2026届高考数学一轮复习核心考点：平面向量及其应用（含解析）

高考数学一轮复习平面向量及其应用

一.选择题（共3小题）

I.（2025•新高考II）在△4BC中，BC=2,AC=1+V5,AB=V6,则NA=（）

A.45°B.60°C.120°D.135°

2.（2025•北京）已知平面直角坐标系中，|&|=|n|=&,|n|=2,设C（3,4）,则|2（51+G|

的取值范围是（）

A.[6,14]B.[6,I2JC.[8,I4JD.[8,12J

3.（2025•新高考【）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海

学中称为视风风速，视风风速对应的向量是其风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其

中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.如表给出了部分风力等级、名称

与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向

量如图（风速的大小和向量的大小相同，单位阳/s）,则真风为（）

等级风速大小M/S名称

21.1〜3.3轻风

33.4〜5.4微风

45.5〜7.9和风

58.0〜10.1劲风

2

23

A.轻风B.微风C.和风D.劲风

二.多选题（共1小题）

（多选）4.（2025•新高考I）已知△ABC的面积为工，若cos2A+cos2B+2sinC=2,cosAcosBsinC=4，

44

则（）

A.sinC=sin2A+sin2BB.AB=V2

C.s\nA+s\nB=D.AC2+BC1=3

三.填空题（共6小题）

5.（2025•天津）中，。为A3边中点，CE=^CD,AB=a,AC=b,则兄'=

（用工，表示）；若|晶1=5,AELCB,则族•&=.

6.（2025•新高考II）已知平面向量Q=（x,1）»b=（x-1,2x）»若a_L（a—b）,则|a|

1,x>0

0,x=0»3、b,1是平面内三个不同的单位向量.若/（之・

（-1,x<0

b）+f（b*c）+f（c*a）=0,则|a+b+c|的取值范围是.

8.（2025•上海）小中同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上.某斜面上有两根

长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为4、从它们在阳光的照射下呈现出

影子，阳光可视为平行光；其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米：另一根杆子的影子完

全在斜面上，长度为0.45米.则斜面的底角8=.（结果用角度制表示，精确到

9.（2025•上海）已知热=（2,1）,b=（1,x）,若；〃则x=.

10.（2025•上海）在平面中，A和■是互相垂直的单位向量，向量；满足而-40=2,向量Z满足

\b-6e2\=1,则力在占方向上的数量投影的最大值.

四.解答题（共3小题）

II.(2025•北京)在△ABC中，cosA=_4，asinC=4鱼.

(1)求c；

（2）在以下三个条件中选择一个作为已知，使得aABC存在，求BC的高.

3=6；②加inC=与2；③△ABC面积为IS泛.

12.（2025•天津）在△48C中，角A,B,C的对边分别为〃，b,c.己知asin8=c-1b

=1,a=V7.

（/）求4的值:

(II)求c：

(III)求sin(A+28)的值.

13.（2025•上海）在△4BC中，角A、B、。所对的边分别为。、b、c,且c=5.

,asinB

(1)若石=前'C=72r'求

（2）若曲=20,求△ABC的面积的最大值.

故点A、8在以0为圆心，鱼为半径的圆上，

取48的中点H,可知|0〃|=1，

所以点”在以O为圆心，1为半径的圆上，

则|22+AB\2=4CA2+4CA-AB+AB2

=疝♦（&+旃+4=疝•&+4

=4（滴+HA）（CH+HF）+4=4（CW2-HA2）+4

所以|2&+力石|=2|CH|,

又||&|一1|W|0|W|&|+1,|CO|=V32+42=5,

则44|扇|46,故8421al<12,

即|2&+/|的取值范围是[8,12].

故选：D.

【点评】本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，属中档题.

3.（2025•新高考I）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航

海学中称为视风风速，视风风速对应的向量是真风风速龙应的向量与船行风速对应的向量之和，

其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.如表给出了部分风力等级、名

称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的

向量如图（风速的大小和向量的大小相同，单位m/s）,则真风为（)

等级风速大小〃?名称

21.1〜3.3轻风

33.4〜5.4微风

45.5〜7.9和风

58.0〜10.1劲风

Ay

123

A.轻风B.微风C.和风D.劲风

【考点】平面向量的概念与几何表示.

【专题】应用题；转化思想：分析法；平面向量及应用；运算求解.

【答案】4

【分析】根据题意，求出对应速度对应的坐标，然后求出真风速的坐标，求出模长判断即可.

【解答】解：如图：视风风速对应向量的坐标为a=(-3,-1),

所以船行风速对应的向量坐标为-3=(-L-3),

设真风风速对应向量为后，一£=

所以u=%+%=（-2,2）,

所以M=J(-2)2+22=272H2.8286(1.1,3.3),

故真风为轻风.

故选:A.

【点评】本题考查平面向量的运算和应用，属于中档题.

二.多选题（共1小题）

（多选）4.（2025•新高考I）已知aABC的面积为工，若cos2A+cos2B+2sinC=2,cosAcos8sinC=4,

44

则（）

A.sinC=sin2A+sin2BB.AB=V2

C.siM+si但当D.AC2+BC2=3

【考点】解三角形；利用正弦定理解三角形；余弦定理.

【专题】分类讨论；综合法；解三角形；逻辑思维；运算求解.

【答案】ABC

【分析】由cos2A+cos2B+2sinC=2,利用二.倍角公式,可判断A：由sin2A+sin2fi=sinAcosB+cosAsinfi,

得sin>4（sinA-cosfi）+sinB（sinB-cosA）=0,对于A+和力+BV,进行分类讨论，可推

出矛盾，可得4+8=皆进而可判断8CD.

【解答】解:因为cos24+cos2B+2sinC=l-2sin2A+l-2sin2B+2sinC=2,

sin2A+sin2B=sinC>故A正确；

由sin24+sin%=sinAcos8+cosAsinB,.'.sin/\(sinA-cos8)+sinB(sinB-cosA)=(),

VcosAcosBsinC=>0,AA,8为锐角,

4>2-B

若力+8>今则

B>^-A

sinA>cosB,sinB>cosA,sinA(sinA-cosB)+sinB(sinB-cosA)>0>•，・矛盾,舍去,

同理，4+8V?也矛盾，

・M+B=*,=^-A,C=

1iii

/,sinAcosA=^=>-^sin2A=-r,sin2A=77,

4242

S^ABC=i«Z?sinC=gab=i,ab=i,

«=csin4»b=ccosA,

:・ab=2=csin/\•ccosA=c2sirLAcosA=我，

A?=2,即45二夜,故5正确;

7T....AJ

VC=2»；・sin4+sinB=sinA+cos4,(sia4+cosA)=l+2sirt4cosA=才

因为sinA+cosA>0>所以siM+cos4=竽，故C正确；

AC1+BC2=AB2=2,故D错误.

故选：ABC.

【点评】本题主要考查解三角形，属于中档题.

三.填空题（共6小题）

T1-»TTT1—2"

5.（2025•天津）Z\A8c中，。为A8边中点，==a,AC=b,则4E=-a+-b（用

3—63—

a,%表示）；若|兄"1=5,AE±CB,则/.b=・15.

【考点】平面向量数最积的性质及其运算.

【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用：逻辑思维；运算求解.

1-2T

【答案】一。+:匕；-15.

63

【分析】由平面向量的线性运算计算可求得第一空；由|旗|=5,AELCB结合平面向量的线性运

算与数量积建立关于滔，Z工,众的方程组，求解可得々工=180—&2,a2=16b2-540,再

由向量的数量枳运算计算公•①即可.

T1T

【解答】解：因为。为"边中点，CE=\CD,

所以/=h+&=公+之己=AC+^（AD-AC）

1-*2T12T]T2T

=^AD+^AC+^AC=^a+^b；

T1T22TT4T2

因为|/1£1|=5,所以一a+-a-b+—b=25»①

3699

因为8=几一元=0—♦且AEJ_CB,

TT1T7TtT1t1-T2T

所以4E-CB=(7a4-^/?)-(a—b)=Ta2+a-b-b2=0,@

ooo乙◊

由①②可得：ab=180-4b2,a2=16b2-540,

TTT1-T17T

因为CO=AD-AC=^AB-AC=^a-b,

乙乙

TT1T2T1->-111-*T2T

所以4E,CD=Qa+p)(1a-d)=^a2+^a-b-|b2

二=1(16/—)2-540)+'1(180-4/7T2)-如2T2=-15

故答案为：-a+-bi~15.

63

【点评】本题考查平面向量的线性运算和数量积，属于中档题.

6.(2025•新高考II)已知平面向量Q=(x,1),/?=(x-1,2x),若a_L(a-b),则|a|=_V2

【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系.

【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解.

【答案】V2.

【分析】求出之-41勺坐标，然后利用向量垂直的充要条件求出x,再利用求模公式求解.

【解答】解：因为Q=(x,1)»b=(x-1,2x),

所以Q—匕=(1,I-2x)，又Q±(a—b),

所以Z-(a-b)=x+1-2x=(),解得x=1,

所以a=(1,1)>

则|a|=Vl2+l2=V2.

故答案为：V2.

【点评】本题考查平面向量的坐标运算，垂直的充要条件以及求模公式等，属于基础题.

1,x>0

0,x=0,Z、b、1是平面内三个不同的单位向量.若f(：♦

(-1,x<0

b)+f(b^c)+f(c^a)=(),则向+1+2|的取值范围是_(LV5)_.

【考点】平面向量数量积的性质及其运算.

【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解.

【答案】(1,V5).

【分析】由题可得b),f(b,c),f(a,K)必为一个为1,1—个为-1,一个为0,不妨设/(；・

b)=0^f(b-c)=—If(a,c)=1»且Q=(1,0),b=(0,1),c=(cos。，sin。),06(-n,

n),由分段函数可得0),再由向量模的坐标运算化简后求三角函数的值域即可.

【解答】解：由题意可知，f(a,b),f(b,c),2)三者全为0或一个为1,一个为-1,一

个为0，

当全为。时，可知2，b,1两两垂直，不符合题意；

所以必为一个为1,一个为-1,一个为0,不妨设/日•/?)=(),f(b-c)=-1,f(a-c)=1,

1,x>0

0,x=0,可知b・cV0,a•c>0Q•/?=(),

(-1,x<0

不妨设Q=(l,0),/?=(0.1),c=(cosO,sinO),0e(-TT,U],

所以Q•W=cosJ>0,b-c=sinO<0,所以。£(一5,0),

所以|a+b+c|=4(1+cos。)？+(1+si7tO)2=J3+2>J2sin(0+百)，

因为ew(一[,0),所以8+与W(_*,百),所以2V^s讥(。+/)W(—2,2),

所以加+1+A6(1,V5).

故答案为：(1,V5).

【点评】本题考查平面向量的数量积与函数的综合，向量模的求解，属于中档题.

8.(2025•上海)小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上.某斜面上有两根

长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、8,它们在阳光的照射下呈现出

影子，阳光可视为平行光；其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米：另一根杆子的影子完

全在斜面上，长度为045米.则斜面的底角e=1258°.（结果用角度制表示,精确到0.01°）

【考点】三角形中的几何计算.

【专题】数形结合；综合法；解三角形；逻辑思维；运算求解.

【答案】12.58°.

【分析】由题意作出示意图，从而得到△石C7）,由相似三角形的性质可得方程0.45COS。

=0.4+0.18sin0,结合sin?。-cos%=1即可求得.

【解答】解：由题可得接触点为A的旗杆影子在水平面上，接触点为3的旗杆影子完全在斜面上，

不妨设影子完全在斜面上是旗杆为8C,影子为8Q,过。作平行于水平面的直线交C8的延长线

于E,

所以N8OE=3DEVBE,

所以BF=0.45sinB,DE=O.45cos0,

因为阳光可视为平行光，所以MN〃CO,所以△AMNs△石CO,

ANAM0.41

所以---=----»即--------=--------

EDEC0.45COS91+0.45S1716

JUrUlO.45cos0=O.4+O.18sinG,①

因为sin%+cos%=1,②

联立①②解得6=12.58°.

故答案为：12.58°.

【点评】本题考杳解三角形的应用，属于中档题.

TT——]

9.(2025•上海)已知a=(2,1),b=(1,x),若。〃6,则x=.

【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示.

【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用：运算求解•.

【答案】"

【分析】根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解.

【解答】解：:=(2,1),b=(1,x),a//b,

则2x=l,解得％=与

故答案为:

【点评】本题主要考查向显共线的性质，属于基础题.

10.(2025•上海)在平面中，3和扇是互相垂直的单位向量，向量之满足区一幅|=2,向量力满足

区-6^|=1,贝日在Z方向上的数量投影的最大值4.

【考点】平面向量数量积的性质及其运算.

【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解.

【答案】4.

【分析】设&=ZOB=b,根据题意求得4、4所在圆的圆心和半径，然后根据数量投影的意

义，结合图形求得3在之方向上的数量投影的最大值.

【解答】解：根据题意不妨设6=(1,0),e2=(0,1),a=(x,y),b=(〃?，“)，

TTTT

则a-4ei=(x-4,y),b-6e2=(m,n-6),

由区一431=2可得(x-4)2+y2=4,

2

由|b-6e2\-1可得〃/+(〃-6)=1,

设&=乙OB=b,故A在以Ci(4,0)为圆心，2为半径的圆上,

8在以C2(0,6)为圆心，1为半径的圆上，

过B作BO_LQ4于。，则。力即为1在之上的数量投影，如下所示：

因为4,8分别为两圆上任意动点，不妨固定8,则OB为定长，

设<3,b>=3,即/AO8=6,故|OD|=|O8|・cos8,

因为此时|0用为定长，且e=N4OBV180°,

故随着e的减小，cos。增大，直至04恰好与圆。相切时，|0。|取得最大值，如下所示:

在04与圆。相切的基础上，移动点4,过C2作。2£_1_。4于£,故|0Q|=|0E|+|£Q|；

在ACiAO中，NCi4O=90",。4=2,OCi=4,

故NAOCi=30°,NC2OE=60°,因为|OC2|=6,

故在直角三角形。2。七中，|OC2|=2|OE|,则OE=3,即|。例=|0£|+|皿=3+比。；

在四边形8OEC2中，因为NDEC2=NC2ED=90°,故|Q£]W|BC2|=1,

当且仅当8c2〃。七时等号成立，从而|OQ|=3+|EQ|W3+1=4,

综上所述：7在热方向上的数量投影的最大值为4.

故答案为:4.

【点评】本题考查平面向曷与直线和圆的位置关系的综合应用，属难题.

四.解答题（共3小题）

11.（2025♦北京）在△A8C中，cosA=asinC=4企.

（1）求c；

（2）在以下三个条件中选择一个作为已知，使得aABC存在，求BC的高.

①。=6：②Z?sinC=122；③△A8C面积为10y/2.

【考点】解三角形.

【专题】方程思想；综合法；解三角形；逻辑思维；运算求解.

【答案】（1）6；（2）不能选①；选②：工士；选③：华2.

【分析】（1）由同角三角函数的基本关系可得sinA的值，再由正弦定理可得csinA的值，从而求

得c；

（2）选①：由等边对等角和三角形的内角和定理可得△ABC不存在；选②：由正弦定理和条件可

得sin从再解直角二角形即可求得；选③：由二角形的面积公式求》，由余弦定埋求〃，再由二角

形的面枳公式即可求得.

1n

【解答】解：（I）因为COsA=-1,且（―,TT）,

所以sin4=71-COS2A=^1-i=竽，

由正弦定理一—=.0,得csinA=asinC=4企，

sinAsinC

小I”，4/24/2j

所以'=诉=包=6；

丁

（2）选①：因为。=6,由（1）知，c=6,

所以a=c,则A=C,

因为A为钝角，所以不符合三角形的内角和定理,

所以△ABC不存在;

选②：因为加inC=*2,则由正弦定理.=——＞得csinB=bsinC=*?,

§sinBsinC§

10^21072

由(1)知，c=6,所以si〃8=T—=—

CU7

所以BC边上的高〃=csin8=6x与

)J

选③：因为△人AC面积为1()0,由(1)知，c=6,$历4二单.

所以S=2bcsi/Vl,即10&=2x6x刍解得〃=5,

由余弦定理可得：a1=b2+(r-2hccosA=25+36—2x5x6x(―i)=81,即。=9,

设BC边上的高为〃，MS=ia/i,所以h=^=等.

【点评】本题考查利用正、余弦定理和三角形的面积公式解三角形，属于中档题.

12.（2025•天津）在△人8c口，角A,B,C的对边分别为小b,c.已知asin8=V5加oU,c-2b

=1,a=y/7.

（/）求人的值;

(H)求c；

(III)求sin(A123)的值.

【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理.

【专题】对应思想；综合法：解二角形；运算求解.

【答案】（，）人二条

（II）c=3：

（III）—.

7

【分析】（/）由正弦定理，边角互化求解即可；

（II）由余弦定理可得。2=必+。2_2/cosA,代入已知数据及〃=与工求解即可；

（III）由余弦定理可得cosB=皆，sinB二等，从而求出cos2B、sin28的值，最后由两角和的正

JL41^

弦公式求解即可.

【解答】解：（/）因为asiiB=V3bcosA，

所以sin>4sinB=V3sinBcosA,

又因为sinBWO,

所以sinA=V3cosA,

即taiiA=