2026届高考数学第一轮复习：空间向量与立体几何（解答题）专项练（含解析）

高考数学第一轮复习:空间向量与立体几何解答题专项练

一、空间几何体的表面积与体积（本大题共8小题）

1.如图1,在直角梯形中，力021Po2，以直角梯形的下底尸OJ斤在的直线

为旋转轴，其余三边旋转一周形成如图2所示的几何体。（C由圆锥PQ和圆柱QU组合而成），且该几

何体C内接于半径为5的球。（点P和圆柱RO?的上下底面圆周均在球0的球面上）.

（2）若尸Q=1:2,求几何体。的表面积；

（3）当月8为何值时，圆柱。02的侧面积最大.

2.如图，是圆柱。。1的两条母线，AB,C。是圆。的直径，月4=48=4,且CO_L48/是母

（I）求证：平面PCZ）_L平面力力乃乃；

（2）若。是线段84的中点，求直线。&与。P所成角的余弦值；

（3）若四面体。的体积为匕，圆柱。01的体积为匕，求匕：匕的值.

3.如图，某铁质零件由一个正三棱台和一个正三棱柱组成，已知正三棱柱的底面边长与高均为1cm,正

二棱台的卜底面边长为2cm,且正二棱台的高为1cm,现有一盒这种零件共重650VJg（不包含盒子的质

量），取铁的密度为7.8g为n?.

（I）试问该盒中有多少个这样的零件？

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（2）如果要给这盒零件的每个零件表面涂上一种特殊的材料，试问共需涂多少cm?的材料？

4.如图，在矩形48CQ和四分之一的。。拼接的平面图形中，AD=\,DC=DE=3,将该图形绕4E所

在直线旋转一周形成的面所围成的旋转体记为「•

（I）求「的体积；

（2）求「的表面积.

5.如图，在四棱锥月8。£）中，底面力8CQ是等腰梯形，AB〃CD、AD=AB=；CD,平面4DPJ.平面

PCD,PD1PC.

（I）求证：ACLADx

（2）求证：△/£＞尸为直角三角形；

（3）若PC=AD=1,求四棱棱P-/18C。的体积.

6.如图，四棱锥夕-力4CQ的底面是边长为4的正方形，点0在线段上，PO_L平面/BCD,

PA=PD=后,石是尸8的中点.

（I）证明；AEHPOC.

（2）求三棱锥尸OC的体积.

7.如图，正四棱锥产-川?的底面积为3,。为正方形49CD的中心.

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(I)若正四棱锥P-48CO的高为T，求它的表面积.

(2)若正四棱锥尸-X4CO的外接球的表面积为8九，求正四棱锥P-48。。的体积.

8.(1)已知圆锥的母线长是2,侧面积是2兀,求该圆锥的高？

(2)已知圆台的上底面半径为2,下底面半径为4,母线长为3,求它的体积？

二、直线、平面平行的判定及其性质(本大题共2小题)

9.如图所示，在三棱柱力8C-44G中，过4C的平面与上底面44G交于G〃(G〃与4G不重合).

(I)求证：BC//GH；

(2)若E,F,G分别是力从AC,46的中点，求证：平面比4〃平面8C//G

10.如图，在四棱锥尸-48CO中，底面48c。是菱形，N,M,。分别为尸8,PD,尸。的中点.

(I)求证：QN//平面PAD：

(2)记平面CA/N与底面48CO的交线为/,试判断直线/与平面P8O的位置关系，并证明.

三、空间角、距离(本大题共22小题)

11.如图，四棱锥P-/8c。的底面48c。是正方形，△尸力。是正三角形，平面平面/18C。，M

是PD的中点.

(1)求证：PB〃平面M4C；

(2)求二面角M—力。一。的余弦值;

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(3)在棱尸C上是否存在点Q使平面8。。，平面M4C成立？如果存在，求出黑的值；如果不存在,

请说明理由.

12.如图，已知三棱台48c-44G，底面V48。是以8为直角顶点的等腰直角三角形，体积为学，

3

平面ABB/、1平面ABC,且月耳=44=BB]=-AB.

(I)证明：8C_L平面4844；

(2)求点8到面4CC/的距离;

(3)在线段CG上是否存在点尸，使得二面角尸-初-C的大小为若存在，求出CF的长，若不存

6

在，请说明理由.

13.在V"C中，AB=BC=2,48C=120。.若平面相。外的点尸和线段/IC上的点。，满足

(I)证明：BD1AP；

(2)求直线PB与平面川火;所成角的正弦值.

14.如图，在四棱锥夕一/8C。中，4_1_平面力8CQ,AD//BC.ABLAD,AB=BC=AP=2,AD=4.

(3)点T是棱PC上的动点(不包括端点)，求直线与平面48CO所成角的正切值的取值范围.

15.如图，在长方体力8CQ-48]CQ]中，48=80=2,44=3.

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(I)设。、E分别为4c和44中点，求证：OE〃平面4DQA；

(2)求异面直线4c与。。所成角的正切值.

16.如图，在多面体48CQM中，平面平面力88,川边形力。£产为正方形，四边形/仍C。为

90。,仍=力。=；8c.

(I)求证：平面力C£_L平面/8C。；

(2)求直线8E■与平面。CE所成角的正切值.

17.如图，在三棱台44G-48。中，△44G和V/8C都为等边三角形，且边长分别为2和4,

CC,=2,ZJCC,=Z5CC,=90°.G为线段力。的中点，〃为线段8c上的点，力乃〃平面C。”.

(I)求证：点H为线段BC的中点：

(2)求点〃到平面448的距离.

18.如图，在四棱锥S-/12CZ)中，底面/8CD是边长为1的正方形，SA=SB=2,石、产分别是SC、

8。的中点.

(I)求证：所//平面”8；

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(2)若二面角S-"-。的大小为5，

(i)求S力与8。所成角的余弦值；

(ii)求直线SO与平面48c。所成角的大小.

后

19.如图，在三棱台/18C-OEF中，AB=BC=AC=2a,AD=FC=-a，DF=a,N为线段DF上一

2

(I)求证：点N为线段。尸的中点；

(2)若直线8N与直线力。所成角的正切值为5,BN＞瓜,求证：平面48C_L平面4CQ.

(3)设二面角Q-/C-B的大小为。，直线W;与平面48C所成角的大小为夕，求tan/7关于a的函数表

达式，并求tan尸的取值范围.

20.如图，在三棱锥尸一48。中，PCYAC,CAIAB,CA=AB=2,PC=4.

(1)若G为△P8C的重心，点〃在棱产/上，且PH=2HA,求证：GH"平面ABC；

(2)若三棱锥尸-/4。外接球的表面积为207r.

(i)求二面角C-4-8的余弦值；

(ii)若点E是棱产力上的动点(异于端点)，求直线BE与平面A8C所成角的取值范围.

21.如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长均为4,D,E分别为棱4CCG的中点，且

CQ_L平面力8C

(2)设G为核4G上一点(不包含端点4，G),

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①若G为棱8Q的中点(如图①)，三棱柱4481G被过G,B,。三点的平面所截，求襁面的面

积；

②求二面角G-BQ-E的取值范围.

22.如图，是。。的直径，P力与。。所在的平面垂直，PA=AB=2,C是。。上的一动点(不同于

43),〃为线段形的中点，点N在线段PC上，且/N_LPC.

(1)求证：AN1MN

(2)当力C=8C时，求直线尸。与直线力M所成角的余弦值

(3)当三棱锥的体积最大时，求直线尸C与平面产力8所成角的正弦值.

23.在V48C中，NA4C=45°，AB=W，/C=4,“是边8c上的动点(不与A,C重合),过点产

作/。的平行线交彳8于点E,篇ZX8E/沿斯折起，点8折起后的位置记为尸，得到四棱锥尸-4C尸£,

如绍所示.

(2)若尸为8c中点，且平面PMJ.平面力。在，求二面角尸-EC-"的余弦值；

(3)若。为/C中点，是否存在点产，P,使得2。_1_力£,若存在，求W的取值范围；若不存在，请说

明理由.

24.如图，V48c与△8CO所在平面互相垂直，在直角三角形ABC中，AB=AC,在△BCD中,

BC1BD,NBCD=60。，点E、户分别在线段40、CD上,将出斯沿直线E尸向上翻折，使点。与点

A重合.

(1)证明：ACLAE,

(2)求更线,4"弓平面所成角的正弦值;

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(3)判断四棱锥是否存在外接球，若存在，求出外接球半径，若不存在说明理由.

25.如图，已知48是圆柱下底面圆的直径，点。是下底面圆周上异于48的动点，CD,3E是圆柱的

两条母线.

(2)若该圆柱的侧面积等于两底面面枳的和，当。为弧Q的中点时，求直线4E与平面力C。所成角的

正切值.

26.如图是由6个边长为2的正三角形拼接而成的六面体，M,N分别为PC,力8的中点.

(3)求直线"N与平面440所成角的正弦值.

27.如图，四棱锥尸-4BCQ中，尸4_L底面/8CO,AB=AC=BC=2,AD=CD=41^PA=2,E为

PC上一点.

(I)证明：平面4C_L平面瓦圮；

(2)若E为PC的中点，求二面角。-砧-C的平面角的正切值.

28.如图，在四棱锥尸-力8。。中，底面48C。为平行四边形，△PCO为等边三角形，P4L平面尸8,

E为CO的中点，21=1,AD=2.

(1)求证：平面尸力后，平面/18C。；

(2)求四棱锥P-45CQ的体积：

(3)求直线P8与平面/出。。所成角的正弦值.

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29.如图，在四棱锥中，底面四边形/出CZ＞是正方形，4£_L平面C'QE,二面角£-48-。为

4

(1)证明：平面平面力8CQ；

(2)求直线““与平面力8CQ所成角的正弦值.

30.已知正四棱锥P-48C。，M,N分别是8C,P。的中点.

(I)证明：CN//平面P4U；

(2)若四棱锥各校长均为2,求直线CN与力〃所成角的余弦值.

31.如图，在四棱锥产-川弘》中，底面48CQ为正方形，口，底面力取'。，PA=AB,E为线段总的

中点.

(2)求4C与平面尸5c所成角的大小.

32.如图，在四棱锥产一48CQ中，AD/!BC,ADLDC,AC=CO=’力力=1,月为棱力。的中点，PAL

2

(I)求证：平面48_L平面尸80；

(2)求直线。力与平面P8。所成角的正弦值:

(3)求点。到平面产力3的距离.

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四、立体几何综合问题（本大题共2小题）

33.在直角梯形/18c。中，ADdBC,ABA.BC,8c=2拒，AD=AB=6（如图1）,把△力8。沿

8。翻折，使得/把平面BC。，连接力C,M,N分别是8。和3C的中点（如图2）,请用几何法求解下

列诃题：

（I）证明：BD上AMN；

（2）当平面44。，平面3C。时.求二面角力-8C-力的正弦值；

（3）若P,。分别在线段4?,ON上，且我二篙二〃2〉。）（如图3）,令P0与8。所成的角为

外PQ与4V所成的角为4,求sinq-sin&的取值范围.

34.如图，在三楂锥/一力8。中，VA=bB=AB=AC=BC=2,VC=\.

（1）求证：ABLVC,

（2）求直线P8与平面/IM?所成角的正弦值：

（3）若力3//a,VC/la,用平面a将三棱锥【/-/8C分为两部分，求截面面积的最大值.

五、空间向量在立体几何中的应用（本大题共21小题）

35.如图，在长方体力4。。-44GA中，44=44=4,40=2,AE=\AB.

4

（I）证明：力。1平面。〃£；

（2）求直线与平面。£6所成角的正弦值.

36.如图，在四棱锥。-彳8c。中，平面P4）平面"CO,E为40的中点，PALAD.BE//CD,

BELAD,PA=AE=BE=2,CD=\.

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(I)求点A到平面P8C的距离；

(2)在线段PE上是否存在点M,使得DM〃平面尸AC?若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理

由.

37,如图，将△5CO沿直线CO旋转至△/C。，再将△力CO沿直线CO旋转至△PCD,且使得力P//平面

BCD.

(2)若△ACO为正三角形，且4〃=。。，求直线力8与平面PCD所成角的正弦值.

38.如图，在多面体ME-48CD中，底面力8CO是边长为近的正方形，EM//AC,AE-平面

ABCD,且三棱锥M-44。的体积为".

M

DA

(I)若CM〃平面8OE,求证：平面8OE；

(2)求平面力8E与平面8EO的夹角的正弦值.

39.在平行四边形力8c。中，/8=2,力。=1,/。力8=6()。,后为/14中点，将VAOE沿直线OE翻折至

△4OE.设"是线段4。的中点，CEL&E.

(2)求三棱锥4-OEC的体积；

(3)求直线与平面4。。所成角的正弦值.

40.如图，在平面四边形力8CZ)中，V48C为等腰直角三角形，VZCO为止三角形，

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力2=2.现将4。4。沿/。翻折至\『5/。，形成三棱锥S-48C,其中S为动点.

二二/^c

D—一又

(I)证明：ACA.SB,

⑺若SC1BC,三棱锥S-力取?的各个顶点都在球。的球面上，求球心。到平面勿。的距离；

(3)求平面"C与平面S8C夹角余弦值的最小值.

41.如图1,在平行四边形MCO中，AB=2BC=4^ABC=^°,E为。。的中点.将V4OE沿花折

起，连接8。与CO,如图2.

(I)当8。为何值时，平面4QE_L平面力BCE?

(2)设丽=2而(0K4K1),当BEJ.DE时,是否存在实数尤，使得直线"一与平面月8CE所成角的正

弦值为画？若存在，求出力的值；若不存在，请说明理由.

10

(3)当三楂锥8-COE的体积最大时，求三棱锥。-48E的内切球的半径.

42.如图，直四棱柱488-44GA的底面44co为直角梯形，

NBAD=/ADCMB=AD=l,AA+CD=2,P为。。的中点，点。为棱上一动点.

(3)若二面角的余弦值为更亘，求押的值.

57BQ

43.如图，在三棱锥P—48c中，P4=PC=4B=AC=2,BC=26,E为PC的中点，点F在P/I上,且

E/_L平面PAB,~PM=XPB(A€R).

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（I）若平面/8C,求4：

（2）若a=!，求平面R18与平面A"C夹角的正切值.

2

44.如图，在三棱柱48C-48G中，平面/AC,D,£分别为AC,4G的中点,

（I）求证：力C_L平面8OE；

（2）求直线OE与平面力4七所成角的正弦值；

（3）求点。到平面力8£的距离.

<*>

45.如图，在三棱柱48C-48cl中，ABtBC,AB=BC,NABB\=NCBB、=彳.

（I）求证：四边形*CG4为矩形；

（2）若48=44=2,求平面488M与平面48C夹角的余弦值.

46.如图，三棱锥/一用口3中，DB=DC=BC=2,AD—近，AB—标,平面/8C_L平面DCZ,E是

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(2)求二面角。-力4的正弦值.

47.如图1,在直角梯形“8CQ中，己知/1Q〃8C,/1Q=48=LBC=2,N84O=90。，现将△力B。沿用。折

2

起到△P8。的位置，使平面PBOJ_平面4CQ,如图2.

(I)求证：CDA.PB；

(2)求尸C与平面8CO所成的隹的正弦值；

(3)求二面角2-8C-。的平面角的余弦值.

48.在V48C中,4C=4Q=CQ=3,30=5,将"CO绕着CD旋转得到三棱锥4一院?。・

(2)若平面4。。_1平面8。。，求平面与平面8c。夹用的余弦值.

49.如图，在三棱锥P—48c中，41平面力8C,ABLBC,PA=AB=BC=2,M,N分别为PC,AB

(I)求异面直线PC与48间的距离；

(2)求二面角4—MN-P的余弦值.

50.如图，在四棱锥P-A8C。中，四边形力8co是菱形，P4JL平面A8C。，乙48c=60。，PA=

\AB=1,£,F分别是线段8D,PC上的动点，且BE=W0,P〜="C(OW入K1).

(1)若EF//PA,求人的值；

(2)当^=；时.求直线。〃与平面P9C所成角的正弦值:

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(3)若直线HE与线段BC交于点M,4HJ.PM于点H,当C77的长度最小时，求人的值.

51.如图，在平面图形甲中，2AD=2CB=2CD=4B,CDIIAB,4。。尸与分别为以斜边

的等腰直角三角形，现将该图形沿。2C8向上翻折使C£;B边重合(从尸重合于E),连4E.图乙

中，M为所中点.

求证：。知//平面力。后；

(3)求平面DMC与平面ABD夹角的正弦值.

CO_L平面P4O,PAA.AD.

(2)若底面月8。。是正方形，AP=AB=2,E为PB中点、，点F在棱PD上,且异面直线力尸与尸〃所

成的角为60。.

(i)求相的长度；

(ii)平面力石产交PC于点G,点用在线段P8上，求EG与立面M4O所成角的正弦值的取值范围.

53.如图，在直三棱柱48C—44G中，AB1AC,D,E分别为的中点.

(I)求证：QE//平面4BC；

(2)若。EJL8C,二面角4-8。-。的大小为?，求直线8c与平面8C。所成角的大小.

54.在如图所示的平行六面体，42C。-44。田中，AB=\,4。=2,AAx=lj2,

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^4D=b»AA]=c.

________UULU____________

(l)用d,b»^表示衣，AC1,西;

(2)求异面直线4c与8A所成角的正切值.

55,在梯形43CQ中，AB〃CD,NBAD=60；AB=2AD=2CD=4,P为AB的中点、,线段AC与。尸交于

O点,将△/CO沿4c折起到△/S'的位置，使得平面4c8工平面力8'.

(I)求证：^。//平面人?。'；

(2)线段尸。上是否存在点。，使得C。与平面8c。所成角的正弦值为在？若存在，求出丝的值;

8PD'

若不存在，请说明理由.

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参考答案

1.【答案】（I）—

⑵75（2必3

4

（3）5五

【详解】（1）如图，设球心为。，由题知。为QU的中点，且。力=。4=。2=/?（其中/?为外接球的半

径），

又球O半径为5,力。2=4,则00>=J"PT=-4?=3,

所以002=6,0。I=5-3=2,则圆柱。。2的体积为匕="4'6=96几，圆锥尸。的体积为

..1_32it

K,=-nx4-x2=---,

~33

则几何体C的体积P=匕+匕=96兀+子317r=早3）0立.

由题知OP=2a=5,得到a=|,

则4。2=何2一。21=/「一弓=孚，又O'B=O[A=E，则PB=8尸+0声=梓哼=5,

所以圆柱。。2的表面积为£=叫彳2+2叫力«。2=7tx宁2以半<5=25石底等

圆锥PO.的表面积为色=吟BPB=冗x孚x5=竺普，

7573^75^75（2^+1）^

所以几何体。的表面积为§=S+S,=

244

（3）设H4=x,则03=

户⑼一/

则圆柱。02的侧面积为S3=2nOA-AB=71.J100-，<7C=50兀，

22

当且仅当产TOO—/,即工=50时取等号，即当x=5及时，圆柱。•的侧面积最大.

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2.【答案】(1)见详解

3

(2)3

匕±

--

(3)匕

371

(1)由题意平面彳CQ,又COu平面4CO,

BB、1CD,

又CDA.AB,ABcBB\=B,AB,BB}u平面ABB4,

\CD"平面，:CDu平面PCD,

平面PCD_L平面AA^B.

(2)连接80,因为所以NBPD为所求角,

依题意，OB1ODQB=OD=2,所以8。=2及，

又P为正方形448避的边的中点，所以尸8=2,

故PD=20.

所以cos/8PO="=且.

PD3

所以直线00、与DP所成角的余弦值为史.

(3)•.•44//0。|,0。1U平面。6。*用《平面QCO

BBJ/平面O[CD,

二.P到平面qc。的距离等于点8到平面qc。的距离，

,,Vq-PCD=^P-OtCD=%-OiCD=

—1x—1x44x2…x4,

..Krz3_2______

=2

V2nx2x43兀

3.【答案】(1)100个

(2)(300+125易75MM2

【详解】(1)设等边三角形的边长为。，则由三角形面积公式可得该三角形面积为』〃飞亩6()。=且

24

故正三棱柱的体积匕=立x/x[=走cnV,

44

第18页，共76页

正三棱台的体积匕=；xlx乎x/+'x2?+乎2?）=,

rRE、1彳6

所以该零件的质量为7詈+半、7.8=詈8，

所以该盒中共有零件65。凤等=1。。个.

（2）如图，设。，A分别为三棱台所在棱的中点，o,a分别为三棱台上、下底面的中心,

连接OO|,OD,DD\,OR.

因为乂。=lxsin60°=立cm,所以。£>==近cm，

2326

同理可得aA=1X近X2=Ecm，

11323

所以。A={OO；+（OQ「OD『=乌cm,

所以三棱台的侧面积为』x（l+2）x叵x3=8叵cm?,

所以一个零件的表面积为遮+3xF+Xix22+lxlx3=3+也应亘cm?.

4444

因为（3+5百：3辆）x100=300+12573+75x/39,

所以共需涂（300+1256+75MKm2的材料.

4.【答案】（1）27兀

（2）33兀

【详解】（1）依题意得，旋转体的上方是一个半球体，下方是一个圆柱，如图所示.

匕拄=-X-7IDE3=-7TX33=18TI,

羊球233

/.彳=%+/半球=971+18兀=27兀，

所以「的体积为277t.

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(2),/AD=1,DC=DE=3,

S阳柱创+S网柱底=2nDC-AD+兀DC2=2;rx3x1+nx32=15K,

S半球面=gx47rQd=gx4兀x32=18n

二.=S用柱侧+$柱底+[/面=15兀+18兀=33兀.

所以「的表面积为33兀.

5.【答案】（1）见详解

（2）见详解

⑶立

4

【详解】（1）作4E_LQC,£为垂足，如图,

在等腰梯形ABCD中，AD=AB=BC=^CD=a(a>0),

DE=^(CD-AB)=^a,ZADE=60°,

AC=\ja2+-2x2a'cos600=&，

AC2+AD1=DC\AACA.AD.

(2),；PC工PD,平面4OPL平面PC。，平面45Pc平面PCQ=PO,PCu平面PC。,

・・・PC_L平面力QP,又4。u平面力。P,

APCA.AD,又力C_L/1。，

•：ACnPC=CyAC.PC1ACP,

JAD1平面ACP,

Y/lPu平面XC尸，/.ADLAP,

；・ND"=90。,即△WQP为直角三角形.

(3)由(1)知在等腰梯形力BCD中，AE=—.=ixlxV3=—,

2x-i/ftA.22

I+2y/i3A/T.S-CD_3P-AHCD-3

Jc柯形/IBO——x—=——

224SGADC2Vp-ADC2,

又PC_L平面ZOP,为直角三角形，PDA.PC,

***DP=yj22-\2=6，AP=

匕TDC=〃-仙/,=:X；X1X近X1=4

32O

3V2V2

Vf>-ABCD-彳^P-AiX：—x----=----.

264

6.【答案】（1）见详解

第20页，共76页

（2）4

【详解】（1）证明：因为P01平面48CQ,所以PO_L1。.

又PA=PD,所以。是力。的中点，

所以力。〃8。，AO=-BC.

2

取尸。的中点连接。W,EM,

可知EMHBC»EM=—BC,

2

所以EM//4O,EM=AO,

所以四边形4EMO是平行四边形，从而AE//OM.

因为力£a平面POC,（）Mu平面P0C,

所以4E〃平面POC.

（2）因为力£//平面尸。。，所以点E到平面P0C的距离等于点A到平面尸。C的距离,

所以—E-POC~^A-POC»

22

又因为^A-POC=^P-AOC»PO—PA—AO=3»

/TX=；X（：X2X4）X3=4,所以三棱锥E—POC的体积为4.

7.【答案】（1）9

（2）也或逑

22

【详解】（1）由题意知P。」平面/8CQ,过点0'作O,_LC。交。。于点尸，连结尸儿

则点尸为C。的中点，所以尸产_LC。，

因为底面积为3,可得力。=6，则。下=立.

2

因为四棱锥的高为T，所以母）=6.

所以%=LGXGX4+3=9.

&2

第21页，共76页

p

（2）设外接球半径为A,由外接球表面积5=4兀心=8兀，可得〃=&.

因为底面积染=3,设底面正方形边长为“，

则c/=3,a=6底面正方形对角线长30=5/1。=〃，

所以底面正方形外接圆半径/二处=如.

22

由题，正四棱锥外接球的球心。在P。'上，

设球心。到底面距离为由炉=d2+/,可得dH=、□=包,

V22

当顶点尸与球心。在底面月4。。异侧时，正四棱锥的高/?=R-d=拉-等=*；

当顶点尸与球心。在底面力BCO同侧时，正四棱锥的高力=/?+/=亚+立=速.

22

根据正四棱锥体积公式展2S〃当公正时，昨匕3义父旦;

32322

当人3行...1.3723&

3A=---时，V=-x3x----=----.

2322

8.【答案】（1）石；（2）迪兀

3

【详解】（1）设圆锥的母线长为/，高为力，底面半径为小

则该圆锥的侧面积为“/=2nr=2兀,解得〃=1,

故该圆锥的高为h=J/?一产=y]2'-I2=Ji；

故该圆台的体积为/=$、（22+42+2、4卜石=筝九.

9.【答案】（1）见详解

（2）见详解

【详解】（1）在三棱柱48C—44G中，

第22页，共76页

平面4AG〃平面力4C,平面8CHGc平面力4C=AC,平面8c"Gc平面44G=G”,

WBC〃GH

(2)♦.,在三棱柱力8C-4/G中，

E.F,G分别是川9,AC,44的中点，

AG/iBE,A】G=BE,

••・四边形AG/卢是平行四边形，.ME"的,

•.•BG仁平面4以"A】Eu平面AEF,

z.BG〃平面4M.

又EFIIBC,BC仁平面FEu平面&EF,

BC//平面4石厂.

AG。8c=8,BG,8Cu平面BCHG

平面EFAj/平面BCHG.

10.【答案】(1)见详解

(2)〃/平面尸8。，见详解

【详解】(1)

证明：•・•底面48co是菱形，N,M,。分别为P8,PD,PC的中点.

:・QNHBC,BCIIAD,:.QNHAD,

•••0N<Z平面P4O,4QU平面4。，

(2)

直线/与平面P8O平行，证明如下：

N分别为PO,P8的中点，

:.MNIIBD,

,:BDU平面ABCD,MNB平面ADCD.

「•MN//平面/BCO,

•・•平面CMN与底面ABCD的交线为I,

・•・由线面平行的性质得MN/；/,

■:MN//BD,：.BD//l,

•••。£/,。2面。8。，且8OU平面080,/(Z平面P8D,

・•・〃/平面P8D.

第23页，共76页

p

II.【答案】（1）见详解

（2）叵

5

PQ1

（3）存在,QC=2

【详解】（1）设力C,8。交于点0,连接。M,则。为4。中点.

在△尸8。中，O,M分别为8。，尸。中点，所以QW//尸8.

因为OMu平面A7/1C,P8&平面

所以P8〃平面M/IC.

（2）过点.“作垂足为E,过点E作石尸I/O,垂足为尸，连接」ME

因为平面P/。I平而48C。，平面平面45CQ=4Q.

所以ME_L平面力8CO.

因为力Cu平面48CQ,所以

又EF1AC,MEcEF=E,ME,Mu平面ME/.

所以力C_L平面A"户.

因为八"u平面所以力CL/M7,

则NMFE即为平面M4C与底面ABCD所成二面角的平面角.

设/夕=2,则£＞尸=2^1,ME=^，故A/产=+（乎

所以cosZ.MFE-乌-=业5，

MF5

即二面角M-力。-。的余弦值为巫.

5

（3）存在点。，当黑二；时，平面8。。，平面M4C.

证明如下：

如羽，取力。中点N,连接CN交87）于点G,连接G。,

第24页，共76页

p

M

B"C

因为△力IQ是正三角形，所以尸八〃AD.

因为平面2fZ）_L平面48C。，平面八40c平面45CQ=4Q,

所以PN八平面48CQ.

因为第=N=!=?，所以。G〃尸N,所以。G_L平面48co.

CODC2

因为/ICU平面48CQ,所以0G_L4C.

因为底面N5CQ是正方形，所以4CqBD.

又。Gn8O=G,QG,8Qu平面B。。，所以4C_L平面8。。，

又力Cu平面M4C,所以平面平面AMC,

所以棱PC上点存在点。，当第=；时，平面平面4WC.

y<J

12.【答案】（1）见详解；

⑵"

7

（3）存在，CF=—.

5

【详解】（1）在三楼台力〃。一中，平面力_L平面/BC,ARLBC,

而平面力8814。平面/8C=力4,BCu平面4BC,

所以4CJ.平面488d.

（2）由棱台性质知:延长力4,5B1,CG交于一点P,

由44=（%凡得%*=45%的，点/>到平面48c的距离为到平面44G距离的2倍，则

VpTBC=8%44G,

于是〃=匕生叵=生叵，由FUL平面力网4,得8c为点C到平面的距离,

r-AtfL7力打（一/1,Ai733

第25页，共76页

又则4是P4的中点，P4=44=44=P4，即为正三角形，△以“为正三角形,

设48=2x,则8C="=P8=48=2x,

XX2

VPABC=~SP\B-BC=~—（x2x=—i解得x=2,

PYBC3m&3433

AB=BC=PA=PB=4,由P8u平面产力8,得BC工PB,AC=PC=4粒，

22

S「c=；x4x7（4X/2）-2=4X/7,设点"到平面ACCtA,的距离为d，

由％田=%/，得;5“〃〃=笄"=与，解得：d=*

即点〃到平面4CG4的距离为也H.

7

(3)由8cl平面8Cu平面48C,得平面彳8C_L平面,取力8中点N,连接ZW,

在正中，PN工AB,而平面力〃CD平面产力8则/W"平面力8C,而CVu平面力4C,

则尸N1CN,又PNu平面PNC,则平面PNC1平面力8C,KFE工CN于E,

平面尸/VCCI平面/出C=CN,则FE_L平面"C,FEHPN,而力8u平面"C,贝i」”_L在，

作£。148于。，连接O,DECFE=E,DE,FEu平面DEF,则481.平面/，

而PDu平面DEF,于是月4J.五D,N/T应即二面角尸-/e-。的平面角，

设所="，由（2）知：PN=2后,CN=>!BC2+BN2=2#，

由当■=笑"，得。£"=平■.囚=百，EN=2亚-亚t,

PNCNJ3

EN2^5-J5

tljDE/IBC,得。E二把4。='.'1bx4=4-2,

CN25/5

若存在尸使得二面角F-AB-C的大小为9，

则tanZ.FDE=tan—=0,解得/=:

6DE4-2/35

2

CF={CE?+EF=272=—<CC]=2#,

5

所以存在满足题意的点尸，CF="

5

13.【答案】(1)见详解

⑵立

4

第26页，共76页

【详解】(1)取4P中点K,连接K'K。，

由=PB=B4,

得力尸_L8K,AP1DK,

乂因为BKClDK=K,且8K,DKu平面BDK,

所以4尸“平面2力K,

因为4Ou平面4OK,所以6Q14P.

(2)设点P到平面力8。的距离为力，直线网与平面/出C所成角为0,

则四面体P-48c的体积为四=—Xi-x2x2x^-h=或＞

由题意有巫力=叵，得力=近，

362

故sinO=-4-=立，即直线P"与平面44C所成角的正弦值为包.

PB44

14.【答案】(1)见详解

(2)—

6

(1、

(3)0,-

I2)

【详解】(1)AD〃BC、AB工AD,AB=BC=2,

所以ZBAC=/BCA=ZCAD=-.AC=242,

4

所以在△4C。中，由余弦定理得

CD=^AC2+AD2-2ACADcos^=j+16-4也x4x李:2M

所以/。2+。2=力。2,所以CO_L4c

因为4_L底面ABC。，。。（=平面48。。，所以COJLE4.

又P4c4c=4P4MCu平面以C,所以COJL平面P4C

(2)取8P的中点£过点。作。尸_Z平面P8C,。尸交平面08c于点立连接CR

BC

因为尸/_L平面48CQ,"u平面产44,所以平面_L平面44CD

因为平面尸/18c平面"CQ=/B,8CJ,48,所以8cl平面P44.

因为力Eu平面218,所以