高考数学二轮复习（全国版理）专项突破 截面、交线问题

微重点12截面、交线问题

“截面、交线”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，它渗透了一些动态的线、

面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力.求截面、交线问题，一是与解三角形、多边形

面积、扇形弧长、面积等相结合求解，二是利用空间向量的坐标运算求解.

考点一截面问题

考向1多面体中的截面问题

例I如图，设正方体44。。一人历|。|。|的棱长为2,E为的中点，/为CG上的一个

动点，设由点A,E,产构成的平面为a,则下列结论正确的是()

①平面«截正方体的截面可能是三角形：

②当点F与点Ci重合时，平面a截正方体的截面面枳为2乖;

③点D到平面a的距离的最大值为平；

④当尸为CG的中点时，平面a截正方体的截面为五边形.

A.②④B.①③C.②③④D.①③④

答案C

解析如图，建立空间直角坐标系，延长AE与z轴交于点P,

连接刊7与)，轴交于点

则平面a由平面AE尸扩展为平面APM.由此模型可知截面不可能为三角形，故①错误：

当尸与G点重合时，平面a截正方体的截面为边长为小的菱形，易得截面面积为入内，故

②正确；

当尸为CG的中点时，易如平面a截正方体的截面为五边形，故④正确；

5。。0)，4(2,0,0),P(0,0,4),

设点M的坐标为(0,1,0)附2,4］),

5A=(2,0,0),AM=(-2,f,0),莉=(2,0,-4),

则可知点。到直线AM的更离为

Sww=^\//2+4d=，5/2+16.

SAPAD=,义2X4=4,

设点。到平面a的距离为小

利用等体积法VD-APM=y.M-PAD^

4

因为h=-1“是［2,4］上的增函数,

所以当1=4时，力取到最大值为手，故③正确.

考向2球的截面问题

例2已知在二棱锥S-ABC中，SAl¥r^A/?C,SA=AB=RC=\{2,AC=2.点£F分别

是线段AB,8C的中点，直线AF,相交于点G,则过点G的平面。截三棱锥S—ABC的

外接球球0所得截面面积的取值范围是

答案作,T

解析因为A4+BC2=AC2,

故A8_LBC,又因为S4_L平面A8C,

“2+2+2灰

故三棱锥S—A5C的外接球球O的半径R=~一2

取4C的中点。，连接8Q,8。必过点G,如图所示,

因为AB=8C=啦，故QG=；8£>=；,

因为。。=乎，

故0G?=(当)2+G)2=H，

则过点G的平面截球。所得截面圆的最小半径

过点G的平面截球。所得截面圆的最大半径为球半径R聋,

故截面面积的最小值为w，最大值为亏.

故截面面积的取值范围是愕，y.

规律方法作几何体截面的方法

(1)利用平行直线找截面；

(2)利用相交直线找截面.

跟踪演练1(1)已知长方体A8C。-的高为小，两个底面均为边长为1的正方形,

过8小作平面。分别交棱A4,CG于E,F,则四边形8raE面积的最小值为.

答案V2

解析如图所示，过点F作FH_LBDi交BDi于H,设FH=h.

由题意得BDi=2.

易知截面BFDiE为平行四边形,

则S四边形“尸*==2Xg8£>「/i=2/b

当"取最小值时四边形BFDiE的面积最小.

易知h的最小值为直线CG与直线BOi间的距离.

易知当尸为CG的中点时，力取得最小值,

—正

“Amin-2，(S四边形所科£)min=2X

故四边形8匹QE面积的最小值为也.

(2)(2022•荒沏模拟)已知正三棱柱ABC—的各棱长均为2,。为棱人区的中点，则过点

^ADOB=\BDAE,

即Jx^也=9X2XAE,

解得AE=乎，

所以DE=7AD2—AE2=3.

所以在△BCO中，过顶点C作边4。上的高，垂足为F,取CO的中点M,连接M8,如图

3,

同在△A8。中的情况，可得。尸=坐。尸=3,

所以点E,尸重合，即4O_LAE(F),BD±CE(F),

因为AEGCE=E,

所以BQ上平面ACE,

平面a即为平面4CE,平面a与侧面CBQ的交线为线段CG长度为乎.

考向2与球有关的交线问题

例4(2022・广州模拟)已知三棱锥产一A8C的棱AP,AB,4c两两互相垂直，AP=AB=AC

=2小，以顶点P为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则

最长弧的弧长等于.

答案专

解析由题设，将三棱锥P-A4C补全为棱长为2小的正方体，O为底面中心，如图所示，

若AO=A/=2,则PD=P/=4,即。，尸在以。为球心，4为半径的球面上，

又OA=#>2,0。=3啦)4,

所以，平面人8c与球面所成瓠是以人为圆心，2为半径的四分之一圆瓠，故弧长为冗;

平面P8C与球面所成瓠是以。为圆心，4为半径且圆心角为飘圆弧，故弧长为茅

平面P84,PCA与球面所成弧是以P为圆心，4为半径且圆心角为盍的圆弧，故弧长为全

所以最长弧的弧长为4学7r

规律方法找交线的方法

(I)线面交点法：各棱线与截平面的交点.

(2)面面交点法：各棱面与截平面的交线.

跟踪演练2(1)(2022・泸州模拟)已知三棱鞋P-ABC的底面△48C为斜边长为4的等腰直角

三角形，其顶点P到底面AABC的距离为4,若该三棱维的外接球的半径为爪，则满足上

述条件的顶点P的轨迹长度为()

A.67tB.127c

C.2小冗D.4小兀

答案D

解析•••△48C为等腰直角三角形，

・•・△ABC的外接圆半径n=2.

•・•外接球球心到底面aABC的距离为

出=邓2一衣=yj\3—4=3,

又・・•顶点P到底面△ABC的距离为4,

・•・顶点P的轨迹是一个截面圆的圆周.

当球心在底面△A8C和截面圆之间时，

球心到该截面圆的距离为6/2=4—3=1,

•・•截面圆的半径为相=2穴2一修=6]3_|=2小,

；・顶点P的轨迹长度为2口2=4小九；

当球心在底面△A8C和截面圆同一侧时，

球心到该截面圆的距离为必=3+4=7>R=g,故不成立.

综上，顶点尸的轨迹长度为4小兀

(2)(2022・广安模拟)如图,王方体A8CD-A山Ci。的棱长是2,S是Ai囱的中点，P是4G

的中点，点。在正方形。CCiQi及其内部运动，若尸Q〃平面S3G，则点。的轨迹的长度是

答案小

解析如图所示,

要使PQ〃平面SBG,作P£〃GS交GQi于E,

SCiU平面SRCi,

PEQ平面SBG,

则PE〃平面SBG,

因为正方体A4CO-4〃iG5的棱长是2,

所以DiE=；CiQi=],

连接尸S,BD,取8。的中点0,连接P0,

则PSBO为平行四边形，则PO//SB,S8U平面SBC\,P0C平面SBCi,

则P0〃平面S8G,

又P0CPE=P,PO,PEU平面POE,

所以平面尸0E〃平面SBG,

设平面POEA平面DCC\D{=EF,

33

则DF=^DC=^

连接OF,EF,则PEFO为平行四边形，Q的轨迹为线段EF,EF=yj（DF-D।E）2+DiD2=

、》+22=小.

专题强化练

1.（2022・重庆模拟）如图，一个平面a斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为椭圆

£若圆柱底面圆半径为广，平面a与圆柱底面所成的锐二面角大小为《0＜，＜手，则下列对椭

圆E的描述中，错误的是（）

A.短轴为2,，且与。大小无关

B.离心率为cos。，口与「大小无关

C.焦距为2rtan。

D.面积^

答案B

解析由题意，椭圆短轴长2人=2「，而长轴长随。变大而变长且2a=当，

所以0=4〃一护=rtan9,故e=§=sin仇

焦距为2c=2rtan8,

由椭圆在底面投影即为底面圆，则cos。等于圆的面积与椭圆面积的比值，

所以椭圆面积为5=七

LUSC7

综上，A,C,D正确，B错误.

2.（2022・资阳模拟）如图,在棱长为1的正方体ABCD-A向CQ中，点E,F,G分别是棱CG，

C&C。的中点,P为线段上的一个动点，平面a〃平面ERS,则下列命题中错误的是（）

A.不存在点P,使得CPJ_平面ER7

B.三棱锥P-EFG的体积为定值

C.平面a截该正方体所得截面面积的最大值为晋

D.平面a截该正方体所得截面可能是三角形或六边形

答案C

解析如图，连接AC,可得4cL平面EFG,由AC与A5异面可知，不存在点P,使得

CPJ_平面EFG,故A正确；

因为平面EPG,所以动点P到平面£FG的距离为定值，故三棱锥P—EFG的体积为

定值，故B正确；

如图，当截面为正六边形UAZMM其中/，J，K,L,M,N都是中点）时，易得该正六边形的

边长为坐，所以其面积为6*乎乂（乎）2=乎，故c错误；

截面可能为三角形，也可能为六边形，故D正确.

3.在三棱锥P—A8C中，办_1_平面ABC,PA=4,AB=AC=2®8c=3,PB,PC与以RI

为直径的球。的球面分别交于点M,M则下列结论错误的是（）

A.昨平

B.MN〃平面ABC

C.MN=2

D.球。的球面上点M,2所在大圆劣弧的长为全

答案D

解析对于A选项，

因为平面ABC,ABU平面ABC,

所以PALAB,

因为限=4,AB=AC=2y[2,

则PB=q陷2+AB2=2*,

所以cosNAPB=^=乎，

在△OPM中，OM=OP=；B4=2,

由余弦定理可得

OM2=OP2+PM2—20PpMcos/APB,

所以PM=2OPcosN4PM=乎，

同理可知呐=半，A正确：

对于B选项，在△PBC中，PB=PC=2#,

PM=PN=芈，

PMPN

所以~PB='PC'

所以MN//BC,

因为MM平面4BC,BCU平面ABC,

所以MN〃平面A3C,B正确；

对于C选项，因为MN〃BC,

则△PMNsZsPBC,

G、心一旦1_2

助以BC-PB/，

?

因此MN=Q8C=2,C正确；

对于D选项，因为〃N=0M=0N=2,

则△OWN为等边三角形，

则/MON/

所以球。的球面上点M,M所在大圆劣弧的长为力><2=争，D错误.

4.（2022•莆田模拟）已知正四面体ABCQ的棱长为2#.点E,广满足坛=）.砺，肪=%际，用

过A,E,r三点的平面截正四面体A3CQ的外接球。，当力£[1,3]时，截面面积的取值范围

为（）

A.[4兀，8兀]B.[6n,127d

C.[8n,9兀]D.[Sit,12M

答案C

解析如图，在棱BC上取点R,在棱8。上取点5,使得正=3读，BD=3BS,

取CQ的中点G,连接人R,AS,RS,BG,AG,

记RSA8G=M,连接AM

过点4作A”_L平面8CQ,垂足为“，

则〃为△4CO的中心，正四面体A6co外接球的球心。在A”上，A0为球。的半径.

由题中数据可得4W=AG=3"G=3"M=3，5,A〃=4,BH=2^2.

设球。的半径为R,

则R2=（AH-OH）2=BH2-I-OH~,

解得R=3,OH=\.

当2£[1,引时，截面从平面4RS转动到平面4c。，要求截面的面积只需考虑球心。到

截面的距寓的取侑范围即可.

由题意可知CQ〃宠S且CD_L平面4BG,如图,

过点。作ON_LAM,

垂足为N,

则（加_1_平面AKS.

因为△AONS2^AM”,

AOMH

所以ON=

AM=1,

即球心。到截面的距离Je[OJJ,

则截面圆的半径满足/=尸一/£3,9],

故所求截面的面积SW[8TT,9K].

5.（2022临沂模拟）已知正三棱台八8C—A8c的上、下底面边长分别为2和5,侧棱长为3,

则以下底面的一个顶点为球心，2为半径的球面与此正三楼台的表面的交线长为.

答案27t

解析由题意，得AABC是边长为5的等边三角形，侧面均为全等的等腰梯形，

在四边形ABB14中，

AB=5,A由i=2,AA\=BBi=3t

如图，在棱A8上取8/