高考数学二轮复习：不等式综合问题（讲）解析版

第一篇热点、难点突破篇

专题01不等式综合问题（讲）

真题体验感悟高考

1.（2020.山东.高考真题）已知二次函数>=加+%X+C的图像如图所示，则不等式加+bx+c〉o的解集是（）

C.[-2,1]D.（9,-2]』1收）

【答案】A

【分析】本题可根据图像得出结果.

【详解】结合图像易知，

不等式加+bx+c>0的解集（-2,1）.

故选:A.

2.（2021•全国•高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（

4

A.y=x2+2x+4B.丁=卜足闻+

sin.v

4

C.y=2、2"xD.y=ln.t+----

Inx

【答案】C

【分析】根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出伉。不

符合题意，C符合题意.

【详解】对于A,y=f+2x+4=（/+l）2+3N3,当且仅当户-此取等号，所以其最小值为3,A不符合题意;

对于B,因为。<卜in^Kl,），=卜皿%|+岛N2a=4,当且仅当卜in,v|=2时取等号，等号取不到，所以其最

I-J111I

小值不为4,B不符合题意;

对FC,因为函数定义域为R,而2，＞0,)，=2'+2~=2'+2"=4,当且仅当2，=2,即x=l时取等号，

所以其最小值为4,C符合题意；

4

对于D,y=lnx+——，函数定义域为(0,1)(1,+℃),而InxwRInx工()，如当lnx=-l,y=-5,D不符合

\nx

题意.

故选：C.

【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质

即可解出.

3.(2021.全国•高考真题)已知耳，工是椭圆C：?+(=1的两个焦点，点”在。上，则目的最大

值为()

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【分圻】本题通过利用椭圆定义得到|M用+|M闾=2a=6,借助基本不等式用㈣也I]即可得

到答案.

【详解】由题,"=9方=4,则附用+附用=24=6,

所以居|《也史幽]=9(当且仅当|峥|二|M|=3时，等号成立).

\/

故选：C.

4.(2008・四川・高考真题(理))已知等比数列｛4｝中外=1，则其前3项的和邑的取值范围是()

A.(f-1]B.(^o,0]o[l,-H»)

C.[3,+oo)D.(-oo,-l]J[3,-H»)

【答案】D

【解析】设等比数列｛4｝的公比为4,由等比数列的通项表示/[即4的代数式)，然后根据q的正负性进行分

类，分别求出4的范围即可.

【详解】设等比数列｛勺｝的公比为。，

•等比数列｛〃/中/=1，

S3E（70,-1]（3,+cO）.

故选：D.

5.【多选题】（2022•全国•高考真题）若x,y满足1+丁一个=[,则（）

A.A+y<1B.x+y>-2

C.A2+<2D.x2+y2>1

【答案】BC

【分圻】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假.

【详解】因为Y等手（a,hl）由丁）一个,=]可变形为，（工+『一孙（苫）

R,+,2P1=3432解

^-2<x+y<2,当且仅当x=y=-l时，x+y=-2,当且仅当x=y=l时，x+y=2,所以A错误，B正确;

22

由/十/一孙=]可变形为（/十2_]=孙占号上，解得Y十）尸乂2,当且仅当工一下一口时取等号，所以C

正确；

因为-+y2一孙=]变形可得仁_2丫+32=],设x"=cos"亡尸sin。，所以

V2；4-22

I052,।।

x=cos^+-=sin^,v=-^sin^,因此x2+y2=cos2^+-sin^+-7=sin<9cos^=1+/sin2。——cos20+-

J73V33J3J333

=^+|sinf2^-^e[4,21,所以当犬=且“=-且时满足等式，但是炉十2并不成立，所以D错误.

331#|_3」33

故选：BC.

总结规律预测考向

（一）规律与预测

1.简宜不等式的解法是高考数学的基本要求，在许多题目中起到工具作用.

2.解答求最值和不等式恒成立问题，常用到基本不等式，往往与函数、立体几何、解析几何等交汇命题.

3.独立考杳不等式问题,题型多以选择题、填空题形式考杳，中等难度.

【典例分析】

典例1.(2018・全国•高考真题(理》设a=log。2().3,b=log2().3,则()

A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0

C.a+b<0<abD.ab<0<a+b

【答案】B

【详解】分析：求出上=log0.38,1=〃K().32,得到L+；的范围，进而可得结果.

abab

详解：.a=log0.2°3,0=/og2°3

.•.-=log().302,l=tog().32

ab

••，+<=/ogo.3°4

ab

abah

乂,a>0,b<0

/.ab<0Bpab<a+b<0

故选B.

典例2.若不等式仅2—4就2+5+2)上一IK)的解集是空集，则实数。的取值范围是()

A.(-2,|jB.[-2,1)

C.[-吟D.[-2,1)U{2}

JJ

【答案】B

【解析】当4=0时，解得。=2或。=—2,

当。=2时，不等式可化为4x—1K),解集不是空集，不符合题意：当〃=—2时，不等式可化为一1K),此式不

成立，解集为空集.

当/一4押时，要使不等式的解集为空集，

a2—4<06

则有〈),解得一2<a<一.

A=(.+2)~+4(a~-4)<05

综上，实数〃的取值范围是

典例3.【多选题】(2021•河北高三二模)若实数。，人满足则下列选项中一定成立的有()

223y

A.a<bB.a<bC.<1D.ln^<0

【答案】AD

【解析】

根据条件，可得0>4>〃或〃>〃>0,逐一分析四个选项，即可得答案.

【详解】

因为/<0%，所以〃3(。一份<0,

/<0/>()

所以nV<

a-h>()a-b<0

所以0>。>匕或人>。>0,

所以从〉/,故A正确；

若O>a>b，则/>Z/,故B错误；

若0〉a>b，则。一〃>0,所以ei>l，故C错误；

因为0>。>力或〃>。>0,所以0<@<1,

b

所以唱<0,故D正确.

故选：AD

【易错提醒】

求解含参不等式办2+云+”0恒成立问题的易错点

⑴对参数进行讨论时分类不完整，易忽略a=0时的情况.

(2)不会通过转换把参数作为主元进行求解.

(3)不考虑〃的符号.

考向二不等式的恒成立问题

【核心知识】

不等式恒成立问题的解题方法

(1)j{x>>a对一切X£/恒成立»X£/；j{x)<a对一切/恒成立<=>A-V)max<«，X^l.

(2)/3>g(x)对一切.IS/恒成立=当时，段)的图象在以幻的图象的上方.

(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法.解题时一定要搞清谁是变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁

就是变量：求谁的范围，谁就是参数.利用分离参数法求解时，常用到函数的单调性、基本不等式等知识.

【典例分析】

2

典例4.(2019・浙江•高考真题)已知aeR,函数若存在，£/?,使得1/。+2)—/⑴区屋则实数

。的最大值是一.

4

【答案】^=-

【解析】

【分析】

本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究

加+2)-/⑺=2〃(3/+6/+4)-2入手，令加=3尸+6/+4e[l,+oo),从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，

观察得解.

【详解】

使得/■。+2)—/。)=4｛2,[«+2)2+[0+2)+/]｝一2=2。(3/+61+4)—2,

使得令〃?=3产+6/+4e[l,+co),则原不等式转化为存在〃此1,,

【点睛】

对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.

典例5.(2018•天津・高考真题(文))已知。£宠，函数〃力=(,r二'二'若对任意人｛[-3,+8),

-k+2x-2a,x>0.

人大£忖恒成立，则〃的取值范围是.

【答案】IQ

O

【解析】

【分析】

由题意分类讨论工>0和xWO两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.

【详解】

分类讨论：①当4>0时，即：-f+24-2aWx,

整理可得：a>—x2H—X,

22

结合二次函数的性质可知：

当>51时，卜<I2O丁1丁1『1则方屋1

②当一3vx<（）时，即：x2+2x+a-2<-x,整理可得：a<-x2-3x+2^

2

由恒成立的条件可知：a4（-x-3A+2）m,n（-3<x<0）,

结合二次函数的性质可知：

当x=-3或x=0时，（--^2-3x4-2）=2,则

'/min

综合①②可得。的取值范围是L，2,故答案为口,2.

点睛：对广恒成M问题，常用到以下两个结论：（1）。3工）恒成立：（2）旧（%）恒成立.<=>a0/U）〃〃力.有关

二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法.一般从：①开口方向；②对称轴位置；

③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.

典例6.（2020•江苏省太湖高级中学高一期中）已知函数/（力二/+州+力，关于无的不等式好*（对<0的解集

X

为（1,3）.

（1）求实数。，的值；

（2）求关于x的不等式切'（同<（加一3）（%-1）（加£用的解集;

（3）若不等式八2'）-b2r-2心。在R上恒成立，求实数&的取值范围.

【答案】（1）〃=3,b=T,（2）当机<1时，解集为（肛1）,当m=1时，不等式无解，当机>1时，解集为（1,机），

（3）心5+旧

2

【解析】

/、1+3=—/?

(1)由题意得不等式f+法+4<0的解集为(1,3),由根与系数的关系得J]X3_Q，从而可求出实数。，b

的值；

(2)由#(%)v(7n-3)(x-4)(/ncH),得犬+3-4x<(/w-3)(x-l),即(x-l)(x-㈤vO,然后分m<L

m=l,m>1求解即可；

b3k

(3)令/=2、(Z>0),则/'(/)一一-2攵之。在(0,+oo)上恒成立，即1+一—4----2攵之()，即

/tt

了一！4+2""+3一"之o,令g“)=/―(2A+4k+3-3然后分对称轴在>轴左侧和右侧两种情况求解即可

t

【详解】

(1)因为关于无的不等式V(x)<。的解集为(L3),即不等式f+H+avO的解集为(1,3),

1+3=—h

所以<c，解得。=3力=T,

lx3=a

3

所以〃幻二%+2一4,

x

(2)由<(〃?-3)(冗一1)(相£/?),得f+3-4X<(/〃-3)(x-l),

即x2-(/«+l)x+/w<0,(X-I)(A-/??)<0,

若〃7<1,则mvx<l.若m=1.则不等式无解，若，贝！

所以当m<1时，解集为(加,1),当m=1时，不等式无解,当〃?>1时，解集为(1,6)

k

(3)令/=2、(/>0),则/⑺——2人之()在(0,+oo)上恒成立，

t

即,+3-4一K一2攵20,即厂—(4+2%)7+3_攵20,

ttt

令g0)二/一(2左+4»+3-h

2A+4

当------=左+2<0,即2<一2,对称轴在了轴左侧，所以g(0)=3-ANO,即攵<3,所以2m—2,

2

当左〉一2时，即对•称轴在了轴右侧，则△=(2%-4)2-4(3-QKO,解得一2〈攵。一§十历,

2

综上心比巫

2

【规律方法】

1.解决不等式恒成立问题的两种思路

⑴转化成含有参数的不等式，借助对应函数图象，找到满足题目要求的条件，构造含参数的不等式（组），求得参数范

围.

⑵分离参数，通过求函数的最值，进而确定参数的范围.

2.策略方法

（1）若风丫）>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式yu）>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解

参数的值（或范围）.

（2）转化为函数值域问题，即已知函数;U）的值域为即〃],则於）初恒成立=/%而2即哈恒成立

m/U）maxW4，即

考向三基本不等式及其应用

【核心知识】

基本不等式求最值的常用解题技巧

1.凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值.

2.凑系数：若无法直接运用基本不等式求解.，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值.

3.“：”的代换:先把己知条件中的等式变形为“1”的表

达式N再把“1”的表达式与待求最值的表达式相乘4通过变形

构造和或积为定值的代数式求最值.

4.换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开（化为部分分式），即

A

化为y=m+——+8g（x）（A8>0）,g（x）恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值.

gM

【典例分析】

典例7.（2019・浙江•高考真题）若则“°+-44”是“或K4”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C,充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛

盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考杳.

【详解】当。>。，〃>。时，〃+〃之2疝，则当时、^2y[^<a+b<4,解得。〃K4,充分性成立；当

a=l,Z;=4时，满足用K4,但此时a+b=5>4,必要性不成立，综上所述，是“他K4”的充分不必要

条件.

典例8.（2020•全国•高考真题（理））设。为坐标原点，直线X=。与双曲线=的两条渐近线

分别交于RE两点，若-ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为（）

A.4B.8C.16D.32

【答案】B

【分圻】因为…），可得双曲线的渐近线方程是尸土"与直线…联立方程求得。.E

两点坐标，即可求得IEOI,根据.OOE的面积为8,可得时值，根据2c=2>/775，结合均值不等式，即可求

得答案.

[评解]C:——方=1(。＞0,7?＞0)

•・•双曲线的渐近线方程是丁=±2]

a

,直线x=a与双曲线C：£-g=l（a>（U>0）的两条渐近线分别交于。，£•两点

a-b-

不妨设。为在第一象限，E在第四象限

x=a

联立b，解得

y=—x

a

故D(a,b)

(

x=aIY-a

联立b，解得＜■八

y=——x[y=-^

故E(a9-b)

:.\ED\=2b

.ODE面'积为：SLODE=；0*2b=ab=8

;双曲线cj手

=](a＞0,。＞0)

其焦品巨为2c=2，？+以>=2716=8

当且仅当a=b=2夜取等号

••.C的焦距的最小值：8

故选：B.

典例9.（2022•全国•高考真题（文））已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球。的球

面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

A.7B.1C.@D.—

3232

【答案】C

【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点。到底面4BC。所在小圆距离一定时，底面/1BC。面积最大值为2/，

进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其

高的值.

【详解】［方法一］：【最优解】基本不等式

设该四棱锥底面为四边形A8CO,四边形ABC。所在小圆半径为，，

设四边形A8CQ对角线夹角为a，

八.niK-/z222

（当且仅当四边形ABCD为正方形E寸等号成立）

即当四棱锥的顶点O到底面ABC。所在小圆距离一定时，底面人EC。面积最大值为2r2

又设四棱锥的高为力，则产+/=人

当且仅当y=2/r即〃邛时等号成立.

故选：C

［方法二］:统一变量+基本不等式

由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为。，底面所在圆的半径为，则,〜立。，所

以该四棱锥的高力=目\

（当且仅当!=1一1,即时，等号成*：）

所以该四棱锥的体积最大时，其高公［"=R=*.

故选：C.

［方法三］:利用导数求最值

由题意可知，当四棱锥为止四棱锥时，其体积最大，设底面边长为〃，底面所在圆的半径为一则r=变。，所

以该四棱锥的高〃令/=f（0＜，＜2）,v=g设/（/）=/—；.，则r（z）=2-］：,

o＜/＜^,r”）＞o,单调递增，r（/）＜o,单调递减，

JJ

所以当/二g时，】/最大，此时〃=1等.

故选：C.

【整体点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；

方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；

方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法.

典例10.（202（）•江苏・高考真题）已知5.&2+y=l（x,），€R）,则f+f的最小值是.

【答案】|4

【分圻】根据题设条件可得l'=二，可得炉+产=二+），2=3+4，利用基本不等式即可求蟀.

5y5y5y5

【详解】•・•5内/+），J1

...k0且上舁

5）广

7+八方+等2厝g当且仅当于竽，即八QW时取等号.

:.x2+y2的最小值为*

4

故答案为：

典例11.（2022・全国•高考真题（理））已知.A8C中，点。在边BC上，ZADZ?=120°,AD=2,CD=2BD.当二

AB

取得最小值时，BD=.

【答案】V3-l##-l+x/3

AC2

【分听】设C力=29=2帆＞0,利川余弦定理表示出」上一后，结合基本不等式即可得解.

AB~

【详解】［方法一］:余弦定理

设8=230=2心0,

则在△ABO中，AB2=BD2+AD2-2BD-AOcosZADB=m2+4+2m，

在，ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD-ADcosZADC=4w2+4-4”?，

22(〃〃(机)

AC_4m+4-4/n_4/+4+2?)-121+=4-―巴

所以〃?2+4+2〃〃『+4+2m3

(〃?+1)+

m+1

12

>4-==4-2>/3

3

2(加+1).

〃?+1

3

当且仅当m+l=印m=6-1时，等号成立,

m+\

所以当若取最小值时，呀

故答案为：x/3-l.

［方法二］:建系法

令BD=t,以D为原点，0C为x轴，建立平面直角坐标系.

则C(2t,0),A(1,右)，B(-t,0)

AC2_(2/-l)-+3_4r2-4r+4_

4y->4-2V3

,AB2(/+1)2+3t2+2t+4

/+1)+-----

/+1

当目.仅当f+1=即8。=6-1时等号成立。

［方法三］:余弦定理

设BD=x,CD=2x.由余弦定理得

C2=X2+4+2X\,

,,,,,/.2c2+b2=\2+6x2,

bf2~=4+4x--4x

c2=x2+4+2x,,,

,,,,),,/.2c~+b~=\2+6x~»

b~=4+4x-4x

AT

令=则2c2=12+6*2,

AB

.”12二12+6/=12+6f=6>6-2x/3,

c2x2+2x+4(x+l)+N

x+1J

r^4-2x/3,

3

当且仅当x+l=,即二百+1时等号成立.

x+1

［方法四］:判别式法

设M=x,则CD=2x

在AABD中，AB2=BD2+AD2-2BD-ADcosNADB=V+4+2x，

在,ACD中，AC2=CD2+AD2-2CDADcosZADC=4x2+4-4x，

AC24X2+4-4X4X2+4-4X

所以,iiir=--------

AB2x2+4+2x厂+4+2x

M(4-r)x2-(4+2r)x+(4-4r)=0

由方程有解得：△=（4+2/）2-4（4T）（4-4/）20

即产-81+4W0,解得：4-2>/3</^4+2x/3

所以！=4一2&,此时％=言="-1

所以当金1•取最小值时，即8/）=石-1.

AB

典例12.（2022•广东深圳•高三阶段练习）某市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励某食品企业生产一种

饮料，该饮料每瓶成本为10元，但价为15元，月销售8万瓶.

（1）据市场调查，若每瓶售价每提高1