2026届高考数学第一轮复习：集合与常用逻辑语言（解答题）专项练（含解析）

高考数学第一轮复习试卷：集合与常用逻辑语言解答题专项练

一、集合的含义与表示(本大题共1小题)

1.已知数列也},bnGN*,记集合4={力=富次的元素个数为|A|.

(I)若也}为1，2,4,8,12,写出集合A,并求同的值;

(2)若他}为1,3,a,b,且词=3,求{4}和集合A；

(3)若数列出}项数为，，满足々向>2(〃=1,2,…,一1),求证："|4|=-1”的充要条件是“{&}为等比

数列

二、集合间的基本关系(本大题共14小题)

2.设集合A={x|/<。),8={工|2。-5<工<3〃+2}.

x-3

(1)当。=1时，求集合BC1N'的非空真子集的个数；

(2)若8,求整数。的所有可能取值.

3.已知集合人={、/-91+18$0},8:{jd4cx〈9}.

(1)分别求Ac8,AU8.

(2)已知C={x|〃?—2vx<〃，+1},且CqB,求实数〃?的取值范围.

4.已知集合4={x|2f+x=(),x€R},4=+2(a+l)x+〃2-2=0,xeR}.

(1)若。=一1,试求A|J8；

(2)若8qA,求实数。的取值范围.

t,

5.已知非空集合A={X|W+l<x<2/7/-l},5=]x1<2-<8.

o

(1)求B；

(2)若Aq8,求实数机的取值范围.

6.设集合A=，x-^<0、8={x|2a-5<x<3a+2}.

(1)当。=1时，求集合8DN,的非空真子集的个数；

(2)若求整数。的所有可能取值.

J-Y

7.设集合A=«%——>I>,B=^x\m-2<x<in+3}.

(1)若6=4,求值4)，8；

(2)若AqB,求〃?的取值范围.

8.已知全集八孔集合4=卜言42),集合8={小一1|<3}.

>>

⑴求集合@4)ri8；

(2)设集合C=(QA)r|B,若集合。=卜|々<工"+1},且xe。是xwC的充分不必要条件，求实数。的取

值范围.

9.已知集合斗二卜卜?+4x>。},B={x|-1<x-2«<1}.

⑴当〃=-2时，求4c(QA)；

(2)若B=A,求。的取值范围.

10.已知集合4={同(％+4)(%-2)2。},8=卜卜1—}.

⑴求々A,母m5；

(2)若。=卜加一5工大工2〃?一1},且BUC=C,求实数〃?的取值范围.

11.已知集合A=„+2x«o},集合8={尤1-3«x«3a}.

⑴若。=0,求AU"

(2)若4n8=8,求实数a的取值范围.

12.已知集合团={固3—0<团<20+1},E={0I02-0-2>0}.

(1)当团=2时,求rc(Ca团),团U(C/);

(2)若田八0=团，求实数团的取值范围.

13.已知集合A={x|〃?-1WxW2m_l},集合8={H(x-2)(x+3)<。}.

<I)若m=2,求A[jB；

(2)若AqB,求实数团的范围.

14.已知全集4=酊集合人={小"5%-6Kob集合3={“加""「+2}.

(I)若〃2=5,求(6A)cB：

(2)若“工£4”是“xw8”的必要不充分条件,求实数用的取值范围.

15.在①81aA=0；②q*UA=R;③瘠A=R8这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解

答.

问迤：已知集合人={X£叫(工一D(x+2)>0},B={xwRy=4+a”R卜

(1)当〃=1时，求ADQB;

(2)若,求实数〃的取值范围.

三、集合的基本运算(本大题共11小题)

16.设集合A={H(A3)(…)=0MWR},B={X|(X-4)(X-1)=0},求ADB,AnB.

17,已知集合4={RXN2},B={X|X2-8X+15<0}.

⑴求力n(Q8);

(2)定义M+N={x+NxwM,)，wN},求A+A.

18.集合A={X|3WXV10},8={A|1<3X-5<16}.

(I)求AU8；

(2)求(QA)cB.

19.设aeR,函数/(x)=aV—2x—2a,若/*)>0的解集为43={x|1vxv3},AD3H0,求实数。

的取值范围.

x+U,

20.已知全集口=1<,集合A=〈x-——>1>，9={必〃+1<x<2m-\^.

1-x

(1)若“2=3,求AD。*;

(2)若API4=4,求实数小的取值范围.

21.已知集合4={Ha-l4xW2〃+3},A={M-lWx44},全集U=R.

⑴当〃=1时，求(Q,A)nB;

(2)若当A=0时，求实数〃的取值范围.

22.已知集合A干产”32产{jdX2-4x+4-/?z2<0,?/7>0}.

(1)若加=2,求An(Q8)；

⑵若“xeA”是“xe8”成立的充分不必要条件，求用的取值范围.

23.已一知心集一合人A.中।工x+1<0>,B=x2-{m-l)x+m-2<0|.

(1)若人5。向=[-1,4],求实数a,b满足的条件：

(2)若4|JB=4,求实数〃?的取值范围.

24.设集合人={dx+1K0或1-420},8={N2a<x«a+2}.

(1)若4口3工0,求实数。的取值范围；

(2)若A|JB=A,求实数〃的取值范围.

25.己知集合4={也4<工<1一a},B={x|x<-2ngx>3}.

(1)当。=一]时，求Ac3；

(2)若AD8=0,求实数。的取值范围.

26.已知集合S=3〃?一1WxW2m+1},T={x|x2<4|.

(1)若SaT,求实数〃?的取值范围；

(2)若Sc7=0,求实数用的取值范围.

四、集合的综合应用(本大题共11小题)

27.对于集合A,B,定义运算“V"：AVB={^xeA,xw8西式恰有一式成立},|川表示集合A中元素

图1

(1)设4={1,2,3,5,6},8={1,2,4},在图1的韦恩图中填入集合4,B,并求击78；

33.若非空实数集A中存在最大元素M和最小元素》，则记△(A)=Mr*①(A)=肱〃.

⑴已知人=何—2KxKl},求A(A)和中(A)；

⑵已知人{X/(x)Kg(x)/€[O5},小明同学认为“△(功=1”是“对任意人目()/，都有/⑴工履力”的

充要条件.你认为小明同学的判断是否正确？请说明理由；

(3)己知。=卜小型为正整数，。=卜|)，=3(工一1『/£。},若<D(O)=(A(C))4,求证：7为奇数.

34.已知集合出={(4法…，，-"％)上£{°4}#=123「、2”-1,2"}(〃£1<),对于

211

x=(&x2,…〜)，丫二()22，・"25%)£%,定义d(x,y)=2|%-讣

r»l

⑴已知X=(L0,l,0)t“2,求所有的入场，使得d(X,y)=3：

(2)已知xzzwM”,求证：d(x,y)+d(y,z)—〃(z,x)为偶数；

⑶已知A={X，X2,…,XJN%，对任意iWijYA,均有d(Xj,X/)N32,求k的最大值.

35.已知集合S为平面中点的集合，〃为正整数，若对任意的丘N..且〃，总存在平面中的一条直

线恰通过5中的％个不同的点，称集合5为〃连续共线点集.

⑴若S={(xj)lxc{0,l,2}jw{0J23,4}},判断S是否为3连续共线点集?是否为4连续共线点集？

(2)已知集合S为〃连续共线点集，记集合S的元素个数为|S|.

<i)若同=6,求〃的最大值；

(ii)对给定的正整数〃，求间的最小值.

36.设正整数〃22,A={Mx=q+(&-1)4#=1,2,…},这里/=12…,〃.若

A==N'，且AcA,=0(lWiv/<〃)，则称A，4,…,A”具有性质p.

⑴当〃=3时，若A，A2,&具有性质产，且4=1,%=2,a,=3,令m=《d2d3,写出〃?的所有可能值；

(2)若44,…，4具有性质P：

①求证：444(i=1,2,…,n)；

②求£务的值.

77<

37.已知集合4={1,2,3,…,2〃}(,?eN)，S是集合A的子集，若存在不大于〃的正整数〃?，使集合S

中的任意一对元素七，$2,都有卜|-S2伊机，则称集合S具有性质2

(1)当〃=10时，试判断集合8={xwA|x>9}和€'=卜£4卜=3女-1,壮1<}是否具有性质0?并说明理

由；

⑵当〃=100时，若集合S具有性质P,那么集合了={201-.xcS}是否具有性质P?并说明理由；

⑶当〃=34，攵eN.时，若集合5具有性质P，求集合5中元素个数的最大值/(〃).

五、充分条件与必要条件(本大题共H小题)

38.设U=R,已知集合4=3-24x45},B={x\m+\<x<2jn-\}.

(1)若8=0,求实数〃?的取值范围；

(2)若B不是空集，设〃:xeA；q：xw8,若〃是4的必要不充分条件，求实数〃，的范围.

39.已知集合4二卜,2-4工+3K0},集合4={#2-3工+2"广+/〃-1£。}.

(1)存在与wR,使X-2Z)+2〃L1=0(〃?WN')成立，求集合8；

(2)若xw8是xwA的必要不充分条件，求实数机的取值范围；

(3)命题〃:DxeA,有/+20¥+1之0,命题q：£R,使得父-2x-2a+1Wa?成立.若命题〃为假命

题，F为真命题,求实数a的取值范围.

40.已知〃：*GR,x2+6.r+a=0(a>0).

(1)若〃是真命题，求实数。的取值集合A;

(2兄E(1)的条件下，集合4=(巾/〃-1<工<3/〃+3},若“xe夕是“xeA”的充分条件，求实数，〃的取值

范乱

41,已知非空集合4=卜|小一1<[<"「+]},B={x|-2<x<2}.

(I)当〃7=2时，求A|J8,AC4；

(2)若“xeA”是“xe8”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围.

42.设全集为〃=%已知集合4={必加+1，%«3揉-1},B={x|l<2^<8).

(1)当加=2时,求@A)u及

⑵若“KGA”是“XW的充分条件，求实数/»的取值范围.

43.(1)设〃,〃、「<=R,证明：/+从+/="6+々°+从、的充要条件是〃一

(2)已知都是正实数，且试比较4+〃与时2+4人的大小，并证明

(3x-l>5

44.已知〃：<，〈八,八,q：x23〃?+l或xW3m-3.

15>2x-l>0

(I)若〃是"的充分条件，求实数机的取值范围；

(2)若〃是F的必要不充分条件，求实数，〃的取值范围.

45.设命题P：实数x满足*—a)*—3a)W0,其中a>0,命题4：实数x满足。-3)(“-2)40.

(I)若。=1,且〃和9都是真命题，求实数4的取值范围；

(2)若，/是〃的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

46.设meR,已知集合八=-,I{.r|2x2+(zn-2)x-m<()}.

(1)当“2=1时，求AU〃：

⑵若“xe8”是。wA”的必要不充分条件，求，〃的取值范围.

47.已知集合4={吊一3<1<4}]={川1一用工工工3加一2},是否存在实数小，使得xeA是xwB成立的

(1诩充分不必要条件补充在上面的问题中横线部分.若问题中的实数“存在，求出〃?的取值范围，若问

题中的加不存在，请说明理由；

(2那必要不充分条件补充在上面的问题中横线部分.若问题中的实数〃?存在，求出〃?的取值范用，若问

题中的“不存在，请说明理由.

48.已知集合A=«x土s=fxlx2-nvc-2ni2<0,m>()).

x-\L)

(I)当"?=2时，求4c4和

(2)若xwB是xwA成立的充分不必要条件，这样的实数团是否存在？若存在，求出〃[的取值范围；若不

存在，说明理由.

六、全称量词、存在量词(本大题共3小题)

49.已知命题P：女eR,使W+(a-l)x+l<0；命题q：Vxe|2,4|,使

(I)若命题〃为假命题，求实数。的取值范I制；

(2)若〃V4为真命题，〃人"为假命题，求实数。的取值范围.

50.设命题〃：对任意OWxWl,不等式2x—4〃?恒成立，命题夕：存在一使得不等式

JC-2x+m-\W0成立.

(1)若〃为真命题，求实数加的取值范围；

(2)若〃©杓且只有一个为真，求实数〃?的取值范围.

51.已知命题〃：“VxeR,使得为/+奴+1>0”.

(1)写出命题〃的否定形式"；

(2)若命题力是一个假命题，求实数。的取值范围.

七、与基本不等式有关的恒成立与能成立问题(本大题共1小题)

52.已知关于x的不等式依2一3X+240的解集为A={疝WxW®,集合B={Mm-\<x<2m+3].

(1)若"xeA”是的充分不必要条件，求机的取值范围；

y1、

(2)当Za-+ay=2时，71>0,)，>0,2+—22公+2攵+1恒成立，求女的取值范围.

参考答案

1.【答案】（1）A=（|,2,3,4,6,8,12｝,同=7；

（2）A=｛3,9,27）；

（3）见详解.

【详解】⑴集合A=｛；,2,3,4,6,8,12｝,14=7.

（2）由也｝为1,3,a,b,当之一为2时，不妨令a=2,则1=2*=3,个=〃互不相等,

23〃是集合A中元素，又同=3,则〃>3,；=解得。=：eN“，不符合题意，

则必有3<1<匕，得；=3,：=%互不相等，

则3,4,〃都是集合A中的元素，又|4|=3,则;=2=3,解得a=9,b=27,

3a

因此｛仇｝为1,3,9,27,所以A=｛3,9,27｝.

（3）充分性:若也｝是递增的等比数列,设也｝的公比为鼠4>1）,

b

当•时，±

所以4=,M24，..应1｝,且同=/一1,故充分性成立；

必要性:若｛2｝是递增数列，且同=1,则彳<才</<…<才，

于是…，丝（=A,且互不相等，又么"<…<2<2,

'Lb、b「b「"，口相寺，乂仄/玩b2bj

in,AA%…2久色…2%万不相笺

则仇匕‘"力A’且H―r4”互不相等'

凤出邑=旦b=b...力=务±%…也_=%

"儿"b「b、b「'b,b.'b、b.'h.bj'b.b.

L114ILILIIF-11

从而尹圻…二捍所以也;为等比数列，故必要性成立,

综上，“|人|=一|"的充要条件是“｛〃”｝为等比数列”.

2.【答案】(1)14

(2)1和2

【详解】(1)当。=1时，8=*|-3<x<5},则BAN"={1,2,3,4},

所以8口m非空真子集的个数为2，-2=14.

2。-5<3。+2

(2)依题意，A={x\0<x<3}f由AqB,得2〃-5<0,

--、32

所以整数4的所有可能取值为I和2.

3.【答案】(1)AC4={N4VX&6},AoB={x|3<x<9}

(2){/w|6<m<8}

【详解】⑴由f—9X+18K0,解得3W6,所以A={N3CW6},

所以An3=33W6}n{x|4</<9}={x|4<xW6},

A|JB={xBW6}U{加<x<9}={x|3«x<9}.

(2)因为C={xl-2vxv/〃+1},CqB,

m—2N4

所以］，解得6W〃Y8,

求实数刖的取值范围为{〃?16<mW8}.

4.【答案】(1尸0,1,-L-g>

⑵(f-j)

【详解】⑴因为A=E2K2+/=O,XCR}=1-T，O},

当〃=-1时，^={x|x2-l=O,xeR}={-U},

所以AU8={ojT_g}.

(2)由BqA,

因为方程寸+2(a+l)x+/—2=0的判别式A=4(a+iy—4(/—2)=8a+12,

3

所以当△<(),即。<一；时，B=0,符合题意；

21=<(1，不符合题意；

当△=(),即〃=一1时，B=-,v+-=0

—2=0

当△>(),即a>—|时，有8={-g,(>,则

1,、，，无解，不符合题意.

——(«+1)+«--2=0

综上所述，实数〃的取值范围为{

5.【答案】(l)B={x|-24x44}

⑵2q

【详解】(1)由：工2148,得2一3421K23，

O

所以-3WX-1W3,解得-2VW4,

所以8={x|-2WxW4}.

(2)因为A={M〃?+1WxW2〃?-l},

/??+1<2m-1

且人工0,则+2,解得2W，〃W,；

?

2w-l<4-

所以机的取值范围是2,1.

6.【答案】⑴14

(2)1和2.

【详解】(1)当4=1时，B={A|-3<X<5),

故801<={1,2,34},其中含有4个元素，

故其非空真子集的个数为24-2=14.

(2)由题意可得A={x|0c<3},

由,

3a+2>2a-5,

可得q2〃一540,

3a+2>3,

解得

故整数a的所有可能取值为I和2.

7.【答案】⑴{x|4Wx<7}

（2）1</??<3

【详解】（1）—>lo--->0^^^<0o（2x-8）（x-l）<0,

x-1x-1x-1x-1

所以A={x|lvx<4},=或x“},

若〃2=4,8={x[2«x<7},

所以（QA）c8={x[4Wx<7}.

（2）因为A±8,所以（，­，解得IK〃区3.

/?7+3>4

8.【答案】⑴何2Kx<4}

（2）2<a<3

[详解]（1）—<2=>--2<0^>A+1-2V+4<0=>-^<0,

x-2x-2x-2x-2

等价于忙5）丁）",解得—或x<2,

x-2w0

故人={x|x之5或1<2},QA={.2Kx<5},

而4={工卜-1|v3}={小3<x-l<3}={x\-2<x<4},

所以34）c3={率4xv5}c{工|一2vxv4}={乂2W4}.

（2）由（1）知，C={x|2<x<4},

由xe。是xeC的充分不必要条件，故。为C的真子集，

又O={x[a<xva+1}H0,

a>2

故，"国，解得2工心3,

故实数〃的取值范围是2«。43.

9.【答案】（I）AC£"）=（-8,—5]5。，+8）

51

(2)U—,+oo

2

【详解】⑴由题意知人=卜产+4工>0}=(-8,-4)5。，+8)，

B=^x\-\<x-2a<1}=32〃-1<x<2a+l},

当。=-2时,8=(-5,-3),所以45=(y,-5]3-3,+8),

所以4c瓜邛=(",—5]5。,+“).

(2)A=(^O,Y)D(0,+8),8-1vxv2a+l},

若显然8/0,

则2a+lMT或2。-120,

解得4工-|或4日，

5Ug，+8).

即。的取值范围是-8、---

2

10.【答案】⑴]1=卜]-4—<2},($4)CB={R-l<x<2}

⑵[2,4].

【详解】(1)因为A={Rx<-4或xA2},

所以QA={HTVX<2}

所以触A)cB=k|TMxv2}

(2)因。=卜卜〃-5-1}

由BUC=C,可得BqC,则CV0

“7—54—1

所以2i3'解得24〃国

则实数〃，的取值范围为24].

II.【答案】(1)AU6={H-3s入S0),(4AB-5=3人一3<A<

【分析】（1）借助一元二次不等式的解法得到集合A,再利用题意所给条件得到集合8,即可结合并集

定义得到AUB,结合交集与补集定义得至lJ（QA）cA；

（2）由4口2="可得4=4,再分8=0及进行讨论并计算即可得.

【详解】（1）A=[X\X2+2X<0*|=1x|-2<x<0},

^八={乂1>0或X<一2},

•.•（7=0,/.5={x|-3<x<0},

=<x<0},

（（^/l）nB={x|-3<x<-2}；

（2）・.・初8=8,

3

若8=0,则可得a〈-5；

a-3<3a

若B，0,则有卜-32-2,无解，

3a<0

「•实数〃的取值范围为[巴

12.【答案】见详解

【详解】（1）当0=2时，0={0|1<0<5},

0={可序-0-2>0）={司&+1）（0-2）>0}={团冏<T或电>2],

所以13r（叱0）={G3|l<0<2},G3U（冤0）={0|-1<0<5}

（2）由1300=13得.0£0.

当3—团220+3即团W勺寸，团=0,满足0GO,则团工（；

当日>：时,©H0,由团得3一回V2B+1工一】或2W3一伺<篦+1,

解3-团〈篦+13-1，得无解；

解2W3一团<2目+1,得:<团工3则:<团£1,

所以实数团的取值范围是团

13.【答案】（1）Ak>B={x|-3<x<3}

3

（2）（-00,-）

2

【详解】（1）

由〃z=2时，集合A={x|lWxW3},

3={司（工-2）（工+3）<0}={x卜3cx<2},

所以Ai」区=1.r|lVx43卜」|.r|-3<.r<2|=1.r|-3vx<3},

（2）

当〃?一1>2加一1,即mvO时，集合4=0,符合A=

m>0

3

当Aw0时，由有，〃2T>-3,解得0W〃?<一,

2nt-1<2之

3

综上可知，若AqB,则机的范围是（一吗1）.

14.【答案】(1)向A)flB=(6,7]

(2)-l</n<4.

【详解】(1)由9―5x_6K0得(x-6)(x+l)W0,BP-l<x<6,

所以集合从=[-1,6].

又全集U=R，所以Q4=(7O,-1)U(6,+8),

当机=5时，集合B=[5,7],

所以&A)c8=(6,7].

(2)若“xeA”是“人06”的必要不充分条件，则3三A且8AA.

m>-\m>-\

所以或，解得一14〃?44.

m+2<6m+2<6

故实数，〃的取值范围为-14〃?工4.

15.【答案]⑴4心45={小<_2}

⑵~,-1)

【详解】(1)由不等式(x-l)(x+2)>0,解得xv—2或x>l,可得4={x|x<-2或x>l},

当4=1时，njf#BeR|y=Vx+T,yeR1={x|x-1}»则@8={_¥卜<_1},

所以AcQ8={xk<_2}.

(2)由集合A={x[x<-2或x>l)和8={工,2—4,

若选择①：由4={不卜<-2或x>l},可得电A={x|-2MxWl},

要使得8IQA=0,则解得〃<—1,所以实数。的取值范围为

若选择②：由Q8UA=R,即可得一。>1,解得。<一1,所以实数。的取值范围为;

若选择③：由瘠4=津，可得BqA,可得一。>1,解得。<一1,

所以实数。的取值范围为

16.【答案】答案见解析

【分析】首先化简集合从然后根据集合A、4分类讨论〃的取值，再根据交集和并集的定义求得答案.

【详解】解.：因为八卜|"—4)(.1)=0}

所以8={1，4}

又因为A={x|(x3)(%«)=0,acR},

当〃=3时4={3},所以AUA={I,3,4},AnB=0

当〃=1时4={1,3},所以AU8={1,3,4},Ac8={l}

当a=4时A={4,3},所以AU4={1,3,4},AC4={4}

当”1且〃工3且时A={a,3},所以AU8={1,3,4,〃},AnI3=0

17.【答案】(1)[2,3]U[5,E)

(2)(5,+8)

【详解】(1)因为5=国1一封+15<0}=(3,5),

所以QB=(YO,3]U[5,+OO),

所以An(Q3)=[2,3]U[5,_Kx).

(2)因为M+N={x+y|xeM,yeN},且从={小之2},8=(3,5),

所以A+A={x+小eAye邛=<5,+8).

18.【答案】(1)A<JB={X\2<X<\0}

(2)&A)c8={x[2vx<3}

【详解】(1)由lv3x—5vl6得2Vx<7,所以8={x|2<x<7},

因为A={x[34x<10},所以Au8={x[2<x<10}.

(2)因为QA={x|汇<3或x210},

所以他A)c"={x12Vx<3}.

19.【答案】。<一2或

【详解】v«eR,/(幻〉。的解集为A,

当a=0时，/(x)=-2x,所以A={x|_2x>0}={x|x<0},

此时AD8=0,不满足题；

当〃工0时，令〃x)=0,解得其两根为—,1+2/,MJ+J1+2/,

aa

当4>0时，为<0,x2>0,则4="|工<%或%>%},

因为4口3/0,所以占<3,即1+1+2)<3,

a

化询得Jl+2c/<3〃一1，解得。>?，

当4<()时，%>0,A-2<0,则A={x|wvxvxj,

因为4口8/0,所以为>1,即71+2/

a

化笥得若'，解得"-2,

综上，使AP|8H0成立的”的取值范围为av-2或

20.【答案】(1)(—2,4]U[5,7)

(2){m|m<4)

【分析】(1)解分式方程可得集合4,由机=3可得集合4,再利用补集与交集定义计算即可得解;

(2)由题意可得再分8=0及8/0计算即可得.

【详解】(1)口>]等价于2(1+2)>0,所以(％+2乂7-耳>0,

1-X1-X

得-2<x<7,则4=何-2<xv7},

若6=3,则8=34Vx<5},，3=(YO,4]U[5,+OO),

所以4nd5=（_2,4]U[5,7）；

（2）若4口8=8,则8=A,

当8=0时,有加+122〃?一1,则〃?K2,

/??+!>-2

当4工。时，则，2〃?一1工7,解得2<〃?44,

m+\<2m-1

综上，m的取值范围为何相“}.

21.【答案】（1）{X|-1WXV。}

⑵畤

【分析】（1）求出集合A的补集，根据交集运算可得答案；

（2）根据AqB,AH0,列出相应不等式组，即可求得答案.

【详解】（1）当〃=1时，A={x|0<x<5},B={x|-l<x<4},

则Q,,A={x|工<（）或x>5）,

故（明4）。刀-{幻-1W"O）；

a-\<2a+3

（2）若AqB,当时，需满足s-12-l,

2a+3<4

解得即实数〃的取值范围为。匕.

22

22.【答案】⑴Ac他咖-230或455}

⑵[4次)

【详解】(I)VA=«x-<2v<32={.d-2<x<5},

B=1X|X2-4X<()}={X|0<X<4}.

={乂x<0或x>4},

.­.A^B={X|-2<X<0^4<X<5}.

⑵•••“xeA”是“xe/T成立的充分不必要条件，「.A是〃的真子集.

又<8={x|x2-4工+4-〃?2<0,m>0}={A|2-m<x<2+m,m>0}.

\m>0卜〃>0

.•.2-机K-2等号不同时成立，即•〃e4,解得〃后4,经检验、'=”满足题意.

I'2+/n>5/n>3

・••加的取值范围是[4,y).

23.【答案】(I)〃=4,-1<«<3;(2)l</w<5.

【详解】解：(I)・.・A=1R=Wo]={xl-lWx<3}；A<j[a,b]=[-\A]f

Ix-3

b=4,-1<«<3;

(2)v8={.r|X2-(in-1)x+z/z-2<0}={x|(x-l)(.r-(m-2))<0},A|j5=>4

:.BQA

m-2>-\

工分情况讨论①m-2<\,即〃?<3时，〃一2<1得17；

②若〃-2=1,即m=3,8中只有一个元素1符合题意:

机一2<3,

③若〃-2>1,即加>3时・c，得3<m<5,3<m<5

，"一2>1

/.综上\<m<5.

24.[答案】(D{《a=2或a-]

(2)(daM-3或aN2}.

【详解】(1)由题意，得A=*|xK—l或x24}.

^B={x\2a<x<a+2]f*八0,则

2a<a+2,2ci<a+2,

结合数轴，可得或W

2a<-\c+2>4,

解得〃£一；或a=2.

则实数。的取值范围是M〃=2或

2aa+2-1

(1)⑵

-*----------*~*—4~~►

-I2a4。+2x-142aa+2x

(3)(4)

(2)由A|JB=A,得

当4=0时，2a>a+2,即。>2,满足414.

2a<a+2,2a<a+2,

当4/0时，结合数轴，如图(I)(4),可得〈成I

«+2<-1267>4,

解得aW-3或a=2.

则实数”的取值范围是{〃l4K-3或a22}.

25.【答案】(l)Ac3={M-3$工$-2}

(2)(-1,+oo)

35

【详解】(1)当。二一：3时，A=x-3<x<-,

2

又因为8={Hx<-2ngx>3),所以Ac8={x|-36W-2}；

(2)若Ap|8=0,

当1一〃<2〃，即时，A=0,满足4n5=0：

当1一〃之加，即时，

3

1—。<3

要满足ADB=0,只需%,

解得〃>一1,又因为所以

综上可知，实数〃的取值范围为(-L”).

26.【答案】⑴侧〃?<-2或-14"7Kgy

3

(2)}4加>3或〃?<一］>

【详解】(1)T={x|-2<x<2},

当S=0时，〃?一1>2〃?+1,解得/〃<一2,

m-\<2m+1

当SH0时，\m-\>-2,解得一14小4；,

2w+l<2

综上，实数”的取值范围为{制-2或TK机Kg>；

(2)ScT=0,当S=0时，/rt-l>2/n+l,解得加<一2,

m-\<2m+1Izr-1<2m+1

当SH0时,或《

2m+\<-2［旭-1>2

3

解得-2<m<一一或〃?>3,

2

故实数小的取值范围为{用，〃>3或，〃<.

27.【答案】(1)韦恩图见解析，AV3={3,4,5,6}；

(2)|杪=51;

(3)证明见解析，集合3的数量为2M。个.

【详解】(1)如图1.

二四+|@一2|AcB|=50+33-32=51.

(3)画出韦恩图，如图2,将AIJ8IJC划分成7个集合邑，…，邑,

A

图2

则|A▽叫=图+同|+冈+冈,

|皿。=四+四+|54]+国|,

所（=国+博|+冈+|闻,

故AV^+|BVC|-|/\VCl=2|S4|+2|S5|>0不等式成立，

当且仅当邑=工=0时，上式取等号.

&=0等价于（Ac。）[8,1=0等价于8口4。。）,

故当且仅当（AcC）墨3q（AuC）取等号.

故比时，如图3,集合《一S2US?US6,其中S3一人nc是确定的集合,

S?U&是AVC的子集，所以满足要求的集合8的数审为2n。个.

图3

28.【答案】（1）若Q=2,b=4，则QXb=8CA，故集合A不具有性质P；

集合B中元素均为整数，满足①，且Oxl=OEB,0x5=0GS,1x5=5E5，满

足②，

故集合B具有性质P.

（2）证明：①Vk£N，3yz；

②V/q,七EN且的羊Ie?，3%x3"2=3%+k2w/，则集合S具有性质P.

（3）T=[0,1,a},aGZ.

证明：对于三元素集T={a,b,c}，不妨设|a|）仍|》|c|,

若|c|>2,则|axb\>\a\,与三元素集矛盾、所以|c|41.

若|川）2,则|axb\>\a\,与三元素集矛盾，所以|b|41.

所以b,c只能取0,-1,1中的两个不同数.

5

不妨设={0,l,aJ，r2={o,-l,a2}T3={1,-1,a3）：

对于Ti={0,1,aj，集合中元素均为整数，满足①，

0X1=0GTi,0X«1=0G/,1X6/，满足②，

故集合T]={0,1,%}满足性质P.

对于T2={01-1,a2)，若l&l》2，

则当a2=2时，-2C。；当的=-2时，2c叫，即%=1•

对于73={1，-1，的}，若同>2，

则当«3=2时，-2C73；当。3=—2时，2£73，即。3=0-

综上，满足性质P的所有三元素集7={0,1,Q},QWZ.

29.【答案】(1)M*B|=10

(2)(i)5；(ii)4050

【详解】(1)若A=[1,2,3,4},则4={4,5,6,7,8,9,10,11},此时ADB={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11},

AcA={4},

小8={123,5,6,7,8,9,10,11},所以|A*8|=10.

(2)(i)解法一：设A={q,q+d,q+24},则有q+物=3q+2d,q+2%=3al+4d,

a2+2q=3q+d,a2+2%=3q+5d,ay+2a]=3%+2d、a3+2a2=3q+4d,

所以8={34+d,招+2d,34+4d,3q+5d},为使Ii初最小，应尽量使A,3中相同元素最多，

而4+24<3q+2〃，故A,8中最多一个相同元素，令4+2d=3q+d,即4=24时，|/1*例最小，

A={^,,3^,5^},8={5q,7q,lk,,13q},此时A*8={q,M],7q,l14，13q},|A*81mhi=5.

解法二：由4,生，&构成严格递域的等差数列可知，24+生<2丹+4<2%+4<24+%,则必有|4七4

又8中最小元素为4+2q,则4，%£8,则有IAC8K1,所以

|4*B|=|A|+|B|-2|AnB|>3+4-2xl=5,

另一方面,当从={1,3,5}时，B={5,7,11,13),此时4*8={1,3,7,11,13},|A*3|=5,

综上，〃=3时，IA*0的最小值为5.

(ii)引理：当〃24时，集合A中的元素4(1«区〃)构成公差为d>()的等差数列，则

B={3a]+kdW<k<3n-^k^Z}

引理的证明：对任意!</,j<H,iwj,q+2%.=q4-(z-1)J+2[^+(j-1)J]=3a}+(i+2j-3)d

当i=2J=l时，(/+2J-3)min=l,当i==〃时,«+2/-3)皿=3〃-4,

因比有3={34+kd\\<k<3n-4,ke^；

另一方面，再证明k可以取到满足1KA43〃-4的所有整数，

①双，=〃，当i依次取12…,〃T时,<=H2]-3可取至I」满足2~24y--4的所有整数;

②取i=l,当/依次取2,3,…,〃时，2=，+2/-3可取到满足2W£W2〃—2的所有偶数：

③取i=2,当/依次取1,3,4,…,〃时，女=，+2)-3可取至IJ满足&=|或5《左《2〃-1的所有奇数；

④取i=4J=l,此时％=3,

由上述讨论可知，k可以取到满足14工3〃一4的所有整数，此时有83{34+k力1W%W3〃—4,〃WZ}

综上，引理得证.

故当〃24时，B={3«,+kd\\<k<3n-4,k^Z},恸=3〃一4,

又4v3«|=4+dv3«+d,即q圮注的纪4,则有|Ac4区〃一2,

所以|A*8|=|4|+|4|-2|Ac3|N/?+(3〃—4)一2(〃-2)=2〃；

另一方面，当4={1,3,5广.,2〃-1］时，8={5,7,9,…,6〃-5},Au8={l,3,5,…,6〃-5},

Ac4={5,7,9,...,2〃-1},

此时|A|=〃,|B|=3/i-4,|AnB|=A：-2,|A*B|=|A|+|B|-2|AnB|=2n,

综上，当〃24时，|A*8|的最小值为2〃，所以，当〃二2025时，I的最小值为4050.

30.【答案】见详解

【详解】（1）依题意得，.二CCS2（/O）+COS2（4—O）=921+皿24=!

222

（2）当集合。={或4,〃}时，

集合。相对于常数册的“余弦方差”

22

C0s2（g_60）+C0s2•一斯卜吸阳兀一诙）&05期+半sin/）+（-*05%+芋sin。。）+cos20*/期+为川诙+加、2%

U==11...o==一1

「3332

此时“余弦方差”是一个常数，且常数为;;

22

⑶cos2（彳-册）+cos（a-60）+cos（/?-册）=孙）+1+血（：“-2"（>）+i+皿（:即w=1+^sin260+

^cos2acos20o4-^sin2asin20Q+|cos2/?cos20o+|sin2/?sin20o=1+^sin20-（1+sin2a+sm2/?）+

^cos20•（cos2a4-cos2/?）.

要使a是一个与义无关的定值，则h鸳廿：°寓建o,

因为cos2a=-cos2p,

所以2a与2/7的终边关于），轴对称或关于原点对称，

sin2a=sin2（i=-

2

（cos2a=—cosip,

又。6[-e[p71）,

则当2a=-?时，20=?孙

Oo

当2a=-£时，20=?.

66

故《二-羽，/?=£〃或戊=一2，0=工时，集合A相对任何常数6。的“余弦方差”是一个与

0。无关的定值.

31.【答案】⑴集合A是“坏集”，集合3是“好集”；理由见解析

（2）证明见解析

（3）S={l,a}m>0且awl）

【详解】（1）对于集合A,当《一八时，1二3。壬4，〃=97A:所以集合A是“坏集”；

对于集合8，不妨令a>b,

当。=1时，ab=leb"=bwB：

当a=5，/?=1时,

当a=?,时，

21