．(1)求抛物线解析式．(2)如图2，若点P是抛物线顶点，连接、、，求面积．(3)如图3，点Q是第四象限抛物线上的另一动点，交y轴于H点，交y轴于G点．在点P、Q运动的过程中始终满足，试探究直线是否经过某一个定点，若是，则求出该定点的坐标；若不是，说明理由．【巩固练习3】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C、顶点为D．(1)求抛物线的解析式；(2)P是x轴上一动点，将顶点D绕点Р顺时针旋转90°刚好落在抛物线上的点E处，求点P的坐标；(3)如图2、点G，H为x轴上方的抛物线上两点（点G在点H的左边），直线、与y轴分别交于S，T两点，若，试探究直线是否经过定点，若是，求定点坐标；若不是、请说明理由．【巩固练习4】（2024·湖北黄石·三模）已知抛物线与x轴交于两点，与轴交于点．(1)若点的坐标为，求抛物线的解析式；(2)如图1，设抛物线的顶点为M，判断的形状，并求出的值；(3)如图2，在（1）条件下，点P为抛物线上一点，将绕点顺时针旋转到，记点Q为．含b的式子表示a；②若抛物线上有两点、，按（3）的变换方式得到点、且，连恰好过定点F，直接写出的值．模块三抛物线的焦点准线及新定义问题【题型13】焦点与准线基本性质证明【例题1】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为(2，0)，且经过点(4，1)，如图，直线与抛物线交于A、B两点，直线l为y＝－1．(1)求抛物线的解析式；(2)知为平面内一定点，M(m，n)为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．【巩固练习1】如图，已知直线AB与抛物线相交于点A(－1，0)和点B(2，3)两点(1)求抛物线C函数表达式；(2)在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线的距离?若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由．【题型14】利用焦点与准线性质求最值【例题1】图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时DFQ周长的最小值及点Q的坐标．【例题2】已知抛物线经过点(0，1)、(4，1)，直线与抛物线交于A、B两点，直线h为．(1)求抛物线的解析式；(2)在h上是否存在一点P，使取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)为平面内一定点，为抛物线上一动点，且点M到直线h的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．【巩固练习1】我们知道，二次函数的图像是抛物线，它也可以这样定义：若一个动点M(x，y)到定点的距离与它到定直线的距离相等，则动点M形成的图形就叫抛物线 (1)已知动点M(x，y)到定点A(0，4)的距离与到定直线y＝－4的距离相等，请写出动点M形成的抛物线的解析式．(2)若点D的坐标是(1，8)，在(1)中求得的抛物线上是否存在点P，使得PA＋PD最短?若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【巩固练习2】已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点的距离与到轴的距离相等．如图，点的坐标为，是抛物线上的一个动点，求周长的最小值．

【巩固练习3】如图，点P为抛物线上一动点(1)若抛物线是由抛物线通过图像平移得到的，请写出平移的过程；(2)若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为(0，－1)，过点P作于M．①问题探究：如图一，在对称轴．上是否存在一定点F，使得PM＝PF恒成立?若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．②问题解决：如图二，若点Q的坐标为(1，5)，求QP+PF的最小值．【题型15】焦点准线的其它性质（倒数和为定值，焦点弦为直径的圆与准线相切）【例题1】如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．

(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；(2)设直线交抛物线于点、，求证：无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角．【巩固练习1】如图，已知二次函数a为实数)的图像过点A(－2，2)，一次函数y＝kx＋b(k≠0，k、b为实数)的图像1经过点B(0，2)．(1)求a值并写出二次函数表达式；(2)求b值；(3)设直线1与二次函数图像交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明：MB＝MC；(4)在(3)的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．【巩固练习2】如图，抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y＝kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．（1）求此抛物线的解析式；（2）求证：AO＝AM；（3）探究：①当k＝0时，直线y＝kx与x轴重合，求出此时的值；②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．【题型16】焦点准线的新定义问题【例题1】（2024·河北邯郸·三模）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究（）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，．【基础训练】（1）①请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程：，；②抛物线上的动点P到它的焦点之间距离最小值为．【技能训练】（2）如图2，已知抛物上一点（）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；【能力提升】（3）如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：，过抛物线上P点作x轴垂线，交直线m于点Q，，，当时，请直接写出P点横坐标x的取值范围．【拓展延伸】该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线（）平移至（）．坐标系内有一定点，直线l过点．且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离．请阅读上面的材料，探究下题：（4）如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请直接写出最小值及此时的面积．