2026新高考数学一轮复习：指对幂比较大小（解析版）

新高考数学一轮复习

专题突破指对幕比较大小

1、常规思路

（1）①底数相同，指数不同时，如力和利用指数函数）”"的单调性；

②指数相同，底数不同，如普和石利用哥函数y=x"单调性比较大小；

③底数相同，真数不同，如lOg“％和bgaW利用指数函数lOg0％单调性比较大小：

注：除了指对幕函数，其他函数（比如三角函数，对勾函数等）也都可以利用单调性比较大小。

（2）底数、指数、真数、三角函数名都不同，寻找中间变量0,1或者其它能判断大小关系的中间量，借

助“媒介数”进行大小关系的判定.

（3）通过做差与0的比较来判断两数的大小；通过做商与1的比较来判断两数的大小。

2、构造函数

(I)构造函数/(x)=xlnx或g(.0=Ae'；

(2)构造函数=4或g(x)=1；

Inxx

(3)构造函数/(x)=x±lnx或g(x)=e"土x.

3、放缩法

常用的放缩不等式有

(|)sinxWx4tanx,[OKx<引；

(2)er>x+l(xcR),当x=0时取等号；变式：e，ex,当x=1时取等号;

(3)]nx<x-](x>0),当x=l时取等号；变式：ln(x+l)<x；

(4)ln.r>l--(x>l),当x=l时取等号；

x

(5)\nx<-(x>。)，当R=e时取等号.

①放缩结论补充1：不等式l>tanx>x>ln（x+l）,XG（0,1）

②放缩结论补充2：x+iw」_

\-x

③放缩结论补充3：—<lnx

x

4、泰勒展开式：y（x）=/（o）+/（o）x+^）r++/也

2!n\

常见函数的泰勒展开式:

23n"+l

(1)e'=l+-+—+—++—+e^,其中(0<。<1)；

1!2!3!n\(〃+l)!火干1人

］『

ln(l+x)=x-…+(-1广g+R”,其中R”=(-i)"

\+0x)

352AT2«.l

(3)sinx=x-—+-——+(-!)''-----—+/?,,其中R=(-1『一----cosOx；

3!5!')(2&T)!只干“〈，(2&+1)!，

r2/2k-22k

(4)cosx=1------1-------+(—1)—------其中欠=(一1)•/——COROX

2!4!'J(2k-2)\"-十"l(2a;)!

(5)——=1+x+x2++x"+o(x")；

\-x

(6)(1+X)"=1+，LT+^^——X2+O(X2);

2!

(7)tanx=x+—+—x5+---+o(x2w)；

31517

(8)yj\+X=1+—X-•-%2+--X3+…+O(x").

2816v7

5、估值比较大小

根式:>/2«1.414,1.732,>/5«2.236,JI5P3.162

分式：工p1.57,

2

指数式：e»2.718,e2«7.389,?«20.09

对数式：ln2七0.69,ln3«1.099,1g2ao.301,1g3Ao.477

.冗y/6-\f271V6+V2

三角式:sin—=-----------c-os—=

124124

♦题型一利用指数幕的运算与性质♦

【技巧通法•提分快招】

1、利用指数函数的单调性时要根据底数与1的大小区别对待.

2、进行指数辕的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性

进行判断.对于不同底而同指数的指数累的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确.

1.下列比较大小正确的是（）

A.B.3T

!二—士

C・3飞＞2方＞正飞D.2一久3，正《

【答案】C

/2025m2025「>黑>黑，且2025m=2024,

人2026'"

2026

/.2026"'v2025，/.)，二2026”'-2025<0,

/.y<()<x.

故选：C

♦题型二利用对数(函数)的运算与性质♦

【技巧通法•提分快招】

1、利用对数函数的单调性时要根据底数与1的大小区别对待.

2、进行对数累的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据对数函数的单调性

进行判断.

3、对数运算性质：。>0,且a/1,M>0,N>0

(1)loga(MA/)=lognM+logt

M

<2)log—=logflAf-log(,iV；

N

n

(3)logaM=nlogflM

(4)换底公式：log*=3^3>(),且〃工1；c>0,且cwl：b>0).

log,a

3

4设“=1(更46,〃=1(沱23,「=5，则()

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.b>c>a

【答案】D

【分析】根据对数函数的单调性即可求解.

【详解】由「Iog46=log2"vlog；3,故。<力，

由于力=10823>1。822夜=;，故b>c,

由于。=1082遍〈1。822夜=［，故”<c,

因此〃>c>a,

故选：D

5.已知4=0.7lg0.6,/?=0.61g0.7,c=log23,d=log35,则()

A.a>by且c>dB.a<b,且c<d

C.a>bf且c<dD.a<b,且c>“

【答案】D

【分析】利用对数的运算法则结合不等式的性质得到。</九利用对数函数的性质结合中间值证明c>d即可.

【详解】因为lg0.6<lg0.7v0,所以一lg0.6>-lg0.7>。，

又0.7>0.6>0,得到-0.71g0.6>-0.61g0.7,

则0.7IgO.6Vo.61go.7,即

log,3=iog2>/9>log2.log,5=log3V25<log3>/27,

所以c>d,综上可得且c>",故D正确.

故选：D.

6.已知。=1。823-1。835,/?=log57-log79,则()

A.。>0,b>0B.a>0,Z?<0C.«<(),b>0D.a<(),b<0

【答案】A

【分析】根据对数的运算性质与运算法则，结合对数函数的单调性，化简运算，即可求解.

【详解】由对数的运算性质，可得log23>log220=T/og35vlog33V3=T，

则4=晦3_叫35>0；

又由0vlg5vlg7<lg9,则-鲁=用甘臀

1g51g7Ig51g7

,Ig5+lg92

>(值/)T2)=(Ig7)2-(lg362=(Ig7+lg3石)(lg7-lg36),

lg51g7-lg51g7-lg51g7

因为49>45,可得7>36，所以Ig7-lg36>0,所以>>0.

故选:A.

♦题型三幕、指、对综合（含利用媒介数）♦

【技巧通法•提分快招】

比较指对塞形式的数的大小关系，常用方法:

1、利用指数函数的单调性：），=〃'，当时，函数递增；当0<〃<1时，函数递减；

2、利用对数函数的单调性：y=kgx,当4>1时，函数递增；当0<〃<1时，函数递减;

3、借助于媒介数值，例如：0或1等.

7.若。=蚓318,〃=ln（2e）c=e等，则〃，〃，。的大小关系是（）

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【答案】B

【分析】由题意可得4=2+1/32,〃=2+ln2,C=M，结合函数的单调性可得log?e<log?3,可比较大

小.

【详解】a=log318=2+log32v3,Z?=ln(2e?)=2+ln2<3,0=e野=即加=VIU>3，

又y=log2%在(O.+e)上单调递增，e<3,所以log?evlog23,

所以内<1彳，所以log.32<ln2,所以c>/?>a.

In2log32

故选：B.

8.已知a=log?"〃=log”7,c=；fT,则()

A.a<b<cB.h<a<cC.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【分析】先通过作差法比出外0的大小关系，在通过倒数求出。与它们的大小关系即可做答.

【详解】根据换地公式。=粤加耳，则”一史一把1J4xlnl"(ln7)2,

In7In11in7In11ln7xlnll

由基本不等式可知ln4xln11v"史hi11即］n4xlnllv犯巴,

V2)I2；

因为(竽J(等j,即(弊"⑺"

WOln4xlnll-(ln7)12<0,可知</?,

11

a=\-----7，c=-,可知logqlvlogJGvji,所以c<a.

log47n

综上可知c<av〃.

故选：D.

--iJL,12In3121n5.、

9.已知。=^+hi2,〃==十不一,(?=7十—,则()

23225

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】B

【分析】利用作差法、对数的运算性质、对数函数的性质比较即可.

［详解］a-b=^\nl-2In31,cIn3=_l+21n2-ln3

-4-——=-----1-In2—

32626

,In-31n--lIn—..

=」+」=_3_=<0，则"小

1,c(121n5、,r21n551n2-21n5In32-In25

«-c=—+In2--+-------=In2---------=-----------------=---------------->0,

2125J555

则〃>c,所以8>a>c.

故选：B.

♦题型四构造函数之指数型构造♦

【技巧通法•提分快招】

指数型构造特征:

1、多以e为底数，构造e'+kx+b等形式函数，求导，判断单调性比大小

exx

2、构造对数辕型：—比较常见的构造式：e—

x,x

10.己知〃=网一1,b=[,c=lnl.l,则()

A.c<a<bB.a<b<cC.c<b<aD.a<c<b

【答案】A

【分析】。与方运用作差法比大小，再把0.1看作”,可构造函数〃x)=e，--一」w(o.l),求导并借助函

数的单调性，可得到4V。；〃与。运用作差法比大小，再把0.1看作”,可构造函数

v

5(x)=e-ln(x+l)-l,xe(O,l),求导并借助函数的单调性，可得到。>c.从而得到

।IeA(x-1)2-1

【详解】-^/(x)=er—--,xe(OJ),则/'(%)=巳'-^----1=--—,

-z*T)(x-1)

令夕(x)=e*(x-l)2-l,则=

当工£(0,1)时，夕'(刈<0,所以/(刈化(0,1)上单调递减，

所以。(力<。(。)=0‘即/'")<(),所以/(x)在(0,1)上单调递减，

所以〃0.1)<〃0),即叫一11T<0,所以eOJlv]即〃<b；

令g(x)=e、-ln(x+l)—l,xe(O,l),则g<x)=e'——,

人I1

令。(幻=0'一士，则3'(*)=€*+/了>。，所以矶X)在(0,1)上单调递增，

所以3(力>研0)=0,即g'(x)>0,所以g(x)在(0,1)上单调递增，

所以g(01)>g(0)=0,即e°JlnLl-l>0,所以网一1>lnl.1,即。>已

所以cva<〃.

故选:A.

7t

11.设一〃=1.09,c=e03,则()

兀

2025

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】A

【分析】由三角函数性质判断avA，由指数性质判断构造函数〃x)=ex-f-l,利用导数求出函数

单调性，利用单调性判断bvc.

【详解】x为锐角时，sinxvx,

兀

sin------

所以。=-詈<]<"c=e03>e0=I>at

2025

令""二0'一/一1,则r(x)=e、-2x,令g(x)=e*-2x,则g<x)=e*-2,

当」«-oo,ln2)时,g'(x)<0,/'(X)单调递减，当xe(ln2,田)时，g'(x)>0,广(刈单调递增，

所以r(x)Nr(ln2)=2(lTn2)>0,所以在R上单调递增,

所以〃03)>〃0)=0,即小>1.09,所以。>尻

综上，a<b<c.

故选：A

♦题型五构造函数之对数型构造♦

【技巧通法•提分快招】

对数型构造特征：

1、多以e为底数，构造lnx+kx+b等形式函数，求导，判断单调性比大小

InYInx

2、构造对数某型：--比较常见的构造式：

xn,X

ln0.6,ln().7〜=

12.设。=------,b=-------,c=21nD.5.则nil)

0.40.3

A.c>a>bB.b>a>cC.b>c>aD.a>b>c

【答案】B

【分析】构造函数/(1)=等，求导确定单调性，进而可比较大小.

1-X

1—X1111

【详解】构造函数/3=署，其中o<x<i,则/,")=+lnv-1+Inx

x_____=x_______

(1)2-(I)?

令g(x)」-l+hu-,/(x)=v+-=^-4»

XXXX

当工«0,l)时,g'(x)<o,所以g(力在(0,1)上单调递减,

当工w(0,l)时，g(x)>g⑴=0,所以当x«0,l)时，r(x)>0,

所以/(可在(。，1)上单调递增，所以〃=*=〃0.7)>/(0.6)=震=〃,

又c=21n0.5==/(0.5)<f(0.6)=a,

所以。>a>c.

故选：B.

13.若。=2，^二13拒，c=e关'则()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【分析】构造辅助函数/(力=工2,并通过两边取对数再求导得到了(力的单调性，利用单调性比较函数值

的大小即可.

【详解】令/(%)=#,取自然对数得ln/(x)={lnx,令g(x)=ln/(x)=£lnx

g")=(+in%)=[-7=\lnx+T^lnA^=~2^r+-r=^7^

VvxJ\NX)\Jx2x7xx\Jx2x7x

令g'(x)=。，得x=e?

若工£(0溜),/(、)>0,g(x)单调递增，〃x)单调递增；

若工«/,田),g<x)<0,g(x)单调递减，/(1)单调递减，

因为e<442,所以〃e)<〃4),而0=2=49，cj所以

因为16>13"2,所以f(16)</(13),而人］3京，〃16)=16加=2=a，所以

故c<a<b,

故选：D.

♦题型六构造函数之三角型构造♦

【技巧通法•提分快招】

三角线型构造特征:

构造sinx+kx+b或cosx+kx+等形式函数，求导，判断单调性比大小

14.若a=2sin().OI,人=0.02cos0.01,c=sin0.02,则叫b,c的大小关系为()

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

【答案】D

【分析】根据二倍角公式将C变形，a，C作差，结合三角函数的性质即可判断大小；判断。和C,。和。的

大小，可作差后构造函数，通过求导判断函数的单调性即可判断大小.

【详解】因为。=5m0.02=2$口10.018$0.01,0<cos0.01<1,sin0.01>0,

所以。-c=2sin0.01-2sin0.01cosO.Ol=2sin0.01(l-cos0.01)>0.

所以

b-c=0.02cos0.01-sin0.02=0.02cos0.01-2sin0.01cos0.01

=2cos0.01(0.01-sin0.01),

构造函数/(x)=x_sinx,则/,(x)=l-cosx>0,

所以/(x)在R上单调递增，所以〃0.01)>/(0)=。，

所以。01-sin001>0,X0<cos0.01<l,

所以匕—c>0,即b>c,

«-h=2sin0.01-0.02cos0.01=2(sin0.01-0.01cos0.01),

构造函数g(x)=sinx-xcosx,xe[0,7r],

则g'(x)=(sinx-xcosx)=xsinx>0>

所以函数g(x)在［0,兀］上单调递增，所以g(o.oi)>g(o)=o,

月f以ab>0»即

综上，c<b<a.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：比较大小可通过作差法，然后结合题意构造函数，通过求导判断函数的单调性求解.

339

15.已知a=sin；；,b=-，c=—,则()

2it10

A.a<c<hB.c<b<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

Ic

【分析】令/W=sin；——x,xe兀，利用导数说明函数的单调性，即可得至此>〃，再由。aO.9554,

2itLJ.

即可得解.

x1r9jr

【详解】令f(x)=sinA--X,X5—,71,

2TlJ

则r(力二cos?」，因为XW?，兀,所以9U,所以cosge0,1

2271JL3LLL

rIX_I1X1111

则taCOS'W0,-,所以二COS二__€____,

422nn4n

所以r(X)=<8S；」<0,所以/(x)在性,兀］上单调递减,

227T_J_

所以〃3)>〃兀)=0,B|Jsin--->0,g|Jsin->-,即。血

27i2it

又/>=二3。一3起0.9554,c=9—=0.9,

7i3.1410

所以a>Z?>c.

故选：B

♦题型七构造函数之其他综合构造♦

【技巧通法•提分快招】

在构造函数时首先把要比较的值变形为含有一个共同的数值，将这个数值换成变量工就有了函数的形式，例

如aulnl.OlnlMl+O.OlbcnJwug^,将0.01视为X,将〃工,视为函数），=ln（l+“与），=/—的函数

1011+0.01\+x

值，从而只需比较），=巾（1+力与），=/—这两个函数大小关系即可.

1+X

21

16.设。=tan0.21,Z?=lnl.21,c=—,则下列大小关系正确的是（）

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

【答案】B

【分析】首先通过构造函数得到当0<x<］时，tanx>x,冉通比构造函数/（x）=.r-ln（l+.r）,0<x<］进

步得到x>ln(l+x),X60,1,力此即川上较。，儿进•步比较c力，由此即可得解.

.,/\c冗r,\COSX-COSXsinX)SillX171

［详解］设nft(x)=tanx-x,0<x<-,则/f(x)=-----------------------1=——；——1>0,0<x<-,

2cos"xcosx2

所以〃(x)=tanx-x在0，T)上单调递增，

\乙)

所以〃(x)=tanxr>/i(0)=0,RJtanx>A;0<X<—,

IV

令f(x)=x-ln(l+x),0vxv四则八加

2

所以〃x）=x-In（l+x）在0,：上单调递增,

从而/(x)=xTn(l+x)>/⑼=0,即x>hi(l+x),xe(0,：

所以tanx>x>ln(l+x),xe

从而当x=0.21时，a=tan0.2l>^=lnl.2l,

AO1nx/32446321

a=tan0.21<tan—=—<—=—<—=—=c,

633666622

所以c>。。.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：在比较。力的大小关系时，可以通过先放缩再构造函数求导，由此即可顺利得解.

A.a>b>c

C.b>a>cc>a>b

【答案】A

【分析】构造函数利用导数研究其单调性比大小即可.

【详解】令/(x)=Jl+2x-l-ln(l+x),0<x<0.5,

2

.r”、2111y/x+2x+\->j2x+\n

..t(XI=—y------------------=-----------------=--------1----------,------------>0,

725/l+2xx+1Vl+2xx+1Vl+2x(x+1)

・・・f(x)在(0,0.5)上单调递增，/(0.1)>/(0)=0,・•..”；

令83=；7一皿工+1)，0vxv05，((力-^-—二二二声，

设力(“)=1一/一炉，0<x<0.5,贝ij/«x)=-2x—c*<。，即/7(x)单调递减，

/.A(A)<A(0)=0

・・・/(J)V0,即g(x)在(0,0.5)单调递减,故g(0.1)<g(0)=0,

c<b,a>b>c.

故选:A.

【点睛】关键点睛：本题解决的关键是观察各式子的形式，构造函数/(x)=JF-l-ln(l+x)厉

^(x)=4-ln(x+l),从而利用导数即i>J得解..

e

♦题型八放缩法♦

【技巧通法•提分快招】

(1)sinx<x<tanx,0<x<|

(2)ex>x+\(XGR),当x=0时取等号；变式：e'Nex,当x=l时取等号；

(3)lnx<x-l(x>0),当x=l时取等号;变式：ln(x+l)Kx；

(4)lnx>l--(x>l),当x=l时取等号；

X

Y

(5)lnx<-(x>。)，当x=e时取等号.

18.设a=logj2cos5,Z>-cos—,c=2sin—,贝(J()

A.b>a>cB.b>c>aC.c>a>bD.ob>a

【答案】D

【分析】利用对数函数、三角函数的基本性质可先判断外〃4的正负，再利用作商法可判断出〃力，。具体的

大小关系.

【详解】由题意得，〃=cosge(0,l),所以a=logacosgvlog01=O,

又singe(O,l)所以c=2sin；>0,所以。最小；

Z\

而由三角函数的基本性质，当XC0,彳时，0<siav<x<taav,

「1

2sin-]j

所以：=---^-=2tan->2x-=l,则c>〃；所以

bcos—•22

2

故选：D

3

19.已知a=：logsl2,〃=sin2，c=(1¥,则()

310⑺

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

【答案】B

【解析】因为a=2logJ2=Jlog」44>!log5125=<，b=sin[<sing=?，

36621062

Wf以b<a.

m,n.uit1.n1.7C1

因为/?=sin—>sin—cos—=—sin—>—sin—=—

10101025264

所以cvZ?.

综上可知，c<b<a.

故选:B.

题型九泰勒展开估算法.

【技巧通法•提分快招】

常用近似计算公式:

1，，

(1)«1+x+x+X

1-X

1,a

(2)^\-x+x~-x

1+X

(3)ex«1+X+-X2+-x3

26

l.l,

(4)ln(l4-x)«x——x~+—x*

23

x3

(5)tanx»x+——

3

⑹COSX®1----+—

224

x3

⑺sin尤----

6

20.(2022新高考全国1卷)设。=0.怕°』力=/c=-ln0.9,则()

A.a<b<cB.e<h<aC.c<a<hD.a<c<h

【答案】C

【分析】构造函数/0)=ln(l+x)-x,导数判断其单调性，由此确定〃力,c的大小.

【详解】方法一：构造法

设f(幻=ln(l+x)T(x>—l),因为/'*)=J--1=一1二，

1+X1+X

当xe(-1,0)时，f(x)>0,当xw(0,+00)时r(x)<0,

所以函数/(x)=ln(l+x)-x在(0.+8)单调避减.在(-1,0)卜单调递增，

所以吗)</(。)=°，所以衅J<°.tt|>lny=-ln0.9,即〃>c,

所以/(-77|)</(°)=°，所以皿29+7I7<°，故Q之<-/-。，所以2I-/-。<上1，

10101010109

故〃v。，

设g(x)=xei+ln(l-x)(0<x<l),则g，@)=二^-,：

令力(x)=e(d-1)+1,〃(x)=e(d+2x-l),

当0<x<夜-1时，h\x)<0,函数力(x)=1(/-1)+1单调递减,

当血-时，h\x)>0f函数力。)=e%。-1)*单调递增,

又MO)=o,

所以当时，力(x)v。，

所以当0<x<J5-l时,以幻>0,函数g*)="*+ln(l—x)单调递增，

所以以0.1)>g(0)=。，即().le°」>-ln0.9,所以

故选：C.

方法二：比较法

解：a=O.\e°',〃=7^7，，二-31-0.1),