北京某中学分校2025-2026学年九年级（上）开学数学试卷（含答案）

北京二中分校2025・2026学年九年级（上）开学数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列交通标志图中，是中心对称图形的是（）

2.若％=3是关于％的方程/一2%-TH=0的一个根，则m的值是（）

A.-15B.-3C.3D.15

3.在。中，41,乙B,乙C的这边分别是a,b,c,下列条件中，能判定△48C是直角三角形的是（）

A.LA=Z.B=zCB.z/l：Z.F：Z.C=3：4：5

C.a=y/~3,b=2,c=V-5D.a=1,b=1,c=y/~2

4.在平面直角坐标系％。y中，点'（外,％）都在函数V=3x+1的图象上.若与<不<。，则下列

四个推断中不一定正确的是（）

A.坐标原点不在此函数图象上B.点”在第二象限

C.力<y2D.为<1

5.学校“校园之声”广播站要选拔一名英语主持人，小莹参加选拔的各项成绩如下:

姓名读听写

小莹928090

若把读、听、写的成绩按5：3：2的比例计入个人的总分，则小莹的个人总分为（）

A.86B.87C.88D.89

6.在勾股定理的证明中，小云用与Rta/IBC全等的三角形拼出了如图所示的

弦图，若正方形GH/K的面积为16,正方形CDEF的面积为4,则线段的长

为（）

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A.76

B.2\[2

c./To

D.2yf3

7.如图，48。中，点E、。、尸分别在边力8、BC、G4上，RDE//C4DF//BA,

下列四个判断中，不正确的是（）

A.四边形4EDr是平行四边形

B.如果力D=EF,那么四边形4EDr是矩形

C.如果平分乙E力凡那么四边形AED"是菱形

D.如果力。1BCWAB=AC,那么四切形AEDF是正方形

8.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形HBCO的对角线4C,8。分别在％轴、y轴上，且相交于点。，^ABC=

120。，。8=2.直线丫=乃+匕与菱形的边分别交于点邑F（E,F不重合）.记线段EF的长为d,根据学习函数的

经验，d可以看作是b的函数.给出下面三个结论：

①当b=2时，d=2y[2；

②当d取最大值时，b的值一定为0：

（g涵数d的图象是一个轴对称图形：

上述结论中，所有正确结论的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。

9.若式子而飞在实数范围内有苣义，则％的取值范围是____.

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10.在平面直角坐标系中，点火-4,1）关于原点对称的点的坐标是—.

11.在平面直角坐标系工。丫中，直线丫=忆％+1（4工0）经过第一、二、三象限，写出一个满足题意的k的值

12.据国家统计局发布的启024色国民经济和社会发展统计公报》显示，2021年和2023年全国居民人均

可支配收入分别为3.5万元和3.9万元.设2021年至2023年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为工,

依题意可列方程为

13.如图，网格中每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，以4为

圆心，力B为半径画弧，交最上方的网格线于点。，则CD的长为.

14.关于％的方程i-6x+2m-1=0有两个相等的实数根，则m的值是

15.如图，正比例函数yi=ax与一次函数%=+b的图象交于点P.

下面四个结论：<0；②b<0；③不等式ax>+b的解集是x<-

2：④当%>0时，力及>0•其中王确的有_____.（填上正确的序号）

,-201工

y『七

16.4B,C三种原料每袋的重量（单位：kg）依次是1,2,3,每袋的价格（单位：万元）依次是3,2,5.现

生产某种产品需要4B,C这三和原料的袋数依次为修，x2,打（勺，无2,无3均为正整数），则生产这种产品时

需要的这三类原料的总重量W（单位：kg）=（用含与，冷，冷的代数式表示）；为了提升产品的品质，

要求WN13,当打，x2,右的值依次是时，这种产品的成本最低.

三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题5分）

计算：<5/10+/36-/3xx<6.

18.（本小题8分）

解方程：

（l）x（x+1）=6（x+1）；

（2）x24-2x-1=0.

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22.(本小题5分)

某学校要举办数学节，向全校学生征集数学节logo设计.如图，王博同学设计的矩形Log。长20cm,宽16cm,

为了使这个log。更美观，他要给/og。添加一个边框，边框上、下、左、右的宽度相等，且添加边框后的整

个图形的面积为480cm2,求边框的宽.

L------20cm------►I

I

V

23.(本小题5分)

在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k*0)的图象是由函数y=2%的图象平移得到，且经过点(1,3).

(1)求函数y=kx+b的解析式；

(2)当x>1时，对于％的每一个值，函数y=mx-l(m工0)的值既小于函数y=kx+b的值，也大于函数y=

-Ax的值，直接写出机的取值范围.

24.(本小题5分)

如图，菱形力BCD的对角线4C,BD相交于点。，E是40的中点，点凡G在48上，EF1AB,OG//EF.

(1)求证：四边形O£"G是矩形；

(2)若=10,EF=4,求。E和8G的长.

25.(本小题5分)

4月23日是世界读书日，某校初一、初二两个年级的学生进行了“青春飞扬”读书演讲比赛.为了解比赛情

况，现从两个年级各随机抽取了20名学生的比赛成绩，并对数据进行收集、整理、描述和分析.下面给出了

部分信息：

Q.初二年级20名学生的分数数据如下：

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77828588768769936684

90886788919668975988

b.初一年级20名学生分数的频数分布直方图如下(数据分5组：第1组50WxV60,第2组60W%V70,

第3组70工％V80,第4组80WxV90,第5组90工xV100）：

c.样本数据的平均数、众数、方差如下:

平均数众数方差

初一年级81.9585185.30

初二年级81.95a115.25

根据以上信息，回答下列问题:

(1)表格中a的值为

(2)抽取的初一年级20名学生的中位数位于第组:

(3)可以推断出(填“初一”或“初二”)年级学生在本次比赛中发挥比较稳定;

(4)初二年级共有学生600人,如果前120名学生将被推荐参加区级比赛，请你估计，成绩至少达到―

分才能参加区级比赛.

26.(本小题6分)

学习一次函数时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法.请根据学

习函数的经验，对函数y=，(x-34+1的图象与性质进行探究,并解决相关问题.

(1)函数y=J(%_3尸+1中自变量x的取值范围是:

(2)如表是y与x的几组对应值.

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X・・・01234567・・・

y・・・4m212345•••

直接写出表格中m的值;

(3)在平面直角坐标系％0y中，描出以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象;

(4)结合函数图象，解决问题:

仍■程J(%-3)2+1=2有______个解;

②当1cx<4时，y的取值范围是—

(5)进一步研究：若点八’(>2，72)是函数y=，(％—1)2+1图象上的任意两点，若对于0<1,

2<X2<3,都有丫1<乃，则£的取值范围是

27.(本小题7分)

已知E为正方形4BCD内部一点，且满足=连接AE,BE,DE.

(1)如图1,若=求Z8E/)的大小；

(2)如图2,连接CE,将线段CE绕点C顺时针旋转90。得到线段CF,连接8凡射线DE交线段8F于点M.

①依题意补全图2；

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②用等式表示线段与的数量关系，并证明.

28.(本小题7分)

在平面直角坐标系xOy中，矩形4BCD的顶点分别为4(2,1),8(-1,1),0(2,-1),线段MN

在矩形/WCD的外面.给出如下定义：将线段MN关于直线，对称，得到线段M，N'，若线段M'N'不在矩形

A8C。的外面，则称线段MN为矩形H8CD关于直线］的对称线段，线段M'N'与线段MN中点间的距离为线

段MN到矩形力8co的对称距离.

⑴如图，已知点M1(-2,0),Ni(Y，l),M2(0,2),N2(l,2),在线段如小，M2%中，是矩形4BCD关于y轴的

对称线段的是,该线段到矩形力的对称距离为

备用图

(2)过点Q0)作%轴的垂线，.

①已知点M(m,m+4),N(77i+l,m+5),若存在TH,使线段MV是矩形关于直线1的对称线段，则a

的取值范围是

②已知点M(m,7?i+4+Q),N(7/i+l,m+5+Q),若存在m,使线段MN是矩形/BCD关于直线2的对称线段,

则线段MN到矩形48CD的对称距离d的取值范围是

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参考答案

\.c

解：人不是中心对称图形，本选项错误；

8、不是中心对称图形，本选项错误：

C、是中心对称图形，本选项正确：

。、不是中心对称图形，本选项错误.

故选:C.

2.C

解：把x=3代入方程好—2%-仇=0得9—6—771=0,

解得m=3.

故选:C.

3.0

解：.:(A==4C,匕人+zB+=180°,

:.Z.A=Z.B=Z.C=180°+3=60°,

.•.△力8。不是直角三角形，故4选项不符合题意；

vz/1：Z.B：Z.C=3：4：5,Z.A—Z.B+Z.C=180°,

zC=180°x—=75°,

3+4+5

.••△48。不是直角三角形，故8选项不符合题意；

+/=3+4=7,c2=5,

*+〃工,

.•.△A8C不是直角三角形，故。选项不符合题意：

va24-Z?2=I2+I2=2,c2=(V-2)2=2,

:.a2+/?2=c2>

••.△48C是直角三角形，故。选项符合题意；

故选：D.

4.B

解：4当％=0时，y=3x0+l=l,

•••1H0,

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.•.坐标原点不在此函数图象上，选项/不符合题意;

By/c=3>0,b=1>0,

••.一次函数y=3x+l的图象经过第一、二、三象限，

V巧<0,

•••点M可以在第二象限或“轴负半轴或第三象限，选项8符合题意;

C.v/c=3>0,

・•.y随％的增大而增大，

又：点M（》i，yi）,N（%2，V2）都在函数y=3x+1的图象上，且％1<小，

二丫1<力，选项。不符合题意；

。.当％=0时，y=3x0+l=l,且y随汇的增大而增大，

•••当xV0时，y<1,

••,卢NQ^，%）在函数y=3x+1的图象匕且%2v0,

.•-y2<1，选项。不符合题意.

故选:B.

5.C

解：根据题意得:

92x5+80x3+90x2

=88（分）,

5+3+2

答：小莹的个人总分为88分;

故选:C.

6.C

解：设BC=Q,AC=b,

•.•正方形GH/K的面积为16,正方形CDE户的面积为4,

.•.CD=2,GK=4,

.e+b=4

••U-a=2'

"U=3，

二AB=V32+l2=\A10,

故选：C.

7.。

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解：A.因为OE//C/l,DF//BA,所以四边形AEOF是平行四边形.故/选项正确.

B、如果/W=E凡四边形4ED9是平行四边形，所以四边形力EDF是矩形.故8选项正确.

。、因为4。平分NE4F,所以NE4D=^FAD,-/LFAD=乙EDA,4EAD=乙FDA,；.Z,EAD=Z.EDA,：.AE=DE,

又因为四边形AEDF是平行四边形，所以是菱形.故。选项正确.

。、如果4)1BC且A8=AC,所以四边形AEDF是菱形，故。选项错误.

故选：D.

8.8

解：•••四边形力BCD是菱形,08=2,

：，0D=0B=2,D(0,2),5(0,-2),

①当b=2时，直线y=x+2与菱形的交点E、F如图1所示.过点E作EM垂直y轴，垂足

很显然，FM>0D,

•••CD=0B=2,EF>\f20D，

d>2/2.故结论①错误.

②！:口图2所示,ER、%F2、G&互相平行，

•.•匹边形MCD是菱形，

AB//CO，

・•・匹边形E1E2尸1F2,E2E3F3F2t都是平行四边形，E1F1=E2F2=E3F3,

•••兰Q取最大值时，b的值不一定为0.故结论②®误.

西合图2可以看到，随着b从正往负的变化，EF会呈现出斜着向下平移的变化，在运动到灯"的位置之

前EF的长度(也就是a的大小)会从。逐渐增大，在到达E/i的位置之后，EF的长度保持不变，直至到达4尸3

的位置，然后£尸的长度逐渐减小为0.整个变化过程具有对称性，

因此函数d的图象也会是一个轴对称图形.故结论③正确.

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故选：B.

9.x>5

解：•••J钎石在实数范围内有意义，

•••x-5>0,

•••x>5.

故答案为：x>5.

10.(4,-1)

解：根据题意横坐标与纵坐标都互为相反数可得：

点4(-4,1)关于坐标原点。对称点4'的坐标是(4,一1).

故答案为：(4,—1).

11.1(答案不唯一)

解：•.•直线丫=忆％+1(4。0)经过第一、二、三象限，

k>0,

.•.满足条件的k的值可以是1,

故答案为：1(答案不唯一).

12.3.5(14-%)2=3.9

解：根据题意得：3.5(1+x)2=3.9.

故答案为：3.5(1+x)2=3.9.

13.3-75

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解:连接AD,

由题意知：AD=AB=3,

在中，由勾股定理得：

DE=AD2-AE2=V32-22=V-5>

/.CD=CE-DE=3-6，

故CO的长为3-6，

故答案为：3—\TS-

14.5

解：由题意4=0,

:.36-4(2m-1)=0,

解得m=5.

故答案为：5.

15.®®

解：因为正比例函数为一ox经过二、四象限，所以。<0,⑦正确;

一次函数+6经过一、二、三象限，所以b>0,②错误；

由图象可得：不等式以+b的解集是不<-2,③正确；

当x>0时，yxy2<0,磔昔误；

故正确的有2个，

故答案为：(⑥③.

16.X]+2X2+3X3：1，5,1

解：因为总重=各原料袋数x每袋的重量，

所以W=/+2X2+3X3,

当WN13时，由题得：当8种原料重量最大时，产品的成本最低，

所以IV=13,即;q+2X2+3X3=13,

因为不,x2,必均为正整数，

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所以由配凑试根得：为1=2,无2=4,x3=1,此时成本为3x2+2x4+5x1=19万元;

当W=14时，即与+20+3%3=14,

由配凑试根得：%i=1>工2=5,x3=1,此时成本为3x1+2x5+5x1=18万元.

故答案为：XI+2M+3%3；1»5,1.

17.解：原式=苧+6-3心=6-等.

18.解：(1)%。+1)=6(》十1),

6)(%+1)=0,

x—6=0或％+1=0,

解得%1=6,%2=-1；

(2)X2+2X-1=0,

x24-2x=1,

x2+2x+1=1+1,

(x+l)2=2,

•,•%+1=±y/~2,

解得巧=-1+V~2»x2=-1->[2.

19.(1)证明：•.•在方程%2—(k+4)x+2k+4=0中，

ZJ=[-(/c+4)]2-4x1x(2/c+4)=/c2>0,

•••方程总有两个实数根；

(2)解：•••x2-(k4-4)x+2Ar+4=(x-2)(%-/c-2)=0,

勺=2,冷=1+2.

•••方程有一根小于1,

.,•k+2V1,解得：k<—1,

•••女的取值范围为左〈一1.

20.证明：•・•□E分别是48,4。的中点,

DE是△48C的中位线，

DE//BC,DE=』BC,

Z.DEO=Z.FCO,

/.DE=CF,

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vZ.DOE=Z.FOC,

.•.△00E/ZSF0C(A4S),

•••OC=OE.

21.解:(1)如图所示，点P(-1,O),

故选：A：

(2)如图所示，△4‘8’C'即为所求，Cf(-2,3).

故答案为：(—2,3)；

(3)由作图可知，4A'B'L是由△ABC绕点P逆时针旋转90。得到的,

：.BM工B'A',

z

AZ.BMA=90°.

22解：设边框的宽为xcm,则添加边框后的整个图形的长为(20+2x)cm,宽为(16+2x)cm,

根据题意得：(20+2乃(16+2%)=480,

整理得：%24-18%-40=0,

解得：%i=2,外=一20(不符合题意，舍去).

答：边框的宽为2cm.

23.解：(1)二•一次函数y=kx+b(kH0)的图象由函数y=2x

的图象平移得到，

k=2.

••・・次函数y=2x+b的图象过点(1,3),

•••3=2x1+》.

•••b=1.

这个一次函数的表达式为y=2无+1.

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(2)当时，y=-2x=-2,

吧(1,一2)代入y=TNX-1,求得m=-l,

>1时，对于％的每一个值，函数y=mx-l(?nH0)的值既小于函数y=2x4-1的值，也大于函数y=-

2%的值,

A-1<7H<2且TH丰0.

24.(1)证明：由四边形A8CD为菱形可知：点。为BD的中点，

•••点E为40中点，

CE为△4BD的中位线，

GE//FG,

•••GG//EF,

•••匹边形OE”为平行四边形

■:EF1AB,

.••平行四边形。EFG为矩形.

(2)解：由条件可知：AE=^AD=S,

vZ.EFA=90°,EF=4,

•••在中，"=052-42=3.

•••匹边形力BC。为菱形，

AB=AD=10,

GE=^AB=5,

•••匹边形。E/G为矩形，

:.FG=OE=5,

.-.5(；=10-3-5=2.

故答案为：OE=5,BG=2.

25.解：(1)表格中a的值为88,

故答案为：88：

(2)抽取的初一年级20名学生的中位数位于第4组，

故答案为：4；

(3)由表知初二年级学生成绩的方差小于初一，

所以推断初二年级学生在本次比赛中发挥比较稳定，

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故答案为：初二；

(4)2。x端=4(人),

样本中前4名的成绩为91、93、96、97,

所以估计，成绩至少达到91分才能参加区级比赛.

故答案为：91.

26.解：(1)由二次根式的意义条件，得(工一3)210,

解得：工为一切实数，

••・函数丫=/。一31+1中自变量》的取值范围是一切实数.

故答案为：一切实数；

(2)把％=1代入y=J(%-34+1中得：

y=J(1-3)2+1=3,

•••m=3.

(3)函数的图象如图所示：

(4)如图,

⑦・•函数y=，Q-3)2+1的图象与直线y=2有两个交点,

•••方程JQ-3丁+1=2有2个解；

②由图可得：当％=1时，y=3,

当x=3时，y=1,

当x=4时，y=2,

.•.兰1vxV4时，y的取值范围是1WyV3.

故答案为：2；1<y<3：

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(5)对于函数丫=J(%-t)2+l的图象的对称轴是直线X=3xvt时，y随工的增大而减小，而无：>£时，y

随地勺增大而增大；函数图象上的点离对称轴直线x=£越近，函数值越小.

,对于2<x2<3,都有力<丫2，

・•.M在左侧，N在右侧，MN的中点一定在对称轴直线％=t的右侧，

.•.一,

由条件可知1<华V2,

t<1.

故答案为：tw1.

27解：⑴•••四边形为BCD为正方形，

AB=AD,/.BAD=90°,

vDE=AD,AE=AB,

AE=AD=DE,

••.△ADE为等边三角形,

ZiAED=/.EAD=60°,

•••£BAE=30°,

vAB=AE,

180。一乙氏4E

Z.ABE=Z.AEB=275°,

A4BED=Z-AEB+^AED=750+60°=135°：

(2)①依题意补全图2,如图，

领段BM与的数量关系为：BM=MF,证明：

连接BD,DF,过点B作BG//DF,交。M的延长线于点G,如图,

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•••四边形/18C0为正方形，

BC=CD,/.BCD=90°,Z.CBD=Z.CDB=45°.

•••将线段CE绕点。顺时针旋转90。得到线段CF,

•••Z.ECF=90°,CE=CF,

4ECF=乙BCD=90°,

:.乙BCE=Z.DCF.

在△8CE和△OC”中，

(BC=DC

1/.BCE=Z.DCF,

(CE=CF

:.△BCE/4DCF(SAS),

ABE=DF,乙EBC=iFDC,

£DBE+Z.EBC=45°,

乙CDF4-乙DBE=45°.

vAB=AE,AD=AE,

180°-Z.BAE180。一乙区4。

Z.ABE=Z.AEB=ZJXED=Z.ADE=

22

3^-LBAE-LDAE1800-90°

ABED=LAEB+LAED=135°,

22

乙BEG=45°,

Z.DBE+Z.BDE=45°,

第19页，共23页

AZ.CDF=Z.BDE.

•••/BDE+"OC=45。，

AzEDC+zCDF=45°,

Z.EDF=45°,

•••BG//DF,

:.LG=乙EDF=45°,

LG=乙BEG=45。，

:.BE=BG,

ABG=DF.

在△BMG和△FMD中，

(LG=乙EDF=45°

乙BMG=乙FMD,

(BG=FD

ABM=MF.

28.解：(1)由题意可知，Mi(-2,9),M(-1,1),关于y轴对称的坐标分别为M3(2,0),/V3(1,l),

M3N3在矩形4BCD的内部，M2(0,2),/V2(l,2),

关于y轴对称的坐标分别为M4(0,2),/V4(-l,2),M4N4不在矩形48CD的内部，

那么矩形4BCD关于y轴的对称线段的是,如图所示：

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那么MM、M3N3的中点为（方士写•”（y，T，即（一状）、（篇）•

那么（一焉）、（焉）之间的距离为卜（一力=!该线段到矩即BC"的对称距离为今

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故答案为：

(2)(3M点(Q,0)作不轴的垂线L那么该直线为x=Q,点M(m,m+4),N(m+l,m+5),

关于直线％=a的对称点为M(2a-+4),N'(2a-m-l,m+5),

根据题意可知，点M(m,zn+4),N(m4-l,m+5)>

在矩形48co的外面，M'(2a-m,77i+4),Nf(2a-m-l,m+5),

在走形ABC。的内部，那么有0£加十5式1,那么有一5£小£一4,

那么当m=-5时,M点为(-5,-1),N(—4,0),M'(2Q+5,血+4),N'(2a+4,m+5),

为保证M'(2Q+5,m+4),N'(2Q+4,m+5),

在矩形/BCD的内部，如图所示：

那么需要满足-1W2Q+4W1,即—,,

那么当血=一4时，M点为（一4,0）,N（-3,1）,（2