第一章 勾股定理 单元检测（基础）含答案

第一章勾股定理

单元检测

（基础）一、选择题

1.下列各组数中，能围成直角三角形的是（）

A.1,1,2B.2,3,4C.3,4,5D.6,8,9

2.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的

平方是（）

A.25B.14C.7D.7或25

3.如图，为修铁路需凿通隧道打，测得

ZJ+=900,=5km,BC=4km.若把隧道力C凿通需要15天，则每天凿

隧道的长度为（）

4.如图，在Rt△力中，4。=90。，分别以4c为边作正方

形.若力8=6,则正方形月。叱和正方形8CPG的面积和为（）

A.64B.36C.12D.6

5.如图，在。中，NC=90。，则以下关系式成立的是（）

试卷第1页，共8页

B

A.a2+b2=c2B.(c-a)2=b2C.(。+犷=/D.a2+c2=b2

6.如图，在ZUAC中，^=1.5,Z?C=1.7,JC=0.8,则属边上的高4)为

A.0.6C.1.2

7.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有一道经典题目：“今

有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几

何？’'其意思为：今有一扇门，高比宽多6尺8寸，门对角线的

长度恰好为1丈，问门的高和宽各是多少？（1丈印。尺，1尺=1。

寸）如佟I，若设门的高为x尺，则根据题意可列方程为（）

A.r24-(r+6R)-=102B.r2+(r-6X)2=102

C.(X+6.8)2-X2=102D.(,t-6.8)-x2=102

8.如图，在四边形力BCQ中，/\ABEWABCD,AE1.BD,若

DE=T,AE=4,则8C的长为（）

试卷第2页，共8页

A.5B.6C.7D.8

9.如图，将一个边长分别为&m,]6cm的长方形纸片"CO折叠,

使点C与力重合，则“的长是（）

A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm

10.已知△招。的三条边长分别为〃，b,C,且满足（c+〃）（ci）=心

则UAC一定是（）

♦・

A.等边二角形B.等腰直角二角形

C.直角三角形D.钝角三角形

H.如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上,

装有一个由传感器控制的门铃4如图①所示，人只要移至该门

铃5m及5m以内时，即打45m,门铃就会自动发出语音“欢迎光

临如图②所示，一个身高1•5m的学生走到。处，即CZ）=L5m,

门铃恰好自动响起，则的的长为（）

试卷第3页，共8页

15.如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时,

梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米.若梯

子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5

米.

16.如图，用一条花带从高4.5m的圆柱的底部向柱顶均匀地缠绕3

圈，一直缠到起点的正上方为止.若柱子的底面周长是2m,则这

条花带的长度至少为m

B

A

三、解答题

17.在RtMHC中，ZC=90°,BC=a,AC=b9AB=c,求:

(1)已知a=8cm,b=15cm,求c；

(2)已知c=10cm,a=6cm,求6.

18.如图，在中，ZC=90°,若"=8,48=10.

试卷第5页，共8页

A,

O---------------

⑴求5c的长;

⑵求^ABC的周长和面积.

19.如图，在△力8C中，ZC=90°.

(1)尺规作图：在我边上找出点。，使得力。=皿(不写作法，保留

作图痕迹)；

(2)在(1)条件下，连接8。，若AC=2BC=8,求8。的长.

20.某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，由于

在8。上有一处古建筑，使得叱的长不能直接测出，于是工作人

员在8c上取一点。，测得40=120米，8。=50米后，又测得"=130

米，/C=150米.

(1)求证：408=901

(2)求8c的长.

21.四边形"CQ如图所示，已知//_L3C,ACLCD,AB=2,BC=4,

35,求8的长.

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22.如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触

到地面，然后他将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末

端距离地面2m,求旗杆的高度.（滑轮上方的部分忽略不计）

23.数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端8的绳子垂到地面时多出

了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点力处

（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米.

⑴求旗杆的高度

（2）珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），

把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，

求珍珍应从/处向东走多少米？

24.如图，长方形"CQ中，AB=4,BC=3,P为4。上一点、,将

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沿"翻折至"与8相交于点G,总与8相交于点。，且

OE=OD.

(2)求彳尸的长.

25.如图①是边长分别为。，力的两个正方形，经如图②所示的

割补可以得到边长为。的正方形，且面积等于割补前的两个正方

形的面积之和.利用这个方法可以验证勾股定理.

请根据上述信息，回答下列问题：

(1)图②所示的割补过程为：割①补，割补

⑥，割③补;

⑵将图②完成拼接后得到图③，已知小正方形的边长为2,大

正方形的边长为|。，试计算其中一个宜角三角形的周长.

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1.c

【分析】本题考杳了勾股定理的逆定理，要验证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只

要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.

【详解】解：A、因为1+1=2,所以不能构成三角形，故此选项不符合题意；

B、因为2?+3?r42,所以不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；

c、因为32+42=52,所以能构成直角三角形，故此选项符合题意；

D、因为G+Gwl,所以不能构成直角三角形，故此选项不符合题意.

故选：C.

2.D

【分析】本题考杳了利用勾股定理解直角三角形的能力，解题的关键是利用分类讨论的思想

求解.

已知百角三角形的两i力长/日未明确这两条山是百角上还是斜i力，所以求第三功的长必■须分

类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解.

【详解】解：①若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，

得4z+32=/,

所以炉=25;

②若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，

得"4232,

所以/=7；

故炉=25或7,

故选：D.

3.B

【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，解本题的关键是正确计算4C的长

度.由题意知:乙4+/6=90门则41。6=90,在直角△力6c中，己知力，,"。根据勾股定理

即可求4C,据此即可求得答案.

【详解】解:•.•4+4=90。,

.-.ZJC5=90°

在必中，AB=5km,BC=4km

­AC=ylAB2-BC2=A/52-42=3km，

答案第1页，共12页

・•.每天凿隧道的长度为3・15=0.2k〃.

故选:B.

4.B

【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是出〃，斜边长为

那么

根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可.

【详解】解：在Rt△48c中，/ACB=900,AB=6,

由勾股定理得：AC2+BC2=AB2=36,

•••正方形力。£。和正方形8CFG的面积和为36,

故选：B.

5.A

【分析】本题考杳了勾股定理，理解勾股定理的定义是解题的关键.

根据勾股定理的定义进行判断.

【详解】解：在Rt△4?C中，ZC=90°,

由勾股定理知:a2+b2=c2.

故选：A.

6.B

【分析】本题主要考查勾股定理，三角形的高；根据勾股定理的逆定理得到A48C是直角三

角形，结合SJBC=；/〃ZC=；8CY。，计算求解即可.

【详解】解：vAB1+AC2=\.52+0.82=2.89=1,72=BC1,

.••△48C是直角三角形，

.-.Z5JC=90°,

•••AD是RtAJ5C的斜边6。上的高，

:.SAzAioRiC..=-2ABAC=-2BCAD

AB-AC1.5x0.812

AD=-------=-------=—,

BC1.717

故选：B.

7.B

【分析】本题考查勾股定理的应用.高是x尺，则宽为(x-6.8)尺，根据矩形门的高、宽、

对角线构成直角二角形，利用勾股定埋即可列出方程.

答案第2页，共12页

【详解】解:设门的高为X尺,则宽为1-6.8)尺，根据勾股定理得,

X2+(X-6.8)2=I02,

故选：B.

8.A

【分析】本题主要考杳了全等三角形的性质、勾股定理的应用以及几何图形中的垂直关系,

证明AB=BC,AE=BD、BE=CD,通过勾股定理计算出=5是解题的关键.

首先利用全等三角形对应边相等得到8£=CD、AE=BD,再通过勾股定理求出力8的长度,

最后依据全等三角形对应边相等得出BC的长度.

【详解】解：•••△/出£出力。。，

BE=CD,AE=BD,AB=BC,

-DE=\,AE=4,且AE=BD,

BD=AE=4,

•••AE1BD,

ZJE5=90°,

即是直角三角形，

在中,AE==BD-DE=4-1=3

:,AB=>IAE2+BE2»即：题=m+3]=516+9=岳=5,

•:"BE③BCD,

:.AB=BC=5,

故选：A.

9.A

【分析】利用折叠性质得到力E=CE,设8E的长为xcm,表示出力E的长度，再在Rt"8E

中，根据勾股定理列方程求解.本题主要考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握勾股定理

并利用折叠性质得到相等线段是解题的关键.

【详解】解：设B£=xcm,

•.•长方形/4CQ中8c=16cm,

:.CF=(16-x)cm.

折叠后点C与4重合，

答案第3页，共12页

AE=CE=(16-x)cm.

•••四边形/18C。是长方形，

:./8=90。.

在中，由勾股定理得力公+鸟炉=/炉，

又AB=8cm,

82+x2=(16-x)2,

64+X2=256-32X+X2,

32x=256-64,

32x=192,

x=6.

故选：A.

10.C

【分析】由已知等式展开并整理，结合勾股定理逆定理判断三角形的形状即可.

本题考查了平方差公式，勾股定理的逆定理，熟练掌握公式和定理是解题的关键.

【详解】解：・・・(c+b)(c叫=/,

-'•c2-b2=a2.

"-c1=a1Ib2.

故△力8c一定是直角三角形，

故选：C.

11.C

【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知8O=CE,BE=CD=15m,4C=5m,

则力E=4B-8E=3m,再由勾股定理求出CE的长，即可得出结论.

【详解】解：由题意可知，BD=CE,BE=CD=\.5mtAC=5m,贝I]

AE=AB-BE=4.55=3(m),

在Ra“C£中，由勾股定理得：CE=ylAC，-AE2=5/52-32=4(m),

；.BD=CE=4米,

即门铃恰好自动响起，则的长为4米，

故选：C.

答案第4页，共12页

12.C

【分析】本题考查了圆柱的展开图，轴对称，勾股定理，熟练掌握轴对称，勾股定理是解题

的关键.利用展开图，轴对称，勾股定理计算即可.

【详解】解：如图,

根据题意，”=8cm，CT)=2cm，=6-2=4(cm),

作点A关于直线用的对称点G,连接CG,则CG为所求最小值，

则AF=FG=2cm,

过点G作GE1C3,交CB的延长线于点E,

则四边形qEG是矩形，

故FB=EG=8cm,FG=EB=2cm,NGEB=900,

故CE=6cm,

故CG=ylGE2+CE2=>/6:+82=10(cm),

故选：C.

13.16

【分析】本题考查勾股定理，二次根式的计算，掌握相关知识是解决问题的关键.根据已知

条件，利用勾股定理计算即可.

【详解】解：在中，AB=2O,AC=\2,ZC=90°,

则BC=yjAB2-AC2=yj2Q2-122=16.

故答案为：16.

14.8

【分析】本题主要考查等邃三角形“三线合一”的性质及勾股定理解三角形，熟练掌握运用等

腰三角形的性质是解题关健.根据等腰三角形“三线合一”的性质可得8。=。。，AD1BC，

再利用勾股定理即可求解.

【详解】解：•.•44=/。=10,8。=12,力。平分/比1C,

答案第5页，共12页

BD=CD=—BC=6,AD_ZBC,

2

•••AD=LB2-BD?=VlO2-62=8.

故答案为：8

15.2.7

【分析】本题主要考查勾股定理，先根据勾股定理求出梯子的长，进而可得出结论.

【详解】解：由题意可得:

JZ)2=0.72+2.42=6.25,

0.7米

在RtZXABC中，

•:乙ABC=90°.BC=1.5米，

BC2+AB2=AC2,

vAC=AD

AB2+l,52=6.25，

•**AB2=4，

vAB>0,

.•.力8=2米，

•••小巷的宽度为0.7+2=2.7（米）.

故答案为：2.7.

16.7.5

【分析】本题考查了勾股定理-最短路径问题：先根据题意把立体图形展开成平面图形后，

再确定两点之间的最短路径.一般情况是两点之间，线段最短.在平面图形上构造直角三角

形解决问题.

把圆柱沿48展开三圈，夕点的对应点为C点，如图，由于6C=6mj出=4.5m,则利用勾

股定理可计算出AC=7.5.然后根据两点之间线段最短求解.

【详解】解：把圆柱沿展开三圈，8点的对应点为C点，如图，

答案第6页，共12页

则BC=6m,

vAB=4.5m,

.­.^C=A/4.52+62=—=7.5(m).

2

.•.这条花带的长度至少为Z5m.

故答案为：7.5.

17.(1)17cm

(2)8cm

【分析】本题考查利用勾股定理解直角三角形，已知两边求第三边时，关键要注意所求边是

直角边，还是斜边.

(1)由于所求边c是斜边，所以利用勾股定理直接可得°=^/^万，代入明5的值即可求

得。的值；

(2)由于所求边6是直角边，所以利用勾股定理直接可得/,=〃/，代入。的值即

可求得的值.

【详解】(1)解：在RtzMBC中，ZC=90°,a=8cm,〃=15cm,

二c=>Ja2+b2=A/82+152=17cm；

(2)解：在RtMAC中，ZC=90°,c=10cm,a=6cm

•*,b—ylc2—a2—V102-62=8cm•

18.(1)6C的长为6

(2)ZMBC的周长等于24：ZUBC的面积等于24

【分析】本题考查了勾股定理，三角形的周长和面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键：

(1)利用勾股定理求解；

(2)利用三角形的周长和面积公式求解.

【详解】(1)•••NC=90°,4。=8,48=10,

BC=>IAB2-AC2=6»

答案第7页，共12页

/.4。的长为6.

(2)的周长等于/18+8C+4C=10+6+8=24,

△力8c的面积等于;4C.8c=gx8x6=24.

19.⑴见解析

(2)5

【分析】本题主要考直了垂直平分线的性质、垂直平分线的尺规作图、勾股定理等知识点,

理解垂直平分线的性质成为解题的关键.

(1)作线段的垂直平分线，与4c的交点即为所求；

(2)设初=x,由(1)知力。=8。，进而得到/1。=5。=工、CD=8-.r,再根据勾股定

理列方程求解即可.

【详解】(1)解•：如图所示，点。即为所求：

(2)解：设8Q=x,

由(1)知AD=BD,

:.AD=BD=x,

vAC=2BC=8f

BC=4,CD=AC-AD=8—x,

•••ZC=90°,

CD2+BC2=BD1,

/.(8-X)2+42=X2,解得“5,

/.BD=5.

20.⑴见解析

(2)8。=140米.

【分析】本题考查了勾股定理的逆定埋，勾股定理，熟记勾股定理的逆定理，勾股定理是解

题的关键.

(1)根据勾股定理的逆定理即可推出ZADB=90°；

(2)根据勾股定埋求出C。的长，据此即可求解.

答案第8页，共12页

【详解】（1）解：•••力。=120米，40=50米，48=130米,

:.AB2=AD2+BD2^

N/。4=90。，

ZADC=90°；

(2)解：:/ADB=900,

：.ZADC=90°t

CD=>JAC2-AD2=715O2-12O2=90(米),

BC=BD+CD=50+90=140(米).

21.CD=>f5

【分析】本题考查的是勾股定理的应用.先利用勾股定理求解4C=2卡，再利用勾股定理

求解即可.

【详解】解：vAB1BC,AB=2,BC=4,

•­AC=>JAB2+BC1=2逐，

•.-ACLCD,AC=2'AD=5,

•­CD=VAD2-AC2=V5•

22.旗杆的高度为17米

【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关

健.

如图，过点C作于点4,设旗杆的高度为由，则/。=/。=皿，JB=(x-2)m,

8C=8m.然后在RL^4?C中运用勾股定理求解即可.

【详解】解：如图，过点。作C8_L4Q于点8.

设旗杆力。的高度为、m,则/。=/O=xm,AB=(x-2)m,8C=8m.

答案第9页，共12页

在RtZS/BC中，AB2+BC2=AC2,即3-2)2+82=/,解得x=17.

答：旗杆的高度为17米.

23.(1)12米

⑵7米

【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题.

(1)设旗杆8。的高度为x米，则绳子Z8的长为(x+3)米，根据勾股定理3c2+力。2=4犷

列方程求解即可：

(2)先根据勾股定理求出CO,即可得解.

【详解】(1)解：设旗杆4c的高度为x米，则绳子48的长为(x+3)米，

由题意知：力C=9米，ZACB=90°,

在RtZ\48C中，

•••BC2+AC2=AH',

x2+92=(x+3)2,

解得：x=12,

答：旗杆的高度12米;

(2)解：由(1)知，48=x+3=15米，则8。=15+5=20米，

­■•CD£BD?-BC2=16米,

:.力O=CO-4C=7米，

答：珍珍应从4处向东走7米.

24.⑴见解析；

(2)2.4.

【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，解题的关键是灵活

运用这些性质.

(1)根据折叠的性质可得尸力=尸£,ZJ=Z£=ZD=90°,BE=AB=4,结合OE=OQ,

可证明△尸QO^AGE。，得至IJOG=OP,DP=EG；

(2)推出OG=PE=",设力尸=x,则PO=£G=3-x,DG=AP=x,推出8G=l+x,

在RS8CG中，根据勾股定理即可求解.

【详